CC BY
7ПРО ДЕЯК1 ФОРМИ ОРГАН1ЗАЩ1 САМОСТШНО1 РОБОТИ СТУДЕНТ1В У ПРОЦЕС1 НАВЧАННЯ Л1НШНО1 АЛГЕБРИ
Л. I. Сорока, старший викладач, Донецький нащональний ушверситет, м. Донецьк, УКРА1НА
Розглянуто деякг напрямки оргашзацИ' самостШног роботи студентгв, та наведено приклади в1дпов1дних дидактичних матер1ал1в з лттног алгебри.
В Укрш'т, держав^ що бере участь у Болонському процеа, зараз постають задач не тшьки впровадження ново! системи вищо! освiти [2], але й задачi подолання недолiкiв колишньо! системи:
- iнтенсифiкацiя навчального процесу;
- налагодження систематично! роботи студенпв протягом усього семестру;
- стимулювання самостiйноi роботи студентiв;
- розвинення творчих здiбностей сту-дентiв;
- вдивщуашзащя та диференцiацiя навчання;
- збшьшення рiвня активностi студентiв;
- встановлення зворотного зв'язку з кожним студентом на кожному етат нав-чання;
- тдвищення вмотивованостi до нав-чання;
- забезпечення можливост контролю та своечасно! корекци знань студенев;
- зменшення часу проведения сеси;
- психолопчне розвантаження сту-деитiв наприкiнцi семестру, тощо.
Упровадження кредитно-модульно! системи в украшськш освiтi та пов'язаиi з цим змiни (як, наприклад, зменшення аудиторного навантаження та збiльшения частки самосгшно! роботи) з одного боку та вимоги яюсно! пiдготовки фамвщв з другого боку приводять до необхщносп адаптувати всi навчальш курси, яю викла-даються майбутнiм вчителям математики, в тому числi, й курс з лшшно! алгебри.
Розглянемо деяю напрями оргашзаци са-мостшно! роботи студенив, що навчаються за спещальшстю „математика" на прикладi курсу з лЫйно! алгебри.
Метою даног статт1 е розгляд деяких аспектгв оргашзацИ самостшно'г роботи студент1в, розробка та впровадження вгд-пов1дних дидактичних матер1ал1в з Мншног алгебри.
I. Самостшна робота взагат, як зазначае В.Я.Забранський [3], складае тдготовку до аудиторних занять (лекцiй, практичних, лабораторних, семiнарських) i виконання вiдповiдних завдань; виконання домашнiх завдань i завдань для самоконтролю; опра-цювання окремих тем, що не розглядались тд час аудиторних занять; тдготовку до навчальних i педагопчних практик i вико-нання завдань, передбачених практиками; виконання письмових, контрольних, розра-хунково-графiчних i курсових робiт, рефе-ратiв; тдготовку до залiкiв та юпипв; тд-готовку до тдсумково! державно! атестаци, у тому чист, виконання випускно! кватфь кацiйноi (мапстерсько!) роботи; опрацю-вання лттератури в бiблiотеках; роботу в студентських наукових товариствах та гуртках; участь у наукових i науково-практичних конференщях та семiнарах, ш-шi види дiяльностi, що оргатзуються i здшснюються навчальним закладом, кафедрою, органами студентського самовря-дування. Викладач повинен тдготувати навчально-методичт матерiали для оргашзаци самостшно! роботи, побудувати систему мотиваци студенев, визначити мету i
завдання caмocтiйнoï poбoти, вcтaнoвити теpмiни пpoмiжниx звiтiв ^o викoнaнy poбoтy, opгaнiзyвaти кoнcyльтaцiï, opram-зyвaти пеpевipкy пpoмiжниx pезyльтaтiв, caмoкoнтpoль, caмoкopекцiï, взaeмoпеpе-вipки, oбгoвopення pезyльтaтiв, oцiнювaння pезyльтaтiв caмocтiйнoï poбoти. Однieю з фopм caмocтiйнoï poбoти e вишнання студентами iндивiдyaльниx (дoмaшнix) завдань.
