CC BY
12
34 ТРУДЫ БГТУ. 2012. № 6. Физико-математические науки и информатика. С. 34-37
УДК 519.71
Т. А. Любецкая, ассистент (БГТУ)
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ
Для линейных дискретно-непрерывных систем вводятся двойственные системы и доказывается двойственное соотношение, что позволяет получить аналитическое представление решений таких систем, аналогичное формуле Коши для решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Найденные представления имеют важные приложения в качественной теории управления в гибридных дифференциально-разностных системах, в частности при исследовании вопросов управляемости в таких системах.
In the paper we study linear hybrid discrete-continuous systems. Dual discrete-continuous systems are introduced and a duаl correlation is proved. As a result, for the system solutions, we obtain an analytical representation similar to the well-known for ordinary differential systems Cauchy's formula. The results obtained can be used in the qualitative control theory for discrete-continuous systems.
Введение. Во многих приложениях предполагается, что рассматриваемая система подчиняется закону причинности, т. е. будущее состояние системы не зависит от прошлых состояний и определяется только настоящим. Если к тому же предполагается, что система подчиняется уравнению, содержащему переменные состояния и скорости их изменения, то, как правило, мы приходим либо к обыкновенным дифференциальным уравнениям, либо к уравнениям в частных производных.
Однако при более тщательном изучении часто становится очевидным, что закон причинности - это лишь первое приближение к реальной ситуации, и более адекватная модель должна включать некоторые из предшествующих состояний системы. Кроме того, многие задачи теряют смысл, если не рассматривается зависимость от прошлого. Поэтому, в частности, при изучении реальных физических процессов приходим к так называемым гибридным системам.
В зарубежной литературе термином «гибридные системы» (hybrid systems) определяют дискретно-дифференциальные системы управления, содержащие непрерывную и дискретную фазовые переменные и/или логическую переменную [1, 2]. Такие системы стали востребованными ввиду того, что огромное число реальных процессов в химической промышленности, робототехнике и электронной инженерии, в системах управления полетом и других отраслях человеческой деятельности моделируются сложными системами, обладающими иерархической структурой, описываемыми непрерывно изменяющейся динамикой на низшем уровне и созданием логического выбора - на высшем [3].
Исследование существования и единственности представления решений, а также некоторых задач управляемости для различных клас-
сов сложных динамических систем проведено в работах [4-10].
В настоящей статье рассматривается вопрос о представлении решений гибридной дифференциально-непрерывной системы с запаздывающим аргументом на основе решений соответствующих двойственных (сопряженных) систем, что по аналогии с известными представлениями [4-10] решений для других классов систем можно считать формулами типа Коши для дискретно-непрерывных систем.
1. Постановка задачи. Рассмотрим гибридную дискретно-непрерывную систему вида
X (t) = All (t) Xi(t) + A12 (t) X2(t0 + kh) + + B1 (t)u(t), te[t0 + kh, t0 + (k + 1)h), x2 (t0 + kh + h) = A21 (k) x1 (t0 + kh) + + A22 (k)x2(t0 + kh) + B2 (k)u(t0 + kh),
(1)
где
A„ (t)
A12 (t)
B (t)
A21 (k)e M"2xn1, A22 (k)e M"2x"2, B2 (k)e Mrx"2,
te[t0, t*], k = 0,1,
T T
' x t*' t*
= lim
£—>0
t* 10 £
элементы матриц А11 (•), А12 (•), В1 (•) являются кусочно-непрерывными функциями; вектор-функция х () = X Х10 , х20
) предполагается непрерывной и кусочно-дифференцируемой на [/0, Ъ].
Начальные условия для системы (1) зададим в виде
x1(t0) X10, X2 (t0) X
•20-
(2)
Наряду с системой (1), (2) рассмотрим двойственную систему следующего вида:
) = -„ () х*(:), х*(:0 + кк - 0) - х*(:0 + кк + 0) = = А11 (к )х*(:0 + кк + к), х*(:0 + кк) = А2,2 (к )х*(:0 + кк + к) + (3)
^ + кк+ к
+ | А12 () х*(:,
í0 + кк
х* ^) = 0,1 > и,
где х1 ($), х* (^ + кк) - матричные функции со значениями в пространствах М"1, М"2 соответственно, к = 0,1,..., Т*, tе |70, и],с начальными условиями вида
х* (4 - 0) = х*0, х*^* + Т* к + к) = х20. (4)
2. Вспомогательные результаты.
