МЕТОДИКА НАХОЖДЕНИЯ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Михалев Олег Николаевич, канд. техн. наук, доцент, mih_tm@mail.ru, Россия, Россия, Чебоксары, Чувашский государственный университет имени И. Н. Ульянова,

Янюшкин Александр Сергеевич, д-р техн. наук, профессор, yanyushkinas@mail.ru, Россия, Чебоксары, Чувашский государственный университет имени И. Н. Ульянова

APPLICATION OF SEGMENTATION FOR PART CONTOUR DETECTION IN TECHNOLOGICAL DESIGN

AUTOMATION

O.N. Mikhalev, A.S. Yanyushkin

Machine vision is increasingly used in the automation of various complex and creative tasks. It is used to detect, recognize and classify various objects in an image or video stream. One of the important methods of machine vision is image segmentation. With the help of segmentation, the exact boundaries of objects in the image are determined, and the recognition of selected objects makes it possible to make various decisions. Similar methods are used in the analysis of medical and metallographic images, robotization, the implementation of unmanned vehicles, the control of parts, and in solving many other problems. Segmentation can also be applied in the field of technological design. Detection and recognition of the contour of parts or their elements allows you to find typical technological solutions and apply them in the design of technological processes.

Key words: machine vision, segmentation, contour detection, element recognition, technological process design automation.

Mikhalev Oleg Nikolaevich., candidate of technical sciences, docent, mih_tm@mail. ru, Russia, Cheboksary, Ulianov Chuvash State University,

Yanyushkin Alexander Sergeevich, doctor of technical sciences, professor, yanyushkinas@mail.ru, Russia, Cheboksary, Ulianov Chuvash State University

УДК 517.9:519.6:811

DOI: 10.24412/2071-6168-2022-10-274-282

МЕТОДИКА НАХОЖДЕНИЯ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

Лэ Ван Хуен, Л.В. Черненькая

Данная статья посвящена вопросам, связанным с построением методики нахождения приближенного решения для коэффициентной обратной задачи. Для этого в рамках исследуемой математической модели была поставлена обратная задача: по исходным данным, измеряемым в некоторые моменты времени, определить параметры математической модели. Потом построена методика решения поставленной обратной задачи, состоящая из четырех шагов. Сначала использован метод конечной разности для формирования «точной» системы алгебраических уравнений. Затем использован метод интерполяции для формирования «приближенной» системы алгебраических уравнений. Далее использован метод регуляризации Тихонова для построения регуляризирующего уравнения Тихонова. И, наконец, найден параметр регуляризации, а также найдено регуляризованное решение. В качестве численного примера рассмотрена и решена обратная задача в рамках математической модели процесса обучения английскому языку. Результат расчетов показывает эффективность и применимость построенной методики при решении практических задач.

Ключевые слова: приближенное решение, обратная задача, математическая модель, метод конечной разности, метод интерполяции, регуляризация Тихонова, обучение английскому языку.

Под обратной задачей понимается процесс идентификации неизвестных параметров прямой задачи на основе информации, полученной из ряда наблюдений [1-8]. С развитием мощных ЭВМ нахождение решения обратных задач стало для исследователей проще. В последние десятилетия обратная задача является популярным направлением исследований в области вычислительной и прикладной математики, имеет широкое применение в идентификации систем, оптике, радарах, акустике, теории связи, обработке сигналов, медицинской визуализации, геофизике, океанографии, астрономии, дистанционном зондировании, обработке естественных языков, машинном обучении и многих других областях. В связи с большой практической применимостью решение обратной задачи превращается в междисциплинарную науку, развивается как новое перспективное направление исследований. Вот почему обратная задача привлекает все больше и больше внимание многих ученых всего мира.

274

Самая большая проблема, возникающая при решении обратных задач, заключается в том, что большинство обратных задач являются некорректными. Некорректно поставленные задачи начали изучаться в начале 20-го века. В 1902 году определение корректности задач впервые было дано французским математиком Ж. Адамаром для дифференциальных уравнений с частными производными в статьи [9]. Соответственно, задачи, которые либо не имеют решений, либо имеют много решений (более одного), либо неустойчивы при малом изменении исходных данных, называются некорректными задачами. Практически решение большинства обратных задач не устойчиво при малом изменении исходных данных. Существуют различные методы решения обратных задач в зависимости от типа математического уравнения, используемого в математических моделях. Одним из наиболее часто используемых методов решения обратных задач является метод регуляризации Тихонова. Например, в [10] с помощью этого метода автором решена обратная задача в математической модели кинетики процесса нефтепереработки.

