Устойчивость решений одного класса линейных интегро- дифференциальных уравнений второго порядка на полуоси Текст научной статьи по специальности «Математика»

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №6/2016 ISSN 2410-700Х_

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 517.926

Асанова Каныкей Авытовна

младший научный сотрудник ИТиПМ НАН КР, г. Бишкек, Кыргызская Республика E-mail: [email protected]

УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПОЛУОСИ

Аннотация

Исследован вопрос устойчивости решений линейных интегро-дифференциальных уравнений второго порядка на полуоси. Методом преобразований установлены устойчивости решений данной задачи.

Ключевые слова

Интегро-дифференциальные уравнения, второго порядка, полуось, устойчивость, решения.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка

t

У" + P(t)y' + q(t)y + jQ(t, s)y(s)ds = f{t), t > to, (1)

t0о

с начальными условиями

y(t0) = m, y'(to) = n, m, n e R, (2)

где P(t), q(t), f(t) - известные непрерывные функции на [to, да), Q(t,s) -известная непрерывная функция на G={(t, s): t0 < s < t< да}.

Вопросы устойчивости и асимптотической устойчивости решений на полуоси для дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений изучались в работах [1-4]. В настоящей работе на основе результатов работы [5] и методом преобразований установлены достаточные условия асимптотической устойчивости решений задача Коши (1)-(2) на полуоси [to,ж) Предположим выполнения следующих условий:

а) q(t) = qo(t) + qi(t), t > to, (3)

ß'(t)

qo (t) = K2 (t) + ß2(t) + К (t) -^K(t), t > to, (4)

1

K(t) =2

p(t) +

т

где qo(О, ql(t), К(£), р(£), [(О, Р(Ь) — - известные непрерывные функции на[^,ю), Р(£) >0 и К(Ь) > 0 при всех t ю), К (Ь) и @ (Ь) —производные функции соответственно К(£) и Р(£).

б) ехр^К^г}^), ^ Е Ьх ао, ю), при всех 5 > ^ „.

№ Г—-)

Подставляя (3) в (1) имеем

(5)

^ ( s Л

I ехр || K(T)dT|dT - M(S), M(S) e L1 (lo",

t

У" + P(t)y' + qo(t)y = f(t) - qi(t)y - | Q(t, s)y(s)ds, t > to. (6)

too

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №6/2016 ISSN 2410-700Х

Учитывая (2), (4), (5), и формулу (17) из работ [5] из (6) получим

где

1

у (t) = тУ1 (t) +-[К(ta)т + п]У2 (t) + Уз (0,

y1 (t) = ехр | — j K(s)ds > cos j ß(s)ds

) Ьо

ta

y2 (t) = exp\ — j K(s)ds ism j ß(s)ds

ta ) Ua

(7)

(8) (9)

t ( 1 Уз (t) = j exp\ — j К (У) dr \

ta

f W — 4i (^yis)

ß (s)

ß (s)

j Q (s,

t)y (t) dt

ta о

' t

sin j ß (t) dr

s

ds.

(Ю)

Подставляя (8), (9)и (10) на (7)и применяя формулу Дирихле, получим

у(t) = техр \ — j K(s)ds i cos

ta

1

ß~ta)

L f

Lia

+ ^^a)m + П]exp\ — j K(s)ds ism j ß(s)ds

ta ) Ua

ß(s)ds

+

+

+

ta V s

t ( t

ß (S)

f

ß(r)dr

ds —

— jexp\ — j

К (t) dT \

ta

41(s)

ß (s)

s

y(s) + — j Q(s, t)y(t)dt

X sin

L f

ta

ß (t) dz

X

ds.

Умножая уравнение (11) на ехр |f ^(s)dsj, вводя обозначения

F (t) = mcos

L

I

ta

ß(s)ds

1

+ Wto) [K^a)m + П]Sin

L

I

Lia

ß(s)ds

+

j exp\j K(r)dTif^sin

ta \ta

ß (S)

L

I

ß(r)dr

+

ds,

z(t) = y(t)ехр \ j K(s)ds i, t>ta.

<ta

и применяя формулу Дирихле, получаем

z (t) = F (0 + /fefsin

ta V

L

j ß (t) dr

+

(11)

(12) (1з)

t

t

s

1

t

t

s

s

s

s

s

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №6/2016 ISSN 2410-700Х

[ q(t,s) I Г ii + I ^ exp\ — I К(т) dr^in I ß(r)dr

dr\ z(s)ds.

