ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ КОЭФФИЦИЕНТНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ. ЧАСТЬ 2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

Key words: helicopter, development of aviation equipment, design, geometric constraints, transportability, assembly of units.

Dergachev Anton Nikolaevich, postgraduate, [email protected], Russia, Moscow, Moscow aviation institute (national research university)

УДК 517.9:519.6:544.4

DOI: 10.24412/2071-6168-2023-1-239-247

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ КОЭФФИЦИЕНТНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ. ЧАСТЬ 2

Лэ Ван Хуен, Л.В. Черненькая

Данная работа посвящена исследованию устойчивости решения задачи восстановления параметров математической модели кинетики процесса нефтепереработки, которое найдено методом регуляризации Тихонова. Цель работы состоит в том, чтобы сделать выводы об устойчивости при малом изменении измеренных исходных данных приближенного решения (регуляризованного решения) обратной задачи. Сначала рассмотрена математическая модель кинетики процесса нефтепереработки, которая описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Потом на основе исследованной математической модели поставлена обратная задача восстановления констант скорости реакций по (измеренным) исходным данным. Далее для решения этой обратной задачи использованы метод конечной разности, метод интерполяции, метод регуляризации Тихонова. В результате расчетов найдены регуляризованное решение (приближения к искомым параметрам), являющееся приближением к искомому точному решению обратной задачи. И наконец, исследована устойчивость найденного регуляризованного решения. Именно, рассмотрено несколько случаев с небольшим изменением исходных данных. Результаты расчетов показывают, что регуляризованное решение полностью устойчиво при малом изменении исходных данных, т. е. непрерывно зависит от исходных данных. Наша работа помогает укрепить теорию в процессе построения метода решения обратных задач методом регуляризации Тихонова. В этом случае вместо нахождения точного решения обратной задачи мы полностью можем использовать регуляризованное решение для анализа, исследования и прогнозирования изменения состояния и свойств объекта исследования (для решения прямой задачи).

Ключевые слова: устойчивость, регуляризованное решение, метод регуляризации Тихонова, обратная задача, математическая модель, прогнозирования.

Численный пример. В качестве численного примера будет рассмотрена кинетика процесс нефтепереработки [1-5].

Пусть исходная смесь состоит из одного тяжелого углеводорода С. Под действием температуры и соударений углеводород С распадается на углеводороды A, B и также превращается в изомер D с тем же количеством атомов углерода, что и в исходной молекуле. Вещество D также распадается на A и B, либо обратно превращается в С. Пусть, продукты реакции A, B - это более легкие углеводороды, и с ними никаких превращений далее не происходит [2,4].

Схема химических превращений при каталитическом крекинге будет иметь вид имеет следующий вид:

C —— A + B, C —— Б,

Б —— С, Б —— А + В, В —— А,

где кх, к2, к3, к4, к5 - константы скорости реакций, с-1 [2,4].

Изменение концентрации веществ А, В, С, Б за малое время определяются по следующим формулам:

^ = к [с] + к,^^ ¿5[в], ^ = к [с] + к,[б]-¿5[в],

^ = -(( +к2 )[с] + *з [б], ^ = к2 [с]-(( + ¿4 )[б],

(1)

где [в], [с], [d] - концентрация веществ B, С, D

моль

Математическая модель кинетики реакции каталитического крекинга представляет собой систему дифференциальных уравнений [2,4]:

^^ = к5 У 2 ( ) + к1 Уз ( ) + к4 У 4 ();

= ¡с5у2 (Г) + ¿1 Уз (Г) + кАу4 (Г) ;

-(¿1 + к2) Уз ( ) + кз У4 ();

2

Л

4Уз () = &

(1)

^ = ¡2 Уз ()-(к2 + ¡4 ) У4 (Г),

Л

где У1 ( t ) , У2 (t), Уз (t ) , У4 ( t ) - концентрация веществ А, В, С, D в момент времени t ; ку, ¡2,

кз, к 4, к5

- параметры данной модели [2,4]. Предположим, что в начальный момент времени t = 0 концентрация веществ А, В, С, D равна У1 (0), У2 (0), Уз (0), У4 (0) .