Метод регуляризации Тихонова - алгоритм, позволяющий находить приближенное решение некорректно поставленных задач с приближенными исходными данными. Данной метод был разработан А. Н. Тихоновым и впервые введен в работах [1,2] в 1963 году. В данной работе будет сформирована и решена обратная задача в рамках математической модели, описываемой системой обыкновенных дифференциальных уравнений.

Постановка обратной задачи. Исследуемая математическая модель, описанная в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений, имеет вид:

^ = лк (), x (г),=0 = x ( 0),

Л V, ^ (1)

где л - матрица с постоянными коэффициентами а-, где /, j = 1,2,...,п; x(?) - вектор,

Х(') = ( (0,Х2 ('хп ())Г .

В рамках математической модели (1) будут поставлены следующие две задачи.

Задача 1. По заданным коэффициентам а■■ = а0-, где ■ j = 1 п и начальным условиям

Ч Ч и 1 1

Т

X(0) = (х (0), Х2 (0),..., Хп (0)) в начальный момент времени ( = 0, необходимо определить

Х() = (х1 (0,Х2 (),...,Хп ())Т.

Задачу 1 будем называть прямой задачей в рамках данной работы. Она представляет собой задачу построения решения линейной системы дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями (задачу Коши). Эту задачу будем называть прямой задачей в рамках математической модели (1).

Т

Задача 2. По заданным X(к) = ( (к),х2 (к),...,хп (к)) в моменты времени гк, где к = 1,2,...,п, необходимо определить коэффициенты а- = а-, где ■,- = 1,...,п.

Задачу 2 будем называть обратной задачей по отношению к задаче 1 в рамках математической

Т

модели (1). Решение задачи 2 обозначаем к0, к0 =(а{\,...,а\п, ... ,а^х,...,) . В данной работе

вместо точного решения к0 задачи 2 будем искать его приближение. Для этого будем использовать следующие методы: метод конечных разностей, метод интерполяции, метод регуляризации Тихонову. В результате проведенных расчетов будут найдены приближенные коэффициенты а-, где

■,■ = 1,...,п.

Методика решения обратной задачи. Методика решения обратной задачи 2 включает в себя четыре шага:

Шаг 1. Переход (1) в «точную» систему алгебраических уравнений xk = в относительно а ■■, где x - матрица с элементами х^ (?к ), Х2 (tk ),..., хп (?к )' к - вектор с элементами а■; в - вектор свободных членов;

Шаг 2. Из системы xk = в формирование «приближенной» системы алгебраических уравне-

ний X К = Вх относительно а■■, где X - приближение к матрице x по отношению

^ О ■ ^

^ — x

В5 - приближение к вектору в по отношению Цвд — в|| <5; ^, 5 - маленькое положительное число;

Шаг 3. Построение регуляризирующего уравнения Тихонова из системы алгебраических уравнений X ^К = В о , полученной в результате шага 2;

Шаг 4. Поиск параметра регуляризации и определение регуляризованного решения, являющего приближением к точному решению к0 системы хк = в (см. шаг 1).

Описание шага 1. Для перехода системы (1) в «точную» систему алгебраических уравнений

хк = в относительно а■■ будет использован метод конечных разностей.

V

Применяя метод конечных разностей, из (1) получаем систему алгебраических уравнений: х1 ( + И)- х1 ( - И)- 2о(И3 |

2И

х2 ( ьИ )- " х2 ( " -И)- 2о(и3 )

2И

хп (~ ьИ )- "хп (- -И)- 2о(и3)

= х1 ()а11 + х2 ()а12 + = х1 ()а21 + х2 ()а22

хп ( )а1п,

хп ()а2п,

(2)

2И

= х1 ( )ап1 + х2 ( )ап2

■ хп ( )апп

относительно а... Здесь, шаг И - очень маленькое положительное число.

