CC BY
911. Росстат. Официальная статистика. Предпринимательство. Промышленное производство. Баланс энергоресурсов РФ [Электронный ресурс]. - URL: https://rosstat.gov.ru/enterprise_industrial (дата обращения 11.11.2022).
12. Теория систем и системный анализ в управлении организациями: Справочник: Учеб. пособие / Под ред. В.Н. Волковой и А.А. Емельянова. - М.: Финансы и статистика, 2006. - 848 с. - С. 820.
13. Шаталова О.М. Эффективность инновационных процессов: методология нечетко-множественного моделирования и оценки : дисс. ... д-ра экон. наук : 08.00.13. -М., 2020. - URL: https://www.frccsc.ru/diss-council/00207306/diss/list/shatalova_om (дата обращения 11.11.2022).
14. Энергетическая стратегия РФ на период до 2035 года (утв. распоряжением Правительства РФ от 9 июня 2020 года N 1523-р).
15. Энергоэффективность в России: скрытый резерв: Отчет // WB, IFC. - URL: http://www.cenef.ru/file/FINAL_EE_report_rus.pdf. - С. 39 (дата обращения 11.11.2022).
16. Branchenstudie 2021: Marktanalyse - Szenarien - Handlungsempfehlungen. -URL: https://www.waermepumpe.de/fileadmin/user_upload/BWP_Branchenstudie_2021_ WEB.pdf (дата обращения 11.11.2022).
17. DataBank. Sustainable Development Goals. - URL: https://databank.worldbank.org/source/sustainable-development-goals-(sdgs)#; DataBank. Sustainable Energy for All. - URL : https://databank.worldbank.org/source/sustainable-energy-for-all# (дата обращения 11.11.2022).
УДК 517.9:519.6
doi:10.18720/SPBPU/2/id23 -468
Лэ Ван Хуен \
аспирант;
л
Нгуен Тхи Тху Зунг ,
аспирант;
■5
Черненькая Людмила Васильевна ,
профессор, д-р техн. наук, ст. науч. сотр.
ВЫБОР КВАЗИОПТИМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПАРАМЕТРА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ПРИ РЕШЕНИИ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ
12 3
' ' Россия, Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, 1 huyenlevan120193@gmail.com, 2 thudung.mta.tb@gmail.com, ludmila@qmd.spbstu.ru
Аннотация. Данная работа посвящена определению квазиоптимального параметра регуляризации при решении обратных задач методом регуляризации Тихонова. Целью данной работы — построение процедуры определения значения параметра регуляризации таким образом, чтобы ошибка между регуляризованным решением и точным решением обратной задачи была приблизительно равна нулю. Для этого, сначала будет рассмотрена математическая модель, описывающая в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Далее, будет сформирована обратная задача в рамках этой математической модели. Затем, методы конечной разности, метод кубического сплайна и метод регуляризации Тихонова будут
использованы для преобразования обратной задачи в задачу минимизации функционала. Наконец, будет описаны метод выбора квазиоптимального значения параметра регуляризации и построен процесс его нахождения. В результате данной работы будет найден квазиоптимальное значение параметра регуляризации, а также регуляризованное решение обратной задачи. В будущее наша работа может помочь решать обратные задачи на практике, не зная заранее погрешности исходных данных.
Ключевые слова. параметр регуляризации, регуляризация Тихонова, регуляризованное решение, обратная задача, математическая модель.
Le Van Huyen \
Postgraduate;
л
Nguyen Thi Thu Dung ,
Postgraduate;
-5
Liudmila V. Chernenkaya ,
Doctor of Technical Science, Professor
CHOICE OF QUASI-OPTIMAL VALUES OF THE REGULARIZATION PARAMETER IN SOLVING THE INVERSE PROBLEM
12 3
, , Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University,
St. Petersburg, Russia, 1 huyenlevanl20193@gmail.com,
2 3
thudung.mta.tb@gmail.com, ludmila@qmd.spbstu.ru
Abstract. This work is devoted to determining the quasi-optimal regularization parameter in solving inverse problems by the Tikhonov regularization method. The purpose of this work is to construct a procedure for determining the value of the regularization parameter in such a way that the error between the regularized solution and the exact solution of the inverse problem is approximately equal to zero. To do this, we will first consider a mathematical model that describes in the form of a system of ordinary differential equations. Further, the inverse problem will be formed within the framework of this mathematical model. Then, the finite difference methods, the cubic spline method and the Tikhonov regularization method will be used to transform the inverse problem into a functional minimization problem. Finally, a method for choosing a quasi-optimal value of the regularization parameter will be described and a process for finding it will be constructed. As a result of this work, a quasi-optimal value of the regularization parameter will be found, as well as a regularized solution of the inverse problem. In the future, our work may help to solve inverse problems in practice, without knowing in advance the errors of the initial data.