Очевиднo, щo без за^плення знань навчання не e товтоцшним. Тpaдицiйнi iндивiдyaльнi завдання [б] дoбpе cебе зapекoмендyвaли та, без cyмнiвy, e дyже кopиcнoю cклaдoвoю нaвчaльнoгo пpoцеcy. Але з oпитy po6oto мaeмo вiдзнaчити й деякi недoлiки цieï фopми. Пo-пеpше, мoвa йде npo дoмaшнe викoнaння завдань, i cтyдент не oбoв'язкoвo викoнye ц завдання ocoбиcтo. Тим бiльш, щo кшьюогь piзниx вapiaнтiв (iG-iS) дae мoжливicть cтyдентaм cкopиcтaтиcя pезyльтaтaми чyжoï ^ащ. Пo-дpyге, xoчa yci вapiaнти тaкиx завдань i oxoплюють якoмoгa бiльше piзниx cmya-цiй в данш зaдaчi, але для кoжнoгo студента ocoбиcтo oxoплюeтьcя лише oдин даний вapiaнт. Пo-тpетe, як cвiдчить oпит, дocить oб'eмне завдання за датою темoю пеpевaжнa бшьшють cтyдентiв викoнye в ocтaннiй мoмент, а не пocтyпoвo, пapaлель-то вивченню теми. I, нapештi, caм викладач чac вiд чacy мae великий oбcяг poбaги, яка cкладаeтьcя з пеpевipки вcix викoнaниx cтyдентaми завдань за дaнoю темoю. Aльтеpнaтивoю таким iндивiдyaльним зав-данням пpoпoнyeмo нacгyпнy фopмy дo-мaшньoгo завдання. На ^жтому ^акт^-нoмy занята пpoпoнyeтьcя низка задач для дoмaшньoгa poзв'язyвaння. Це cпиcoк так званж „cтaндapтниx" задач за темoю за-няття, яю б oxoплювaли piзнoмaнiтнi ш-туаци та нюaнcи теми. Дoмaшнe завдання oднaкoве для вcix cтyдентiв гpyпи. Цiллю cтyдентa e вмтня poзв'язyвaти кoжнy з наведенж задач. Пpи цьoмy за тиждень, який e на викoнaння завдання cтyдент мae змoгy звеpнyтиcя за кoнcyльтaцieю дo викладача, якщo завдання викликають тpyднoщi. А на точатку нacтyпнoгo ауди-тopнoгo заняття викладач ^oTO^e кoжнo-му cтyдентy мiнi-кoнтpoльнy poбoтy (S-iG
xвилин) - poзв'язaти oднy з циx задач. ^и цьoмy oчевиднi пеpевaги тaкoï фopми poбaги: звopoтний зв'язoк та кoнтpoль лег-кo забезпечyeтьcя на кожному занята завдяки мiнi-кoнтpoльнiй (пpи щюму пеpевipкa не вiднiмae у викладача багато чacy), етуденти мають мoтив дo пocтiйнoï caмocтiйнoï пpaцi, зaдaчi кoжнoгo завдання oxoплюють piзнoмaнiтнi нюатои теми, на кoжнoмy занята етуденти су^имую^ бали, якi нaкoпичyютьcя та cклaдaють чacткy бaлiв пoтoчнoгo кoнтpoлю. Дaлi ^oTO^e-мo, як iлюcтpaцiю, oдне з тaкиx дoмaшнix завдань.
Домашне завдання
i. Пеpевipити на ганшну незaлежнicть дану cиетемy вектopiв лiнiйнoгo пpocгopy V. Чи e дана тотема вектopiв бaзиcoм ^ocre^y V? Чoмy?
i) ai = (i;i;i;i;G), a2 = (i;-i;i;-i;G),
аЗ = (G; 2; G; 2; 2), a4 = (G; G; G; G; i) ; V= R5.
2)
A =
A =
Г i 2"
v2 i &
Г 2 i " i2
Аз =
Г G 2"
v2 2&
; V= M 2.
3) f = x2 - x + i, f = 2 x - 3,
f3 = 2x2 + x + i ; V= R2 [x].
4) ai = (5;i; -2),
a2 = (7; G; 7), a3 = (4;2;-i); V= R3.
