КОЭФФИЦИЕНТНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ КИНЕТИКИ ПРОЦЕССА НЕФТЕПЕРЕРАБОТКИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

DOI 10.36622^Ти.2022.18.5.008 УДК 517.9:519.6:544.4

КОЭФФИЦИЕНТНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ КИНЕТИКИ

ПРОЦЕССА НЕФТЕПЕРЕРАБОТКИ

Лэ Ван Хуен

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, г. Санкт-Петербург, Россия

Аннотация: в рамках математической модели кинетики процесса нефтепереработки изучена обратная задача: по заданным концентрациям исходного вещества и продуктов определить константы скорости реакций. Предложена методика решения этой задачи, основанная на методе конечных разностей, методе интерполирования исходных данных - кубического сплайна и методе регуляризации Тихонова. В результате проведенных расчетов найдены приблизительные константы скорости реакций. Чтобы оценить приемлемость найденных приблизительных констант скорости реакций, проверено совпадение между измеренными и расчетными концентрациями исходного вещества и продуктов. Для этого использованы статистические параметры: коэффициент корреляции Пирсона R2 и показатель эффективности Нэша-Сатклиффа ЖЕ . Найденные приблизительные константы скорости реакций позволяют прогнозировать концентрации исходного вещества и продуктов в любой момент времени путем решения системы дифференциальных уравнений. Например, когда нужно определить концентрацию веществ в какой-то момент в прошлом, но мы не можем произвести измерение, или в будущем без проведения измерения. Более того, из найденных приблизительных констант скорости реакций можно определить показатели в реакциях процесса нефтепереработки, такие как энергию активации, температуру

Ключевые слова: обратная задача, математическая модель, химическая кинетика, процесс нефтепереработки, метод конечных разностей, метод кубического сплайна, метод регуляризации Тихонова

Благодарности: автор выражает благодарность и глубокую признательность д-ру техн. наук, профессору Фир-сову Андрею Николаевичу за руководство, советы и ценные замечания при работе над данной статьей

Введение

В последние десятилетия с появлением и развитием мощных ЭВМ обратная задача стала популярным направлением исследований в области вычислительной и прикладной математики. Она имеет широкое применение в идентификации систем, оптике, радарах, акустике, теории связи, обработке сигналов, медицинской визуализации, геофизике, океанографии, астрономии, дистанционном зондировании, обработке естественных языков, машинном обучении и многих других областях. На основе входных данных, полученных путем наблюдения, обратная задача позволяет идентифицировать параметры, которые мы не можем непосредственно измерять. В связи с большой практической применимостью она превращается в междисциплинарную науку, развивается как новое перспективное направление исследований. Вот почему обратная задача привлекает все больше и больше внимания многих ученых.

В данной работе будет сформирована и решена обратная задача в рамках математической модели кинетики реакции каталитическо-

го крекинга (т.е. процесса нефтепереработки): по заданным концентрациям исходного вещества и продуктов определить константы скорости реакций. Для процессов нефтепереработки и нефтехимии характерен сложный состав реагирующей смеси, большое количество одновременно протекающих реакций и взаимных превращений реагентов. Структура кинетических уравнений реакций зависит от физико-химических представлений состава реагирующей смеси и получаемых продуктов. В [1,2] была описана система дифференциальных уравнений математической модели кинетики одного из процессов нефтепереработки. Для этого взята гипотетическая гомогенная химическая реакция превращения углеводородов парафинового ряда в процессе каталитического крекинга. Решение данной системы позволило бы прогнозировать превращение концентраций исходного вещества и продуктов, управлять им и решать проблемы масштабного перехода от лабораторных исследований к работе промышленных агрегатов.

© Лэ Ван Хуен, 2022

Математическая модель кинетики процесса нефтепереработки

Рассмотрим математическую модель кинетики процесса нефтепереработки в случае, когда исходная смесь состоит из одного тяжелого углеводорода С [1,2]. Под действием температуры и соударений углеводород С распадается на углеводороды а, В и также превращается в изомер D с тем же количеством атомов углерода, что и в исходной молекуле. Вещество D также распадается на А и В либо обратно превращается в С . Пусть продукты реакции а, В - это более легкие углеводороды, и с ними никаких превращений далее не происходит.

