ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ КОЭФФИЦИЕНТНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ. ЧАСТЬ 1 Текст научной статьи по специальности «Математика»

analysis. Currently, verification of algorithms for processing the results of tele-measurements is carried out in the simplest version: according to the expected behavior of reference parameters from test recordings or similar products of rocket and space technology. This method has a whole set of applied disadvantages, consisting in the complexity ofpreparing algorithms for processing the results of new or modified products, in the low efficiency of changing algorithms, almost complete trust in the operator in deciding on the reliability of the processing result.

Key words: telemetry, processing algorithms, system analysis, information processing.

Popov Anton Mikhailovich, adjunct, vka@mil.ru, Russia, St. Petersburg, Military Space Academy named after A.F.Mozhaisky,

Shmelev Valentin Valeryevich, doctor of technical sciences, docent, Russia, St. Petersburg, Military Space Academy named after A.F. Mozhaisky,

Tkachenko Vladimir Viktorovich, lecturer, Russia, St. Petersburg, Military Space Academy named after A.F.Mozhaisky

УДК 517.9:519.6

DOI: 10.24412/2071-6168-2023-1-8-14

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ КОЭФФИЦИЕНТНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ. ЧАСТЬ 1

Лэ Ван Хуен, Л.В. Черненькая

Данная работа посвящена исследованию устойчивости приближенного решения задачи восстановления параметров математической модели (непрерывной зависимости решения от исходных данных), которое найдено методом регуляризации Тихонова. Цель работы состоит в том, чтобы сделать выводы об устойчивости при малом изменении измеренных исходных данных приближенного решения (регуляризованного решения) обратной задачи. Для этого сначала рассмотрена математическая модель, описываемая системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Потом на основе исследованной математической модели поставлена обратная задача восстановления её параметров по измеренным исходным данным. Из обратной задачи будет составлена «точная» и «приближенная» системы алгебраических уравнений относительно искомых параметров. Далее «приближенная» система алгебраических уравнений решена методом регуляризации Тихонова. В результате найдены регуляризованное решение «приближенной» системы алгебраических уравнений, которое является приближением к искомому точному решению обратной задачи. И наконец, исследована устойчивость найденного регуляризованного решения. Наша работа помогает укрепить теорию в процессе построения метода решения обратных задач с использованием метода регуляризации Тихонова. Результаты данной работы показывают, что регуляризованное решение полностью устойчиво при малом изменении исходных данных, т. е. непрерывно зависит от исходных данных. Более того, это решение единственно и является приближением к искомому точному решению. Поэтому в практических задачах его можно использовать в процессе исследования поведения, свойства математической модели (решения прямой задачи).

Ключевые слова: устойчивость, регуляризованное решение, метод регуляризации Тихонова, обратная задача, математическая модель, прогнозирования.

Введение. Обратная задача - это новая область исследований, возникшая с середины 20 века. Первые постановки обратных задач можно найти в физике, астрономии, геофизике. Под обратной задачей понимается процесс идентификации неизвестных параметров прямой задачи на основе информации, полученной из ряда наблюдений. Это называется обратной задачей, потому что она начинается с последствий, а затем вычисляет причины. Изучение обратных задач имеет важное практическое значение. В последние десятилетия обратная задача является популярной областью исследований в области вычислительной и прикладной математики. Он широко использовался в различных областях и стал междисциплинарной наукой, развивающейся как многообещающая новая область исследований.

Обратная задача тесно связана с теорией корректности задачи. Практически, большинство обратных задач, являются некорректными задачами, поскольку решение задачи не устойчиво при изменении исходных данных. Это также самая большая и наиболее часто встречающаяся трудность при решении обратных задач при появлении погрешностей измеренных данных. Для решения обратных задач чаще всего используют метод регуляризации Тихонова, позволяющий найти приближение к искомому решению, которое единственно и непрерывно зависит от исходных данных [1-5]. В статье [6] автором была исследована устойчивость динамической системы с приближенными параметрами, найденными методом регуляризации Тихонова. Была рассмотрена математическая система, описываемая системой

8

обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача восстановления параметров данной модели по заданным (измеренным) значениям неизвестных функций поставлена и решена. В данной работе мы будем рассматривать и отвечать вопрос: как изменить (устойчивы ли) приближенные параметры, найденные методом регуляризации Тихонова, при малом изменении исходных данных, т.е. заданных (измеренных) значений неизвестных функций.