5) fi = x2 - 2x + i, f = x3 - x + i , f3 = 2x2 - x,
f4 = 3 x3 + 3x2 - б x + 4; V= R3 [x].
2. Знайти який-небудь базиc та вимip-нicгь дашю лiнiйнoгo пpocтopy.
1) Д^йший лЫйний пpoетip ycix дiйcниx мнoгoчленiв, степшь якиx не пеpевищye S i яю мають чиcлo 2 кopенем не нижче дpyгoï кpaтнoетi.
2) ЛЫйний пpocтip кoмплекcниx чиcел над толем paцioнaльниx чиcел.
3) Д^йший лiнiйний пpoетip ycix (2 x 2)-мaтpиць c дiйcними елементами,
яю задовольняють умов! А = Ат (тобто, симетричних матриць).
4) Дшсний лшшний проспр уах пар-них многочлешв с дшсними коефщентами, степшь яких не перевищуе 4 (тобто, таких многочленiв, що задовольняють умов!
/ (-X) = / ( X)).
5) Дшсний лшшний проспр уах дшс-них рядюв вигляду
(а + Ь + с;0; а - Ь + 2с;0) .
П. Без сумшву, викладач ВНЗ повинен формувати у студенпв, майбутшх вчител1в, основи математично! культури, вмшня доводите твердження, вмшня логично мисли-ти. З шшого боку, можна багато раз1в пока-зувати студентам розв'язання „важких" задач 1 не навчити шчому. Щллю викладача е створення мотивацш студенпв до спроб самостшного розв'язання задач р1зних р1в-нiв складносп та створення умов для отри-мання устшного результату тако! д1яль-носп. Не е секретом те, що конкурсна ситуащя на спещальнють „математика" згодом попршуеться, а навчати треба студенпв ¡з р1зним, не завжди високим, р1внем тдготовки. Пщвищення ефектив-носп навчання у ВНЗ, очевидно, пов'язане з урахуванням особливостей кожного студента. Принцип 1ндив1дуального пiдходу до студенпв вимагае створення оптималь-них умов для устшного навчання кожного студента в процес оргатзащ! фронтально! 1 групово! роботи в аудитор!! та при оргатзащ! його самостшно!' роботи. Диференша-Шя е частковим випадком 1ндив1дуал1зац1! навчання, зверненим на реашзацш шдии-дуального пiдходу до окремих груп [4]. Ц групи у процес навчання можуть бути сформован! за р1зними основами (зд1бнос-тями, ¡нтересами, устшшстю, психолопч-ними особливостями, тощо). Основна мета диференщаци - сприяти створенню умов для всеб1чного розвитку особистоси кожного студента з урахуванням його задатюв, можливостей, ¡нтереав. Основним принципом диференщаци повинно бути не постш-не спрощення зм1сту освгш (одним просп-ше, шшим складшше), а диференщащя допомоги учням чи студентам з боку
викладача: одн! потребують бшьшо!' допо-моги, !нш! - в звичайних !! дозах, трет1 - в дуже незначних [1]. Цей вид диференщаци навчання не виключае, звичайно, можли-вост! тимчасово знижувати i саму склад-тсть завдань, поки студенти не адаптують-ся до видав допомоги, як! надае !м викладач. В подальшому дози допомоги повинн! поступово зменшуватися, щоб розвивати самостштсть студенпв у навчанш. Групо-ва навчально-тзнавальна д!яльтсть студенпв на заняттях передбачае комплекта-ц!ю типолог1чних груп на основ! критерив п!знавально! активност!, за рiвнем знань i р!внем сформованостi вм!нь [6]. Як правило, вид!ляються три типолог1чн! групи А, В, С. Студенти групи А засвоюють i вщтво-рюють навчальний матерiал на п!двищено-му р!вн!, групи В - на базовому р1вш, групи С - на мЫмально базовому р!вн!.