Keywords. regularization parameter, Tikhonov regularization, regularized solution, inverse problem, mathematical model.
Введение
В середине ХХ века первые исследования о обратной задаче появились в физике, геофизике и других областях естествознания. Под обратной задачей понимается процесс идентификации неизвестных параметров прямой задачи на основе информации, полученной из ряда наблюдений. В последние десятилетия обратная задача превращается
в междисциплинарную науку, развивается как новое перспективное направление исследований. Она широко используется в идентификации систем, оптике, радарах, акустике, теории связи, обработке сигналов, медицинской визуализации, геофизике, океанографии, астрономии, дистанционном зондировании, обработке естественных языков, машинном обучении и многие другие области [1-8]. В 1902 г. определение корректности задач впервые было дано французским математиком Ж. Адамаром для уравнений в частных производных в статье [9]. Большинство обратных задач являются некорректными. Нахождение решения обратных задач часто сталкивается с наибольшей трудностью, которая заключается в неустойчивости решения по отношению к малым ошибкам измерений данных. Советский математик А. Н. Тихонов в 1943 г. установил возможность нахождения устойчивых решений некорректных задач [10].
Одним из наиболее часто используемых методов решения обратных задач является метод регуляризации Тихонова, который позволяет находить приближенное решение некорректно поставленных задач. Определение значения параметра регуляризации играет важную роль при применении метод регуляризации Тихонова. Существуют несколько методов выбора параметра регуляризации ^ [1-8]. Каждый метод имеет свои преимущества и недостатки и подходит для решения различных конкретных задач. В данной работе мы будем рассматривать алгоритм выбора квазиоптимальных значений параметра регуляризации, предложенный А. Н. Тихоновым и В. Б. Гласко.
1. Метод выбора квазиоптимального значения параметра регуляризации
Рассмотрим математическую модель, описывающая в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений:
^ = АХ (,), X (,)* = X (0), (1)
где А — матрица с постоянными коэффициентами а,у , ¡,] = 1,2,...,п;
Х(*) = (*1(*),*2(')хп (*))Т.
Рассмотрим следующие две задачи, построенные в рамках математической модели (1).
Задача 1. По заданным коэффициентам а„ = а0, где ¡,] = 1,...,п и
т
начальным условиям X (0) = ( Х1 ( 0), Х2 (0),..., хп (0)) в начальный момент
т
времени * = 0, определить X(*) = (х^*),Х2(*),...,хп(*)) .
Задача 2. По заданным значениям
Т
X(¡к) = (),.^(¡к),...,хп(¡к)) в моменты времени гк , к = 1,2,...,п,
определить коэффициенты ау = а0, где /,у = 1,...,п.
Задачу 1 будем называть прямой задачей, а задачу 2 — обратной задачей по отношению к задаче 1. Решение задачи 2 обозначаем вектором
/ о о о о \т
К =(a11,..., а1п, ••• , an1,..., апп ) .
Применив метод конечной разности, будем преобразовать (1) в систему алгебраических уравнений ХК = В относительно ау, где
I,у = 1,...,п. Здесь,X — матрица с элементами х(¡к), Х2(¡к), ..., хп(¡к);
т
К — вектор неизвестных, К = (ац,...,а1п, • .. ,ап1,...,апп) ; В — вектор
правой части. Решение системы ХК = В также является решением К0 задачи 2.
Элементы вектора В будут определены методом кубического сплайна. Отметим, что х (¡к), Х2 (¡к), ., хп (¡к) могут содержат ошибки
измерения и округления, а элементы вектора В содержат ошибки интерполяции. Поэтому система ХК = В будет преобразовано в систему Х^К = В§, где Х^ — приближение к матрице X; В§ — приближение
к вектору В .
Для решения системы Х^К = В§, будем использовать метод регуляризации Тихонова [1-8]. Именно, будет найдено приближение к К0 по следующему условию:
2 и ц2
+ а К ^ тттт, (2)
а ||К|| (2)
хлк - в§
где а = const > 0 — параметр регуляризации. Из (2) вытекает система уравнений:
X^X^K + aK = X^Bg, (3)
"к
где X^ — сопряженный к матрице X^. Решение системы (3), обозначенное Ka, является регуляризованным решением системы X^K = Bg
[1-8]. Будет найден параметр регуляризации а так, чтобы Ka ^ K0. В связи с тем, что оценки погрешности при задании входных данных часто неизвестны и плохо контролируются, поэтому в вычислительной практике широко используются метод выбора квазиоптимального значения параметра регуляризации [11-13].