Постановка обратной задачи восстановления параметров математической модели. В рамках данной работы будет рассмотрена математическая модель, описываемая следующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений:

^ = аиХ (г) + а12х2 (г) + ... + а1пхп (г)

^ = а21х1 {) + а22Х2 () + ... + а2пхп (),

(1)

йг

где ап, а12 , а1п , а21, а22, ..., а2п

1 (г) + ап2Х2 (г)+ ... + аппХп {г),

, ап1, ап2, ..., апп - параметры (постоянные коэффициенты) математической модели; х1 (г), х2 (г), ... , Хп (г) - неизвестных функций, зависимых от времени г.

Предположим, что х1 (г) = х1 (0), х2 (г) = х2 (0), ... , хп (г) = хп (0) в начальный момент времени г = 0.

В рамках исследуемой математической модели (1) будут поставлены две следующие задачи. Задача 1. По заданным значениям параметров ( или коэффициентов) а.. = а0, где

в начальный момент

. = 1,2, ... , п и начальным условиям X(0) = (х1 (0), х2 (0), ... , хп (0))

времени г = 0, необходимо определить X(г) = (х1 (г), х2 (г),..., хп (г))Т .

Задачу 1 будем называть прямой задачей в рамках математической модели. Она представляет собой задачу построения решения линейной системы дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями (задачу Коши). Решение задачи 1 показывает изменение с течением времени свойств, поведения исследуемого объекта, т.е. х1 (г), х2 (г), ... , хп (г).

Задача 2. По заданным значениям X(гк) = (х1 (гк), х2 (гк), ..., хп (гк)) в разные моменты времени гк, где к = 1, 2, ... , т, необходимо определить значения параметров (или коэффициентов)

а. = а*0, где . = 1, 2, ... , п.

Задачу 2 будем называть обратной задачей по отношению к задаче 1 в рамках математической

будет

обозначено

символом

К0

модели. Решение обратной задачи 2

К0 =( а01, а02,..., <, ... , а„°1, а„02,..., а°м) .

Решение обратной задачи восстановления параметров математической модели. В работе [7] авторами выведена методика решение обратной задачи 2. В этой методике будут использованы следующие методы: метод конечных разностей, метод интерполяции, метод регуляризации Тихонову. Ниже будем описывать более подобно эту методику.

Применяя метод конечных разностей, из (1) получаем систему алгебраических уравнений:

х1 (г + Ь 2/Г (г к) _ °(/?3 ) = х1 (г)а11 + х2 (г)а12 + .. + х" (г)а1п

х2 (г + к) Х2 (г к) _ °(Аз ) = х1 (г)а21 + х2 (г)а22 +. + ^ (г)а

(2)

Х"(г + И(г И) _°(И) = Х1 (г)а„1 + Х2(г)а„2 +... + Хп(г)аш относительно а. . Здесь, шаг И - очень маленькое положительное число такое, что значение остаточного

У

члена °(И3) можно пренебрегать.

Подставляя ' = ^, где к = 1,2,..., т, в (2), получаем «точную» систему алгебраических уравнений (в виде математических символов)

Х1 ('к )а11 Х1 ('к )а

21

Х ( )а = Х1('к + к)-Х1 ('к -к) ~Хп ('к )а1п ='

.('к )а2 п =

Х1 ('к )

( )а =

>. \ к / пп

2к

Х2 (к + к)- Х2 ('к - к)

2к

Хп (к + к )- Хп (к - к)

>("3 ) °(к3).

(3)

2к

-°("3)

относительно неизвестных а. . Можно представить (3) в матрично-векторном виде ХК = В, где X -

У

матрица с элементами, являющимися «точными» значениями неизвестных функции Х1 ('к), Х2 ('к), ... , Хп ('к) в моменты времени 'к, к = 1, 2, ... , т ; К - вектор с элементами а. (вектор переменных), К = (а11, а12,..., а1п, ... , ап1, ап2,..., апп)Т ; В - вектор «точной» правой части (вектор свободных членов).

Искомое решение К0 =(а101,

точным решением системы уравнений (3).

