Об одном классе систем линейных интегро-дифференциальных уравнений второго порядка Вольтера-Стилтьеса на полуоси Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.968

Ж. О. Толубаев

ст. преподаватель, кафедра «Высшей математики», Сулюктинский гуманитарно-экономический институт, Баткенский государственный университет,

Киргизия

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА ВОЛЬТЕРА-СТИЛТЬЕСА НА ПОЛУОСИ

Аннотация. В этой работе на основе понятия производной по возрастающей функции и методом преобразований уравнений установлены достаточные условия принадлежности решений систем линейных интегро-дифференциальных уравнений второго порядка Вольтера-Стилтьеса к пространству l2ng [t0,~).

Ключевые слова: производная по возрастающей функции, непрерывная матричная функция, вектор-функция, пространство непрерывных матричных функций.

Zh.O. Tolubaev, Batken State University, Kyrgyzstan

A CLASS OF SYSTEMS OF LINEAR INTEGRODIFFERENTIAL EQUATIONS OF SECOND ORDER

VOLTERRA-STIELTJES ON THE HALF

Abstract. In this paper, based on the notion of derivative of an increasing function and the method of transformation equations established sufficient conditions for the solution of linear integro-differential equations of second order Volterra-Stieltjes to the space l3ng[t0,¥).

Keywords: derivative with respect to increasing function, the continuous matrix function, vector function, space of continuous matrix functions.

В настоящее время при исследовании многих прикладных задач в различных областях широко применяется интегро-дифференциальные модели: в теории вязкой упругости, термодинамической теории смазки, при изучении вязкоупругих колебаний различных систем и конструкций, механике полимерных материалов, в ядерной физике, математической теории биологических популяций и других отраслях науки.

Исследования различных физических явлений приводит к изучению интегро-дифференциальных уравнений. Например, в работах В. Вольтерра показано, что к интегро-дифференциальным уравнениям приводит задача о равновесии упругого твердого тела с учетом явления последействия.

Выше приведенные примеры применений интегро-дифференциальных уравнений позволяют утверждать, что изучение интегро-дифференциальных уравнений имеет актуальное значение.

Определение более широких условий для систем линейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтера-Стилтьеса с применением производных по возрастающей функции составляет актуальность данной работы.

Рассмотрим систему линейных интегро-дифференциальных уравнений второго порядка типа Вольтера-Стилтьеса

t

x'"(t) + A(t)x'(t) + B(t)x(t) + jK(t,T)x'(t)dg(t) = f (t), t > to, (1)

to

x(to ) = c, x'(to ) = Xi, (2)

где интеграл является интегралом Стилтьеса, C = (c1,c2, ...,cn )T e R", K(t,t) - n x п-мерная симметричная непрерывная матричная функция, т.е. KT (t,t) = K(t,t), где G = {(t,t)e R2: t0 <т< t <¥}, a (t ),B (t) - n x n-мерные симметричные непрерывные матричные функции, x (t)

- п-мерная векторная функция, f(») - заданная непрерывная п-мерная векторная функция, д(») - заданная возрастающая непрерывная функция на [»0,¥, х(») - п-мерная искомая векторная функция.

Здесь х'(»), х"^) определятся следующими равенствами

с^ М) = д (,) М)

бд(») б^ бд(»)

х-(») =

'СХ2д-(0+см Ш)

бд2 (()д{> бд (() {д{>>д(<)

Все фигурирующие векторные, матричные функции являются непрерывными и соотношения имеют место для всех t >»0 и t >т> t0.

Вопросы единственности, ограниченности и принадлежности решений, квадратично-суммируемых вектор-функций для систем линейных интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра методом преобразований уравнений исследованы в работах [1-9].

Введем обозначения: Сп [»0;¥) - пространство п-мерных непрерывных вектор функций с

элементами из С[»0,¥ и Спп (О) - пространство п х п-мерных непрерывных матричных функций с элементами из С (О). Через 1?пд [»0,¥) обозначим пространство всех п-мерных вектор-функций х(») = {х1 (»),х2 (»),...,хп (»)} удовлетворяющих условию

|| |х (t )| 2бд (» )<¥.