Схема химических превращений при каталитическом крекинге будет иметь вид:

С-

СЮ-

->А + В. ^ Ю,

->С.

(1)

ю-

->А + В,

где к1, к2, к3, к4 - константы скорости реакций, с- [3].

Скорость реакций в схеме превращений (1) определяется формулами [3]:

СС СА СВ , г^т V, =--= — = — = к 1С I,

1 Ж 11- J '

СС ЛЮ

=--= — = к2 [С 1,

2 L J '

йЮ йС

(2)

=--=-= к [ Ю1,

31- -I

йЮ йА

=--= —=— = к4 [ Ю1,

41- -I

где v1, v2, v3, v4 - скорость реакций,

моль

л .с

йС йЮ

изменение концентрации

моль

веществ А, В, С , Ю за малое время

л.с

[С], [Ю] - концентрация веществ С, Ю,

моль

л

Из (2) следует, что изменение концентрации веществ А, В, С, Ю за малое время определяется по следующим формулам:

С- = К [С ] + К [ Ю], ^ = к! [С ]+ к4 [ Ю] ,

йС

(3)

— = -к1 [С]-к2 [С] + к3 [Ю],

СЮ = к2 [С]-к3 [Ю]-к4 [Ю] .

Математическая модель кинетики реакции каталитического крекинга, описанная схемой превращений (1) и (3), представляет собой систему дифференциальных уравнений [1,2]:

сУ1 (*)

Л су2 (*)

сУъ (*)

СУ4(*)

с*

= к1 У3 (*) + к4у4 (*);

= к1 У3 (*) + к4у4 (*);

= -(К + к2 )У3 (*) + к3У4 (*);

= к2 У3 (* )-( к2 + к4 ) У 4 ( * ) ,

(4)

где у1 (*), у2 (*), у3 (*) , у4 (*) - концентрация

веществ А, В, С, Ю в момент времени *. Предположим, что в начальный момент времени * = 0 концентрация веществ А, В , С , Ю равна у (0), у2 (0), У3 (0) , У4 (0). Из первых

двух уравнений системы (4) видно, что изменение концентрации веществ А , В за малое время одинаково.

Постановка обратной задачи

Будем рассматривать следующие две задачи, построенные в рамках математической модели кинетики реакции каталитического крекинга (4).

Задача 1. По заданным к1 = к10, к2 = к20, к = к30, к4 = к40 и концентрациям исходного вещества продуктов А, В , С , Ю в начальный момент времени * = 0, определить у1 (*), у2 (*),

У3 (*) , У4 (*) .

Задача 1 представляет собой задачу построения решения линейной системы дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями (задачу Коши). Эту задачу будем называть прямой задачей в рамках математической модели (4). Существуют разные методы для решения задачи 1, такие как метод

V

2

V

3

V

4

Эйлера в [2], одношаговый метод Рунге-Кутта и многошаговый метод Адамса-Башфорта в [4]. Решение задачи 1 позволяет определить концентрацию веществ А, В, С , D в любой момент времени, а также показывает, как меняется их концентрация во времени.

Можно переписать (4) в матрично-dY (х)

векторном виде:

= AY(X) , где

А = (а.у) ^ - матрица с элементами к1, к2, к3,

к4; У (х) = (у (х),у2 (X),Уз (х), у4 (х))) . Решение задачи 1 имеет вид: У (х ) = еАхУ (0), где

У (0) = (у (0), у2 (0), уз (0), У4 ( 0))Г - вектор

лх

начальных условий; е определяется соотно-« (Ах)к

шением: еАх = —— . Нетрудно доказать, что к=0 к!

прямая задача 1 корректно поставлена по Ада-мару (см. определение корректной задачи в [59]).

Задача 2. По заданным концентрациям исходного вещества и продуктов А, В, С , D в моменты времени X {, / = 1,2,..., определить к1,

к2 , к3 , к4 (т.е. к10 , к20 , к30 , к40).