Утверждение. (Двойственное соотношение). Справедливо следующее двойственное соотношение:
х*' - 0) х ) + х*' (( + Т* к + к) х2 (( + Т* к + к) =
t2
= х*' (t0 - 0)х10 + х*' (t0 )х20 + | х*' (t )В1 ()" (t )dt +
Тр*
+Xх*' (0 + кк + к)В2 (к)и(t0 + кк). (5)
к=0
Доказательство. Умножим первое уравнение системы (1) слева на кусочно-непрерывную матричную функцию х*Т () с точками разрыва первого рода лишь в моменты т = t0 + кк, к = 0,1, ...,ТЬ, и проинтегрируем по т от 0 до 4:
0 = | х*' (т)- х1 (т)ё т -1 х*' (т)- А11 (т) х1 (т)ё т -
¡0 % Т* -1 ь0 + кк+к
- X I х*'(т)- А12 (т)ат-x2(to + кк) -
к=0 ^+кк
- | х*'(т)-А12(т)^т-х2(:0 + кк)-
% к
t»
-1 х*'(т)- В1 (т)и (т)^ т. (6)
Поскольку матрица-функция х*Т (t) имеет разве лишь разрывы первого рода в точках т = :0 + кк, к = 0,1,..., Т, то интегрируя по частям первый интеграл равенства на каждом интервале (0 + кк, t0 + кк + к) и используя свойство аддитивности интеграла, получаем:
г* Т* -1 ^ +кк+к
| х*' (т)- хс1(т)ё т = X | х*'(т)- ,х1(т)^ т +
+ | х*' (т)- хс1(т)^т =
t0 +ТЛк
= X (х*' (t0 + кк + к - 0)х1 (0 + кк + к) -
к=0
- х* (( + кк + 0)х1 (0 + кк)) + х* - 0)х1 ) -
и
■ х*' (to + Т*к + 0) х (to + Т*к) -1 х*' (т)- х1 (т)т =
= X(х*' ( + кк - 0) - х*' (0 + кк + 0)) (0 + кк) +
к=0
+ х* - 0)х ) - х* (( - 0)х10 -1х* (т) - х1 (тт.
t0
Аналогично поступаем со вторым уравнением системы (1): умножаем его слева на дискретную матричную функцию к = -1,0,1,..., Т*, х*Т (0 + кк + к), и суммируем по к от 0 до Т*:
0 = X х*'(0 + кк + к )(0 + кк + к)-
к=0
- А21 (к)х1 (t0 + кк) - А22 (к)х2(:0 + кк) -
- В2 (к )u(t0 + кк)). (7)
Преобразуем первое слагаемое этой суммы:
т:*
Xх2 (0 + кк + к)х2(:0 + кк + к) =
к=0
т:*
= Xх* (t0 + кк)x2(t0 + кк) +
к=0
+ х*' (to + Т* к + к)^ + Т* к + к)
х* ((:0 ) х20 .
Суммируя (6) и (7) и учитывая вид сопряженной системы (3), (4), имеем:
0 = - I х*'( т) + х*'(т) А11 (т) -х1(т) т +
V to
Тг*
+x ( х*'(:0 + кк - 0) - х*' (t0 + кк + 0) -
к=0
х*' (0 + кк + к)А21 (к)) х (0 + кк) +
т* (
к=0
+X х* (t0 + кк) - х* (0 + кк + к) А22 (к) -
^ + кк+к
Л
к=0
+кк
I х* (т)А12 (т)^т
t0 +кк
х2 (:03 + кк) +
0
Т
36
Т. А. Любеикая
t0 +T* h+h
+ J X*'(t)42 (T)d T ' X2(t0 + Tt* h)-
-Jx*' (t) • B1 (t)u(x)d
t-
x*'(t0 + kh + h )• B2 (k )u (t0 + kh) +
k =0
+ x*'( + T* h + h)) + Tt* h + h) -
— X2 (t0 )x20 + X1 (* — 0)х1 (* ) — X1 (0 — 0)X10 =
t*
= -jx* (t) • B1 (t)u(t)Jt
üt-
—^ х*' ('0 + кк + А )• В2 (к )и('0 + кк) +
к=0
+ х*' (^0 + Т* А + И) Х2 (^0 + Т* А + к) —
— Х2 ('0 )х20 + х1 — 0)х1 ) — х1 (0 — 0)х10,
что завершает доказательство утверждения.