(14)

Теорема. Пусть выполняются условия а) и б). Тогда решение у(£)задачи Коши (1)-(2) удовлетворяет следующую оценку[^, ю) и справедлива оценку

|*0|-С2 еХр\-1 KWs\,t е Ito. «

где

с2 = с1 ехр

I

<to

4i(s)

ß(s)

to

+ M(s)

ds j,

c1 = \m\ + ßi ^ \K(to)m + n\ + I exP | I K(r)dr j Доказательство.Учитывая (16) из (12) имеем

to

<to

f(s)

ß(s)

ds.

\F(t)\ - \m\ +

\ß(to )\

\K(to )m + n\ +

+

^xp^K^

to

to

f(s)

ß(s)

В силу (17), из (14) получим

\z(t)\<Ci +

L

I

to

4i(s)

ß(s)

+ M(s)

ds < c1, t e [to,«).

\z(s)\ds, t e [to,«).

Применяя неравенство Гронуолла-Беллмана, из(18) имеем

\z(t)\ < с1 ехр | I

<to

4i(s)

ß(s)

+ M(s)

ds \ < c2, t e [to,«).

(15)

16)

(17)

(18)

(19)

Учитывая (19), из (14) получим оценку (15). Теорема доказана. Следствие. Пусть выполняются условия а), б) и К(Ь) > к> 0 при всех Ье[Ьо, ю), к - постоянная. Тогда для решения задача Коши (1)-(2) справедлива следующая оценка

\у(1)\<С2ехр{—к (1 — 1о)}, 1>1о. Пример . Рассмотрим задачи (1)-(2), для = 0, р(£) = 0 при £е[0, ю),

4(0 = 40(0 + 41 (0, Ь е [0, ю), Чо(0 = —к2 + а2 ехр{4 к Ь}, К1ехр$2 кь] ^ехрЦКЦ

"1(° = 1 + М«0 ,т = « + Р1)К1 ,' > 0, Q(t, з) = а0 ехр{у(£ + 5)}, (Ь, з)в,

где к, а, а,0, К1,0, @0, Ръ У, К0, К - известные постоянные, к> 0, К0> 1, К1> 1, а > 0, >

0, р1 > 0, а0 Ф 0, у <к. В этом случае

K(t) = к, ß(t) = аехр[2 ext], t> o,

ß (t)

ß (t) = 2 к ß(t); =2 x,

ß(t)

qo (t) = К2 (t) + ß2(t) + К '(t)

ß (t) ß(t)

K(t) =

с

с

s

s

T

T

1

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №6/2016 ISSN 2410-700Х = к2 + a2 exp[4 Kt] — 2 к2 = — к2 + a2 exp [4 к t],

1

к (0 = 2

p(t) +

ß(t)

1

= - • 2 к = к, t> 0. 2

Ял (О Кл

-Щ = Т(' + М-*0 tLi[°.«0. expU КшЛщ = t + ßi)-*1 ELi (0,.

— f * Л

| Щ^)exp\ — | K(T)dr\dT e—a(a—v)s = M^e^(0,

Таким образом, в этом примере все условия следствия теоремы выполняются. Список использованной литературы:

1. Ведь Ю.А. О возмущениях линейных однородных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами //Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям в Киргизии.- Фрунзе: Илим, 1965.- Вып.3.-С.93-121.

2. Искандаров С. Об асимптотических свойствах первых производных решений линейных интегро-дифференциальных уравнений второго порядка типа Вольтерра //Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям .- Фрунзе: Илим, 1984.- Вып.17.- С.161-165.

3. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений.- М.: Мир, 1964.- 480 с.

4. Кигурадзе И.Т., Чантурия Т.А. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений.- М.: Наука, 1990.- 432 с.

5. AvytAsanov, M.HalukChelik and RuhidinAsanov. One Formula for Solution of the Linear Differential Equations of the Second Order with the Variable Coefficients //Global Journal of Pure and Applied Mathematics, 2012.- Volume 8, Number 3, pp. 321-328.

© Асанова К.А., 2016

s

УДК 001.98

Кулаков Владимир Геннадьевич

старший преподаватель института САИТ11 МГУТУ,

г. Москва, РФ. E-mail: [email protected]

О ПРЕДРАССУДКАХ КЛАССИЧЕСКОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

Аннотация

В данной статье на примере предрассудков, присутствующих в классической электродинамике, рассматривается проблема угрозы, которую представляет для науки информационный мусор.

Ключевые слова Информационный мусор. Предрассудок. Электродинамика.

1. Введение

Информационный мусор, подобно бытовым и промышленным отходам, имеет много разновидностей