»0

Для любых х(л) = {х1 (л),х2 Ы^..хп (л)}}, У (#) = {/1 (^У2 (x),...,Уп (Х)}Т е Сп [»о,¥) ска-

п

лярные произведения определяются следующим равенством ^х(л),у (X)) = Xх, (п)У, (X), норма

/=1

А(t) - п х п-мерной симметричной матричной функции определяется следующим равенством

п п }

||А(»)|| = XXК (») , а норма п-мерных векторных функций х(») = {х1 (t),х2 (»),...,хп (»)} опреде-

/=1 у=1

1 2 ^ 2

ляется следующим равенством

||х (t )|=Гхх|х/ (t)

V /=1

ЗАДАЧА. В данной работе рассматривается и исследуется методом преобразований уравнений достаточные условия принадлежности решений в 1}п [»0,¥ систем линейных интег-

ро-дифференциальных уравнений второго порядка (1) типа Вольтера-Стилтьеса.

ТЕОРЕМА. Пусть для систем линейного интегро-дифференциального уравнения второго порядка (1) выполняются следующие условия:

1) д'(0> 0 для всех t е^^ (д'(0) д((), ||А (0|| и \\в (0|| , [В (t)] д{1) функции на [»0,¥), А*(») = А) и В*(») = В) при всех »е[»0,

2) К(«)||, К(.)(*«)||, \К)д)|е С(О),

- непрерывные

, , , К и + А,в)-К и,в) , К и,в + А) - К и,в)

где К',М,в ) = Ит——Ц--^А К' .Жв ) = Пт^--

м > А®0 д(/ + а)-д(^ 9(в)К ' А®0 д(в + А)-д(в)

3) пусть для любых х = (х1,х2,...,хп)е выполняются следующие неравенства:

а) (К(^)х,х) > 0,/|"А(0-1 (9(0)' Еп

х, х) >а||х|| , (в ^) х, х) > 0,

х,х\ <0 и К^^)х,х) <0 при всех tе[/0,

9 ^)] 9 (()в (t) + 9 (t) в9 с)(t)

где ае а> 0, Еп - п х п-мерная единичная матрица;

Ь) К м(',г) х, х) > 0 и (к^^г) х, х) < 0 для всех (^г)е 6 = {(',г): <г< t <-};

4) Г^)|е ¡-2йа IV).

Тогда решение системы линейных интегро-дифференциальных уравнений второго порядка (1) принадлежит к пространству 1?пд ^0,¥) и справедлива оценка

'(в )||2 ад (в )<а-е\\\\г (в )||2 ад (в)+!(9 ^) х1, +!(д (^) в (tо) с,с '0 1^0 )

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Применяя метод преобразования уравнений рассмотренных в работе [9] и скалярно умножая уравнения (1) на х'^) и затем, интегрируя от t0 до t по Стильтесу получаем:

х"(в), х' (в)) ад (в) +1( А (в) х' (в), х' (в) )ад (в) + ¡( В (в) х (в), х' (в) )ад (в)-

г в г

+| К К (в, г) х' (г), х' (в) )ад (г) ад (в) = ^ (в), х' (в) )ад (в).

>0 >0 К

Далее подставляя значение х' (t), х"(' ) в соотношения (3) получим

К

(3)

а2 х(в) ах(в)г '

. 2 д (в|д (в)]

ад2(в) 4 ад(в)1 'л

д (в)

д (в (в) Щ а (в)+

КА (в)д (в) •д (в) Ш> }в (3)+Кв (в)х (в )'9' (5) £м Ь (в)+

'0

I в

К (в, г) х' (г), х' (в) )ад (г) ад (в ) = ¡( Г (в), х' (в) )ад (в).

Тогда из последнего соотношения имеем

КШ) [* (в )]3. ЦЦ )* (в)+К [д (в )]2 д (в)]' м , Щ ад (в).

|(А (в) [д (в)]2 • Ив) Уд (в)+Ь (в)В (в) х (в ),|М и (в)+

(4)

'0 t в

+Л К (в,г) х(г), х'(в))ад (г) ад (в) = | ^ (в),х'(в))Од (в).

Для первого интеграла в левой части соотношения (4) применяем следующее тождество

1.1

и t

т.е.

т.е.

/

д (• )]3 ) И!)=(3 [д(• )]2 [д (• я. и • бШУ

/г -,3 б2х(и) бх(5)\ /г -.3 бх(и) б2х(5)\

+ [д (5)] т^,^)+([д (5)]

[д (и)]

бд2 (5)' бд (и)

3 б2х (5) бх(5 )\ = 1 бд2 (5)' бд (5 у" 2

бд (5)' бд2 (5)/'

[д (5)]

бх (5) бх (5 бд(в), бд(в),

д (5)

- 3/[д (5 )]2 [д (5)! СхМ, .