В рамках математической модели (1) будут поставлены прямая и обратная задачи.

Задача 1. По заданным константам скорости реакций (значениям параметров модели)

ку = кш , к2 = к20, ¡з = кз0, к4 = к^0, к5 = к50 и концентрациям исходного вещества, продуктов А, В, С, D в начальный момент времени

t = 0, определить неизвестные функции У1 (t), У2 (t),

Уз (t) , У 4 (t) .

Задача 2. По заданным (измеренные) концентрациям исходного вещества и продуктов А, В, С, D в разные моменты времени ti, I = 1, 2, ... , 10 , определить константы скорости реакций ку, к2,

кз , к4 , к5 (т. е. к10 , к20 , кз0 , к40 , к50 ).

Заданные концентрации веществ в разные моменты времени будут представлены в таблице. Решение обратной задачи 2, т.е. искомые константы скорости реакций, дает возможность решить прямую задачу. На основе решения прямой задачи будем строить график изменения концентрации веществ с течением времени. Более этого, мы можем анализировать и прогнозировать концентрацию веществ в любой момент времени.

л

Измеренные концентрации веществ А, В, С, Р

t (-) У1(t) У 2 (t) Уз (t) У4 ^ )

0 0 0 90 10

з0 77.76206 12.47561 48.11464 6.7665з

60 1з2.29з27 7.46789 25.74512 4.з74з0

90 162.81084 4.129з9 1з.78771 2.74217

120 179.58861 2.26780 7.з90з5 1.68145

150 188.79792 1.24467 з.96468 1.0140Э

180 19з.85216 0.68з09 2.12871 0.60з66

210 196.62600 0.з7489 1.14з89 0.з5567

240 198.148Э1 0.20574 0.61518 0.20779

270 198.98з77 0.11291 0.зз111 0.12055

Вернемся к первой части нашей работы. Будет решена обратная задача 2 с помощью методики нахождения приближенного решения для коэффициентной обратной задачи [6]. В ходе этой методики вместо точного решения обратной задачи 2, будет найдено его приближение, которое единственно и непрерывно зависит от исходных данных. Это означает, что вместо искомых констант скорости реакций

¡10 , к20, ¡з0 , к40, к50 будут найдены их приближения (см. часть 1).

Сначала, из системы (1) мы будем строить «точную» систему алгебраических уравнений (в виде математических символов):

У (0*1 + У4 (', )*4 + У 2 (t, )*5 = Уз (t, )k1 + У4 (t )k4 " У2 )k5 =

-Уз (, )*1 - Уз )*2 + У4 )*, =

У1 (t + h)- У1 (t, - h)

2h

У 2 ( + h)- У 2 ( - -h)

2h

= У3 (t, + h)- У3 ( - h)

2h

_ У4 (( + h)- У4 -h)

o(h3 ) -o(h3).

(2)

[ Л С, )- .4 («1 )] *2 - .4 (0*4 = " ^ ( ' '' -0(Л3 ),

относительно неизвестных *1, *2, *3 , *4, *5, где Л = 0.001.

Можно переписать (2) в матрично-векторном виде: ХК = В , где X - матрица с элементами, являющимися «точными» значениями неизвестных функции у (), у2 (), У3 (), У 4 ( )

в моменты времени « , , = 1, 2, ... , 10 ; К - вектор с элементами (параметрами) *1 , * 2 , *з , * 4 , *5, К = (*1

, *2, *з, *4, *5) ; В - вектор «точной» правой части (вектор свободных членов).

Потом, из «точной» системы (2) мы будем строить «приближенную» систему сорока алгебраических уравнений:

90* +10*4 = 2.93487, 90* +10*4 = 0.97724, -90* - 90*2 +10* =-1.83368, 80*2 -10*4 =-0.12239,

(3)

0.33111* + 0.12055*4 + 0.11291k5 = 0.02168, 0.33111*! + 0.12055*4 - 0.11291k5 = -0.00243, -0.33111*! - 0.33111*2 + 0.12055*3 =-0.00737, 0.21056*2 - 0.12055*4 = -0.00228,

относительно неизвестных *, *3 , *4, *5.