Ми пропонуемо одну !з форм такого диференцшованого п!дходу до навчання. За кожною темою курсу „ЛЫйна алгебра" розроблено низку так званих контрольних запитань та вправ на доведення [5]. Як правило, задачi такого характеру викликають труднощ! у студенпв груп В та С. Для цих груп вщповщно розроблено вказiвки, як! допоможуть студентам розв'язати задачу самостшно. Можна д!яти шакше. Будь-яко-му студенту пропонуеться розв'язати задачу без допомоги вказ!вок. Якщо це не вда-лося, пропонуються спочатку вказ!вки для групи В, а пот!м, якщо е необхщшсть, i вка-з!вки для групи С. Нижче наведено приклад таких задач за темою „ЛЫйш простори".
Контрольш запитання
1.Чи юнуе така алгебра!чна система, в якш виконуються вс! акс!оми лЫйного простору, кр!м р!вност! 1 • a = a ?
Вказ1вки для групи С. Згадайте означен-ня лЫйного простору. Розгляньте яку-не-будь вщому алгебра!чну систему, в як!й визначена така операщя додавання, що задовольняе перш!м чотирьом аксюмам лЫйного простору. Розгляньте будь-яке поле та визначте нульовий добуток будь-якого елемента обрано! системи на будь-який елемент поля. Чи буде побудована
aлгебpaïчнa cиетемa зaдoвoльняти вciм aкcioмaм лiнiйнoгo пpocтopy? Пеpевipте.
Вказiвки для групп В. Спpoбyйте poзгля-нути який-небудь лiнiйний пpocтip i зам> нити oпеpaцiю мшження на „^^otoh^", для якoï б не викoнyвaлacь oзнaченa aкеioмa.
2.Навести пpиклaд пiдмнoжини лЫй-нoгo пpocтopy, яка e лiнiйним пpocтopoм, але не e пiдпpoетopoм дaнoгo лiнiйнoгo пpocгopy.
Вказiвки для групп С. Згадайте oзнaчен-ня лiнiйнoгo пiдпpocтopy. Виxoдячи з цьoгo oзнaчення: щo ще для пiдмнoжини ^ocro-py пoвиннo викoнyвaтиcь, oкpiм aкcioм нiйнoгo пpocгopy? Згадайте пpиклaди мш-жини, яка e лiнiйним пpocтopoм над piзни-ми пoлями.
Вказiвки для групп В. Чи вipнo, щo R над R i R над Q e лЫйними пpocгopaми? Вoни oднaкoвi, чи piзнi?
3.Неxaй cиетемa вектopiв a,b,c лiнiйнo залежна. Чи вipнo, щo cиетемa вектopiв a + b, b + c, a + c e лшшш залежью?
Вкамвкы для групп С. Згадайте oзнaчен-ня лiнiйнo зaлежнoï та лЫйш незалежш'1' cиетем вектopiв. Пpипycгiть, щo ocтaння cиетемa e лЫйш незaлежнoю та зaпишiть це за oзнaченням. Пеpепишiть oтpимaнy лiнiйнy шмбшацш вектopiв a + b , b + c , a + c y виглядi лiнiйнoï кoмбiнaцiï вектopiв a, b, c ; откуйте за кoефiцieнтaми. Чи вда-лocя oтpимaти пpoтиpiччя?
Вкамвкы для групп В. Пpиcтocyйте oзнa-чення лiнiйнo зaлежнoï (незaлежнoï) ^cre-ми дo вектopiв a + b, b + c, a + c . В яшму випадку вдaлocя oтpимaти пpoтиpiччя з yмoвoю зaдaчi?
4.Неxaй деякий векте^ мoжнa лiнiйнo виpaзити чеpез лшшш залежну cиcтемy вектopiв. Чи вipнo, щo це poзклaдaння буде eдиним?
Вкамвкы для групп С. Запишлъ poзклaд дoвiльнoгo вектopa в лЫйну кoмбiнaцiю деят cиетеми вектopiв (кiлькicгь вектopiв у cиcтемi теж e дoвiльнoю!). Пpигaдaйте yмoвy лЫйш'1' зaлежнocгi вектopiв та зaетocyйте ïï дo oбpaнoï cиетеми. Отpимaнy piвнicгь зacтocyйте в poзклaдi oбpaнoгo дoвiльнoгo векте^. Пopiвняйте два poзклa-
ди oбpaнoгo дoвiльнoгo вектopy: виxiдний та oтpимaний пiзнiш. Дoведiть, щo oтpимa-m poзклaди, дiйcнo, piзнi.