2

Система (2) содержит п неизвестных ап,а12,...,а1п, а21,а22,...,а2п, ..., ап1,ап2,...,апп.

2

Подставляя ( = ^, где к = 1,2,...,п, в (2), получаем систему п алгебраических уравнений. При этом, имеем систему уравнений:

х1 (к + И)- х1 ( - И)- 2о(И3)

х1 (к )а11" х1 (к )а21

хп (к )а1п = ~хп (к )а2п =

х1 (к )ап1

2И

х2 (к + И) "х2 (к - И)- 2о(и3)

2И

хп (к + И )- " хп (к ' - И)- 2о(и3)

(3)

2И

относительно неизвестных а■■. Можно представить (3) в матрично-векторном виде хк = в, где x -

"У

матрица с элементами х1 ), х2 (1к ),

(((к); К - вектор с элементами а..,

Т

к = (ац,...,а1п, ... ,ап1,...,апп) ; в - вектор правой части (вектор свободных членов). Искомое ре-

шение к0 =( а°1,..., а°п

а0 а0 ,и.п1,..., и-пп

Т

обратной задачи 2 является точным решением системы (3).

Описание шага 2. Для формирования «приближенной» системы алгебраических уравнений X^К = Вд будут использованы исходные данные х1 ), х2 ((к), ••, хп ((к) и метод интерполяции

(метод кубического сплайна).

Пренебрегая о(И3 ), из (3) получаем систему уравнений:

х1 (к )а11" х1 (к )а21

хп (к )а1п =

х1 ((к + И)- х1 ((к - И)

х ( )а = х2 (к + И)-х2 (к -И) хпУк)а2п =-~7-,

х1 (к )ап1

' хп ((к )апп

2И )-

2И

..............................?

хп (к + И)- хп (к - И)

2И '

(4)

Заданные значения х1 (1к ), х2 ), .••, хп (1к ) получаются из эксперимента, а х1 (1к + И), х (?к - И), х2 (?к + И), х2 (?к - И), ..., хп (1к + И), хп (?к - И) получаются способом интерполяции кубическим сплайном. Поскольку х1 (), х2 ((к ), "•, хп (?к ) измеряются экспериментально, то они

276

х

могут содержать ошибки измерения и округления. Значения ^ (^ + Ь), х^ (^ — Ь), (¿к + Ь), х2 (¿к — Ь), •••, х„ (^ + Ь), х„ — Ь) найдены интерполированием, поэтому они также могут содержат не только ошибки округления, но и ошибки интерполяции. Можно переписать (4) в виде X ^К = В §,

где х^ - приближение к матрице x x по отношению

ХЛ - x

; а Bg - приближение к вектору B

по отношению ||в§ — в|| <5; л, 5 - маленькое положительное число.

Описание шага 3. Для построения регуляризирующего уравнения из системы алгебраических уравнений х ^К = В § будет использован метод регуляризации Тихонова.

Задача решения системы (4) некорректно поставлена, потому что она либо не имеет решения, либо имеет более одного решения, либо её решение не устойчиво при малом изменении х^, В§. Для

решения системы (4) будет использован метод регуляризации Тихонова [3-5]. В ходе этого метода вместо нахождения решения К0 системы (4) мы будем искать приближение к нему, которое является единственным и непрерывно зависит от X , В§. Будет найдено приближение к искомому решению К0 по

условию:

ХЛК - Bg

2 1|жЯ|2

+ а к

■ min min' а IIkII

где а = const > 0 - параметр регуляризации.

Из (5) вытекает регуляризирующее уравнение:

x^x^k + ак = x^bg,

Л

(5)

(6)

где хл

к а = (

5].

является регуляризованным решением уравнения X^K = Bg [3-

Необходимо найти параметр а так, чтобы Ка стремится к искомому решению К0, т.е. Ка— К0 ^0.

Описание шага 4. Для поиска параметра а и определения регуляризованного решения

Ка в рамках данной работы будут рассмотрены метод обобщенной невязки и метод выбора квазиоптимального значения параметра регуляризации.