Очевидно, что система уравнений (3) некорректна потому, что она не имеет решения (см. первые два уравнения данной системы). Можно переписать систему (3) в матрично-векторном виде:

X^K = Bg , где X^ - приближение к матрице X; Bg - приближение к вектору B .

Далее, для решения системы будет использован метод регуляризации Тихонова [7-12], именно, будет рассмотрена следующая задача минимизации:

I 2 и ц2

+ а K ^ min шт. (4)

11 11 а к

XK - Bg

Г| g

Система уравнений Х„К = В, будет решена методом регуляризации Тихонова вместо

ме-

"г| 8

тода Мура-Пенроуза направлено на то, чтобы решение задачи (4) будет устойчиво при малом изменении исходных данных , .

Из системы (3) будет сформирована следующая система уравнений регуляризации:

(34033.78399 + а)* +11344.59466*2 -1394.30069*3 +

+2788.60139*4 = 735.62445, 11344.59466*! + (20077.43201 + а) *2 -1394.30069* -

-1217.45662*4 = 217.33204, -1394.30069*! -1394.300695*2 +(176.84407 + а)*3 = -28.70083, 2788.60139*! -1217.456623*2 + (530.53221 + а)*4 = 64.42326, (471.63288 + а) * = 44.47492,

относительно неизвестных , к2, кз , к4, к 5 , где а - параметр регуляризации.

Наконец, будут определены значения параметра а методом выбора квазиоптимального значения параметра регуляризации [13-15]. Для этого, сначала мы будем выбирать начальное значение параметра регуляризации = 1 и знаменатель прогрессии Ц = 0.9 . Будет простроена последовательность, удовлетворяющая условиям: а..+1 = 0.9а.. В результате расчетов будут получены последовательность {а. | и последовательность {к а} , где ' = 1, 2, ... , 100 . Потом, мы будем рассчитывать нормы разности Si =

К'+1 — К '' ||

Рис. 1 показывает значения норм разностей Si = двух соседних итерациях Ка'+1 и Ка' , где ' = 1, 2, ... ,100 . 1 50Ё-05

I ЗОЕ-05 ^

*

1.10Е-05 9.00Е-06

К'+1 — к

приближенных решений на

(Я 7 00Е-06

500Е-06

3 ООЕ Об

I ООЕ Об

„0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

-1.00Е-06

1

Рис. 1. Оценки нормы разности 81 приближенных решений на двух соседних итерациях

Очевидно, ||к"'+1 — ка'|| ^0 при а^0. Более того, при ' = 1,2, ... ,99 норма разности ||ка'+1 — к^Ц аппроксимирует нулю.

Из рис. 1 видно, что при ' > 30 норма разности цк^1 — ка' || изменяется очень мало (можно

считать неизменным). Будет решена система уравнений (5) с значением параметра регуляризации а = а30 = 0.047101. В результате расчетов мы будем получать возможное решение

ка30 =(0.01904, 0.00164, 0.00079, 0.02512, 0.09429)Г, т.е. к30 = 0.01904, к230 = 0.00164, к330 = 0.00079, к430 = 0.02512, к530 = 0.09429.

Далее, будем решать прямую задачу с значениями параметрами к1 = 0.01904, к2 = 0.00164, к3 = 0.00079, к4 = 0.02512, к5 = 0.09429 и проверять совпадение между расчетными и измеренными

(заданными) концентрациями веществ.

Рис. 2 показывает, как изменяется концентрации вещества с течением времени при к1 = 0.01904, к2 = 0.00164, к3 = 0.00079, к4 = 0.02512, к5 = 0.09429. На рис. 2 звездочками обозначены измеренные концентрации А, В, С, D. Кривые у1 (?), у2 (?), у3 (), у4 () выражают изменение

расчетной концентрации веществ с течением времени. Видно, что измеренные значения очень близки к кривым. Это означает, что отклонение между измеренными и расчетными значениями очень малое. Отсюда, ка = (0.01904, 0.00164, 0.00079, 0.02512, 0.09429) можно принять как приближение к иско-

мому решение. В этом случае, вместо ста элементов (N = 100) мы будем рассматривать только тридцать элементов (N = 30) последовательности {а,.], , = 1, 2, ... , 30.