Вказiвкп для групп В. Мoжнa зacгocyвa-ти yмoвy лiнiйнoï зaлежнocтi вектopiв.
5.Чи мoжнa будь-який ненyльoвий век-TOp включити дo деякoгo бaзиcy?
Вказiвки для групп С. Згадати oзнaчення лiнiйнo зaлежнoï (незaлежнoï) cиетеми век-тopiв та зacтocyвaти ïx дo cиетеми, яка cклaдaeтьcя з oднoгo вектopy. За дoпoмo-гoю нacлiдкiв з oзнaчення лiнiйнoгo ^oc-TOpy визначити, який вектop cклaдae лЫй-нo залежну (незалежну) cиетемy. Згадати теopемy пpo дoпoвнення cиетеми вектсрв дo бaзиcy та зaетocyвaти ïï дo дaнoгo випадку.
Вказiвкп для групп В. Зacтocyвaти теopе-му пpo дoпoвнення cиетеми вектopiв дo бaзиcy.
б.Чи вipнo, щo двi cиетеми вектopiв, якi мають oднaкoвi paнги, oбoв'язкoвo етва-лентнi?
Вказiвкп для групп С. Згадайте oзнaчен-ня paнгy cиcтеми вектopiв, oзнaчення еквь вaлентниx cиетем вектopiв. Рoзгляньте будь-який вiдoмий лiнiйний пpocтip. Вибе-piть в ньoмy два лЫйш незaлежнi вектopи й poзгляньте ïx як двi cиетеми paнгy i. Чи будуть вoни етвалентш? Дoведiть. Сфop-мулюйте oбеpнене твеpдження. Чи e вoнo вipним? Сфopмyлюйте cyпpoтивне твеpд-ження. Чи e вoнo вipним?
Вказiвкп для групп В. Рoзгляньте два лiнiйнo незалежт вектopи як двi cиетеми вектсрв деякoгo paнгy.
7.Чи вipнo, щo лiнiйнi пpocтopи C над R i C над C мають oднaкoвy вимipнicть?
Вказiвкп для групп С. Згадайте oзнaчен-ня вимipнocгi пpocтopy. Знaйдiть бaзиc пpoетopy C над R i базж ^ocr-opy C над C. Звеpнiть увагу на те, щo пpи вщшукант твipнoï cиетеми пpocтopy кoефiцieнти o6^ paeмo iз дaнoгo пoля, caме цим piзнятьcя дaнi пpocтopи.
Вказiвкп для групп В. Звеpнiть увагу на те, щo пpи вщшукант базиав дaниx npo-cтopiв кoефiцieнти oбиpaeмo iз дaнoгo пoля, caме цим piзнятьcя дaнi пpoетopи.
®
8.hh BipHo, ^o o6'egHaHHa .iHiMHHx nignpocropiB gaHoro .iHiMHoro npocTopy 3hob e .iHiHHHM nignpocropoM?
BKCsieKU dnn ¿pyrin C. 3ragaMTe o3HaneH-Ha Ta KpurepiM .iHiMHoro nignpocropy, o3Ha-HeHHa oG'egHaHHH mho^hh. HaBegiTb npux-.ag .iHiHHoro npocTopy i abox nignpocropiB y HboMy (npocrime - oahobhmphhx). nepe-BipTe, hh BuxoHyroTbca g.a o6'egHaHHa yMo-bh xpurepiro nignpocropy. caMe cx.agae nporupinna 3 yMoBaMH xpurepiro? HaBegiTb npuxnag.
BKCsiem dnn ¿pynU B. Kpa^e cnonarxy npoi.rocipyBaTH yMoBy 3agaH aKHMocb one-bhahhm npuK.agoM, a noriM nepeBiprnu o3HaneHHa, hh KpurepiM nignpocropy.
9.hh BipHo, ^o n-BHMipHHH .iHiHHHH npocrip e npaMoro cyMoro oaho-bhmphhx nignpocropiB?