Метод обобщенной невязки [1-8]. Этот метод будет использован в случае, когда нам извест-

хлка- bg

= 5 + л

к

[1-

ны значения л, 5. Параметр регуляризации а будет выбран так, чтобы 8]. Для этого необходимо выбрать очень маленькие значения а = |ю—1 10—2 10—9|. При каждом значении а-, где - = 1,2,...,N будем вычислять решение Ка' системы уравнений (6).

Поставляя к ' в

x^k г-bg

= 5 + Л

k

будут найдены значения л-, 5-. В качестве параметров

регуляризации будут выбраны значения, удовлетворяющие условиям: л <Лг, §<5-, |л — Лу | ^ 0, |5 — 5у| ^0.

В случае, когда нам известны значения погрешностей л, 5 в работах [5-8] также приводится другой метод нахождения параметра регуляризации. Будет использовано следующее условие, чтобы проверить, удовлетворяются ли значения а - е<10_1 10 2 10— ?. Параметр регуляризации а,- бу-

I I 5 5 5 1 I

дет выбран если он удовлетворяет условиям а- ^ 0

и (5 + л)2

а,-

. о при (л, g) ^ 0. При этом, имеет-

ся

К а- К0

<

(5 + Л)2

а,-

Метод выбора квазиоптимального значения параметра регуляризации [11-13]. Этот метод будет использован в случае, когда нам не известны значения ^, 5. Будет рассмотрена геометрическая последовательность с заданным начальным значением ^ и знаменателем прогрессии д, удовлетворяющая следующим условиям: д= аг+1 е(д 1), ■ =1,2,..., N. На основе последовательности |аг-}

а,-

строится последовательность (к^ I с соответствующим значением параметра регуляризации а ■. В по-

I )

следовательности | квазиоптимальным значением параметра регуляризации считаем такой элемент

К а1+1 - К а'

а{, для которого достигается а^ так, чтобы Ка+1 - Ка

т^п. На практике мы часто будем выбирать значение

0.

По найденному значению параметра регуляризации мы можем определить регуляризованное решение путем решения системы (6).

Расчетный пример. В качестве численного примера будет рассмотрена математическая модель, описывающая процесс обучения английскому языку [14-20].

Процесс обучения английскому языку происходит между двумя противоположностями: родным и английским языком. Взаимодействие родного и английского языков при обучении можно представить графически в виде схемы, приведенной на рис. 1.

Лп

Л].

№

Рис. 1. Граф модели обучения английскому языку

Это взаимодействие создаст три состояния для каждого учащегося, включая состояние родного языка, состояние интерязыка и состояние английского языка. На рис.1. обозначено: А0 - состояние родного языка; А1 - состояние интерязыка; А2 - состояние английского языка; - интенсивность использования родного языка для изучения английского языка; А,1 - интенсивность обращения к английскому языку в процессе его изучения; ц - интенсивность обращения к родному языку при забывании значений слов, выражений, понятий английского языка; ^2 - интенсивность использования английского языка в процессе его изучения [14-20].

Под интенсивностью понимается количество обращений за единицу времени (неделя, месяц, семестр) [14-20].

Предполагается, что процесс изучения английского языка носит вероятностный характер, так как зависит от множества часто случайных факторов. С учетом этого предположения в качестве математической модели анализа субординативного билингвизма предлагается следующая система дифференциальных уравнений, записанная относительно вероятностей состояний:

^Р^ = --0 р0 () + шР ('),

жр1 (()

ж

= ^0 Р0 (( )-(^1 +Ц1 )Р1 (( ) + Ц2 Р2 (( ),

ЖР2 () =

(7)

Ж

= (()-Ц2 Р2 ( ),

р0 ((),=0 = Р0 (0) , Р1 ((\=0 = Р1 (0), Р2 ((\=0 = Р2 (0), где Р0 (() - вероятность состояния «знание родного языка»; Р (() - вероятность состояния «интерязыка»; Р2 (() - вероятность состояния «знание английского языка»; Р0 (() + Р1 (() + Р2 (() = 1 [14-20].

Под вероятностью состояния языка можно понимать количественную оценку уровня знания языка в пределах от нуля до единицы. Причем уровень знаний включает не только запас слов, но и фонетику, грамматику и синтаксис языка. Предполагается, что эта оценка определяется при тестировании обучаемого [14-20].