Пренебрегая °(к3), из (3) получаем систему уравнений:

Х1 ('к + к)- Х1 ('к - к)

0 0 1, а12, ..., а1п,

0 0 , ап1, ап 2,

а

г) обратной задачи 2 является

Х ('к ) Х ('к )

Х ('к )

'21

'Хп (к )а1п = -Хп (к )а2п =

'п1

(', )а =

г\ к / пп

2к ?

. Х2 ('к + к)-Х2 ' ('к - к)

2к ? (4)

Хп (к + к )-Хп1 ('к - к)

2к

относительно неизвестных а...

У

Заданные значения х1 ('к ), Х2 ('к ), ..., Хп ('к ) могут содержать ошибки измерения и округления. ЗначенИЯ Х1 ('к + к) , Х1 ('к - к) , Х2 ('к + к) , Х2 ('к - к) , ..., Хп ('к + к) , Хп ('к - к) будут определены способом интерполяции кубическим сплайном, поэтому они могут содержать ошибки интерполяции. Поэтому поставляя значения в (4), мы будем получать «приближенную» систему алгебраических уравнений относительно неизвестных а. . В этом случае будет переписана система (4) в виде X К = В5

У Л 5

, где ХЛ - приближение к матрице X по отношению ||ХЛ - х|| <Л; В5 - приближение к вектору В по отношению ||В8 - В|| < 5; Л, 5 - очень маленькое положительное число.

Задача решения системы ХЛК = В5 может быть некорректной, т.е. она либо не имеет решения, либо имеет более одного решения, либо её решение не зависит непрерывно от исходных данных

{Хл, М.

В случае, когда система ХЛК = В5 не имеет решения существует метод решения системы уравнений ХЛК = В5 (метод Мура-Пенроуза). Однако, этот метод не гарантирует, что при малом изменений {ХЛ, В51 решение также изменяется мало.

В случае, когда система хк = в5 имеет единственное решение, то также трудно сделать вывод, что оно непрерывно зависит от любого малого изменения исходных данных {х В ^. Чтобы устра-

I Л' 5/

нить эту трудность, метод регуляризации Тихонова [1,8,9] будет использоваться для решения системы (4). В ходе этого метода мы не будем искать решение системы (4), а будем искать приближение к искомому решению К0 обратной задачи, которое единственно и непрерывно зависит от {х В5|.

Рассмотрим задачу нахождения минимума функционала:

M(K) = ||х К -Bgll2 +а|К|2 ^ minmin, (5)

V / || П II " " а К ^ '

где а = const >0 - параметр регуляризации.

Решение задачи (5) будем обозначать в векторном виде

Ка = (, аа2,..., а,а, ... , а™, аа2,..., аа )Г. Однако оно не приближает К0 для всех значений па-

\11'12' 'in' ' ni' n2' ' nn /

раметра регуляризации а . Если Ка приближает К0, то Ка называется регуляризованным решением системы уравнений ХПК = B5 [1,8,9].

Необходимо найти параметр а так, чтобы Ка стремится к искомому решению К0, т.е. ЦКа — К01| ^ 0 при а^- 0. Для этого будет использован метод выбора квазиоптимального значения

параметра регуляризации [10-12]. Будет рассмотрена геометрическая последовательность с заданным начальным значением а1 и знаменателем прогрессии q, удовлетворяющая следующим условиям:

q = аг+1 е (0, i), i = 1,2,..., N. На основе последовательности {агj строится последовательность

а г

{Ка j с соответствующим значением параметра регуляризации аг. В последовательности {аг j квазиоптимальным значением параметра регуляризации считаем такой элемент а ■, для которого достигается

K а+1 _ к °

min . На практике мы будем выбирать значение а- так, чтобы Kа+1 — Kа аппрок-

симирует нулю. Здесь отметим, что если произвольно устремить а к нулю, то регуляризованные решения Ка могут, вообще говоря, не аппроксимировать искомое решение К0, хотя ||хлК — В8|| может

быть как угодно малой. Поэтому мы будем выбирать максимально возможное значение параметра а [11].

Устойчивость регуляризованных решений при малом изменении исходных данных. Будет рассмотрен более подробно метод регуляризации Тихоново решения коэффициентной обратной задачи. Метод регуляризации Тихонова является дальнейшим развитием метода наименьших квадратов Гаусса (дающего псевдорешение) и метода псевдообратной матрицы Мура-Пенроуза (дающего нормальное решение) [13].