Задачу 2 будем называть обратной задачей по отношению к задаче 1. В прикладных исследованиях, как правило, концентрацию веществ А, В , С , D можно измерить в любой момент времени X, т.е. нам известны у1 (х), у2 (х), у3 (X) , у4 (X) . Очевидно, что первое и второе

уравнения системы (4) совпадают. Удалив одно из них, получим следующую систему уравнений:

ф1 (х )

^3 ( х )

^4 (X)

dX

= к1 У3 (х ) + к4 у 4 (х ) ,

= -(к1 + к2 )У3 (X) + к3У4 ^) = к2 У3 ^ )-( к2 + к4 ) У 4 ( X ).

(5)

Применяя метод конечных разностей, из (5) получаем систему алгебраических уравнений относительно к1, к2, к3, к4:

У1 (х + к)- -У1 (X -к)-о( к3)

2к

У3 (х + к) - У3 (х - к)-о (к3)

У4 (х + к) 2к - У4 (X +У4 (х) к3 - к) - о (к3)

2к -У4 (х) к4

= У3 (х) к1 + У4 (X) к4, = -У3 (X) к1 - У3 (х) к2 + = [У3 (X)- У4 (X)] к2 -

(6)

Подставляя X = X1 и X = X2 в (6), получаем систему шести уравнений. Однако система (6) содержит четыре неизвестных к1, к2, к3, к4, поэтому из шести уравнений будем выбирать только четыре. Таким образом, получаем следующую систему уравнений:

= У3 (^ ) к1 + У4 (^ ) ^ = -У3 (X1) к1 - У3 (X1) к2 +

У1 (х1 + к)- -У1 (х1 - к)-о (к3)

2к

У3 (х1 + к)- -У3 (х1 - к)-о (к3)

2к +У4 (х1) К

У4 ( х1 + к )- - У4 (х1 - к)-о (к3)

2к -У4 (х1)k4,

У1 ( х2 + к )- - У1 (х2 - к)-о (к3)

1 2к

(7)

= [У3 (Xl)- У4 (Xl)]к2 -= У3 (X2 ) к1 + У4 (X2 ) к4.

Систему (7) можно представить в вектор-но-матричном виде: АК = В . Отметим, что процесс кинетики реакции каталитического крекинга произошла, поэтому система (7) всегда имеет хотя бы одно решение. Искомое решение задачи 2, обозначаемое

К0 =(к10, к20, к30, к40 )Г , является точным решением системы (7). Пренебрегая о(к3), из (7) получаем систему уравнений:

= У3 (X )к1 + У4 (^ )k4, = -У3 (X1) к1 - У3 (X1) к2 + У4 (X1) к3:

У1 (х1 + к)- У1 (х1 -к)

2к

У3 (х1 + к)- У3 (х1 -к)

2к

У4 (х1 + к)- У4 (х1 -к)

2к

У1 (х2 + к)- У1 (х2 -к)

2к

(8)

Значения У3 (хl) , У4 (хl), У3 (^ ) , У4 (^ )

4

2

24

получены из эксперимента, а у1 (*1 + h),

V (- h), У3 (+ h) , У3 (*1 - h) , У4 (*1 + h) , у4 (*1 - h), у1 (*2 + h), у1 (*2 - h) получены методом кубического сплайна. Поскольку у3 () , У4 (*1), У3 (*2), У4 (*2) измерены экспериментально, то они могут содержать ошибки измерения и округления. Аналогично, у1 (+ h) ,

VI (- h), У3 (+ h) , У3 (*1 - h) , У4 (*1 + h) , у4 (*1 - h) , у1 (*2 + h), у1 (*2 - h) найдены интерполяцией, поэтому они, очевидно, содержат не только ошибки округления, но и ошибки интерполяции.

Систему (8) можно представить в вектор-но-матричном виде: АкК = Вь, где Ак - приближение к матрице А, Вь - приближение к вектору В . Пусть система (8) имеет решение Км. При малом изменении А и В искомое решение К0 может изменяться сильно, т.е. Км может не стремиться к К0 [10]. При этом систему (8) целесообразно решать методом регуляризации Тихонова [5-9].