Прямая задача. По заданным значениям параметров Я0 = Я0, = Я0, Ц = Ц0, Ц2 = Ц2 и

Т

начальным условиям р(0) = (( (0), р (0), Р2 (0)) в начальный момент времени г = 0, определить

Р(') = ((^), /1 (г), /2^))Т.

Обратная задача. По заданным р(^) = ( (к), Р\ (к ), /2 (к)) в моменты времени гк,

где к = 1,2,...,N, определить значения параметров Я0, Яр Цр ц2 (т.е. я0, Я0, Ц0, Ц°).

Рассмотрим обратную задачу для процесса обучения английскому языку. Пусть нам известны вероятности состояний «знание родного языка», «знание интерязыка» и «знание английского языка» студента в разные моменты времени. В частности, существует программа обучения английского языка продолжительностью 20 недель. Для каждого студента преподаватель проводит входной тест. Тест включает следующие два типа вопросов: 1) и вопросы, и варианты ответов на английском языке; 2) вопросы на английском языке, варианты ответов на родном языке или, наоборот, вопросы на родном языке, варианты ответов на английском. Результат теста показывает состояния «знание родного языка», «знание интерязыка» и «знание английского языка» студента в начальный момент времени. Кроме этого, в процессе обучения будут проведены промежуточные тесты по следующему плану. Через 1 неделю, 2 недели, 3 недели, 4 недели преподаватель дает тесты, аналогичные входному тесту, для проверки состояний «знание родного языка», «знание интерязыка» и «знание английского языка» студента.

Для удобства расчета мы не будем использовать единицу времени недели. Вместо этого мы будем использовать шкалу данных от 0 до 2. Данные будут нормализованы и представлены в таблице. При этом,

значение г будет определено по формуле г = количество недель ^ ^ (без размерности).

20

Измеренные вероятности состояния «знание родного языка», «знание интерязыка»

и «знание английского языка»

Неделя г р0 (г) /1 (г) /2 (г)

0 0 0.400 0.600 0

1 0.1 0.479 0.355 0.166

2 0.2 0.522 0.238 0.240

3 0.3 0.547 0.182 0.271

4 0.4 0.564 0.154 0.282

Будем применять построенную методику, чтобы решить поставленную обратную задачу. Сначала выбираем «подходящее» значение параметра регуляризации ^ = 1. Затем вычисляем к^ (

к^ = 1.97826) в соответствии с параметром ^ = 1. Далее строим геометрическую последовательность {а^} по параметру ^ такую, что аг-+1 = 0.8аг-, где ' = 1, 2,..., 100 . Наконец, будут вычислены значения к^1 и построена последовательность приближенных решений {к

{к а}.

Рис. 2 показывает оценку нормы разности приближенных решений на двух соседних итерациях

к+1 к

к™ — к™

Из рис. 2 нетрудно видеть, что при ' = 26,27,....100 имеем, что

2

к

'+1

-к ?

. 0. Для каждо-

го значения ' = 26,27,....100 будут вычислены

ХЛК' — В5

к

2

. В результате расчета будет

выбрано значение параметра регуляризации а = а30 = 0.00155 так, что значение параметра регуляриза-

ции - наименьшее, т. е. можное.

Х1/Ч |>

цК1 — В8

2

- наименьшее, а значение

к ?

2

- также наименьшее воз-

При а = 0.00155 имеем, что Я0 = 0.25569, Я1 = 3.83106, ц1 = 1.89680, ц2 = 1.86841. Рис. 3 показывает изменение вероятности состояния «знание родного языка», «знание интерязыка» и «знание английского языка» при Я0 =0.25569, Я1 = 3.83106, ц1 = 1.89680, ц2 = 1.86841. На рис. 3 звездочками обозначены измеренные вероятности состояния «знание родного языка», «знание интерязыка» и

279

и

«знание английского языка» (т.е. исходные данные). Кривые р (t), р (t), p2 (t) выражают изменение

вероятности состояний «знание родного языка», «знание интерязыка» и «знание английского языка» с течением времени.

