МЕТОДИКА ЗАСТОСУВАННЯ МАТЕМАТИЧНОГО АПАРАТУ МАЙБУТНІМИ ІНЖЕНЕРАМИ ПІД ЧАС НАВЧАННЯ ТЕОРІЇ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСІВ Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

МЕТОДИКА ЗАСТОСУВАННЯ

МАТЕМАТИЧНОГО АПАРАТУ МАЙБУТН1МИ 1НЖЕНЕРАМИ П1Д ЧАС НАВЧАННЯ ТЕОРП ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕС1В

К. В. Власенко, доктор педагог. наук, доцент, Донбаська державна машинобудiвна акадмя,

м. Краматорськ, УКРА1НА

Проаналгзовано програму курсу теорИ випадкових процесгв у ВТНЗ з огляду на за-стосування математичного апарату тд час навчання гг основних понять, визначень, теорем та розв 'язування завдань. Розроблено методичт рекомендаци використання елементгв вищог математики майбутнгми инженерами у ходг навчання дослгджуваног дисциплгни.

Ключов1 слова: теор1я випадкових процесгв, математичний апарат, елементи вищог математики, майбутш ¡нженери.

Постановка проблеми. 1з кожним днем в iH®:eHepHm дiяльностi все бшьш важливше мюце посщають шновацшт технологи, що висувають висок вимоги не тшьки до спещально!, але й фундаментально! тдготовки шженера, а тому необ-хiдно, щоб навчання одночасно забезпечу-вало високу яюсть фундаментальных знань i готовнiсть випускника до профе-сшно! дiяльносгi. Для студенпв шженер-них спецiальностей математика постае не стiльки навчальною дисциплшою, скшьки професiйним iнструментом аналiзу, орга-тзаци, управлiння технолопчними проце-сами. Тому випускники ВТНЗ повиннГ во-лодГти математичним апаратом, необхщ-ним для розв'язування теоретичних i практичних завдань, мати досить високий рiвень розвитку логичного мислення, вмГти переводити практичне завдання з профе-сшно! на математичну мову. Закладання фундаменту для формування вищевказа-них знань i вмГнь, на основГ яких базуеться розвиток математично! компетентност студентiв ВТНЗ, можливе тд час навчання теори випадкових процеав, у ходГ яко-го вимагаеться постшне застосування математичного апарату.

Анал1з актуальних дослщжень. Осо-бливе значення для обгрунтування теоре-

тичних аспекпв сучасно'1 професшно! ма-тематично'1 тдготовки мають пращ М. Бу-рди [1], М. 1гнатенка [3], С. Ракова [8]. У роботах В. Клочка [4], В. Петрук [7], Т. Крилово' [5] розглянуто проблему фор-мування математично'1 компетентносп фа-х1вщв техшчних ВНЗ. Однак проблема формування математично1 компетентносп майбутшх шженер1в тд час навчання теори випадкових процеав у ВТНЗ ще не стала предметом спещальних дослщжень.

Мета статт1: анатз програми курсу теори випадкових процеав у ВТНЗ з огля-ду на застосування математичного апарату студентами тд час навчання його основних понять, теорем та розв'язування завдань; розробка методичних рекомендацш використання математичного апарату майбутшми шженерами у ход1 навчання дослщжувано'1 дисциплши.

Виклад основного матер1алу. Про-анашзуемо програму дисциплши 1 з'ясуемо й зв'язок 1з навчальним матер1а-лом курсу вищо' математики.

Теор1я випадкових процеав вивчаеть-ся на П-ому кура ВТНЗ та передбачае роз-гляд основних понять, до яких належать основн завдання дисциплши, поняття ви-падкового процесу, реашзащя 1 перер1з випадкового процесу.

Для викладача вищо! школи являе ш-терес не стiльки аналiз будови навчально! дiяльностi, скшьки проблема !! адекватного формування в студенпв. Фактично, мо-ва йде про те, щоб навчити сгудентiв вчи-тись, особливо на перших роках навчання. Таким чином, мехашзмом навчання досль джувано! дисциплiни е не передача певно! кiлькостi необхiдних знань, а управлшня навчальною дiяльнiстю [9].