Будут найдены приближенные константы скорости реакций по следующему условию:

II l|2 II ||2

\AhK - 5J + а K ^ minmin.

(9)

где а = const > 0 - параметр регуляризации. Из (9) вытекает регуляризирующее уравнение:

л; AhK+ак = л: Bb

(10)

где А - сопряженный к матрице Ак.

Решение системы (10), обозначаемое

т^а (та та та та \Т

К =1 к , к2, к3 , к4 I , есть регуляризованное

решение системы (8) [7,9]. В методе регуляризации Тихонова необходимо найти параметр регуляризации а так, чтобы Ка стремился к искомому решению К0, т.е. Ка является приближением к К0.

Проанализируем (9) и (10). С увеличением же параметра а решение Ка становится глаже и устойчивей, т. е. уменьшается норма решения

||Ка|| , но увеличивается невязка ||А/гКа - Вь|| .

Истина - посередине, т.е. при некотором умеренном а решение Ка будет иметь и умеренную гладкость, и умеренную невязку. Суще-

ствует несколько способов выбора параметра а [9,11]. В данной работе проводим расчеты с несколькими значениями параметра, составляющими геометрическую прогрессию а = {102,103,104} [9].

Рассмотрим пример. Пусть нам известны концентрации А, С, Ю в разные моменты времени, т.е. у1 (*), у3 (*), у4 (*) (см. табл. 1).

Измеренные концент Таблица 1 эации веществ A, C , D

t ( c ) Я (t) Уз (t) У4 (t)

0 0 90 10

20 32.96800 59.27746 7.75455

30 45.11884 48.11464 6.76653

60 69.88058 25.74512 4.37430

100 86.46647 11.19889 2.33464

150 95.02129 3.96468 1.01403

170 96.66267 2.61883 0.71850

200 98.16844 1.40688 0.42469

220 98.77227 0.93015 0.29758

250 99.32621 0.50037 0.17343

Используя метод кубического сплайна, вычисляем у1 (+ h) , у1 (- h) , у3 (+ h) ,

Уэ (*1 - h), У4 (*1 + h), У4 (*1 - h) , У (*2 + h), у1 (*2 - h) и построим систему (8) при = 20, *2 = 30, h = 0.001. Регуляризованное решение системы (8) находим методом регуляризации Тихонова. В результате проведенных расчетов находим приближенные константы скорости реакций к1, к2, к3, к4 (см. табл. 2).

Таблица 2

Найденные приближенные константы скорости реакций к1, к2, к3, к4

а к k2 k3 k4

0.0100 0.02009 0.00091 0.00095 0.01939

0.0010 0.01994 0.00108 0.00108 0.02051

0.0001 0.01992 0.00110 0.00110 0.02063

Ниже будем представлять метод выбора лучшего параметра а . Идея состоит в выборе а так, чтобы расчетная концентрация веществ А, С , Ю была наиболее близка к измеренной концентрации. Для этого будем подставлять найденные приближенные константы скорости реакций к1, к2, к3, к4 (см. табл. 2) в (4) и решать прямую задачу. Из решения прямой задачи рассчитываются концентрации веществ А , С, Ю в разные моменты времени, т.е. УК (*) .

Расчетные концентрации веществ A, C, D будут сравниваться с измеренными значениями т е. Yk0 {t) .

Чтобы проверить совпадение между расчетными и измеренными значениями, будем использовать статистические параметры: коэффициент корреляции Пирсона R2 и показатель эффективности Нэша-Сатклиффа (Nash-Sutcliffe efficiency NSE) [12,13].

Коэффициент R2 (0 < R2 < 1) помогает предсказать, существует ли линейная корреляция между измеренными и расчетными концентрациями веществ a, C , D . Если R2 = 0, то полностью отсутствует линейная корреляция между измеренными и расчетными концентрациями веществ A, C , D . Если R2 = 1, то существует идеальная линейная корреляция между измеренными и расчетными концентрациями веществ A, C , D [12,13].

Показатель NSE (-да < NSE < 1) помогает предсказать, насколько хорошо график измеренных и расчетных данных соответствует линии 1:1. Если NSE = 0, то полностью отсутствует совпадение между измеренными и расчетными концентрациями веществ A , C , D . Если NSE = 1, то существует идеальное совпадение между расчетными и измеренными концентрациями A, C , D [12,13].