Рассмотрим функционал М(К) = ||х^К — В5|| + а||К||2. В методе регуляризации Тихонова ставятся два условия: условие минимизации невязки Цх^К — В5|| и условие минимизации нормы решения ||К||2. Роль стабилизирующего слагаемого а||К||2 в функционале М(К) заключается в том, чтобы отбросить такие минимизирующие элементы, которые не является приближением к точному решению К0 [13].

Далее, будет рассмотрена задача нахождения минимума функционала М (К) с точки зрения

теории оптимизации. Именно, будет использован метод необходимых условий, в котором минимизирующий элемент вычисляется на основе необходимых условий оптимума [14].

II - 2 2

Х^К — ВО + а ||К достигается минимума, где а - достаточно малый положительный параметр.

Будем показывать, что решение задачи 3 существует, единственно и непрерывно зависит от изменения исходных данных | X В !.

1л' О)

Функционал М (К) является дифференцируемым для любого значения К. Будет рассмотрено необходимое условие существования экстремум (минимум или максимум) функционала М (К). Первый дифференциал функционала М (К) имеет вид:

СМ(К) = С[(XлК — ВО, ХлК — В8) + а(К, К)

= 2

(dK, (Х;Хл+аЕ)K-Х;В5)

где ХЛ - сопряженная матрица с Хл. Экстремум (минимум или максимум) функционала М(К) является решением уравнения СМ (К) = 0 о (х* Хл + аЕ )К = ХЛВ 5.

(К

Далее, мы будем показывать единственность экстремума функционала М (К), т.е. единственности решения системы (Х*Х +аЕ)К = Х*В5. Системы (Х* Х +аЕ)К = Х* В5 линейная, по-

V Л Л ) Л5 V Л Л ) Л5

этому достаточно показать, что система (Х ЛХЛ + аЕ) К = 0 имеет только нулевое решение. Предположим, что система (х*ХЛ + аЕ)) = 0 имеет решение К1 Ф 0. Тогда имеется:

о-2'

|( ХЛ Хл +аЕ) К1 = 0 о ((х* Х + аЕ )), ( ХЛ Хл + аЕ ) К1) = 0

■ а2 (К1, К1) + 2а(Х^, Х л К1) + (ХЛХ^, ХЛ^К1) = 0. Нетрудно видеть, что это равенство невозможно потому, что а2 (К1, К1 )> 0, (ХЛ К1, ХЛ К1) > 0 и (х*ХК1, ХЛХЛ К1) > 0 . Таким образом система (Х ЛХЛ + аЕ)К = 0 имеет только нулевое решение, поэтому экстремума функционала М (К) всегда единственна [4].

Экстремум функционала М(К) будет обозначен символом К . = (Х*Х +аЕ) Х"В5.

\ / ехт \ Л Л / Л 5

Чтобы сделать вывод, что М(К) достигается минимумом при К = Кех., нужно показать, что

( М (к) > 0 (достаточное условие существования минимум ). Второй дифференциал функционала СК2

М (К ) имеет вид:

С2М (К) = С [(сК, Х*ХЛ К - ХЛВ5) + (СК, аК)] = ||х ЛСК||2 + а||СК||

2 >0.

С2М (К)

Так как-Ь—> 0 при всех векторах К, то К . является минимумом. Итак, задача 3 всегда имеет

СК2 ех

а |хл В5|>

а

единственное решение.

Далее, будет рассмотрено свойство устойчивости К =(Х ' Х +аЕ) ХЛ В5 при малом

ех. \ Л Л / Л 5

изменении исходных данных {х В } Имеется

(. л' 5)'

К Х л + аЕ )к||2 = ||( ХЛ Хл + аЕ) к|| * || (ХЛ Х + аЕ) к|| = = а2 (к, к) + 2а (х к, х к) + (х Л^к, х Л^к).