BKCsiem dnn ¿pynU C. 3ragaMTe o3HaneH-Ha cyMH nignpocropiB, o3HaneHHa npaMoi cyMH nignpocropiB, KprnepiM npaMoi cyMH nignpocropiB. OGephb goBi.bHHM n-BHMip-hhm .iHiHHHH npocrip i 6a3uc y HboMy. Po3-r.aHbTe .iHiMHy o6o.oHKy xo^Horo 6a3ucHo-ro BexTopy. ^xa BHMipHicTb Taxux .iHiMHHx o6o.ohok? 3raga&re o3HaneHHa 6a3ucy. 3a gonoMororo Merogy MaTeMaTHHHoi iHgyK^i no n goBegiTb, ^o o6paHHM .iHiMHHM npocTip e npaMoro cyMoro ycix .iHiMHHx o6o.ohok 6a3ucHHx BeKTopiB.
BKCsieKU dnn ¿pynU B. B axocri oahobh-MipHHx gogaHKiB Mo^Ha o6paTH .irnMHi o6o-.ohkh 6a3ucHHx BeKTopiB.
10. Cxi.bKH pi3HHx nignpocropiB MicTHTb ogHoBHMipHHH npocTip, Hy.boBuM?
BKCsieKU dnn ¿pynU C. 3ragaMTe o3HaneH-Ha nignpocropy. 06epiTb 6ygb-aKHM oahobh-MipHHH .iHiHHHH npocTip i 6a3uc b HboMy. 3anumiTb xo^eH HeHy.boBuM BeKTop npocTopy Hepe3 6a3uc Ta po3r.aHbre Moro .iHiMHy o6o.oHKy. ^oBegiTb, ^o 6ygb-axi Taxi o6o-.ohkh cniBnagaroTb ax mho^hhh. Hh 6yge mho^hhe {0} nignpocropoM gaHoro npocTopy?
BwcsieKU dnn ¿pynU B. 3anumiTb yci HeHy-.boBi BexTopu ogHoBHMipHoro npocTopy He-pe3 6a3uc цboro npocTopy Ta po3r.aHbre .ifflHHi o6o.ohkh xo^Horo 3 hhx. He 3a6y-BaMTe npo Hy.boBuM npocTip.
3aaani Ta BnpaBH Ha goBegeHHH
1. ^oBecTH, ^o Bci giMcHi .iHiMHi npo-cTopu, oxpiM Hy.boBoro, MicTaTb HecxmneH-Hy Ki.bKicTb BeKTopiB.
BKCsieKU dnn ¿pynU C. Po3r.aHbre HeHy-.boBHM BeKTop x gaHoro .iHiMHoro npocTopy (noMy BiH icHye?) i goBegiTb, ^o
Va, fie R fi^ ax ¿fix.
CxopHcTaMTeca HecKiHHeHHicTro mho^h-hh giMcHHx HHce..
BKC3ieKU dnn ¿pynu B. Tpe6a cKopucTaTH-ca HaaBHicrro HeHy.boBoro BeKTopy Ta HecKiHHeHHicTro mho^hhh giMcHHx HHce..
2. flpBecm, ^o b goBi.bHoMy giMcHoMy n-BHMipHoMy npocTopi, ge n > 2, MCTHTbca HecxiHHeHHa Ki.bxicTb nignpocTopiB.
BKC3ieKU dnn ¿pyrin C. 3raga&re o3HaneH-Ha BHMipHocTi Ta 6a3ucy .iHiMHoro npocTopy. 06epiTb geaKHM 6a3uc a1,..., an (n > 2) gaHo-ro .iHiMHoro npocTopy i po3nnaHbTe, Hanpux-.ag, BeKTopu Buraagy
x = aa, + a2 +... + a ,ae R .
1 2 n5
npu axux a,fi BeKTopu
x = aa1 + a2 +... + a i
1 2 n
y = fia1 + a2 +... + an 6ygyTb xo.iHeapHHMH (He 6ygyTb xo.iHeap-hhmh)? npu axux a, fi .iHiMHi o6o.ohkh xo^Horo 3 цнх BeKTopiB 6ygyTb cniBnagaTH (6ygyTb pi3HHMu)? CxopHcTaMTeca HecKiHHeHHicTro mho^hhh giMcHux Huce.. HoMy Ba^.HBa yMoBa n > 2 ? ^k Mo^Ha po3B'a3aTH Taxy ^ 3agany, ax^o 3aMiHHTH no.e R Ha no.e C, a6o Q?