Рассмотрим задачу 1. Матрица AK с элементами k1 = k" , k2 = k" , k3 = k", k4 = k" обозначается AKa . Матрица AK с элементами k1 = k10, k2 = k20, k3 = k30, k4 = k40 обозначается AKa . Решение задачи 1 при AK = AK„, AK = AKo обозначается YK {t) и YK^ {t) . Прямая задача 1 корректно поставлена, поэтому при малом изменении матрицы решение YK {t) тоже

мало изменяется, т.е. ||yk {t) - YK^ {t)|| ^ 0 при ||AK" - AK11 ^ 0 . Имеем, что ||Ak„ - AK11 ^ 0 при К" - K0|| ^ 0. Отсюда, YK {t) непрерывно зависит от Ка. При этом будет выбран параметр а так, чтобы ||yk {t) - YKо {t)|| достигало минимума. Здесь под YK {t) понимается расчетная концентрация веществ A, C , D , а под Yk„ {t) - измеренная концентрация веществ A,

C , D . Поэтому будет выбран параметр а так, чтобы отклонение между расчетными и изме-

ренными концентрациями веществ А, С, D достигало минимума, т.е. показатель ^Е ^ 1.

В случае, когда а = 0.01, имеем к = 0.02009,

k2 = 0.00091,

k3 = 0.00095,

к4 = 0.01939. Расчетные концентрации А, С , D в разные моменты времени представляются в табл. 3.

Таблица 3

Расчетные концентрации веществ А, С , D при а = 0.01

t {<) Я {t) Я {t) Я {t)

0 0 90 10

20 32.98874 59.27021 7.74812

30 45.14089 48.10546 6.76363

60 69.89516 25.73437 4.38705

100 86.47201 11.19056 2.35926

150 95.02754 3.96021 1.03731

170 96.67124 2.61553 0.73898

200 98.18104 1.40489 0.44052

220 98.78748 0.92878 0.31049

250 99.34483 0.49962 0.18259

Для вещества А коэффициент R2 = 0.9999999482 и 1 показывает, что существует линейная корреляция между измеренными и расчетными концентрациями; МЖ = 0.9999996350 и 1 показывает, что существует совпадение между расчетными и измеренными концентрациями. Следовательно, существует линейная корреляция 1:1 между измеренными и расчетными концентрациями А, т.е. расчетная концентрация в любой момент времени немного отличается от измеренной.

Для вещества С коэффициент R2 = 0.9999999621и 1, №Е = 0.9999998757 и 1, а для D коэффициент R2 = 0.9999913692 и 1, Ы8Е = 0.9999689627 и 1. Это показывает, что существует линейная корреляция 1:1 между расчетными и измеренными концентрациями веществ С, D . При этом будем делать вывод: найденные приближенные константы к = 0.02009, к2 = 0.00091, к3 = 0.00095, к4 = 0.01939 , т.е. регуляризованное решение

Ка, можно рассматривать как решение обратной задачи 2.

В случаях, когда а = 0.001 и а = 0.0001 , мы делаем то же самое, что и в случае, когда а = 0.01. Значения R2 и ^Е при оценке линейной корреляции 1:1 между измеренными и расчетными концентрациями веществ А , С , D представляются в табл. 4 и 5.

Таблица 4

Коэффициент Я2 при оценке линейной корреляции между измеренными и расчетными концентрациями веществ А, С , Ю

В табл. 4 Я2 (у ) , Я2 (у2), Я2 (у3) обозначают коэффициенты корреляции Пирсона Я2 при оценке линейной корреляции между измеренными и расчетными концентрациями веществ А, С , Ю .

Из табл. 4 следует, что при а = {0.01,0.001,0.0001} существует линейная корреляция между измеренными и расчетными концентрациями веществ А, С , Ю .

Таблица 5

Показатель N5Е при оценке совпадения между измеренными и расчетными концентрациями веществ А, С , Ю

измеренные и расчетные концентрация веществ А, С , Ю в виде точек на декартовой плоскости.