^[д1 )] [д1 )] д(5) бд(5) , бд(5)/

Тогда

бд (5)' бд (5)

(5 )-

д (5)

' [/[д(5)]2 [д-(5^,б^5\бд (5) = 1/[д(5)]3 б^5 ,СхМ^

;П[д1 )] [д1 )]д(5) бд(5),бд(5)Г[ 1 2\1д[ бд(з),бд(з),

К [д (5 )]2 [д (5)]' д (5) , д (5 )=1< д (») х (»^ х (»1< д ^ ) х1,

!([д (5 )]2 [д (5 Я д (5) Ц), д (5).

Из последнего соотношения получим " х(5) бх(5)

Д [д' (5 )]3 б^ • бЩ г (5 )=1< д«) с )•*«»-1< д) *

|([д-(5)]2 [д(5)]'*) ^,б^д(5).

(5)

Для четвертого интеграла в левой части соотношения (4) применяем следующее тождество

Кд(5)в(5) х(5),х(5)))'д(<)=([д'(5)]д(5) В(5)х(5),х(5+ (д'(5)Вд^5)х(5),х(5)) +

+ ( д (5 ) В (5 ) Ц х (5 )) + ( д (5 ) В (5 ) х (5 ), Ц)),

{д(5) В (5) х(5^ббg(з)) = 1Кд (5) В (5) х(5^ х(5)))' ^ 1([д(5)] дм В (5) х(5), х(5)}-

- д' (5 ) В'д (5)(5 ) х (5 ), х ( 5 )).

Тогда

(5 ) В (5 ) х (5 ), бд (5 ) = 11 (( д (5 ) В (5 ) х (5 ) , х (5 }))' д (<) бд (5 )-

о \

5=»

э=г

т.е.

-11( [д' (в)]' д (в) В (в) х (в), х (в )) ад (в)-1 |(д' (в) вд (в)(в) х (в), х (в)) ад (в ) =

= 1( д' (в) В (в) х (в), х (в)) £

- 1 1( {[д (в)]' д (в) в (в)+д' (в) вд (в)(в)} х (в), х (в )\ад (в ) = 1(д (t) в (t) х (t), х (t ))-

- 1( д' ('о ) в ('о ) С, с) -1К |[д' (в)]' д (в) в (в)+д (в) % (в)(в )} х (в), х (в )\ад (в).

2^ 2} \Д[а д (в)

Из последнего соотношения получим

^ ах (в)'

)х (в ад (в ) = - (д- (t) в (t) х (t), х

Дд' (в) в (в) х (в), ад (в ) = !(д' (t) в (t) х ^), х (t))-1(д' (tо) в (tо) с,с

1М [д(в)]'д(в) в(в) + д'(в) вд(в) (в)} х(в), х(в)\ ад (в).

2

Учитывая (5) и (6) из (4) имеем

1( д (t) х' ((), х (t))-1( д ((,) х,. щ) - 2 К [д (в )]2 [д (в)]' д (,) , )* (')+

+¡( [д '(в )]2 [д '(в Яд, • (в)+|(а (в) [д -(. )]2 , (в)+

+ ,(g,(t) в С ) х (t), х ^ ))-,(д'^) в (tо) с, с) -1 д'(в)] д(в) в (в)+д'(в) вд(в)(в )1 х (в), х (в}) ад (в)-

2 ? Ц 1 -'д(в)

'о ' ' в '

+Л (К (в,г) х'(г), х (в)) ад (г) ад (в) = Г (в), х'(в )) ад (в),

!(д (')х ('), х' (')) +}([А (в)-1 [д (в)]' д (в) ]д (в )]2 |М, Щ) ад (в) +

+1( д'(') в (') х ('), х ('))-1 ^ {[д '(в )]'д (в) в (в) + д '(в) вд (в) (в)} х (в), х (в) ^д (в)-

г в г

+К (в, г) х'(г), х '(в) )ад (г) ад (в ) = ^ (в), х '(в) )ад (в) +

(6)

(7)

11

+1( д '('о) х„ х^ +1( д '('о) в ('о) с,с).

