CC BY
7ВВЕДЕННЯ I ФОРМУВАННЯ ПОНЯТТЯ ГРУПИ В КУРС1 ВИЩО1 АЛГЕБРИ
Д.Я. Требенко, канд. фiз.-маm. наук, доцент, О.О.Требенко, канд. фiз.-маm. наук,
Нацональний педагогiчний умверситет м. М.П.Драгоманова,
м. Шв, УКРА1НА
Розкрито гсторгю виникнення та формування поняття групи, зроблено детальний аналгз ¡снуючих тдход1в до означення поняття групи в навчальнт та науков1й литератур!. Запропо-новано методику введення 7 формування поняття групи в курс вищог алгебри. Ыдкреслено не-обх1дтсть узгодження означення групи, пропонованого в курс вищог алгебри, 7з означеннями, що використовуються в курсах анал1тичног геометрИ та теоретичног ф1зики, шляхом дове-дення гх екв1валентност1.
Ключов1 слова: група, означення поняття групи.
Постановка проблеми. Поняття групи е одним iз основних понять сучасно1 математики. Сама теорш груп мае чисельш за-стосування як в математищ, так i далеко за 11 межами - в топологи, теори функцш, теори диференщальних рiвнянь, алгебра1чнш геометри, квантовш механiцi, кристалогра-фи, криптографи i багатьох шших областях математики i природознавства. Загальшсть теорй груп, широта 11 застосувань зумовле-на тим, що вона вивчае властивосп дiй в 1х чистому виглядi, абстрагуючись як вщ природи елеменпв, над якими виконуеться дiя, так i вiд природи само'1 да.
Досить висока абстрактшсть понятая групи робить його непростим для сприйнят-тя: тим, хто вперше знайомиться iз цим понятиям, важко «побачити» серед множин елеменпв рiзноi природи iз заданими на них рiзними операщями, одну й ту саму групу.
Для студента математичних спещаль-ностей педагогiчного ушверситету чiтка сформовашсть понятая групи просто необ-хiдна. Як зазначав академк П.С.Александров [1], оволодiти поняттям групи (а також кiльця, поля) повинен «кожен, хто викла-дае, або збираеться викладати математику в середнш школi, осюльки в свiтлi цих загаль-них алгебрачних понять проявляеться структура елементарно1 математики». Ро-зумшня суп понятая групи, а не формальне
знання означення необхiдне студентам в процеа навчання не лише для опанування матерiалу курсу вищо1 алгебри, а й при розглядi груп геометричних перетворень в кура аналгтично! геометри, груп Пуанкаре, Галшея i Лоренца в курсi фiзики, груп Лi в курсi диференщальних рiвнянь.
Проблема вивчення елеменпв сучасно'1 алгебри (зокрема теорй груп) в середнш школi розглядалась багатьма математиками i методистами. Вперше в шкшьний курс математики така абстрактна алгебра1чна структура як поле була введена в 1915 рощ в Роси. Ця прогресивна iдея була запропо-нована професором Кшвського ушверситету Д.О.Граве. На актуальносп проблеми, на «необхщносп проникнення духу сучасно! алгебри в елементарну математику i геоме-трiю» наголошували А.Лiхнелович (Фран-цiя, 1953), Ж.Папi (Бельгiя, 1961), акад. П.С.Александров (Радянський Союз, 1935). За впровадження узагальнюючих понять (вщношення, група, поле, лiнiйний проспр) - як результат вивчення - виступали А.1.Маркушевич, Г.А.Гiнзбург, ШХМхе-лович. I хоча спроби в Радянському Союзi в 60-х рр. ХХ столптя реформувати шкшь-ний курс математики з метою «оргашчного поеднання в единому курсi класичних i су-часних роздiлiв математики» не вдалися, науково-методичнi пошуки в цьому напря-
©
Mi тривали (К.П.Захарова (1967), Сайед А.Рiад Абдель (1974)). Серед остантх до-слiджень можна вщзначити дисертацiйне дослiдження 1.В.Васильево'1 (Росiя, 2002), в якому проблему оргатзаци узагальнення знань про числовi множини пропонуеться розв'язати шляхом побудови його на осно-Bi поняття алгебраïчноï структури. Вщмь тимо також, що достатня увага придаляеть-ся висвiтленню елеменпв сучасноï математики в науково-популярнш лiтературi (жу-рнали «Квант», «Соросовский образовательный журнал» тощо).
Науково-методичних праць, присвяче-них методицi введення поняття групи в кур-ti вищо1 алгебри унiверситету, зокрема пе-дагопчних, немае. Основоположними принципами розробки даноï методики вва-жаемо насгупш принципи: навчання на ви-сокому науковому, але доступному рiвнi складносп; вiдповiднiсгь рiвня абстрактнос-тi подання матерiалу потенцiальним можли-востям студента щодо його сприйняття; на-ступшстъ (що, зокрема, передбачае i активне використання конкретних рiзноманiтних прикладiв) i професшна спрямованiсгь.
Метою даног cmammi е розробка методики введення i формування поняття групи в Kypci вищог алгебри педагогiчного ушверситету.