На рис. 1 звездочками обозначены измеренные концентрации веществ А, С, Ю (см.

табл. 1). Кривые у1 (*), у3 (*) , у4 (*) показывают, как меняется концентрация веществ А , С , Ю с течением времени. Нетрудно видеть, что измеренные значения очень близки к кривым у (*), у3 (*), у4 (*). Это показывает, что отклонение между измеренными и расчетными значениями очень малое. Это согласуется с тем, что ЖЕ (у ) «1, ЖЕ (у3) «1 и ЖЕ (у4) «1.

Изменение концентрации веществ А. С . О при к1 = 0.01994, к2 = 0.00108. кЗ = 0.00108, М = 0.02051

100 80

к

а я2 ( У ) Я2 (У3) Я2 (У4 )

0.0100 0.9999999478 0.9999999759 0.9999964323

0.0010 0.9999999687 0.9999999772 0.9999974410

0.0001 0.9999999579 0.9999999773 0.9999961333

а №Е (у) ЖЕ (У3) ЖЕ (у)

0.0100 0.9999997955 0.9999999339 0.9999816447

0.0010 0.9999997402 0.9999999470 0.9999883439

0.0001 0.9999997201 0.9999999480 0.9999823819

В табл. 5 ЖЕ(у ), ЖЕ(у3), ЖЕ(у4)

обозначают показатели ЖЕ при оценке совпадения между измеренными и расчетными концентрациями веществ А, С , Ю . Из табл. 5 следует, что существует совпадение между измеренными и расчетными концентрациями веществ А, С , Ю при а = {0.01,0.001,0.0001}.

Будем выбирать а = 0.001 таким образом, чтобы сумма ЖЕ ( у ) + ЖЕ ( у3) + ЖЕ ( у4) достигала максимума («2.9999880311) . При а = 0.001 имеем приближенные константы скорости реакций: к1 = 0.01994, к2 = 0.00108, к3 = 0.00108, к4 = 0.02051. Нахождение приближенных констант скорости реакций , к^, к3, к4 может остановиться здесь. Однако чтобы доказать правильность выбора параметра а = 0.001 , будем строить:

- график изменения (расчетной) концентрации веществ А, С, Ю с течением времени при к = 0.01994, к2 = 0.00108, к3 = 0.00108, к4 = 0.02051;

- диаграммы рассеивания, изображающие

Рис. 1. Изменение концентрации веществ А , С , Ю в процессе реакции крекинга при к1 = 0.01994 ,

При а = 0.001, т.е. при к1 = 0.01994, к2 = 0.00108, к3 = 0.00108, к4 = 0.02051, расчетные концентрации веществ А, с , Ю в разные моменты времени представляются в табл. 6.

Таблица 6

Расчетные концентрации веществ А, С , Ю при а = 0.001

* ( < ) У1) У3 ( * ) У4 )

0 0.00000 90.00000 10.00000

20 32.97008 59.26537 7.76455

30 45.12504 48.10053 6.77442

60 69.89901 25.73180 4.36919

100 86.49119 11.19061 2.31820

150 95.04190 3.96092 0.99718

170 96.68033 2.61614 0.70353

к2 = 0.00108

к3 = 0.00108

к4 = 0.02051

Продолжение табл. 6

200 98.18168 1.40526 0.41306

220 98.78291 0.92899 0.28810

250 99.33362 0.49966 0.16672

Из данных табл. 1 и 6 будем строить диаграммы рассеивания, чтобы показать, что существует линейная корреляция 1:1 между измеренными и рассчитанными концентрациями веществ А, С, Ю (см. рис. 2-4). На этих диаграммах координата каждой точки по горизонтальной оси выражает измеренную концентрацию, а по вертикальной оси - расчетную концентрацию. Видно, что точки, выражающие концентрации веществ А, С , Ю, распределяются близко к линейной кривой 1:1. Это согласуется с тем, что существует линейная корреляция 1:1 между измеренными и расчетными концентрациями (значение Я2 и ЖЕ см. в табл. 4 и 5).