180

160

140

Е 120

у КО -у2(1) -уЗ(1) "У4(0

300

350

400

450

500

Рис. 2. Изменение концентрации веществ A, B, C, D при *1 = 0.01904, *2 = 0.00164, *3 = 0.00079,

*4 = 0.02512, *5 = 0.09429

Проверка устойчивости приближенных решений при малом изменении ^^, в8|. Как

выше сказано, что приближенное (регуляризованное) решение имеет вид: Ка = + аE) 1 X*B 8.

Значение параметр регуляризации было выбрано

а = а30 = 0.047101.

При

этом

Kа = (0.01904, 0.00164, 0.00079, 0.02512, 0.09429)Г. Рассмотрим некоторые случаи, когда x^ и bg

изменяются очень мало. Имеем, что:

(

X,=

90 0 0 10 0

90 0 0 10 0

-90 -90 10 0 0

0 80 0 -10 0

0.33!!! 0.33!!!

-0.33!!! -0.33!!! 0 0.21056

0 0

0.12055 0

0.12055 0.12055 0

-0.12055

0.! !29! -0.!!29! 0 0

Bg

( 2.93487 ^ 0.97724 -1.83367 -0.12238

0.02169 -0.00235 -0.00738 -0.00229

/40x5 V /40x1

Далее, мы будем решать систему алгебраических уравнений (3) с вариациями матрицы x и вектора в8. Пусть, имеются следующие вариации матрицы x и вектора в8: x1 = x + x ,

bg = bg + b

g g s

кие числа.

где xs = ] , bs = (s,), i = !, 2, ... ,40, j = !, 2, 3, 4, 5 и sj, s, - очень малень-

Случай 1. Пусть имеем, что y1 (t,) = y (t,) + 0.01, у!(t,) = У2(t,) + 0.01, У!(t,) = У3(t,) + 0.01, у!(t,) = y4(t,) + 0.01, ,= !,2, ... ,!0. При этом имеются ||xs|| = 0.07296 и IIb 11 = 1.77983 X10-12, где

(0.01 0

0.01 0

-0.01 -0.01

0 0

X, =

В

0.01 0 0.01 0 -0.01 -0.01 у 0 0 результате расчетов

0 0 0.01

0

0 0 0.01

0

0.01 0.01

0

-0.01

0.01 0.01

0

-0.01

0.01 ^ -0.01 0 0

0.01 -0.01 0 0

В,= 10-

(-0.00009^ 0 0 0

0 0 0

, 0.00069 ,40,

V / 40x1

будет

решение системы уравнений (5)

получено

К^ =(0.01907, 0.00161, 0.00077, 0.02484, 0.09422)Г. Имеем, что |к"лл -ка|| = 2.90687х 10-

к а1 - ка

II сл.1

||к а||

и 100% = 0.29234%-

имеем,

что

Случай 2. Пусть

■Уз2{и) = .Уз{и) + 0.001, >>42((,) = у((,) + 0.001, . = 1,2, ... ||ВЕ|| = 1.43526 х10-11, где

( 0.001 0 0 0.001 0 0 -0.001 -0.001 0.001

У2 (',■) = У () + 0.001, у2 ) = у 2 ) + 0.001, 10. При этом имеются ||х 11 = 0.00729 и

X, =

0

0.001 0.001

0

0 0

-0.001 -0.001 0 0

0

0 0 0.01 0

0.001 0.001 0

-0.001

0.001 ^ -0.001 0 0

0.001 0.001 0

0.001 -0.001 0 0

Б, = 10-

( 0 ^ -0.000004 0 0

0 0 0

/40x5

получено решение

0

-0.001

В результате расчетов будет Кал2 = (0.01904, 0.00164, 0.00079, 0.02509, 0.09428)Г. Имеем, что цк^ - ка

V

системы

У 40x1 „

уравнений (5) = 1.43526 х10-5 и

к % - ка

сл.2

¡¡кг"

и 100% = 0.03279%.