Виклад основного матер1алу дослщ-ження. Поняття групи, як i бшьшГсть абст-рактних математичних понять, мае тривалу iсгорiю формування i становлення, е результатом поступового узагальнення ре-зультатiв рiзних галузей математики Х1Х ст., зокрема геометри, теори чисел i теори рiвнянь.
Термiн ,,група'' вперше використав Га-луа в 1829 р. в стата, присвяченiй розв'язу-ванню рiвнянь в радикалах. Галуа не дае означення групи. Пщ групою вш розумiе множину постановок, замкнену вщносно операци множення. Однак стало'' термшо-логи ним не було встановлено: вш називае ,,групами'' i пщгрупу H, i множину xH = {xa | a î H}, де x ï H . 1з виходом
"Traite' des substitiones et des equations algebriques'' (1870) Жордана, в якому, як
3a3HanaB caM aBTop, 6y.H nume KOMeHTapi go po6iT ranya, TepMiH „rpyna" CTaB 3aranbHo-B^HBaHHM.
03HaneHHa a6crpaKTHoi CKiHHeHHoi rpy-nH gaB A.Kejii b crani ,,On the theory of groups, as depending on the symbolic equation 6" =1'' (1854): „MHO^HHa chmboMb 1,a, b,. ., pi3Hux Mm: co6oro, i TaKux, ^o go6yTOK 6ygb-aKHx gBOx 3 hhx (He Ba^nHBO, b aKOMy nopagKy bohh B3aTi) a6o go6yTOK 6ygb-aKoro 3 hhx Ha caMoro ce6e Hane^HTb ^h ^e MHo^HHi, Ha3HBaeTbca rpynoro". Keni oKpeMo He 3a3Hanae, ^o MHo^HHa 1,a, b,.. crameHHa, ogHaK цe cTae 3po3yMi.no npu aHa-ni3i BnacTHBocTeM BBegeHoro hhm noHATra, a caMe: ak^o ko^h eneMeHT rpynu G no-mho^hth 3niBa, a6o cnpaBa, Ha geaKHH ene-MeHT a, to orpHMaeMo rpyny G, a6o, ^o Te ^ caMe, ak^o chmbo.h rpynu nepeMHo^HTH TaK, ak noKa3aHo Ha Ta6.H^, to Ko^eH ii pa-goK, TaK ak i Ko^eH ctobothk, 6ygyrb MicrH-th Bci chmbo.h 1,a, b,....
I'aoiimiu 1
Множники правГ
лшГ 1 a b
1 1 a b
a a a2 ab
b b ba b2
Опублiкована в 1854 р. стаття, на жаль, залишилась непомiченою. Однак, коли в 1878 р. КелГ повторно в двох рГзних журналах опублiкував ïï, поняття групи отримало визнання.
Водночас означення групи з'являеться в дещо Гншому контексгi, а саме в контексп групи ,,класiв ФункцГй'', в алгебраïчнiй теори чисел. Кронекер (1870) розглядае скш-ченну множину „ФункцГй" $',$",$'",... таких, що з кожних двох ,,функцГй'' можна певним чином отримати третю. ВГн припус-кае, що в такш множит виконуються ко-мугативний i асощативний закони, а також, що З'З" * J J', якщо J * J'. Сам Кронекер своï результата не пов'язуе з теорГею груп, але Г.Вебер (1882) дае дуже схоже означення групи як системи, в якш Гз будь-яких двох елементГв можна отримати тре-
тш елемент так, щоб виконувались наступ-hí умови:
1. (JJ )J = Jr (JJ) = JJJ;
2. з того, що JJr = JJS, випливае, що J = J .
rs
Однак таке означення мае мiсце лише для скiнченних груп; у випадку несюнчен-них груп необхщною е умова iснування оберненого елемента. На це звертае увагу сам Вебер в „Lehrbuch der Algebra'' („Пщручник з алгебри'', 1895).
В 1882-83 рр. фон Дк (докторант Клейна) запропонував шше означення абстрактно! групи за допомогою твiрних елементiв i визначальних спiввiдношень. Наприклад, циклiчну групу G порядку n можна озна-чити наступним чином: G = (а), аn =1. В симетричнш групi S3 твiрними елемента-
для яких справед-
ми можна взяти а1 1 а4
лив1 спiввiдношення:
а2 = 1,
а3 = 1 =
(а1а4 )2 = 1. Варто зауважити, що кшьюсть
сп1вв1дношень повинна бути достатньою для того, щоб вони визначали лише одну, з точн1стю до 1зоморф1зму, групу. Це означення широко використовуеться, зокрема, в топологи.
На рис. 1 показано, яким тривалим був процес формування сучасного поняття
групи.
1 апуа |846
Rani 1854 (1878)
Бернсайд 1837
Komi 1845
кроною: :р 1870
I
Вебер 1SS2
I
Фробешус 1887 Гьольдер 1R89
Вебер 1895 /
Оз начеши XX ст.