Для вычисления двойного интеграла в соотношении (7) применяем следующие равенства и формулы нахождения производных скалярного произведения векторных функций

/

^ с ^ с»д с )=К)(t ^ (t ))+(«с к с )С )),

1. ддг(т) К (в,г)2 (в,г), х' (в )) = (кд м(в,г) г (в,г), х' (в)) + + (К(в,г)zg(т)(в,т),х'(в)), (в,г)е б.

) Zg(т)(в,T), х (в)/, (в,г)е

Из последнего тождества следует, что

и t

К(в,г) 1'д{т)(8,т),х'(8= КМгМ,х (5))-{К'д(т)(5,т)г(5,г),х'(8}), (8)

где г(5,г) определяется по следующей формуле

г(5,г) = | х ' ($ )бд(»). (9)

г

Из (9) и теоремы из [10] следует

гд (г,(5,г) = - х (г), (10)

гд ,5,(5, г) = х' (5). (11)

2. Далее учитывая, К} (>,г) = К(г, г) имеем

Э '" 5,г)г(5,г),г(8,г)) = (—К (5,г)г(5,г) I,г(5,г)) +

эд (5)

К (5, г) г (5, г), г М)^^ [К (5, г) г (5, г)], г (Ц

+(К (5г) г (5г), эдмг (5,г7=

= К (5)(5,г) г (5,г) ,г (5,г)) + К (5,г) гд ^г), г (5,г)) + ( К (5,г) г (5,г) ,гд {з)(5,г)) = = К (5)(5,г) г (5,г) ,г (5,г)) + 2( К (5,г) г (5,г), х'(5 )). Отсюда, получим

(К (5,г) г (5,г), х'(5 )) = 1 ^ К (5,г) г (5,г) ,г (*,г))-

-1{Кд{5)(5,г)г(5,г),г(ег)), (5,»)е С. Далее учитывая (10) имеем

5 5 3

К К (5,г) гд (г)(5,г), х'(5 )) бд (г) = | К (5, г) г (а, г), х'(5)) бд (г)--IК м(5,г) г (5,г), х(5)) бд (г) =

= 5

= (К (5,г) г (5,г) , х'(5 )Ц - К К'д (г)( 5,г) г ( 5,г), х'(5 )) бд {г) = -(К (5,>0 ) г (^ ), х'(5)).

>0

- ККдМ(5,г) г (5,г), х'(5)) бд (г), 5 е -). В силу (9) и (10) из последнего равенства следует, что

5

К К (г (г), х'(5)) бд (г) = (К (5,»0) г ), х '(5)) +

>0

5

+ККд(г)(5,г)г(гх'(5})бд(г) 5е [to,-).

Отсюда интегрируя от >0 до > получим

> 5 >

II (К (5,г) V (г), х'(5 )) бд (г) бд (5 ) = | (К ) г (^ ), х'( 5) )бд (5) +

г 5

+Ш Кд г)(5,г) г (5,г), х' (5) )бд (г)бд (5).

(12)

(13)

Применяя формулы (9), (11), (12) и обобщенную формулу Дирихле [10] из (13) имеем

t в t

Л (К (в,г)х ' (г), х' (в)) ад(г)ад (в) =[( К (в,tо)z(в,tо), гд (в,(вЛ))ад(в) +

'о 'О 'О

t в

+| | (кдм(в, г)г(в, г), гд(в, (в, г)) ад(г)ад(в) =

'о 'О

1 'а 1 '

=11 (к (в,'о)г(в,'о), г(в,у) ад (в)-11 (кд,в,(в,'о)г(в,'о),г(в,д) ад (в)-

' в

+| | (кдм(в, г)г(в, г), г9(в) (в, г)) адг)ад(в) =

'о 'о

1 1 '

= -( К (Но ) г (','о) (','о ))-1 (К9(в)(в,'о)г(в,'о), г(в,у) ад (в)-

1 ' в а 1 ' в, ,

+ 111 ^ТГ (К9(г) (в, г)г(в, г), г (в, г)) ад(г)ад(в) - -1Д К'д(т)д (в) (в, г)г(в, г), г(в, г)) ад(г)ад(в):

2 ' ' адVв/ 2' '

'о 'о 4 ' 'о 'о

1 1 '

= -( К (','о) г (','о) (','о ))-^ | (К' (в)(в,'о)г(в,'о), г(в,'о)) ад (в) +

'о

" а <'в

+1117ГП(К'(г)(в,г)г(в,г),г(в,г))ад(в)ад(г) -1 11(кд(т)д(в)(в,г)г(в,г),г(в,г)}ад(г)ад(в):

2 ' ' ад (в / 2 ' '

'о 'о * ' 'о 'о

1 1 '

= -(К (','о) г (','о) (','о ))--1 (К9(в)(в,'о)г(в,'о), г(в,у) ад (в) +

+11 (К'дг (', г)г(', г), г)Од (г) -111 (Кд'(т)д(в) (в, г)г(в, г), г(в, г)} ад(г)ад(в).

