О принадлежности решений систем линейных интегральных уравнений Вольтера-Стилтьеса к пространству Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.968

Ж. О. Толубаев

ст. преподаватель, кафедра «Высшая математика», Сулюктинский гуманитарно-экономический институт, Баткенский государственный университет,

Киргизия

О ПРИНАДЛЕЖНОСТИ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРА-СТИЛТЬЕСА К ПРОСТРАНСТВУ [/„,«>)

Аннотация. В этой работе на основе понятия производной по возрастающей функции и методом неотрицательных квадратичных форм установлены достаточные условия принадлежности решений систем линейных интегральных уравнений Вольтера-Стилтьеса второго рода в пространстве lln [t0,¥).

Ключевые слова: производная по возрастающей функции, непрерывная матричная функция, вектор-функция, пространство n x n-мерных непрерывных матричных функций.

Zh.O. Tolubaev, Batken State University, Kyrgyzstan

ACCESSORIES SOLVING SYSTEMS OF LINEAR VOLTERRA INTEGRAL EQUATIONS TO SPACE-

STIELTJES L\a [fo, ¥)

Abstract. In this paper, based on the concept of derivative of an increasing function and the method of transformation equations established sufficient conditions for the solutions of linear Volterra integral equations of the second kind-Stieltjes in space L2ng [f0,~).

Keywords: derivative with respect to increasing function, the continuous matrix function, the vector-function, space n x n-dimensional continuous matrix functions.

В настоящее время при исследовании многих прикладных задач в различных областях широко применяется интегро-дифференциальные модели: в теории вязкой упругости, термодинамической теории смазки, при изучении вязкоупругих колебаний различных систем и конструкций, механике полимерных материалов, в ядерной физике, математической теории биологических популяций и других отраслях науки.

Исследования различных физических явлений приводит к изучению интегро-дифференциальных уравнений. Например, в работах В. Вольтерра показано, что к интегро-дифференциальным уравнениям приводит задача о равновесии упругого твердого тела с учетом явления последействия.

Определение более широких условий для систем линейных интегральных уравнений Вольтера-Стилтьеса с применением производных по возрастающей функции, при которых возможна ограниченность и принадлежность решений к пространству составляет актуальность данной работы.

Рассмотрим систему линейных интегральных уравнений типа Вольтера-Стилтьеса

f

x(t) + JK(ft)x(t)dg(t) = f (t), t > fo, (1)

fo

где интеграл является интегралом Стилтьеса, K(ft) - n x n-мерная симметричная непрерывная матричная функция, т.е. KT (tt) = K (ft) при всех (tt)e G , G = {(ft) e R2: f0 <t< t <¥}, f(x) - заданная непрерывная n-мерная векторная функция, g(t) - заданная строго возрастающая и непрерывная функция на [f0,¥ , x(t) - искомая n-мерная векторная функция.

Вопросы единственности, ограниченности и принадлежности решения к пространству квадратично-суммируемых вектор-функций для систем линейных интегро-дифференциальных уравне-

ний типа Вольтерра методом преобразований уравнений исследованы в работах [1-2; 4-8].

Здесь методом неотрицательных квадратичных форм установлены достаточные условия принадлежности решений систем уравнений (1) в пространстве 1?пд [»0,¥.

Введем обозначения: Сп [»;¥ - пространство п-мерных непрерывных вектор функций с элементами из С [а,Ь] и Спп (С) - пространство п х п-мерных матричных функций с элементами из С (С).