Рис. 1
Варто зауважити, що м1ж двома л1н1ями розвитку поняття зв'язок сумшвний, хоча достов1рно в1домо, що Бернсайд читав ро-боти Фробен1уса (правда п1зн1ше), 1 нав1ть змушений був дв1ч1 наводити докази того,
що не знав про надруковаш результати Фробешуса.
Для розвитку теори груп велике зна-чення мали пiдручники Серре 'Cours d'alg 'e bre sup e' rieur''(1849), Сальмона ''Modern Higher Algebra'' (1859), Вебера ''Lehrbuch der Algebra'' (1895) i, звичайно, монографiя Бернсайда ''Theory of Groups of Finite Order'' (1897). Однак в них розгляда-лись переважно сюнченш групи. В пода-льшому стало зрозумiло, що сюнченнють групи е досить сильним i не завжди приро-дшм обмеженням. Теорiя сюнченних груп не могла задовольняти потреби геометри, теори автоморфних функцiй, топологи, в яких почали виникати структури, подiбнi до груп, але нескiнченнi. Крiм того поза межами теори залишались таю найпросг^ i важливi групи, як, наприклад, адитивна група Z цших чисел. Тому сюнченна тео-рiя груп мала стати частиною загально'1 теори.
Вперше основи теори груп без обме-ження 1х скiнченносгi було викладено в монографий „Абстрактна теорiя груп'' (1916) О.Ю.Шмщта - студента-п'ятикурсника Ки-шського ушверситету Св. Володимира.
Означення 1 [2]. Непорожня множина G з композищею називаеться групою, як-що композиця задовольняе насгупнi вимо-ги.
1. Добуток будь-яких двох елеменгiв iз G сам належить до G .
2. Символiчне множення е асощатив-ним; наприклад, для будь-яких трьох еле-ментiв a, b, c iз G a(bc) = (ab)c .
3. В G знайдеться принаймнi один елемент e, що задовольняе умову ae = a для вах елеменпв a в G .
4.1снуе елемент e, що задовольняе ви-могу 3 такий, що для кожного a в G юнуе х в G iз умовою ax = e .
Далi доводиться, що в груш ea = a, xa = e . ШЫдт зазначае, що використовуе означення, запропоноване Е.Х.Мур'ом i Л.Дiксоном.
Схоже означення зус^чаемо в монографий Б.Л. ван дер Вардена [3].
Означення 2 [3]. Непорожня множина
О елеменпв довшьно! природи (напри-клад, чисел, вщображень, перетворень) на-зиваеться групою, якщо виконуються чо-тири наступнi умови.
1. Заданий закон композицп, який кож-нiй парi елементiв а, Ь iз О спiвстaвляe третiй елемент с ще! ж множини, який на-зивають, як правило, добутком елементiв а i Ь i позначають через аЬ або через а ■ Ь.
2. Закон асоцгативностг. Для будь-яких трьох елементiв а, Ь, с iз О мае мiсце рiвнiсть аЬ ■ с = а ■ Ьс .
3. В О юнуе (шва) одиниця , тобто елемент е, що видiляеться наступною вла-стивiстю: еа = а для вах а iз О .
4. Для кожного елемента а iз О юнуе (принаймт) один (лiвий) обернений елемент а- в О , що видщяеться властивютю: а1а = е.
Формулюванню умов 3)-4) в такий спо-аб, як у ознaченнi 2, притримуеться i Б.Хупперт [4].
Для спрощення викладу теоретичного мaтерiaлу, економи часу, на нашу думку, дощльно в ознaченнi поняття групи вима-гати виконання бiльш посилених умов 3)-4), а саме, щоб одиниця i обернений елемент були двостороншми (як правими, так i лiвими). Так, зокрема, ц умови формулю-ються в [5]-[7].
Означення 3 [5]. Монощ О , всi елеме-нти якого оборотш, називаеться групою. 1ншими словами передбачаеться, що виконуються наступш аксюми:
1. на множинi О визначена бшарна оперaцiя: (х, у) ® ху .
2. операцш aсоцiaтивнa: (ху)г = х(у1) ;
3. О мае нейтральний (одиничний) елемент е : хе = ех = х для всх х е О;
4. для кожного елемента х е О юнуе обернений х: хх-1 = хх = е .
Означення 4 [6]. Непорожня множина О, на якш визначено бшарну оперaцiю *, називаеться групою, якщо виконуються тaкi умови:
1. операщя * aсоцiaтивнa;
2. в О юнуе нейтральний елемент г];
3. для кожного елемента а е О в множит О юнуе симетричний елемент а'.
Означення 5 [7]. Групою називаеться деяка множина елеменпв О(а,Ь,с,...) з бшарною операщею, яка називаеться «композищею», такою, що виконуються:
в0. Закон замкнутост1. Для кожно'1 впо-рядковано'1 пари елементiв а, Ь iз О добу-ток аЬ = с юнуе i е однозначно визначеним елементом iз О.
Ш. Асоцiaтивний закон. (аЬ)с = а(Ьс) .
02.1снування одиницi. 1снуе такий елемент 1, що 1а = а1 = а для будь-якого а е О.