Из этого следует, что (Х ЛХл +аЕ)к|| >а2||К||2 о||(ХЛХл +аЕ)к|| >а|К||. Поставляя Кех = (х* Хл +аЕ ) ХЛ В5 в ||( ХЛ Хл +аЕ ) к|| >а|к||, мы получаем

(х*Хл + аЕ) 1 ХЛВ5 . Это означает, что матричный оператор (ХЛХл + аЕ) ограничен. Поскольку (х* Хл + аЕ) - линейный и ограниченный оператор, то он непрерывен. Отсюда, можно сказать, что решение К . задачи 3 устойчиво при малом изменении исходных данных {х В Л

ехг I л' 5 1

. Таким образом, в ходе метода регуляризации Тихонова будет найден вектор К ех, который единственно и устойчиво при малом изменении исходных данных {Хл, В5|. В случае, когда было найдено подходящее значение параметра регуляризации а , мы имеем, что К . является приближением к К0. Это означает, что К . является регуляризованным решением системы (4), т.е. Ка = К ..

ех. ех.

12

Заключение. В представленной работе была исследована устойчивость решения обратной задаче восстановления параметров математической модели, которое найденного методом регуляризации Тихонова. Была исследована математическая модель, описываемая системой обыкновенных дифференциальных уравнений. В рамках исследованной математической модели была поставлена обратная задача восстановления её параметров. Была сформирована система алгебраических уравнений с приближенными исходными данными. Для решения этой системы был использован метод регуляризации Тихонова. В результате расчетов было получено приближение к искомому точному решению (регуляризованное решение) обратной задачи. Устойчивость регуляризованного решения при малом изменении исходных данных была исследована. Был сделан вывод об устойчивости регуляризованных решений обратной задачи при малом изменении исходных данных. Эта работа считается теоретической базой для нашей будущей работы. Именно, в следующей части мы будем рассматривать в качестве численного примера математической модели кинетики процесса нефтепереработки [6,15-17] и проверять устойчивость решения обратной задачи восстановления её параметра.

Список литературы

1. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. 2-е изд. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1979. 285 с.

2. Kabanikhin S.I. Inverse and Ill-posed Problems // De Gruyter. DE GRUYTER, 2011. 476 с.

3. Morozov V.A. Methods for Solving Incorrectly Posed Problems // Methods for Solving Incorrectly Posed Problems. New York, NY: Springer New York, 1984. 253 с.

4. Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд-во МГУ, 1994. 208 с.

5. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и её приложения. М.: Наука, 1978. 206 с.

6. Хуен Л.В. Устойчивость динамической системы с приближенными параметрами, найденными методом регуляризации Тихонова // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2022. Вып. 12. С. 429-435.

7. Хуен Л.В., Черненькая Л.В. Методика нахождения приближенного решения для коэффициентной обратной задачи // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2022. Вып. 10. С. 274-282.

8. Ольховой А. Введение в теорию обратных и некорректных задач. LAP Lambert Academic Publishing, 2012. 124 с.

9. Тихонов А.Н. О некорректных задачах линейной алгебры и устойчивом методе их решения // Докл. АН СССР. 1965. Т. 163, № 3. С. 591-594.

10. Морозов В.А. Методы регуляризации неустойчивых задач. М.: Изд-во МГУ, 1987. 216 с.

11. Морозов В.А. Алгоритмические основы методов решения некорректно поставленных задач // Выч. мет. программирование. 2003. Т. 4, № 1. С. 130-141.

12. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математическрй физики. 3-е изд. М.: Издательство ЛКИ, 2009. 480 с.

13. Севастьянов Л.А., Ловецкий К.П., Ланеев Е.Б. Регулярные методы и алгоритмы расчета обратных задач в моделях оптических структур. М.: Российский университет дружбы народов, 2008. 135 с.

14. Козлов В.Н. Системный анализ, оптимизация и принятие решений. СПб: Изд-во Политехн. ун-та, 2011. 244 с.

15. Лысенкова С.А. О математическом моделировании каталитического крекинга // Вестник кибернетики. 2018. № 4. С. 107-110.

16. Хуен Л.В. Коэффициентная обратная задача в математической модели кинетики процесса нефтепереработки // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2022. Т. 18, № 5. С. 64-72.

17. Хуен Л.В., Фирсов А.Н. Метод регуляризации Тихонова для решения обратной задачи в математической модели кинетики процесса нефтепереработки // Вестник кибернетики. 2022. Т. 48, № 4. С. 49-58.