2 ' 2 ' '

Учитывая (14) из (7) соотношения получим

1( д' (') х' ('), х' (' )) +1( д' (') в (') х ('), х (' )) +

(14)

+

1([ А (в)-1 [д ■( в)]' д (в) ][д. (в )]2 Щ. Щ 0 (в)-

1К { [Г (в)]'д(в) в (в)+Г (в) вд(в) (в)| х (в), х (в^ад (в)+

!( К (','о ) г (','о ), г (','о ))-11(К9 (в)( в,'о ) г ( в,'о ), г (в,'о }) а9 (в ) +

2 2 'о

11 {К'дг)г(',г),г)>ад(г) - 2 11(кд(г)д(в)(в,г)г(в,г),г(в,г)} ад(г)ад(в):

(15)

+ 2 ЛКд(т)(t,т)z(t,т),, 2

' 1 1

= 1 (Г (в), х (в) )ад (в) + 1( д' ('о) х„ х^ + 1( д ('о) в ('о) с,с).

'о 2 2

Для вычисления интеграла в правой части соотношения (15), применяя неравенства Коши-Буняковского для интегралов, получим

' 1 1 ' 2 '

1~е\\Г (в ^Ц х (в )|| ад (в )<е 11\г (в | ад (в ) + £Ц\х' (в 12ад (в).

'о 'о 'о

В силу условий теоремы 1), 2), 3), 4) и применяя последнее неравенство из (15) соотношения имеем

1„, 2

-д (г )| х (г) |2 +1 д (г) (в (г) х (г), х (г )) + (а-е) |||х (5 ) |2бд (5 )<! $ (5) |2 бд (5)-

г е г

г

2

1 1

+^ д (»0) х1, х,) + ^ д (»0) В (»0) о,о)

г

Iх

'(5) I2 бд (5 (5 )1 Г бд (5)+1( д ) +1( д &) В ^) о,о;

где а > 0, 0 <е <а.

Из последнего неравенства вытекает утверждение теоремы. Теорема доказана. Пример 1. Рассмотрим систему линейных интегро-дифференциальных уравнений второго порядка типа Вольтера-Стилтьеса (1) при

п = 2, >0 = 1, д (г) = г2 и к (г, г) =

^ г!)

г2 г2

г г

г2 г2 )

А (г) =

Г 1 ) 1 + — о 2г

0 1 + —

V 2»)

, В (г) =

0 )

1П 0

г21 о 1

г2 Г 2 1

г2 [1 2

Е, =

10 01

т.е. следующую систему линейных интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтера-Стилтьеса

х- (») +

Г 1 ) 1 +— о 2»

0 1 + —

V 2»

х (г)+

¿0 1

х (г)+1

г г г! )

г2 г2

г2 г

г2 г2 )

х (г) бд (г) = f (г),

г > 1, х (1) = о, х' (1) = х1.

Проверим выполнение условий теоремы: ' 1

д' (г ) = * (д' (г)) д (> ) = 1 ■

1 '

1. А(»)-1(д'(г)) д,)Е2 =

Г 1 ) 1 + — о 2г

1

0 1 + — V 2г.

1Г1 о 1 = Г1 о 2» [ 0 1 ) = [ 0 1

Г1 0

V 0 1

х, х

>а||х||2, т.е. а = 1. /{А(»)-^[д(г)]'^Е2}х,Л > 1.

2.

" >20 1 . о >2)

х,х )> 0 ^ 1-1Г0 01 > 0 ^ (В(г)х,х) > 0.

3. Вд (>)(»)=

- >4 0 ^ 0 -1

, [д'(()]'дИ В(>)+д-(()в(,)(()=ш; ;)+2(-¿¡00

4P - 4P 0 t310 lj t31 0 1

1 (10, » „

—-1 I x, x < 0 ^ t31 0 1 1 '

4 i10,. t31 0 1 j

{ [9' (t)] e(() B (t) + g (t) Bg {t )(t)} x, x\ < 0.