03.1снування оберненого елемента. Для всякого елемента а е О юнуе такий елемент а-1 е О , що а1а = аа= 1.
В навчальнш лiтерaтурi зустрiчaються також нaступнi означення.
Означення 6 [8]. Швгрупа називаеться групою, якщо в нш юнуе нейтральний елемент е такий, що при вах а з групи а * е = е * а = а (через * позначено знак ди), i для кожного елемента юнуе обернений такий, що а * а= а* а = е .
Означення 7 [9]. Асощативний групощ О, що мае нейтральний елемент, називаеть-ся групою, якщо для кожного елемента g е О юнуе обернений елемент g'.
Означення 8 [10]. Алгебра А = (О,*,1)
називаеться групою, якщо головт й опера-ци задовольняють умови (аксюми):
(1) бшарна операцш * асощативна, тобто для будь-яких елемент^в а, Ь, с iз О а * (Ь * с) = (а * Ь) * с;
(2) в О юнуе правий нейтральний елемент вщносно операци *, тобто такий елемент, що а * е = а для будь-якого елемента а iз О;
(3) для будь-якого елемента а iз О а * а' = е.
Як дaлi роз'яснюе сам автор, вщповщно до означення 8 група - це непорожня множина з двома операцшми на нш - бшарною * i унарною ', причому бшарна операщя асощативна i володiе правим нейтральним елементом, а унарна операцш е операщею переходу до правого симетричного елемен-
та вщносно бшарно1 операци i, значить, кожний елемент групи мае правий симет-ричний йому елемент вiдносно бшарно1 операци групи *.
Означення 9 [11]. Групою називають множину О з однiею алгебра1чною опера-щею, асоцiативною (хоча не обов'язково комутативною), причому для ще1 операци повинна юнувати обернена операцiя.
Означення 6 i 7 дуже прост для за-пам'ятовування, але (як i означення 8,9) не зручнi для перевiрки того, чи е деяка задана множина вщносно операци групою. Крiм того, вимагаеться додаткове знання понять «твгрупа», «групощ» (понять, яю в подаль-шому в кура алгебри не використовуються). Означення 8 надзвичайно громiздке. А в означенш 9 потрiбно наперед домовитись, що розумiти пщ оберненою операцiею: цей термш автор до цього використовував лише для операцш вiднiмання i дшення, заданих на числових множинах (розглядаючи об'екти нечислово1 природи, треба прийняти, що пщ оберненою операщею слiд розумiти юнуван-ня для довщьних двох елеменпв а, Ь 1з О однозначно визначених елеменпв х, у таких, що ах = Ь, уа = Ь ).
На думку автсрв, в кура вищо1 алгебри найбшьш доцшьним е формулювання означення поняття групи саме у виглядi перелiку аксiом. Такий алгоритмiчний пщ-хiд дозволяе чiтко видiлити суттев1 власти-восп понятая групи, забезпечити зручнiсть перевiрки, чи е деяка множина вщносно задано1 операци групою.
При цьому варто включити в означення чотири аксюми, виокремлюючи вимогу бшарно1 алгебраiчностi операци (тобто й виконуваносп для довiльних двох елемен-•пв множини О , однозначности, залежносп вiд порядку запису множниюв i замкненос-тi). Якщо цю умову не видшити окремо в означенш (не акцентувати на нш увагу), студенти часто забувають 11 перевiряти, не-хтують нею.
Щоб пiдкреслити, що «група» i «множина» - це абсолютно рiзнi понятая, якi нерщко ототожнюються студентами, доцщь-но вести мову не про множину iз заданою
на нш операцiею, а про пару (О;*), де О -
непорожня множина, * - операщя, задана на нш.
В [12] авторами подано наступне означення понятая групи.
Означення 10 [12]. Впорядкована пара (О;*), де О - непорожня множина, нази-
ваеться групою, якщо виконуються наступ-нi умови:
1) * - бшарна алгебра1чна операцiя, задана на множиш О;
2) операцш * асоцiативна на О, тобто для будь-яких елеменпв а, Ь, с iз О справедливо: ( а * Ь ) * с = а * ( Ь * с );
3) в О юнуе нейтральний вщносно * елемент е, тобто такий, що а * е = е * а = а для вах а е О;
4) для будь-якого елемента а е О юнуе симетричний до нього елемент а' е О, тобто такий, що а * а' = а'* а = е .
Умови 1)-4) називають аксюмами групи.
В кура «Лшшна алгебра» при вивченш теми «Алгебраiчнi структури» (початок I семестру), коли студенти вперше зус^ча-ються iз поняттям групи, варто обмежитись лише означенням групи. Досвщ показуе, що розглядати на даному етапi властивостi груп, а також поняття пщгрупи, критерiй пщгрупи i т.д. не зовсiм доцшьно, оскшьки тодi студенти засвоюють даний матерiал на досить низькому рiвнi. Варто зосередитись лише на вивченш означення групи, сфор-мувати вмшня «бачити» групу, наводити рiзноманiтнi приклади груп. М1сце теми «Алгебраiчнi структури» в кура вищо1 алгебри зумовлюе певну специфiку добору прикладiв: на цьому етапi студенти знають небагато прикладiв нечислових множин. Зокрема, вони ще не знайомi iз поняттями матрицi, пiдстановки, класу лишюв тощо. Щоб у студентiв не склалось враження про те, що групами можуть бути лише числовi множини, слiд активно використовувати приклади множин нечислово1 природи, вь домi з шкшьного курсу математики: групу вектс^в площини вiдносно додавання, групу поворота кола вiдносно центра то-що.