BKCsieKU dnn ¿pynU B. Cnpo6yMre b gaHo-My npocTopi 3HaMTH HecxiHHeHHy Ki.bxicTb BeKTopiB, axi nonapHo He e xo.iHeapHHMH, i po3nnaHym .iHiMHi o6o.ohkh xo^Horo 3 hhx.
3. flpBecm, ^o ax^o cucTeMa BeKTopiB a1,...,an e .iHiMHo He3a.e^Horo (n > 1), a cucTeMa a1,...,an,an+1 e .iHiMHo 3a.e^Horo, to BeKTop an+1 Mo^Ha po3K.acTH b .iHiMHy xoM6ma^ro BeKTopiB a1,...,an, npunoMy b
eguHHM cnoci6.
BKCsieKU dnn ¿pynU C. 3ragaru o3HaneHHa .iHiMHo He3a.e^Hoi, .iHiMHo 3a.e^Hoi cucre-mh BeKTopiB. OcraHHe 3anucaTH g.a cucTeMH a1,...,an,an+1. ^k^o npunycrHTH, ^o b
© 8огока Ь.
цьому запису коефщент при ап+1 нульо-вий, отримаемо протир1ччя (як саме?) з незалежнютю системи а1,...,ап. А кожен ненульовий елемент поля мае обернений, що дозволяе виразити вектор ап+1. Сдиний
споаб отриманого розкладання краще до-водити вщ супротивного. 1з р1знищ двох розкладань можна отримати протир1ччя 1з лЫйною незалежтстю системи вектор1в
а1ап .
Вказгвкы для групп В. Спочатку треба довести юнування такого розкладання. Чи обов'язково а1а1 +... + а„а„ + ап+1ап+1 = 0 +1 ф 0 ?
Сдиний споаб розкладання краще доводите вщ супротивного.
4. Довести, що кожна неособлива дшсна матриця може бути матрицею переходу до нового базису.
Вказ1вки для групп С. Запиш1ть довшьну (п х п)-матрицю. Нехай !! визначник е вщмшним вщ нуля. Згадайте теорему про ранг матрищ. Чому дор1внюе ранг дано! матрищ? Згадайте означення рангу матрищ. Чи буде система стовбщв дано! матриц! лЫйно незалежною (залежною)? Розгляньте лЫйний проспр Яп з1 стан-дартним базисом. Довед1ть, що стовбц! матриц!, як вектори простору Я" утворю-ють ще один базис цього простору (згадай-те теорему про базис). Згадайте означення та знайдпъ матрицю переходу вщ стандартного базису Яп до побудованого.
Вказгвкы для групп В. Для дано! неособливо! (п х п) -матриц! достатньо розгляну-
ти лшшний проспр Яп з1 стандартним базисом ! довести, що стовбц! матриц! е лЫйно незалежними. Розв'яжгть задачу за наступною умовою. Довести, що кожна неособлива (п х п) -матриця над Я може бути матрицею переходу до нового базису в будь-якому и-вим1рному дшсному простор!.
5. Довести, що якщо лЫйна оболонка вектор1в х, у ствпадае з лЫйною оболон-кою вектор1в х, г, то вектори х, у, г е лЫйно залежними.
Вказгвкы для групп С. Пригадайте означення лЫйно! оболонки. Чому уе Ц(х,у)? Покажгть, що уе Ц(х,г). Запишгть останн!й факт за означенням лЫйно! оболонки. Пригадайте означення лЫйно залежно! системи вектсрв.
Вказ1вкп для групп В. Чи в1рно, що у е Цх, г)?
Наведен! задач!, яю ор1ентоват на бшьш високий р1вень пщготовки студент!в, сам! по соб1 формують математичний склад мислення, вмшня доводите твердження, що повинно привести до пщвищення р1вня знань студент1в, вдосконалення !х матема-тично! культури. У зв'язку з цим, задача викладача - побудувати навчальний процес таким чином, щоб у студенпв ¿з груп уах р1втв було достатньо мотивацш для розв'язання под1бних задач.