0.25

0.2

o.os

о-------- ■—--

О 10 20 30 40 50 60 70 ВО 90 100

1

Рис. 2. Оценка нормы разности приближенных решений на двух соседних итерациях

изменение вероятности состояния «знание родного языка» рд(0-

t

Рис. 3. Изменение вероятности состояния «знаниеродного языка», «знание интерязыка»

и «знание английского языка»

Очевидно, что измеренные значения очень близки к кривым. Отсюда можно сделать вывод, что найденные приближенные значения интенсивности Л0 = 0.25569, А =3.83106, Ц1 =1.89680, ^2 = 1.86841 можно принять как решение обратной задачи 2. Нахождение значения параметров , А^, М1, ^2 помогает преподавателям контролировать и прогнозировать результаты обучения студентов английскому языку. Основываясь на этом прогнозе, преподаватели и студенты могут планировать обучения, чтобы достичь наибольшей эффективности и наилучших результатов после окончания курса. Для этого можно изменить интенсивность использования родного языка для изучения английского языка; интенсивность обращения к английскому языку в процессе его изучения; интенсивность обращения к родному языку при забывании значений слов, выражений, понятий английского языка; интенсивность использования английского языка в процессе его изучения.

Заключение. В представленной работе была поставлена обратная задача в рамках математической модели, описываемой системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Была построена методика решения поставленной обратной задачи, состоящей из четырех шагов. Для построения методики были использованы метод конечной разности, метод интерполяции (метод кубического сплайна) и метод регуляризации Тихонова. Предложены способы определения параметра коррекции. Разработанная методика позволяет определить приближенные параметры математической модели, т.е. коэффициенты в системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Приведен численный пример решения обратной задачи в рамках математической модели процесса обучения английскому языку. На основе измеренных данных о вероятности состояния «знание родного языка», «знание интерязыка» и «знание английского языка» были найдены приближенные значения параметров для данной математической модели. Результаты в этом примере показывают эффективность и применимость разработанной методики.

Список литературы

1. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // Докл. АН СССР. 1963. Т. 151, № 3. С. 501-504.

2. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // Докл. АН СССР. 1963. Т. 153, № 1. С. 49-52.

3. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. 2-е изд. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1979. 2S5 с.

4. Тихонов А.Н. О некорректных задачах линейной алгебры и устойчивом методе их решения // Докл. АН СССР. 1965. Т. 163, № 3. С. 591-594.

5. Ольховой А. Введение в теорию обратных и некорректных задач. LAP Lambert Academic Publishing, 2012. 124 с.

6. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сибирский федеральный университет, 2009. 457 с.

7. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и её приложения. М.: Наука, 197S. 206 с.

S. Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд-во МГУ, 1994. 20S с.

9. Hadamard J. Sur les problèmes aux dérivés partielles et leur signification physique // Princet. Univ. Bull. 1902. Т. 13. С. 45-52.

10. Хуен Л.В. Коэффициентная обратная задача в математической модели кинетики процесса нефтепереработки. 2022. Т. 1S, № 5. С. 64-72.

11. Морозов В.А. Методы регуляризации неустойчивых задач. М.: Изд-во МГУ, 19S7. 216 с.

12. Морозов В.А. Алгоритмические основы методов решения некорректно поставленных задач // Выч. мет. программирование. 2003. Т. 4, № 1. С. 130-141.

13. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математическрй физики. 3-е изд. М.: Издательство ЛКИ, 2009. 4S0 с.

14. Кирий В.Г., Рогозная Н.Н. Математическая модель субординативного билингвизма. Возникновение интерязыка // Вестник ИрГТУ. 2009. № 2(38). С. 1S9-191.

15. Кирий В.Г., Чан Ван Ан. Амбивалентная система дистанционного обучения неродному языку на основе сетевых технологий // Образовательные технологии и общество. 2010. Т. 13, № 4. С. 246-267.

16. Кирий В.Г., Чан Ван Ан. Об одной математической модели амбивалентной системы обучения неродному языку // Вестник НГУ. Серия Информационные технологии. 2010. Т. S, № 1. С. 4553.

17. Кирий В.Г., Чан Ван Ан. Повышение интерактивного взаимодействия в амбивалентной системе дистанционного обучения неродному языку // Образовательные технологии и общество. 2011. Т. 14, № 3. С. 354-369.