@
B caMoMy Kypci «HimMHa anre6pa» noHama rpynu Mo^Ha 6e3nocepegHbo He bhko-pHcroByBaTH. npoTe gocrnb. BucoKa a6crpaKT-Hicrb Lboro noHama BHMarae 3HaHHoi KinbKo-cri Hacy Ha Moro ocMucneHHa. ToMy go cnpuMHama TeoperuHHoro Manepiany TeMH «rpynH» (Kypc «Anre6pa i Teopia Hucen») crygeHTiB Heo6xigHo 3a3ganerigb nigroTyBa-th. BapTo BigMiTHTH, ^o aBTopu e npuxunb-HHKaMH igei goLinbHocni nponegeBTHHHoro o3HaMoMneHHa yHHiB crapmoi mKonu i3 ene-MeHTaMH Teopii rpyn, 3oKpeMa b cucreMi rypT-koboi' po6orH. 3ayBa^HMo, ^o b CfflA i ge-aKHx KpaiHax CBponu noHama rpynu Ta i3o-Mop$i3My rpyn BKnroneHi go ocHoBHoro Kyp-cy MaTeMaTHKH cepegHboi mKonH.
Heo6xigHicTb BBegeHHa noHama rpynu Ha nonaTKy Kypcy BH^oi anre6pu 3yMoBneHa Ta-ko« noipe6oro aHarnrnHHoi reoMerpii (b Kypci aKoi po3rnagaroTbca rpynu neperBopeHb) y c^opMoBaHoMy yaBneHHi npo noHama rpynu. B 3B'a3Ky 3 lhm nocrae nuraHHa npo y3rog-^efflcrb BBegeHoro o3HaneHHa i o3HaHeHHa, aKe nponoHyeTbca b Kypci reoMerpii. 3 Liero Menoro aBropaMH 6yno geranbHo npoaHani3oBaHo nig-xogu go o3HaneHHa noHama rpynu b cynacHux nigpyHHHKax 3 reoMerpii.
03HaneHHR 11 [13]. rpynoro Ha3HBaeTbca napa (G, o), ge G - Henopo^Ha MHo^HHa, Ha aKiM 3agaHa 6iHapHa onepaLia o (3aKoH KoMno3HLii) i BHKoHyroTbca HacrynHi Tpu yMoBH (aKcioMH):
1)EiHapHa onepaLia o acoLiaTHBHa, to6-to gna 6ygb-aKHx eneMemiB a, b, c e G Mae-Mo: a o (b o c) = (a o b) o c .
2)B MHo^HHi G icHye TaKuM eneMeHT e (HeMTpanbHuM eneMeHT), ^o a o e = a gna 6ygb-aKoro eneMeHTa a i3 G .
3) flna 6ygb-aKoro eneMeHTa a i3 G icHye TaKuM eneMeHT a' (cuMenpuHHuM ene-MeHi), ^o a o a' = e .
B gaHoMy o3HaneHHi BHMaraeTbca icHy-BaHHa ogHocropoHHix (npaBHx) HempanbHo-ro i cHMerpuHHoro eneMerniB.
Ha 1 Kypci goBogHTH eKBiBaneHTHicrb o3HaneHb 10 i 11 He goLinbHo, ocKinbKH, aK noKa3ye gocBig, go cnpuMHama a6crpaKTHoro Manepiany cynacHi nepmoKypcHHKH a6conro-tho He nigronoBneHi (b mKinbHoMy Kypci Ma-
TeMaTHKH eneMeHTH a6crpaKTHoi ManeMaTHKH BigcyTHi). OgHaK 3ayBa>KHTH, ^o yMoBH 3) i 4) o3HaneHHa 10 Mo^Ha nocna6uTH, BHMara-roHH nume icHyBaHHa ogHocropoHHix (ogHo-HacHo npaBHx, a6o ogHonacHo niBHx) HeMi-panbHoro i cuMerpuHHoro eneMerniB, cnig o6ob'a3kobo: caMe o3HaneHHa 11 mupoKo BHKopucToByeTbca b reoMerpii Ta $i3HLi i crygeHT noBHHeH 6aHHTH, ^o Le o3HaneHHa piBHocunbHe o3HaneHHro 10. npu LboMy He-o6xigHo TaKo^; BigMiTHTH, ^o cucreMa aKci-om, yTBopeHa b pe3ynbTaii 3aMiHH aKcioM 3) i 4) o3HaneHHa 10 Ha aKcioMH 3^) a * e = a (npaeuu HempanbHuM) i 4^) a '* a = e (nieuu cHMeTpHHHHM) B 3aranbHoMy BHnagKy BH3Ha-HaTH rpyny He 6yge (gHB. [14]). B Kypci «An-re6pa i Teopia Hucen» go Lboro nHTaHHa cnig o6ob'a3kobo noBepHynucb i goBecru eKBiBa-neHTHicTb o3HaHeHb.