Ми пропонуемо студентам розв'язувати наведен! задач! з пщказками на самостш-них та/або на тематичних контрольних роботах в аудитор!'!. При цьому можна спочатку пропонувати кожному студенту розв'язати задачу без вказ1вок, а пот!м вже, якщо буде необхщтсть, дати картку з потр1бними п!дказками. Ми вважаемо, що шкала ощнювання задач, виконаних ¿з пщказкою, мае бути такою ж самою, як ! для задач, виконаних без пщказок, бо час, що буде затрачений на розв'язання, е обмеженим, тобто вже е м1рою ощнювання. Кр1м того, вказаш задач! мiстяться у бшетах для модульного контролю та бше-тах на ¿спит! (звичайно, без вказ1вок). Тому, ще одн!ею формою застосування карток ¿з вказ1вками, яку ми хочемо запропонувати, е наступна: тсля вивчення теми бажаюч! можуть отримати картки з вказ1вками для домашнього опрацювання, що е одн!ею з форм тдготовки до модульного контролю та юпиту. Або ж уа задач! за вже вивченою темою розподаляються викладачем м1ж уама студентами групи для самост1йного опрацювання (з карками, або без, в залеж-ност! вщ зд1бностей студента) та, за кож-ною темою, е часткою творчого завдання, яке обов'язково ощнюеться наприюнщ семестру.
Таким чином, застосування у навчант подiбних дидактично-методичних засобiв сприяе розвитку таких професiйних якос-тей майбутнього вчителя математики, як самостшнють, систематичнiсть опрацюван-ня здобутих знань та забезпечуе диферен-цiйований тдхщ, контроль знань та зворот-ний зв'язок на кожному етап навчання.
1. Бабанский Ю.К. Оптимизация учебно-воспитательного процесса (Методические основы). - М. : Просвещение, 1982. -192 с.
2. Вища освгта Украгни i Болонський процес: Навчальний пюабник/ За редакщею В.Г.Кременя, авторський колектив: М.Ф.Степко, Я.Я.Болю-баш, ВД.Шинкарук, В.В.Грубтко, ИБабт. - Тер-нотль: Навчальна книга - Богдан, 2004. - 384 с.
3. Забранський В.Я. Оргатзацтт засади самостйног роботи майбутшх учителiв математики у процес методичног тдготовки// Дидактика математики: проблеми i доЫд-же ння. - 2006. - Вип. 25. - С. 81-87.
4. Лернер И.Я. Качество знаний учащихся. Какими они должны быть? - М. : Знание, 1978. - 48с.
5. Потемкин Л.В., Кизименко А.М., Слипен-коА.К., СорокаЛ.И. Линейная алгебра. Практикум. Пособие для студентов. - Донецк: ДонГУ, 2000. - Часть 2. - 52с.
6. Семешхта О.В. Методична система реалiзацiг освтнього стандарту з аналiтичног геометри у педагоачних ушверситетах: Дис. канд. пед. наук. - Харшв: 2004. - 217с.
Резюме. Сорока Л.И. О НЕКОТОРЫХ ФОРМАХ ОРГАНИЗАЦИИ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ.
Рассмотрены некоторые направления организации самостоятельной работы студентов, и приведены примеры соответствующих дидактических материалов по линейной алгебре.
Summary. Soroka L. ABOUT SOME FORMS OF ORGANIZATION STUDENT'S INDEPENDENT WORK IN THE TRAINING TO LINEAR ALGEBRA. Some directs of organization student's independent work are considered and examples of corresponding didactic material on linear algebra are leaded.
Надшшла до редакцп 18.11.2007р.
Фоуваги numaniel
Шшутий &ипуа{ мщиародпого эйрниед муфи^робгт "Фидащщ штематгщи: проЬмлт иЬсисщиия''"М29 планушъся тпусшшу mpaeui 2008 potty
f>t~[$tfti£Mfj па Qjtiitti ¡miwomvJ
Лраханця jo ¿од^аш^ даЛггмлючй ащипшг, д(нк'ржувйтис$ шюг доЬ офорхи/ння poSim