Для любых х = (х1,х2,...,хп), у = (у1,у2,...,уп)е Яп определим скалярные произведения

п

(х,У) = Xх-,У,, норма К^,т) - п х п-мерной симметричной матричной функции определяется

I=1

п п

следующим равенством ||К(»,г)|| = XXК , а норма п-мерных векторных функций

I=1 у=1

п

х(») = (х1 (»),х2 (»),...,хп (»)) определяется следующим равенством ||х(»)|| = Х|х, (»)|. Через

I=1

[»0,¥) обозначим пространство всех п-мерных вектор-функций х(») = (х1 (»),х2 (»),...,хп (»)) удовлетворяющих условию

|| |х (()| |2^д (()<¥. (2)

»0

Ниже приведем определение и теорему из [3], которые будем использовать в данной работе. Пусть функции f (х) и g (х) определены на интервале (а,Ь). Будем предполагать, что

функция g (х) - строго возрастающая непрерывная функция на интервале (a,b). Возьмем точку х е (a,b). Зададим х приращение Д( х) ф 0, тогда функции f (х) и g (х) получат приращения Df (х) = f (х + Дх)-f (х) и Дд (х) = g (х + Дх)-g (х).

Определение. Производной по g(х) функции f (х) в точке хе (a,b) называется предел отношения приращения функции Df(х) к приращению функции Dg(х) при стремлении приращения аргумента Дх к нулю (если этот предел существует)

f': ) (х) = Щ = lim f4 = lim f (х+Дх)-f (х >.

g( х)Ч y dg (х) Дх®0 Дg (х) Д*®° g (х + Дх)- g (х)

ТЕОРЕМА 1. Пусть f (х) - непрерывная функция на сегменте [a;b] и

х

Р(х) = j f (t)dg(t), х е [a;b],

a

тогда

г

Fk») (х) = (jf (t)dg (t) | = f (х), х e[a; b],

Va Л(х)

где

, . .. F(a + Дх) - F(a) , .. F(b + Дх) - F(b)

Fg ( , (a) = lim —---—, F .,(b) = lim —---—.

g(х) w Дх®°+ g(a + Дх)-g(a) g(х) Д*®°- g(b + Дх)- g(b)

Доказательство. По определению производной по g^) имеем

( x+Ax

F^(x) = A|irri f(x) J dg(t)- J (f(x)-f(t))dg(t) /[g(x + Ax)-g(x)] = f(x)-Hrny(x,Ax),

где

y(x,Ax) = I J (f(x) - f(t))dg (t) / [g(x + Ax) - g(x)].

V x у

Отсюда, учитывая, что g(x) - возрастающая функция на [a;b], получим

|y(x,Ax)| <

w

f MV

(Ax) I J dg (t)

/ [g( x + Ax) - g(x)] = Wf (x) (Ax),

где wf(t) (| Ax|) - модуль непрерывности функции f (x), т.е.

W(X)(S) = sup f(x) - f(t) .

^ ' |i-x|<S

Известно, что lim«f(v)(S) = 0.

Sr0 '(x) v '

Поэтому lim |y(x, Ax) < lim w( ) (|Ax|) = 0.

AxrO1 1 Axr0 '(x) u

Аналогично доказываются другие случаи.

Следовательно, Fg{x) (x) = f (x). Теорема 1 доказана.

ЗАДАЧА. В данной работе рассматриваются и исследуются методом преобразований уравнений достаточные условия принадлежности к пространству L2ng [t0,¥ решения систем линейного интегрального уравнения (1) типа Вольтера-Стилтьеса.

ТЕОРЕМА 2. Пусть для систем линейного интегрального уравнения (1) выполняются следующие условия:

1) kmMI, k(.)Mi, kW)(t,s)bс (G),

где

, , , к и+ Д/,в)-К (Ы , К и,в+ Ав)-К и,в)

2) для любого и = (и1,и2,...,ип)е № справедливы следующие неравенства:

a) (К (/,/„) и,и) > 0 и (кдт(^0) и,и) < 0 при t е [/0,~);

b) (к'д{т)(^т)ии) > 0 и ()К"дШт)(^т)ии) < 0 при (^)е 6. Тогда для любого х(t)е 13п [4,¥) справедливо

t, 1

к (,т) х (т), х (в) ^д (т) dg (, ) = -(к (t>t0) 2 (t>t0), 2 (t>t0 ))-

2

1 '

-1К кд (,)(,^0) 2(5Л), dg (,) +

2 »0

А I I 5

+1К кдм(!,т) 2 (,,т), 2 (,,т)) dg (т)--к "д (т)д(,)(5,т) 2 (в,т), 2 (з,т)) dg (т) dg (в),

2 I 2 t I

'0 '0 '0

в

2(5, т) = / х(т)dg(т).