nicna ^opMynroBaHHa o3HaneHHa rpynu, cnig 3ayBa^HTH, ^o Hacro gna no3HaneHHa rpynoBoi onepaLii 3aMicrb 3HaKa * BHKopuc-ToByroTb 6inbm 3BHHHi 3HaKu: + i •. ^k^o 6epyTb 3HaK +, to anre6paiHHy onepaLiro Ha3HBaroTb gogaBaHHaM, rpyny BigHocHo Liei onepaLii - aguTHBHoro, HeMTpanbHuM ene-MeHT - HynboBHM a6o npocTo HyneM, cuMen-phhhhm - npoTHne^HHM eneMeHToM, i TaKy ^opMy 3anucy Ha3HBaroTb agHTHBHoro. ^k^o BHKopHcroByroTb 3HaK •, to anre6paiHHy onepaLiro Ha3HBaroTb MHo^eHHaM, rpyny BigHocHo Liei onepaLii - MynbTHnniKaTHB-Horo, HeMTpanbHuM eneMeHT - ogHHHHHHM a6o npocTo oguHHLero, cuMerpuHHuM - o6e-pHeHHM eneMeHToM, i TaKy $opMy 3anucy Ha3HBaroTb MynbTHnniKaTHBHoro. Ha npaKTH-Li 3HaK • Hacro nponycKaroTb, to6to 3aMicrb a • b numyTb npocro ab .
Cepeg Ba^nuBux npuKnagiB rpyn, npo aKi o6ob'a3kobo cnig 3ragaTH, - ogHHHHHa (Hy-nboBa) rpyna, agHTHBHi rpynu Z, Q, R, Mynb-
TunniKaTHBHi rpynu Q*, R*.
PaHime aBropaMH 6yno po3po6neHo Me-TogHKy BBegeHHa noHama 6iHapHoi anre6paiH-Hoi onepaLii, o3HaMoMneHHa i3 akhm 6a^aHo npoBecru nepeg BHBHeHHaM noHama rpynu b Kypci BH^oi anre6pu. fl^a 3aKpinneHHa 3HaHb crygeHTiB npo noHama 6iHapHoi anre6paiH-Hoi onepaLii 6yno 3anponoHoBaHo caMocniM-
но (або за допомогою навчально-методичного забезпечення) скласти зведе-ну таблицю властивостей операцiй, заданих на певних конкретних множинах (табл. 2).
Таблиця 2
До першо'1 колонки слщ додати також множини: 22 парних цiлих чисел, 2Z' не-парних цiлих чисел, Q+ додатних рацюна-льних чисел, К+ додатних дiйсних чисел
тощо (перешк множин може бути допов-нений на розсуд викладача). Вiдмiтимо, що зазвичай для шюстрацй поняття групи сту-денти використовують приклади ушверсаль-них множин: 2, Q, К, або 1хшх пщмножин:
К*. Важливо звернути увагу також на множини виду 2[л/5], &[л/3]* тощо.
Пщ час вивчення поняття групи створена таблиця дозволяе ефективно зеконо-мити час: додаткова перевiрка виконання властивостей 1)-4) не потрiбна, студенти можуть допомагати викладачу наводити приклади як тих множин, що е групами вщносно певних операцiй, так i тих, яю не е. В результат! аналiзу до таблиц може бути доданий ще один стовпчик, в якому за-значаеться, чи е вщповщна множина вщно-сно конкретно!' операцй групою, чи нi. По-рiвняльний аналiз у виглядi таблищ дозволяе також пщкреслити той факт, що вщносно рiзних операцш одна i та сама множина може бути групою, а може й не бути.
Для формування поняття групи на практичному занята бажано розглянути
вправи на зразок наступних:
1. Визначити, чи е групою вщносно операци додавання: а) множина парних щ-лих чисел; б) множина непарних цiлих чисел.
2. Визначити, чи е групою множина 2 * ={-1,1} вщносно операци: а) додавання;
б) множення.
3. Перевiрити, чи утворюе групу множина М всiх чисел виду 3к , де к е 2 , вщ-носно ди: а) додавання; б) множення.
4. Довести, що множина вах поворотiв кола навколо свого центра е групою вщносно композици поворота.
5. Визначити, чи утворюе групу множина М пар (а, Ь) щлих чисел вщносно операци *, задано'1 наступним чином: (а1,Ь1)*(а2,Ь2) = (а1 + а2,(-1)а2Ь1 + Ь2).