Рассмотрим (2). Пусть, при а = а1 имеем, что к? является регуля-
О
ризованным решением системы X^K = , т. е. К? ^ К
Отметим, что в случае, когда нам известна информация о решении
(точное решение К0 ), метод регуляризации Тихонова основан на переходе от исходного уравнения первого рода X^K = Б§ к задаче миними-
2
зации функционала
слагаемым а
K - K
ХЛК - в5
2
с дополнительным стабилизирующим
следующим образом [5]:
Хл К - в§
+ а
К - К
^ min min. а К
(4)
Если информации о решении нет, то можно положить К0 = 0.
В случае К0 = 0 очевидно, что (4) становится (2).
Рассмотрим (4). Пусть, при а = а2 имеем, что Ка является регуля-
а 0
ризованным решением системы уравнений XЛK = Б§, т. е. К2 ^ К .
Идея метода выбора квазиоптимального значения параметра регуляризации состоит в том, что будет найден такое значение а, что
а = а^ = а2. Имеется
Ка — Ка
-а
К
d а
[11-13]. Отсюда, будет
найден параметр а такой, что
-а
dка
d а
^ 0. Будет рассмотрена гео-
метрическая последовательность с заданным начальным значением а0 и знаменателем прогрессии д е (0,1 ), удовлетворяющая следующим условиям: аI+1= да/, / = 1,2,..., N. На основе последовательности (аг-|
строится последовательность |к?' | с соответствующим значением параметра регуляризации а/. В последовательности {аг-1 оптимальным значением параметра регуляризации считаем такой элемент а/, для кок а"
торого достигается
к а
i+1
^ min. На практике мы часто будем вы-
i
бирать значение аг- так, чтобы
К;
i+1
а
К а
^ 0.
2
2
2. Численный пример
Будет рассмотрен простой процесс нефтепереработки [14]. Пусть, исходная смесь состоит из одного тяжелого углеводорода С. Под действием температуры и соударений углеводород С распадается на углеводороды В и также превращается в изомер О с тем же количеством атомов углерода, что и в исходной молекуле. Вещество О также распадается на А и В, либо обратно превращается в С. Пусть, продукты реакции А, В — это более легкие углеводороды, и с ними никаких превращений далее не происходит.
Математическая модель кинетики реакции каталитического крекинга представляет собой систему дифференциальных уравнений [14-16]:
йух (г)
йг
к5у2 (г) + кхуъ (г) + к4у4 (г)
^^ = —к5 У2 ( г ) + к1Уз ( г ) + к4 У 4 ( г );
йУз ( г ).
(5)
йг
(к1 + к2 ) Уз (г) + к3У4 (г);
= к2 Уз (г) —(к2 + к4) У 4 (г),
где к1, к2, кз, к4, к5 — константы скорости реакций, с 1 [17]; У1 (г), У2 (г), Уз (г), У4 (г) — концентрация веществ А, В, С, О в момент
моль
времени г, -. Предположим, что в начальный момент времени г = 0
л
концентрация веществ А, В, С, О равна У1 (0), У2 (0), Уз (0), У4 (0).
Прямая задача. По заданным константам скорости реакций ^ = ,
к2 = к2, кз = к0, к4 = к0, к5 = к0 и концентрациям исходного вещества, продуктов А, В, С, О в начальный момент времени г = 0, определить
У1 ( г ), У2 (г), Уз (г), У4 (г) .
Обратная задача. По заданным концентрациям исходного вещества и продуктов А, В, С, О в моменты времени гг, г = 1,2,..., определить ^,
к2, кз, к4, к5 (т. е. , к20, кз , к40, к50).
Пусть, нам известны концентрации веществ А, В, С, о в разные моменты времени, т. е. уг (г), у2 (г), уз (г), у4 (/) (см. табл. 1).