3. Представление решений. Пусть матрицы функции х1 ( '), х* ( '0 + кк) - решения сопряженной системы (3), (4).
Обозначим символом 1к единичную к х к -матрицу.
Имеет место следующий аналог формулы Коши для представления решений динамической дискретно-непрерывной системы (1), (2).
Теорема. Решение системы (1) с начальными условиями (2) существует единственно и может быть представлено по формуле:
1)
Х1 — 0) = х1 (0 — 0)х10 + х2 (0 )х20 +
+1х*'(т) • В1 (т)и(т)^т +
'0
Т*
+^х*'(0 + кк + И)• В2 (к)ы('0 + кк), (8)
k =0
если
х12 - 0 ) =
x* (0 + Tt* h + h ) 0 e
)"2-
X2 ( f0 + Tt*h + h) = x2' (0 - 0) X10 +
t*
+ x* (t0)x20 + Jx* (t) • B1 (t)u(t)dt +
если
+^ x*'(t0 + kh + h)• B2 (k)u(t0 + kh), (9)
k=0
x* ( + T* h + h ) = I„2; x* (t* - 0) 0e Ml
Доказательство. Из системы (3) с начальными условиями
x1*(* -0) = 1Щ;
x* (t0 + Tt* h + h ) 0 e M"2,
с учетом двойственного соотношения (5), получаем представление решения (8) для кусочно-непрерывной функции x1 (t*).
Если же для системы (3) выбрать начальные условия
x* (+Tt*h+h )=In2; x* (t* - 0) = 0e M"1,
с учетом двойственного соотношения (5), получаем представление решения (9) для дискретной функции x* (t0 + T* h + h).
В единственности решения можно убедиться, интегрируя исходную систему (1), (2) по «шагам».
Заключение. Таким образом, в работе доказано двойственное соотношение для гибридных дифференциально-непрерывных динамических систем с запаздыванием, установлен аналог формулы Коши для представления решений таких систем. Полученные результаты можно использовать для получения неявных критериев управляемости и наблюдаемости дискретно-непрерывных систем.
Автор выражает глубокую благодарность профессору В. М. Марченко за научное руководство данной работы.
Литература
1. Van der Schaft, A. An introduction to hybrid dynamical systems / A. Van der Schaft, H. Schumacher. - Berlin: Springer, 2000. - P. 324.
2. Antsaklis, P. Hybrid Systems Modeling and Autonomous Control Systems / P. Antsaklis, J. Stiver, M. Lemmon // Lecture Notes in Computer Science, London: Springer-Verlag. - 1993. -Vol. 736. - P. 366-392.
3. Марченко, В. М. Гибридные дифференциально-разностные системы и их приложения в теории динамических систем / В. М. Марченко // Труды БГТУ. Сер. VI, Физ.-мат. науки и информатика. - 2009. -Вып. XVII. - С. 3-7.
4. Марченко, В. М. Представление решений управляемых гибридных систем /
T
0
T
T
B. М. Марченко, О. Н. Поддубная // Проблемы управления и информатики. - 2002. - № 6. -
C. 17-25.
5. Марченко, В. М. Представление решений и относительная управляемость линейных дифференциально-алгебраических систем со многими запаздываниями / В. М. Марченко, О. Н. Поддубная // Доклады РАН. - 2005. - Т. 404, № 4. -С.465-469.
6. Марченко, В. М. Линейные стационарные дифференциально-алгебраические системы. Представление решений / В. М. Марченко, О. Н. Поддубная // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2006. - № 5. -С. 24-38.
7. Беллман, Р Дифференциально-разностные уравнения / Р. Беллман, К. Л. Кук. - М.: Мир, 1967. - 548 с.
8. Гайшун, И. В. Многопараметрические системы управления / И. В. Гайшун. - Минск: Навука i тэхшка, 1996. - 200 с.
9. Bartosievicz, Z. Linear control systems on time seal: unification of continuous and descrete / Z. Bartosievicz, E. Pawiuszewicz // 10th IEEE Intern. Conf. on Methods and Models in Automation and Robotics. - Poland, 2004. - P. 263-266.
10. Хейл, Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений / Дж. Хейл. - М.: Мир, 1984. - 421 с.
Поступила 12.03.2012