т

Доказательство. В силу теоремы 1 из (4) имеем

(3)

(4)

x

x

x

zg М(5,Т) = - х(0, (5)

и

zg ^г) = х^). (6)

Для упрощения двойного интеграла в уравнении (3), применяем следующие равенства и формулы нахождения производных скалярного произведения функций

/

(ы с ^ с)>g(t )=)(» с ))+^к ((#)),

тогда

э

— (КМz(*г),х^)) = (К'дw(s,t)z(*г),х(s)) + (к(*г)zg(^г),х^)), (*г)е О,

где z(s,т) - определяется по формуле (4).

Из последнего равенства следует, что

(К м zg ^г), х (s ^^ (К М Z (s,t), х ^ ))-( К^г) z (*г), х (s)). (7)

Далее учитывая Кт (»,г) = К(»,г), имеем ^ ( К М z (s,т), z (= [К М z М], z (Ц +

+(К м z (г эgэ(s)z (*г))=

= К Z (*г), z (^г)^ (К (*г) zg ^г), z (^г)^ (К (*г) z (*г), zg ^г)^

= К Z М, z (*г)) + 2(К (s,т) z (г zg(s)( *г)). Отсюда, получим

(КМz(s,t),zg(,М) = 1 эgЭs) (К(^z(s,t),ZМ)-

-кg(s)(s,t)Z(гz(*г)),(s,t)е С. Интегрируя (7) по ге (»о^), получим

s s "Ч

К К (s,т) z'giт)(s,т), х ^)) dg (г) = | щг (К (s,т) z (s,т), х (s)) dg (т)-

s

-К К'д (т)М z (s,т), х (s)) dg (т) =

»0

s

=(К(s,т)z(s,т),х^))[ -Кg(т)(s,т)z(*г),х(s))dg(г) = -(К(s,tо)z(s,tо),х(s))-

»0

s

- К^мМ z (^ х (s)) ф (г^ s е[»0,¥).

»0

В силу (5), из последного равенства следует, что

(8)

о о

КМх(г),х^))dg(т) = (К(s,tо)z(s,tо),х^)) + кg(т)(s,т)z(s,т),хф)dg(г), sе^,-). Отсюда, интегрируя последнее равенство от »0 до », получим

» s

I |(К(s,т)х(г),х(s))dg(г)dg^) = | (К(s,tо)z(s,tо),х(s))dg^) +

(9)

» s

+1 К К мМ z (^ х (s)) ^ (г)ф (s).

»0

Применяя формулы (6),(8) и обобщенную формулу Дирихле [3] к двойному интегралу в (9) и метод интегрирования по частям, имеем

11(К^гМг),х^))dg(т)dg(s) = | (К(s,tо)z(s,tо),zg(s)(s,tо))dg(s) +

»1 » d

+11 (к'g{т)(s,т)z(s,т),z'g (s)(s,т)) dg(т)dg(s) = ^ | —г (K(s,tо)z(s,tо),z(s,tо)) dg (s)-

»о »0 »0 ^ '

-11 (кg (s)(s,tо)z(s,tо), ^0)) dg (s) + II (кg{т)(s,т)z(s,т), z'gla)(s,т)) dg(т)dg(s) =

2 » » »

'о 'о 'о

1 1 »

= К (»,»0) Z (»,»0), z (»,»0 ))-^ _[( K'g{s)(s,tо)z(s,tо), z(s,tо)) dg (s) +

»о

+111 К (г) (s,т)z(s,т),z (s,т)) dg(г)dg(s) - ± 11 К^) (s, т)z(s, г), z(s, г)) dg(г)dg(s):

»0 »о ^ ' »о »0

1 1 »