Таблица 1
Измеренные концентрации веществ а , в, с, в_
< (-) У1(') У2 (' ) Уз (') У4 )
0 0 0 90 10
30 77.76206 12.47561 48.11464 6.76653
60 132.29327 7.46789 25.74512 4.37430
90 162.81084 4.12939 13.78771 2.74217
120 179.58861 2.26780 7.39035 1.68145
150 188.79792 1.24467 3.96468 1.01403
180 193.85216 0.68309 2.12871 0.60366
210 196.62600 0.37489 1.14389 0.35567
240 198.14831 0.20574 0.61518 0.20779
270 198.98377 0.11291 0.33111 0.12055
Применив метод конечных разностей и метод кубического сплайна, будем преобразовывать (5) в систему алгебраических уравнений
+
Уз IЧ ) к1 + У 4 V ч ) к4 - У2 ( Ч ) к5 - У3 ( Ч ) к1 - У3 ( Ч) к2 + У 4 ( Ч ) кз [У3 (Ч) - У4 (Ч )] к2 - У4 (Ч) к4 =
2к
У2(11 + к)-У2(^ - к)
2к
_ Уз(Ч + к)-Уз(Ч - к)
2к
У4(+ к)-У4(Ч - к)
2к
_У1 (Ь + к)- У1 (Ь -к)
(6)
2к
относительно ¿1, ^, кз, к4, к5 . Здесь, шаг к = 0.001. Будет переписано (6) в матрично-векторном виде Х^К = . Регуляризованное решение имеет
а / * 1 * *
вид К = I Х^Х^ + аЕ) Х^Б^, где Х^ — сопряженный к матрице хц.
Задав некоторое «подходящее» значение параметра а1 = 1, вычислим Ка1 = 0.081532. Построив в его окрестности геометрическую сетку по а1 такую, что а/+1 = 0.1а/, ' = 1, 2,..., 10, вычислим ка'+1 и построим последовательности {К
№}
В таблице 2 представляется оценка нормы разности приближенных решений на двух соседних итерациях ||кг+Кг|| и норма приближенных решений ||кг||. Из таблицы 2 очевидно, что при ' = 4,5,6,...,10 выполняется условие ||кг+1 - Кг|I ^ 0.
5
<
5
Таблица 2
Оценка нормы разности приближенных решений на двух соседних итерациях __и норма ^ приближенных решений_
г а К г+1 — К г Кг
1 1 0.019227 0.081532
2 0.1 0.004383 0.099918
3 0.01 0.011736 0.102388
4 0.001 0.006480 0.103759
5 0.0001 0.000954 0.104963
6 0.00001 9.99Е-05 0.105172
7 0.000001 1.00Е-05 0.105194
8 1Е-07 1.00Е-06 0.105196
9 1Е-08 1.00Е-07 0.105197
10 1Е-09 1.00Е-08 0.105197
Проанализируем (2). С увеличением значения параметра а регуля-ризованное решение Ка становится глаже и устойчивей, т. е. уменьша-
„2 ____ - 2
Хл К — в5
. От-
ется норма решения ||Ка || , но увеличивается невязка
сюда, из всех значений параметра а г, удовлетворяющих условию
2
||к/+1 - Кг |0, выберем минимальное значение а, такое, чтобы ||Ка
было как можно меньше.
Рассмотрим рисунок 1. Кривая с оранжевым цветом показывает, как изменяется значение параметра регуляризации аг-, где г = 1,2,... ,10 . Кривая с синим цветом показывает, как изменяется норма регуляризованного решения Ка. , где г = 1,2,... ,10
Рис. 1. Изменение значений параметра регуляризации и нормы регуляризованного
решения
а,-
/ а к3
При
0.00198 к%
0.02264
На рисунке 1 нетрудно видеть, что, когда аг- уменьшается, К
увеличивается. Кроме этого, значения параметра регуляризации аг-, / = 4,5,...,10 примерно равны. Итак, будет выбран параметр регуляризации а = а4 = 0.001.
а = а4 = 0.001 имеем, что = 001934, ^ = 000191,
0.09936
Решая прямую задачу 1, получаем функции (г), (г), Уз (г), у а (^, описывающие зависимость концентрации веществ А, В, С, В от времени.
Рисунок 2 показывает, как меняется концентрация веществ А, В, С, В с течением времени. На рисунке 2 звездочками обозначены измеренные концентрации А, В, С, В (т. е. исходные данные).
Кривые у! (^), у2 (, Уз (г), У 4 (г) выражают изменение расчетной концентрации вещества А, В, С, В с течением времени. Видно, что измеренные значения очень близки к кривым.
Рис. 2. Изменение расчетной концентрации вещества А, В, С, В с течением времени
Заключение
В данной работе была сформирована обратная задача в рамках математической модели, описывающей в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для решения этой задачи были использованы методы конечной разностей, метод кубического сплайна и метод регуляризации Тихонова. Был рассмотрен и представлен метод выбора квазиоптимального значения параметра регуляризации. По найденному значению параметра регуляризации можно определить значение регуляризованного решения так, чтобы оно аппроксимировало решение обратной задачи, единственное и непрерывное в зависимости от исходных данных. Был приведен простой пример, относящийся к математической модели кинетики процесса нефтепереработки. Поставленная обратная задача заключается в определении констант скорости реакции на основе измеренных концентраций веществ в некоторый момент времени. Результаты расчетов показали применимость метода 1 для решения обратных задач.