Случай 3. Будем рассматривать случай, когда матрица Х^ будет изменен мало и вектор В5 будет постоянен. Пусть, имеются

(0.001 0.001 0.001 0.001 0.001^ (0 ^

0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0

0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0

0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0

X, =

0.001 0.001 0.001 0.001 0.001

0.001 0.001 0.001 0.001 0.001

0.001 0.001 0.001 0.001 0.001

0.001 0.001 0.001 0.001 0.001

Б,

V 0 У 40x1

При этом имеются х, = 0.014142 и б, = 0. В результате расчетов будет получено решение системы уравнений (5) кал3 =(0.01904, 0.00164, 0.00072, 0.02509, 0.09429)Г. Более этого, име-

ем, что к" - ка = 7.37365 х10-

к а .3 к а

к а

= 100% = 0 07415%. Это означает, что при малом

изменении исходных данных -X , В5| (измеренных концентраций веществ) регуляризованное решение «приближенной» системы уравнений x к = в5 изменяется мало.

Случай 4. Будем рассматривать случай, когда матрица x будет постоянна и вектор Во будет

изменен мало. Пусть, имеются

( 0 0 0 0

X Б =

При этом имеются X

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

V 0 0 0 0

=0 и Б Б Л 0.

0 ^ 0 0 0

0 0 0 0

Бб

( 0.001^ 0.001 0.001 0.001

0.001 0.001 0.001 0.001

= 0.00632. В результате расчетов будет получено решение

системы уравнений (5) каслА =(0.01903,0.00169,0.00127,0.02531,0.09429)Г. Более этого,

имеем,

что к" - кс = 5.22743 х 10"

к с .4 к с

к с

*100% = 0.52571%.

Случай 5. Будем рассматривать случай, когда матрица Xrl будет изменена мало и вектор В5 также будет изменен мало. Пусть, имеются

(0.001 0.001 0.001 0.001 0.001^ 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001

Х =

0.001

0.001

0.001

0.001 ч ..

При этом имеются x

0.001 0.001 0.001

0.001 0.001 0.001

0.001 0.001 0.001 0.001

0.001 0.001 0.001 0.001

0.001 0.001 0.001 0.001

0.001 0.001 0.001 0.001

( 0.001^ 0.001 0.001 0.001

Б„

0.001 0.001 0.001 0.001

| = 0.014142 и Бе = 0.00632. В результате расчетов будет получено решение системы уравнений (5) касл5, = (0.01903, 0.00168, 0.00121, 0.02529, 0.09429)Г. Более этого,

имеем, что к°\ - кс = 4.50982 х10-

сл.5

к с .5 к с

к с

*100% = 0.45354%.

Результаты исследования показывают, что при малом изменении исходных данных ^^ В5|

(измеренных концентраций веществ) регуляризованное решение «приближенной» системы уравнений x к = в изменяется мало.

Г о

Заключение. В представленной работе была исследована устойчивости решения задачи восстановления параметров математической, которое найдено методом регуляризации Тихонова. Была рассмотрена математическая модель кинетики процесса нефтепереработки, описываемой системой обыкновенных дифференциальных уравнений. В рамках этой математической модели была поставлена и решена методом регуляризации Тихонова обратная задача восстановления её параметров на основе измеренных концентраций веществ в разные моменты времени. В результате расчетов были найдены параметр регуляризации и регуляризованное решение (приближенные параметры математической модели кинетики процесса нефтепереработки). В конце работы была проверена устойчивость приближенных решений при малом изменении исходных данных в нескольких случаев. Цель работы была достигнута полностью. Был сделан вывод, что приближенное решение (регуляризованное решение) обратной задачи устойчиво при малом изменении исходных данных.