= К ) z (»,»0), z (»,»0 ))-^ _[( K,g{s)(s,t0)z(s,t0), z(s,t0)) dg (s) +

»о

+2111 ^ к (г) (s, т)z(s, г), z(s, г)) dg(s)dg(т) - 1 11 (к^ (^ т)z(s, г), z(s, г)) dg(г)dg(s) =

2(г dg^ ■ ■ " 4 ' ч 2

г

2 \ V"'/ ~ '/ '~ V"'// 2

г

1 1 » = К (»,»0) z (»,»0 ),z (»,»0 ))-1К K,g{s)(s,t0)z(s,t0), z(s,t0)) dg (s) +

»о

+ 1 I (К(г) (», т)z(t,т), z(t, г)^ (г) - 1 I I (К^ (s, т)z(s, г), z(s, г)) dg(т)dg(s).

2 » 2 » »

Теорема 2 доказана.

випппиа1Лтга х/гчпгшма топпом 1_1 О м ^/7)е [tо

ТЕОРЕМА 3. Пусть выполняются условия теоремы 2 и ¥ )е /Зпд то система ли-

нейных интегральных уравнений (1) имеет единственное решение х(») в пространстве /}пд и справедлива оценка

I |х (»)| |2dg (»)£ || |¥ (»)| fdg (»).

»о

Доказательство. Из теоремы 2 имеем

II |х (s 12dg ^ )£ !К f (s), х (s)) ^ ^).

Применяя неравенства Коши-Буняковского для интегралов к последнему интегралу в правой части неравенства, получим

1 1

(I \ (I \ 2 ( I \ 2

ц2

х (s) dg(s)

¥ (s )| |2dg(s)

||х (s )| I2 dg(s)

г s

0

0

0

Отсюда имеем || |х )| )< || ^ (t )| (t). Теорема 3 доказана.

Пример. Рассмотрим систему линейных интегральных уравнений типа Вольтера-

Стилтьеса (1) при п = 2, = 0, д(t) = 41 и к(^в) =

а.

Л+Г"1 Л+1

л+1+Я12 ^+1+Я2:

т.е.

а1 я п Ь12 л/,

х ^ ) + /

Л

114 +я 12 + Я

^ +1 +Я11 ^ +1 +Я12

+Я +Я

Л + 1 +Я12 Л + 1 +Я22,

х(в)dg(в) = ^(t), t > 0,

(10)

где а11,а12,а22,Р11,Р12,Р22 - произвольные постоянные, а12 = ^аиа22 ,а11 > 0,а22 > 0, Я12 = ^]Я11Я22, Я11 > 0,Я22 > 0. Тогда выполняются все условие теоремы 3. Поэтому решение данной системы линейных интегральных уравнений типа Вольтера-Стилтьеса (10) принадлежит пространству

¿2п,д [И.

Проверим выполнение условий теоремы:

к(!,0) = ГЯ Я12 1 кд(t^) =

^ ' Я Я J, д(t)1, }

К^в ) =

^ а11 а12 ^ <Л+1 <Л+1

2 а22

Л/? +112 V! +1;

а^ Ь1245

(Л+1)2 (л+1)

ь1245 ь2275

к+1)! (*+1)

г а11

, к'д(,)^,0) =

^"д^)д(в) (t,S) =

а-

00 0 0

(^+1)2 (Я+1)2

а

(Л+1)2 (V?+1)2

1. )14 )| л к:шЛт)\\е с (в).

д(в)

д^)д(в) <

2. Для любого и = (и1,и2 )е Я2:

Я11 Д 2 || и1

Я12 Я22 /Vи2/

а) (к(t,0)и,и) = {|^

|,и ) = •2

(Р11Щ +Я12и2 У и.

Аи1 + Я22и:

V и2

= Яци12 + 0^2 +

+Я12и1и2 + Я22и22 = ( +4Ки2 ) > 0,

при Я12 =л/ЯХ к(t,0)и, и) > 0, t е^,-);

Ь) (кдт^,0)и, и) =

. 0 0

(и ^

V и2;

,и =

1 I = 0 кд{1 ^,0) и,и) = 0,

при t е [t0,¥);

0

2

2

с) (^)ии) =

а,.