Список литературы
1. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи (о первой международной молодежной научной школе-конференции «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач») // Сиб. электрон. матем. изв. - 2010. - Т. 7. -С.380-394.
2. Тихонов А.Н. О некорректных задачах линейной алгебры и устойчивом методе их решения // Докл. АН СССР. - 1965. - Т. 163, № 3. - С. 591-594.
3. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. 2-е изд. -М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1979. - 285 с.
4. Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач. - М.: Изд-во МГУ, 1994. -
208 с.
5. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. - Новосибирск: Сибирский федеральный университет, 2009. - 457 с.
6. Ольховой А. Введение в теорию обратных и некорректных задач. - LAP Lambert Academic Publishing, 2012. - 124 с.
7. Сумин М.М. Метод регуляризации А. Н. Тихонова для решения операторных уравнений первого рода. - Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2016. - 56 с.
8. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и её приложения. - М.: Наука, 1978. - 206 с.
9. Hadamard J. Sur les problèmes aux dérivés partielles et leur signification physique // Princet. Univ. Bull. - 1902. - Vol. 13. - Pp. 45-52.
10. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // Докл. АН СССР. - 1943. -Т. 39, № 5. - С. 195-198.
11. Морозов В.А. Методы регуляризации неустойчивых задач. - М.: Изд-во МГУ, 1987. - 216 с.
12. Морозов В.А. Алгоритмические основы методов решения некорректно поставленных задач // Выч. мет. программирование. - 2003. - Т. 4, № 1. - С. 130-141.
13. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. - 3-е изд. - М.: Издательство ЛКИ, 2009. - 480 с.
14. Лысенкова С.А. О математическом моделировании каталитического крекинга // Вестник кибернетики. - 2018. - № 4. - С. 107-110.
15. Микшина В.С. и др. О математическом моделировании каталитического крекинга: монография. - СПб.: Наукоемкие технологии, 2021. - С. 120.
16. Заикин П.В., Лысенкова С.А., Микшина В.С. Аналитическое решение системы дифференциальных уравнений математической модели кинетики процесса нефтепереработки // Вестник кибернетики. - 2018. - № 2. - С. 120-126.
17. Колинько П.А., Козлов Д.В. Химическая кинетика в курсе физической химии. - Новосибирск, 2013. - 99 с.
УДК 004.94(07) doi:10.18720/SPBPU/2/id23-469
Карпов Валерий Иванович \
главный научный сотрудник, д-р техн. наук, профессор;
л
Ахмедова Хамида Гаджиалиевна ,
доцент кафедры ИБМ-6, канд. физ.-мат. наук, доцент
АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПРОИЗВОДСТВА СТРОИТЕЛЬНЫХ ИЗДЕЛИЙ МЕТОДОМ ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
1 2
' Россия, Москва, Московский государственный технический
1 2 университет им. Н.Э. Баумана, vikarp@mail.ru, h.ahmedova@mail.ru
Аннотация. В статье рассмотрен метод разработки имитационной модели технологической системы производства строительных изделий и его практическое применение. Разработанная модель представляет собой готовый инструментарий исследования технологических систем рассмотренного класса, реализованная в виде программного продукта на объектно-ориентированном языке программирования С++Builder 6.0, в настоящее время используется на предприятии ТОО «ЭкостройНИИ-ПВ».
Ключевые слова: имитационная модель, особые события, алгоритм, структурно-функциональная модель, адекватность имитационной модели, имитационный эксперимент, случайные величины, нормальное распределение.
Valeriy I. Karpov 1,
Chief Researcher, Doctor of Technical Sciences, Professor;
л
Khamida G. Akhmedova ,
Associate Professor, Candidate of Physical and Mathematical Sciences
ANALYSIS OF THE EFFICIENCY OF TECHNOLOGICAL SYSTEMS
FOR THE PRODUCTION OF BUILDING PRODUCTS BY SIMULATION MODELING
1 2
, Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia,
1 2 vikarp@mail.ru, h.ahmedova@mail.ru
Abstract. The article discusses the method of developing a simulation model of a technological system for the production of construction products and its practical application. The developed model is a ready-made toolkit for the study of technological systems of the considered class, implemented in the form of a software product in the object-oriented programming language C++ Builder 6.0, currently used at the enterprise "EcostroiNII-PV" LLP.