При вивченш теми «Групи» в кура «Алгебра i теорiя чисел» (3-4 семестр) слщ пригадати означення, введене на першому кура, aктуaлiзувaти сформоваш знання, вмiння i навички, розширити обсяг уявлень про дане поняття, розглядаючи ряд еквiвa-лентних означень, детально вивчаючи загаль-нi елементарш влaстивостi груп, розглядаючи рiзномaнiтнi приклади груп, що рaнi-ше (на 1 курсi) не вивчались: симетричну групу пiдстaновок , цитчш групи (ск1н-ченнi та несюнченш), aдитивнi групи 2 [/ ] цiлих гаусових чисел, Мп (Р) всiх квадра-тних матриць над числовим полем Р, а також загальну лiнiйну групу ОЬп (К) вах
невироджених матриць квадратних мат-риць над полем К дшсних чисел (та й пiд-групи).
Так, доцшьно звернути увагу, що у ви-падку скiнченноi групи, умова 4) е зайвою (див. також означення Келi). Для цього роз-глядаемо наступну задачу.
Приклад. Нехай операцш • е бiнaрною aлгебрaiчною на скiнченнiй множиш М , i нехай виконуються умови 1)-3) означення 10 групи. Довести, що < М; • > - група.
Для узгодження введеного означення 1з означеннями, якi використовуються в сум1ж-них математичних курсах, слiд показати еквь валентн1сть означень 10 i 11, а також 10 i 12.
Мно- Опе- Властивосп
жина рацш асо- нейтр си- ко-
М * щат. елем. метр. мут
елем.
N додав + 0 - +
множ + 1 - +
2 додав + 0 - а +
множ + 1 - +
Q додав
множ
& = Q \ {0} додав
множ
К додав
множ
я* = я \ {0} додав
множ
Означення 12 [15]. Непорожня множи-на О , в якш визначена операщя множення, називасться групою, якщо виконуються таю умови:
1. Операщя множення асощативна.
2. Для операцй множення в множиш О здшсненна обернена операщя - дшення, тобто для будь-яких елеменпв а 1 Ь мно-жини О кожне з р1внянь ах = Ь 1 уа = Ь мае у множит О розв'язок 1 притому тшь-ки один.
Означення 12 активно використовуеть-ся в курсах «Числов1 системи» 1 «Теоретична ф1зики».
Подвести пщ формулювання означення 12 можна, наприклад, в наступний споаб. На домашне завдання пропонуеться склас-ти таблицю Кел1 (табл. 3) для симетрично'1 групи постановок £3.
Таблиця 3
* ao a1 a2 a3 aA a5
a0 ao a1 a2 a3 aA a5
a1 a1 ao a5 aA a3 a2
a2 a2 aA ao a5 a1 a3
a3 a3 a5 aA ao a2 a1
aA aA a2 a3 a1 a5 ao
a5 a5 a3 a1 a2 ao aA
На занята проводиться аналiз noMi4e-них закономiрностей. Так, елементи a0, a1, a2, a3, a4, a5 зустрiчаються у кожному рядочку i кожному стовпчику таблищ по одному разу. Чи випадково це? Hi, причина в тому, що в групi кожне з рiвнянь a ■ x = b i ya = b , a, b e G, мае единий розв'язок.
Корисно розглянути рiзнi означення поняття групи на гуртковому занята «Р1зш означення групи та 1хня е^валенттсть». При цьому викладач формулюе рiзнi мож-ливi означення, пропонуе студентам вщ-шукати в навчальнiй i науковiй лiтературi iншi означення, довести екывалентшсгь ix означенню 10. На занята про проведену пошуково-досл1дну роботу звпують студен-ти. Викладач доповнюе виступи сгуденгiв, члени гуртка колективно доводять е^ва-лентоть означень. На цьому ж гуртковому занята можна розглянути задачу з ма-
тематично'1 олштади, яка пропонувалась в 1975 р. на IX Всесоюзнш математичнш ол1мтад1 для учшв 8 - 10 клас1в (див. [16]).
Задача. На дошщ записано кшька нутв, одиниць 1 двшок. Дозволяеться витерти дв1 р1зт цифри 1 зам1сть них написати одну цифру, що вщр1зняеться вщ витертих (2 замють 0 1 1, 1 зам1сть 0 1 2, 0 зам1сть 1 1 2). Довести, що коли в результат! кшькох таких операцш на дошщ буде записано тшь-ки одну таку цифру, то вона не залежить вщ порядку, в якому витирали цифри.
У систем задач шюльних математичних олмтад чшьне мюце займають функцюна-льнi р1вняння. Одним 1з методе 1х розв'язу-вання е груповий. Корисно (знову ж таки на гуртковому занята) ознайомити з ним май-буттх вчигешв. Можна розглянути наступний приклад (щея його розв'язання грунту-еться на тому, що множина
^ ( „ x -1 1 x + 1)
F = { /о = x, Л = -, f2 =— , fз = -}
I. х +1 х 1 - х)
утворюе комутативну групу вщносно операцй суперпозицй функцш, 1зоморфну чет-вернш груш Клейна).
Приклад. Знайти функщю, визначену на множит дшсних чисел, вщмшних вщ 0, 1, -1, що задовольняе р1вняння
х/<х) + 2/(Н) - ,
Для спрощення перев1рки, чи е деяка множина групою вщносно певно'1 операцй (якщо ця множина е пщмножиною деяко'1 вщомо! групи), зручно використовувати критерш пщгрупи.