«12

-Л+1 Л+1

Л+1 Л+1

(„ \

V и2 У

,и =

а11

и +-

а12

V/ +1 1 ^+1

а

и +-

а

(и1 ^

V и2 У

^^^ ^ 2 ^^^ О ^^^ О «^ОО 2

-и, + ,-12 и,щ + ,-12 и,щ + 22 и,, = -

^+Г1 ' ^+Г1"2' ^+Г1"2' ^+12 ^+1

л/7+1 1 +1 1

=—(а11и12 + 2а12и1и2 +а22и22) =

= («^ )2 - 0, при «12 =^/««22 кg(s)(t,s)и,и\ - 0 при »е[»0,~);

d) К»)g(s)(t,s) ии) =

а.

а11 а12

(Л+1)2 И+1)

а12 а22

К +1)2 И+1)

V и2

,и =

а

(^ +1)2 1 (Л +1)2 2

а

(Л +1)2 1 (Л +1)

22

а11 и 2 -_ а12

^л/? +1)2 1 (Л +1)2 ' 2 (Л + 1)

и,щ --

а

2 "1"2

'2 У

и,щ -

,2 "1"2

22 2 22 и = --

1 1 _ 2

. ._ ,2"2 " . ._-72 (а11и12 + 2а12и1и2 +а22и22 ) = - —-Т2 (Т«^ +а2и2 )£ 0,

(^ + 1) (Л + 1) (Л + 1)

пРи а12 =^а11а22 ^Kg,(t)g(s)(t,S) и,и) £ 0 пРи * е[»0,¥).

В данной работе получены с помощью понятия производной по возрастающей функции и методом преобразований уравнений достаточные условия принадлежности к пространству /Зп [»0,¥) решения систем линейного интегрального уравнения (1) типа Вольтера-Стилтьеса.

Полученные результаты позволяют использовать для исследования систем интегральных, интегро-дифференциальных уравнений Вольтера-Стилтьеса высоких порядков и при качественном исследовании некоторых процессов из биологии, экологии, экономики, механики, теории управления сложными системами.

2

и

и

Список литературы:

1. Ведь Ю.А., Искандаров С. О единственности решения системы линейных интегральных уравнений типа Вольтерра первого рода на полуоси // Известие АН Киргизской ССР. -Фрунзе: Илим, 1986. - Вып № 5. - С. 14-18.

2. Асанов А. Об одном классе систем линейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода на полуоси // Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям. - Фрунзе: Илим, 1985.

- Вып.18. - С. 17-20.

3. Асанов А. Производная функции по возрастающей функции // Табигый илимдер журналы. Кыргызско-турецкий университет Манаса. - Бишкек: 2001. - С. 18-64.

4. Искандаров С. Об одном признаке ограниченности решений линейных интегро-дифференциальных уравнений второго порядка типа Вольтера // Известие АН Киргизской ССР.

- Фрунзе: Илим, 1978. - Вып 3. - С. 30-33.

5. Искандаров С. Об ограниченности решений линейных интегро-дифференциальных уравнений первого порядка типа Вольтерра, неразрешенных относительно призводной // Ис-

след. по интегро-дифференц. уравнениям. - Фрунзе: Илим, 1980. - Вып.13. - С. 185-192.

6. Винокуров В.Р. Асимптотические поведение решений одного класса интегро-дифференциальных уравнений Вольтера // Дифференциальные уравнения. - 1967. - Т. 3, № 10. - С. 1732-1744.

7. Цалюк З.Б. Замечание по поводу метода Ляпунова для интегро-дифференциальных уравнений // Математический анализ. - Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1978. - С. 103-107.

8. Цалюк З.Б., Шамсутдинов М.М. Об ограниченности решеий одного класса нелинейных уравнений Вольтера // Математический анализ. - Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1971. -С. 63-71.

9. Асанов А. Система интегральных уравнений Вольтера-Стилтьеса // Табигый илим-дер журналы Кыргызско-турецкий университети Манаса. - Бишкек: 2003. - С. 65-78.