Список литературы

1. Микшина В.С. и др. О математическом моделировании каталитического крекинга: монография. СПб.: Наукоемкие технологии, 2021. 120 с.

2. Лысенкова С.А. О математическом моделировании каталитического крекинга // Вестник кибернетики. 2018. № 4. С. 107-110.

3. Хуен Л.В. Коэффициентная обратная задача в математической модели кинетики процесса нефтепереработки // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2022. Т. 18, № 5. С. 64-72.

4. Хуен Л.В., Фирсов А.Н. Метод регуляризации Тихонова для решения обратной задачи в математической модели кинетики процесса нефтепереработки // Вестник кибернетики. 2022. Т. 48, № 4. С. 49-58.

5. Хуен Л.В. Устойчивость динамической системы с приближенными параметрами, найденными методом регуляризации Тихонова // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2022. Вып. 12. С. 429-435.

6. Хуен Л.В., Черненькая Л.В. Методика нахождения приближенного решения для коэффициентной обратной задачи // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2022. Вып. 10. С. 274-282.

7. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. 2-е изд. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1979. 285 с.

8. Kabanikhin S.I. Inverse and Ill-posed Problems // De Gruyter. DE GRUYTER, 2011. 476 с.

9. Morozov V.A. Methods for Solving Incorrectly Posed Problems // Methods for Solving Incorrectly Posed Problems. New York, NY: Springer New York, 1984. 253 с.

10. Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд-во МГУ, 1994. 208 с.

11. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и её приложения. М.: Наука, 1978. 206 с.

12. Ольховой А. Введение в теорию обратных и некорректных задач. LAP Lambert Academic Publishing, 2012. 124 с.

13. Морозов В.А. Методы регуляризации неустойчивых задач. М.: Изд-во МГУ, 1987. 216 с.

14. Морозов В.А. Алгоритмические основы методов решения некорректно поставленных задач // Выч. мет. программирование. 2003. Т. 4, № 1. С. 130-141.

15. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математическрй физики. 3-е изд. М.: Издательство ЛКИ, 2009. 480 с.

Лэ Ван Хуен, аспирант, [email protected], Россия, Санкт-Петербург, Санкт Петербургский политехнический университет Петра Великого,

Черненькая Людмила Васильевна, д-р техн. наук, профессор, старший научный сотрудник, Россия, Санкт-Петербург, Санкт Петербургский политехнический университет Петра Великого

INVESTIGATION OF THE STABILITY OF REGULARIZED SOLUTIONS OF THE COEFFICIENT INVERSE

PROBLEM. PART 2

Le Van Huyen, L.V. Chernenkaya

This work is devoted to the study of the stability of the solution to the problem of restoring the parameters of the mathematical model of the kinetics of the oil refining process, which was found by the Tikhonov reg-ularization method. The purpose of the work is to draw conclusions about the stability of the approximate solution (regularized solution) of the inverse problem with a small change in the measured initial data. First, a mathematical model of the kinetics of the oil refining process is considered, which is described by a system of ordinary differential equations. Then, on the basis of the studied mathematical model, the inverse problem of restoring the reaction rate constants from (measured) initial data was posed. Further, to solve this inverse problem, the finite difference method, the interpolation method, and the Tikhonov regularization method are used. As a result of the calculations, a regularized solution (approximations to the desired parameters) was found, which is an approximation to the desired exact solution of the inverse problem. Finally, the stability of the found regularized solution is investigated. Namely, several cases with a slight change in the initial data are considered. The calculation results show that the regularized solution is completely stable with a small change in the initial data, i.e., it continuously depends on the initial data. Our work helps to strengthen the theory in the process of constructing a method for solving inverse problems using the Tikhonov regularization method. In this case, instead of finding an exact solution to the inverse problem, we can fully use the regularized solution to analyze, study and predict changes in the state and properties of the object of study (to solve the direct problem).

Key words: stability, regularized solution, Tikhonov's regularization method, inverse problem, mathematical model, forecasting.