Отсюда, найденные приближенные константы скорости реакций к1 = 0.01994 , к2 = 0.00108, = 0.00108, к4 = 0.02051 можно рассматривать как решение обратной задачи 2.

Рис. 2. Линейная корреляция 1:1 между измеренными и расчетными концентрациями вещества А

Рис. 3. Линейная корреляция 1:1 между измеренными и расчетными концентрациями вещества С

Рис. 4. Линейная корреляция 1:1 между измеренными и расчетными концентрациями вещества Ю

Заключение

В представленной работе была построена методика решения обратной задачи в рамках математической модели кинетики процесса нефтепереработки. В результате проведенных расчетов были найдены методом регуляризации Тихонова приблизительные константы скорости реакций в процессе нефтепереработки. Для проверки совпадения между измеренными и расчетными концентрациями исходного вещества и продуктов были использованы коэффициент корреляции Пирсона Я2 и показатель эффективности Нэша-Сатклиффа ЖЕ. Мы обнаружили, что существует линейная корреляция и совпадение (т.е. линейная корреляция 1:1) между измеренными и расчетными концентрациями веществ А, С , Ю. В этом случае были приняты найденные приближенные константы скорости реакций в процессе нефтепереработки.

Литература

1. О математическом моделировании каталитического крекинга: монография/ В.С. Микшина и др. СПб.: Наукоемкие технологии, 2021. С. 120.

2. Заикин П.В., Лысенкова С.А., Микшина В.С. Аналитическое решение системы дифференциальных уравнений математической модели кинетики процесса нефтепереработки // Вестник кибернетики. 2018. № 2. С. 120-126.

3. Колинько П.А., Козлов Д.В. Химическая кинетика в курсе физической химии. Новосибирск, 2013. 99 с.

4. Лысенкова С.А. О математическом моделировании каталитического крекинга // Вестник кибернетики. 2018. № 4. С. 107-110.

5. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. 2-е изд. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1979. 285 с.

6. Тихонов А.Н. О некорректных задачах линейной

алгебры и устойчивом методе их решения // Докл. АН СССР. 1965. Т. 163. № 3. С. 591-594.

7. Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд-во МГУ, 1994. 208 с.

8. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сибирский федеральный университет, 2009. 457 с.

9. Ольховой А. Введение в теорию обратных и некорректных задач. LAP Lambert Academic Publishing, 2012. 124 с.

10. Сумин М.М. Метод регуляризации А.Н. Тихонова для решения операторных уравнений первого рода. Н.Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2016.

56 с.

11. Леонов А.С., Ягола А.Г. Можно ли решить некорректную задачу без знания погрешности данных? // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика, астрономия. 1987. Т. 36. № 4. С. 28-33.

12. Krause P., Boyle D.P., Base F. Comparison of different efficiency criteria for hydrological model assessment // Adv. Geosci. 2005. Т. 5. С. 89-97.

13. Борщ С.В., Симонов Ю.А., Христофоров А.В. Эффективность моделирования и прогнозирования речного стока // Гидрометеорологические исследования и прогнозы. 2020. Т. 375. № 1. С. 176-189.

Поступила 29.08.2022; принята к публикации 17.10.2022 Информация об авторах

Лэ Ван Хуен - аспирант высшей школы киберфизических систем и управления, Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (195251, Россия, г. Санкт-Петербург, ул. Политехническая, д. 29), тел. +7(999)683-79-22, e-mail: huyenlevan120193@gmail.com, ORCID: https://orcid.org/0000-0002-8645-821X

COEFFICIENT INVERSE PROBLEM IN THE MATHEMATICAL MODEL OF THE REFINING

PROCESS KINETICS

Le Van Huyen

Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University, St. Petersburg, Russia