Лэ Ван Хуен, аспирант, huyen levan120193@gmail. com, Россия, Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого,

Черненькая Людмила Васильевна, д-р техн. наук, профессор, старший научный сотрудник, Россия, Санкт-Петербург, Санкт Петербургский политехнический университет Петра Великого

INVESTIGATION OF THE STABILITY OF REGULARIZED SOLUTIONS OF THE COEFFICIENT INVERSE

PROBLEM. PART 2

Le Van Huyen, L.V. Chernenkaya 13

This work is devoted to the study of the stability of an approximate solution to the problem of restoring the parameters of a mathematical model (continuous dependence of the solution on the initial data), which is found by the Tikhonov regularization method. The purpose of the work is to draw conclusions about the stability of the approximate solution (regularized solution) of the inverse problem with a small change in the measured initial data. To do this, we first consider a mathematical model described by a system of ordinary differential equations. Then, on the basis of the studied mathematical model, the inverse problem of restoring its parameters from the measured initial data was posed. From the inverse problem, the "exact" and "approximate" systems of algebraic equations with respect to the desired parameters will be compiled. Further, the "approximate" system of algebraic equations is solved by Tikhonov's regularization method. As a result, a regularized solution of an "approximate " system of algebraic equations is found, which is an approximation to the desired exact solution of the inverse problem. Finally, the stability of the found regularized solution is investigated. Our work helps to strengthen the theory in the process of constructing a method for solving inverse problems using Tikhonov's regularization method. The results of this work show that the regularized solution is completely stable with a small change in the initial data, i.e., it continuously depends on the initial data. Moreover, this solution is unique and is an approximation to the desired exact solution. Therefore, in practical problems, it can be used in the process of studying behavior, the properties of a mathematical model (solution of a direct problem).

Key words: stability, regularized solution, Tikhonov's regularization method, inverse problem, mathematical model, forecasting.

Le Van Huyen, postgraduate, huyenlevan120193@gmail.com, Russia, St. Petersburg, Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University,

Chernenkaya Liudmila Vasilievna, doctor of technical science, professor, Russia, St. Petersburg, Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University

УДК 623.463.3

DOI: 10.24412/2071-6168-2023-1-14-22

АНАЛИЗ ПРИМЕНИМОСТИ МОДЕЛИ РЕШЁТОЧНОГО ГАЗА D2Q4 ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ИНЖЕКЦИИ

Д.Б. Дмитриенко, А.М. Башанин

В статье рассматривается возможность применения модели решеточного газа - разновидности клеточного автомата, с четырьмя степенями свободы для моделирования инжеции перпендикулярных сверхзвуковых потоков. Описано построение и принцип эволюции клеточного автомата. Проведена верификация модели на тестовой задаче, решенной в Ansys Fluent.

Ключевые слова: клеточный автомат, решеточный газ, математическое моделирование, ин-жекция, Ansys Fluent, перпендикулярные потоки.

Перпендикулярное столкновение двух потоков жидкости или газа - достаточно распространенная газодинамическая задача, решаемая в различных областях науки техники. Так, например инжек-ция струи газа или топлива в сверхзвуковую часть сопла ракетного двигателя является одним из способов управления его тягой и другими динамическими характеристиками [1]. Также, инжекция, смешение и горение топлива имеют место в рабочем тракте гиперзвуковых прямоточных воздушно-реактивных двигателей, а рассматриваемые процессы изучаются и моделируются на соответствующих установках -поршневых или мембранных гиперзвуковых ударных трубах [2,3].

Помимо этого, рассматриваемая задача часто решается в рамках классической аэродинамики, проектирования и расчета камеры сгорания жидкостных турбореактивных двигателей, создания эффективных систем охлаждения электроники и других греющихся объектов, моделирования процессов, происходящих в эжекторах танковых орудий. Разумеется, для каждого из перечисленных случаев имеются свои специфические начальные условия, геометрия параметры среды и так далее.

Очевидно, что при таком широком спектре использования инжекции, существует большое количество различных подходов к решению задачи, начиная от эмпирических формул расчета и заканчивая моделированием с высокой точностью в специальных пакетах вычислительной газодинамики (CFD).Цель данной работы проверить применимость модели решеточного газа HPP (D2Q4), для определения параметров сверхзвукового потока, перпендикулярно которому вдувается звуковой поток (М = 1), а также визуально оценить характер смоделированного течения.

Стоит отметить, что модель с ортогональной решеткой является одной из самых простых, среди подобного класса моделей, и имеет ряд недостатков, однако может быть применима при отсутствии высоких требований к точности результата или в случае простой геометрии исследуемой области [4].

14