Теорема (критерш тдгрупи). Нехай (О; •) - група. Для того, щоб непорожня
пщмножина Н групи О була тдгрупою ще1 групи, необхщно 1 достатньо, щоб ви-конувались умови:
1. якщо а, Ь е Н, то аЬ е Н ;
2. якщо а е Н, то ае Н .
Мотиващя введення: за означенням пд-
групою групи О е й непорожня пщмножина Н, що сама е групою вщносно операцй, задано'' в О. Перев1ряти ва чотири аксюми групи досить довго - постае питання про зменшення юлькосп аксюм. Визначаемо ра-
зом i3 студентами, яю умови в пщмножии автоматично виконуються i можна не перевь ряти. Ефективнiсть використання даного критерiю легко побачити при розглядi на-ступного прикладу.
Приклад. Довести, що множина Ап пар-них постановок утворюе групу вiдносно операци композици.
Висновки. Як показують результати апробаци на базi Фiзико-математичного 1нституту НПУ iменi М.П.Драгоманова, запропонована методика введення та фор-мування поняття групи в курсi вищо'1 алге-бри е достатньо ефективною. Зауважимо, що ознайомлення iз поняттям групи вщпо-вiдно до дано'1 методики цшком доступне учням старшо'1 школи, що тдтверджуе до-свiд роботи з учнями в системi МАН [17].
1. АлександровП.С. Введение в теорию групп. - М.: Учпедгиз. -1938. -128 с.
2. Шмидт О.Ю. Избр. труды. Математика - М. : АН СССР, 1959. - 315 с.
3. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. - М.: Наука, 1976. - 648 с.
4. Huppert B. Endliche Gruppen. I. - SpringerVerlag Berlin. Heidelberg, 1967. - 794 s.
5. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры: Учебник для вузов. - 3-е изд. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 272 с.
6. ЗавалоС.Т. Курс алгебра. - К.: Вища школа, 1985. - 503 с.
7. Холл М. Теория групп. - М.: Изд-во иностр. литер., 1962. - 468 с.
8. Фаддеев Д.К Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984. - 416 с.
9. Дорофеева А.В. Учебник по высшей математике для философских факультетов университетов. - М.: Изд. Московского ун-та., 1971.
10. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. -М.: Высш. шк., 1979. - 560 с.
11. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - Изд. 9. - М.: Наука, 1968. - 432 с.
12. ТребенкоД.Я., ТребенкоО.О. Алгебра i mеорiя чисел: У 2 ч. - Ч.1. - К.: НПУ iM. МЛ.Драгоманова. - 2009. - 420 с.
13. АтанасянЛ.С., БазылевВ.Т. Геометрия. В 2-х ч. - 41. -М.: Просвещение, 1986. - 336 с.
14. Mann H.B. On certain systems which are almost groups // Bull. Amer. Math. Soc. - 50. -1944.
- P.879-881.
15. Завало С.Т., Костарчук В.М., Хацет Б1 Алгебра i mеорiя чисел: У 2 ч.. - Ч.2. - К Вища школа, 1976. - 384 с.
16. Бородин О.1., Потьоммн Л.В., Слтн-ко А.К. Основт поняття сучасног алгебри: Посгб-ник для самоосвгти вчиmелiв. - К.: Рад. школа, 1983. -112 с.
17. Требенко Д.Я., Требенко О.О. Про деяш аспекти оргашзацШ учтвськог науковог творчостi // Креативнкть i творчкть - Всник Кшвського национального щверситету iменi Тараса Шевче -нка. - Серiя «Соцюлоая. Психологгя. Педагоака».
- Тематичний випуск №1. - К.: Гнозис, 2009. -С.230-234.
Резюме. Требенко Д.Я., Требенко О.О. ВВЕДЕНИЕ И ФОРМИРОВАНИЕ ПОНЯТИЯ ГРУППЫ В КУРСЕ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ. В статье раскрыта история возникновения и формирования понятия группы, проведен детальный анализ существующих подходов к определению понятия группы в учебной и научной литературе. Предложена методика введения и формирования понятия группы в курсе высшей алгебры. Подчеркнута необходимость согласования определения группы, предлагаемого в курсе высшей алгебры, с определениями, используемыми в курсах аналитической геометрии и теоретической физики путем доказательства их эквивалентности.
Ключевые слова: группа, определение понятия группы.
Summary. Trebenko D., Trebenko O. INTRODUCTION AND FORMING THE CONCEPT OF A GROUP IN HIGHER ALGEBRA COURSE. A history of the concept of a group origin and forming is exposed in the paper. A detailed analysis of existing approaches to define the concept of a group in manuals and scientific literature is done. A method of introduction and forming the concept of a group in Higher Algebra course is offered. A necessity to coordinate the definition of the concept of a group proposed in Higher Algebra course with definitions used in Analytical Geometry and Theoretical Physics courses by proving their equivalence is underlined.
Keywords: group, definition of the concept of a group.
Стаття представлена професором М.В.Працьовитий
Надшшла до редакцп 19.10.2009р.