1S. Чан Ван Ан. Практическая реализация технологии обучения неродному языку на основе сайта «Ambsystedu» // Образовательные технологии и общество. 2012. Т. 15, № 4. С. 390-40S.

19. Кирий В.Г., Рогозная Н.Н., Чан Ван Ан. О влиянии параметров процесса обучения неродному языку на структуру интерязыка // Вестник ИрГТУ. 2012. № 5(64). С. 15-20.

20. Кирий В.Г., Чан Ван Ан. О корректировке процесса обучения неродному языку.pdf // Вестник ИрГТУ. 2012. № 10(69). С. 23-2S.

Лэ Ван Хуен, аспирант, huyen levan120193@gmail. com, Россия, Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого,

Черненькая Людмила Васильевна, д-р техн. наук профессор, старший научный сотрудник, Россия, Санкт-Петербург, Санкт Петербургский политехнический университет Петра Великого

METHOD FOR FINDING AN APPROXIMATE SOLUTION FOR THE COEFFICIENT INVERSE ILL-POSED

PROBLEM

Le Van Huyen, L.V. Chernenkaya

This article is devoted to issues related to the construction of a technique for finding an approximate solution for the coefficient inverse problem. To do this, first, within the framework of the mathematical model under study, the inverse problem was set: according to the initial data measured at some points in time, determine the parameters of the mathematical model. Then, a technique for solving the set inverse problem was constructed, consisting offour steps. First, the finite difference method was used to form an "exact" system of algebraic equations. Then, the interpolation method was used to form an "approximate" system of algebraic equations. Further, the Tikhonov regularization method is used to construct the regularizing Tikhonov equation. And finally, the regularization parameter is found, and the regularized solution is also found. As a numerical example, an inverse problem is considered and solved within the framework of a mathematical model of the process of teaching English. The result of the calculations shows the effectiveness and applicability of the constructed methodology in solving practical problems.

Key words: approximate solution, inverse problem, mathematical model, finite difference method, interpolation method, Tikhonov regularization, English language training.

Le Van Huyen, postgraduate, huyenlevan120193@,gmail.com, Russia, St. Petersburg, Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University,

Chernenkaya Liudmila Vasilievna, doctor of technical science, professor, Russia, St. Petersburg, Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University

УДК 623.4

DOI: 10.24412/2071-6168-2022-10-282-287

ОСОБЕННОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВНУТРИБАЛЛИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК МНОГОКАМЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО УСТРОЙСТВА МЕТОДАМИ ЧИСЛЕННОГО

МОДЕЛИРОВАНИЯ

Д.В. Сладков

В статье рассматривается возможность определения параметров внутрибаллистических характеристик многокамерного экспериментального устройства методами численного моделирования с учетом горения и перетекания твердых частиц. Проводится сравнительный анализ решения задачи в термодинамической и газодинамической постановках.

Ключевые слова: поток газа, конденсированная фаза, горение, внутрибаллистические характеристики, полости.

Анализ конструктивных схем разделяющихся тепломеханических систем (ТМС) показывает, что с точки зрения внутренней баллистики, газовой динамики и теории тепломассообмена они могут быть представлены как ряд последовательно, либо параллельно, расположенных и сообщающихся между собой объемов. Источником массы и энергии в ТМС, как правило, является дымный ружейный порох (ДРП) различного фракционного состава, имеющий в продуктах сгорания большое количество, около 50%, конденсированной фазы.

Для определения локальных параметров газа в таких системах используются математические модели различной сложности, в которых продукты сгорания ДРП рассматриваются как газообразная среда с внутренними источниками тепла и массы.

В рассматриваемом случае использование известных зависимостей [2, 4] осложняется наличием большого количества к-фазы в продуктах горения ДРП, существенно влияющих на процессы теплообмена.

Необходимо отметить, что корректно определить внутрибаллистические характеристики (ВБХ) процессов в рабочих полостях ТМС расчетными методами не всегда возможно, а получение наиболее достоверных параметров интенсивности тепломассопереноса и тепловых нагрузок в рабочих полостях изделия требует проведения эксперимента.