4. а) К(t,1) = 1Г 2), Г 2lx,x\ = t2(2x1 + x2,X1 + 2x2)

(xл 1

V x2 j

12

= t2 (2x2 + 2x^2 + 2x2 ) = t2

x +— x + — x.

2

4

> 0 ^ К (t,1) x, x) > 0;

ö) Kg(t)(t,1) = -^li2 1 1 (-t4(2 1 x,^ = -t4(2x + x2,x + 2x2)

t4 V1 2

t4 V1 2

t4

( x11

V x2 j

= -(2x2 + 2x^2 + 2x2 ) = -

1

x. + — x2 | +—x; 1 2 2 j 4 2

3

< 0 ^ К(t)(t,1) x, x) < 0;

1 (2 1

1 (2 1

c) К9мМ = J l1 ^ b-11 2 |x, x) = 72 (2x1 + x2, x1 + 2x2)

= t1 (2x2 + 2x1x2 + 2x2 ) = J

1 (2 1

t2

+ 1 12 + 3 2 x1 + 2 x2 I + 4 x2

1 (2 1

V x2

> 0 ^ KAtt) x, x) > 0;

d) Kg(t)gW(tt) = - ^ l1 2 I, J. l1 2 I x, x =- ¥ ( 2x1 + x2, x1 + 2x2 )

V x2

= - J* (2x2 + 2x^2 + 2x2 ) = - 2

x1 + — x2 I + —xr 1 2 2 j 4 2

< 0 ^ К

g (t )g t)

(tt) x, x^ < 0.

Из этого следует что, выполняются все условия теоремы.

В данной работе с помощью понятия производной по возрастающей функции и методом преобразований уравнений, определены более широкие условия для систем линейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтера-Стилтьеса.

Полученные результаты позволяют использовать для исследования систем интегро-дифференциальных уравнений Вольтера-Стилтьеса высоких порядков и при качественном исследовании некоторых процессов из механики и теории управления сложными системами.

Список литературы:

1. Levin J.J., Nohel J.A. Perturbations of a Nonlinear Volterra Equations // Mich. math. -1965. - Vol. 22. - P. 349-367.

2. Kiffe T.R. On Nonlinear Volterra Equations of Nonconvolution Type // J. different equat. -1976. - Vol. 12. - P. 431-447.

3. Винокуров В.Р. Асимптотическое поведение решений одного класса интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра // Дифференциальные уравнения. - 1967. - Т. 3, № 10. - С. 1732-1744.

4. Цалюк З.Б. Замечание по поводу метода Ляпунова для интегро-дифференциальных уравнений // Математический анализ. - Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1978. - С.103-107.

5. Цалюк З.Б., Шамсутдинов М.М. Об ограниченности решений одного класса нелинейных уравнений Вольтера // Математический анализ. - Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1971. -С. 63-71.

6. Smith M.C. On a Nonlinear Volterra Equations of Nonconvolution Type // J. different equat. - 1979. - Vol. 32. - P. 294-309.

7. Олехник С.Н. Об ограниченности и неограниченности решений обыкновенного диф-

2

1

3

2

2

x

x

2

1

3

ференциального уравнения второго порядка // Дифференциальные уравнения. - 1972. - Т. 8, № 9.

8. Пахыров З. Достаточные признаки ограниченности решений линейных интегрго-дифференциальных уравнений // Тезисы докладов 4-й Казахстанской межвуз. науч. конф по математике и механике. Часть 1: Математика. - Алма-Ата, 1971. - С. 123-124.

9. Ведь Ю.А., Искандаров С. О единственности решения системы линейных интегральных уравнений типа Вольтерра первого рода на полуоси // Известие АН Киргизской ССР. -Фрунзе: Илим, 1986. - Вып 5. - С. 14-18.

10. Асанов А. Производная функция по возрастающей функции // Табигый илимдер журналы / Кыргызско-турецкий университет Манаса. - Бишкек, 2001. - С. 18-64.

11. Асанов А. Система интегральных уравнений Вольтера-Стилтьеса // Табигый илимдер журналы / Кыргызско-турецкий университет Манаса. - Бишкек, 2003. - С. 65-78.