Abstract: within the framework of the mathematical model of the kinetics of the oil refining process, the inverse problem was studied: to determine the reaction rate constants from the given concentrations of the starting substance and products. A technique for solving this problem based on the method of finite differences, the method of interpolation of the initial data -the cubic spline and the Tikhonov's regularization method is proposed. As a result of the calculations performed, approximate reaction rate constants will be found. In order to assess the acceptability of the found approximate reaction rate constants, the agreement between the measured and calculated concentrations of the starting material and products will be checked. For this, statistical parameters will be used: The Pearson correlation coefficient and the Nash-Sutcliffe efficiency indicator. The found approximate reaction rate constants make it possible to predict the concentrations of the initial substance and products at any time by solving a system of differential equations. For example, when it is necessary to determine the concentration of substances at some point in the past, but we cannot make a measurement or in the future without taking a measurement. Moreover, from the found approximate reaction rate constants, it is possible to determine the indicators in the reactions of the oil refining process, such as activation energy, temperature

Key words: inverse problem, mathematical model, chemical kinetics, oil refining process, finite difference method, cubic spline method, Tikhonov's regularization method

Acknowledgments: the author expresses his gratitude and deep gratitude to Doctor of Technical Science, Professor, Firsov Andrey Nikolaevich for guidance, advice and valuable comments when working on this article.

References

1. Mikshina V.S. et al. "On mathematical modeling of catalytic cracking" ("O matematicheskom modelirovanii kataliticheskogo krekinga"), monograph, St. Petersburg: Naukoyemkie tekhnologii, 2021, 120 p.

2. Zaikin P.V., Lysenkova S.A., Mikshina V.S. "Analytical solution of differential equation system of mathematical model of refining process kinetics", Bulletin in Cybernetics (Vestnik kibernetiki), 2018, no. 2, pp. 120-126.

3. Kolinko P.A., Kozlov D.V. "Chemical kinetics in the course of physical chemistry" ("Khimicheskaya kinetika v kurse fizicheskoy khimii"), Novosibirsk, 2013, 99 p.

4. Lysenkova S.A. "On mathematical modeling of catalytic cracking", Bulletin in Cybernetics (Vestnik kibernetiki), 2018, no. 4, pp. 107-110.

5. Tikhonov A.N., Arsenin V.Ya. "Methods for solving uncorrectly-posed problems" ("Metody resheniya nekorrektnykh zadach"), Moscow: Nauka, 1979, 285 p.

6. Tikhonov A.N. "On uncorrectly -posed problems of linear algebra and a stable method for their solution", Papers of AN SSSR (Dokl. ANSSSR), 1965, vol. 163, no. 3, pp. 591-594.

7. Denisov A.M. "Introduction to the theory of inverse problems" ("Vvedenie v teoriyu obratnykh zadach"), Moscow, 1994,

208 p.

8. Kabanikhin S.I. "Inverse and uncorrectly-posed problems" ("Obratnyye i nekorrektnyye zadachi"), Novosibirsk: Siberian Federal University, 2009, 457 p.

9. Olkhovoi A. "Introduction to the theory of inverse and uncorrectly-posed problems" ("Vvedeniye v teoriyu obratnykh i nekorrektnykh zadach"), LAP Lambert Academic Publishing, 2012, 124 p.

10. Sumin M.M. "Tikhonov for solving operator equations of the first kind" ("Metod regulyarizatsii A. N. Tikhonova dlya resheniya operatornykh uravneniy pervogo roda"), Nizhniy Novgorod, 2016, 56 p.

11. Leonov A.S., Yagola A.G. "Is it possible to solve an uncorrectly-posed problem without knowing the data error?", Vestnik of MSU (VestnikMoskovskogo universiteta), 1987, vol. 36, no. 4. pp. 28-33.

12. Krause P., Boyle D.P., Base F. "Comparison of different efficiency criteria for hydrological model assessment", Adv. geosci., 2005, vol. 5, pp. 89-97.

13. Borshch S.V., Simonov Yu.A., Khristoforov A.V. "Efficiency of streamflow modeling and forecasting", Hydrometeorological Research and Forecasting (Gidrometeorologicheskie issledovaniya i prognozy), 2020, vol. 375, no. 1, pp. 176189.

Submitted 29.08.2022; revised 17.10.2022

Information about the author

Le Van Huyen, graduate student, Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University (29 Politekhnicheskaya str., St. Petersburg 195251, Russia), tel.: +7(999)683-79-22, e-mail: huyenlevan120193@gmail.com, ORCID: https://orcid.org/0000-0002-8645-821X