Le Van Huyen, postgraduate, [email protected], Russia, St. Petersburg, Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University,

Chernenkaya Liudmila Vasilievna, doctor of technical science, professor, Russia, St. Petersburg, Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University

УДК 004.932.2

DOI: 10.24412/2071-6168-2023-1-247-256

АЛГОРИТМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОНЦЕНТРАЦИИ ПРИМЕСЕЙ В ЖИДКОСТИ ПО ОПТИЧЕСКИМ ДАННЫМ

Л.О.А. Салех, С.В. Хлопин, Л.В. Черненькая, Ф.Г. Тарасевский, М.М. Царев

Работа посвящена разработке методов и их программной реализации для детектирования примесей в жидкостях на основе обработки фотоизображений. Рассмотрены вопросы предварительной фильтрации изображения, вычисления параметров порогов бинаризации, поиска контуров, выделения инородных включений (примесей), подсчету общей концентрации примесей. Предложен авторский метод фильтрации взаимного наложения нескольких детектированных объектов.

Ключевые слова: компьютерное зрение, коррекция цвета, поиск контуров, детектирование

объектов.

Проблема загрязнения экологии с каждым годом становится все более актуальной. Даже несмотря на усиленные меры безопасности экологические катастрофы происходят. Иногда виной всему износ техники, как например 29 мая 2020 года в Норильске на территории ТЭЦ-3 произошел разлив нефтепродуктов в почву. Также по причине сбоя техники произошел разлив нефтепродуктов в черное море под Новороссийском 7 августа 2021 года. Нередки и случаи, где вмешивается человеческий фактор наряду со сбоями техники, как например во время взрыва нефтяной платформы Deepwater Horizon произошедшего 20 апреля 2010 года. Данные происшествия можно отнести к крупномасштабным, которые при определенных обстоятельствах можно определить даже на глаз. Но что, если необходимо определить наличие небольших масляных протечек на самом начальном этапе, когда концентрация примесей еще совсем небольшая в режиме реального времени?

Например, в закрытой системе водяного охлаждения, которая находится в контакте с масляными трубками. В данном случае при наличии протечек и отсутствия их своевременного обнаружения может выйти из строя дорогостоящая техника. В связи с этим встает вопрос как оперативно в поточном режиме определить уровень загрязнения жидкости нефтяными продуктами без применения лабораторных исследований.

Постановка задачи. Для проведения анализа и вычисления объема нефтепродукта в жидкости требуется на основе снимков потока жидкости, обработать изображение, определять инородные объекты, идентифицировать их как нефтепродукты и вычислять общий объем нефтепродуктов подсчитывая их концентрацию.

В качестве исходных данных в задаче используется набор фотографий с наличием пузырьков инородных жидких включений, которые различимы оптическим образом. На рис. 1. а представлена вода с примесью тяжелых нефтепродуктов при естественном освещении, 1. б вода с примесью растворенных нефтепродуктов при облучении ультрафиолетом, 1. в - вода с примесью тяжелых нефтепродуктов при облучении ультрафиолетом. В случае облучения ультрафиолетом, нефтепродукты обладают свойством вторичного свечения (флюоресценция) - испускание света определенного цветового диапазона.

Требуется определить границы инородных включений, произвести их классификацию и вычислить суммарную площадь (объем) включений.

Алгоритм вычисления содержание примесей. Первый шаг - предварительная обработка цветного изображения. Обозначим исходное цветное изображение трехмерным массивом I с размером M X N X 3 . Для предварительной обработки изображения (сглаживания областей изображения с сохранением их края) будем использовать двусторонний фильтр цветного изображения (Bilateral Filter) [5].

Математическое представление работы фильтра для каждой ячейки массива, определяемой как один пиксель изображения, записано ниже:

D D

£ £ I(x + m, y + n) • Hd (m, n) • Hr (dist(I(x + m, y + n), I(x, y)))

j Bilateral / \ _ m=-D n=-D__.. 1 ч

1 \Х->У>— D D (1)

£ £ Hd (m, n) • Hr (dist(I(x + m, y + n), I(x, y)))

m=-D n=-D