Так, перед формулюванням визначень випадкового процесу i його перерiзу ви-

кладачевi необхщно вказати на залежшсть мiж ними i поняттями функцй (табл. 1) та значениям функцй у заданш точцi (табл. 2). Знаходження студентами тд час аналiзу спiльних рис у розглянутих фор-мулюваннях сприяе функцiоиуванню !хшх знань пiд час навчання.

Кожна наступна тема дослщжувано! дисциплiни також передбачае застосування деяких понять i методiв розв'язування з вищо! математики, що буде показано у табл. 3.

Таблиця 1

Визначення функцп i випадкового процесу

Визначення функцп Визначення випадкового процесу

Функщя - це «закон», за яким кожному елементу одше! множини (область визначення) ставиться у вщповщшсть де-який единий елемент шшо! множини (область значень) Випадковим процесом чи випадко-вою 8(1), де t - час, називаеться функщя, що кожному моменту часу 1 з штервалу спостереження ставить у вщповщшсть едину випадкову величину 5(0

Таблиця 2

Обчислення значення функцпу точщ i визначення перерiзу випадкового процесу _для проведення порiвняльного аналiзу_

Обчислення значення функцп у точщ Перерiз випадкового процесу

Функщя /(х) приймае значення в деякш точщ х0 з област визначення, що позна-чаеться /(х0) Дискретну випадкову величину називають перерiзом випадкового процесу, що розглядаеться у системi 5 в момент часу to

Таблиця 3

Аналiз тем теорп випадкових процеыв на застосування понять _i методiв розв'язування з вищог математики_

Теми твори випадкових процеЫв Поняття i методи розв'язування з вищо! математики

1 2

Лшшш й нелшшш перетворення випадкових процеав. Стащонарш й ергодичш ви-падковi процеси Поняття функцп, множини, графа

Марковсью процеси з дискретним станом й безперервним часом Марковсью процеси з дискретними станом. Марковсью ланцюги Поняття матрищ, вектора iз заданими координатами; означення добутку ма-триць; способи розв'язування систем лiнiйних алгебра!чних рiвнянь

Стащонарний режим для ланцюга Маркова. Марковсью процеси загибелi й розмножен-ня з безперервним часом Поняття матрицi, вектора iз заданими координатами; способи розв'язування систем лшшних алгебра!чних рiвиянь; типи диференщальних рiвнянь, способи розв'язування диференщальних рь внянь

Пуассоновський потш подiй Визначеш i невласш iнтеграли, спосо-би !хнього обчислення; дп над матри-цями; способи розв'язування систем диференщальних рiвнянь

Теoрiя черг. Стацioнарнi процеси. Випадковий процес Гауса Системи лiнiйних алгебра!чних рiв-нянь, диференцiальних рiвнянь; способи розв'язування систем лшшних ал-гебра!чних рiвнянь, диференцiальних рiвнянь

Розглянемо модель практичного за-няття узагальнення i систематизаци знань, що рекомендуеться провести перед пер-шою лекцiю з теори випадкових процесiв.

Процес узагальнення г систематизаци знань передбачае таку послвдовшсть дш: вГд сприйняття, осмислення Г узагальнення окремих фактГв до формування поняття, !х категорГй Г систем, а вже вГд них - до за-своення складшшо! системи знань: оволо-дшня основними теорГями Г провщними Гдеями дисциплГни, що вивчаеться.

Проведення заняття узагальнення Г систематизацГ! знань потребуе видшення на-ступних структурних елементГв:

- поставлення мети заняття, мотива-цГя навчально! дГяльностГ;

- вщтворення Г корекщя опорних знань за допомогою рГзного виду програм актуалГзаци знань з використанням ком-п'ютерних засобГв навчання;

- повторення Г аналГз основних фактГв, подГй, явищ, складання евристичних правил-орГентирГв;

- узагальнення Г систематизащя понять, засвоення системи знань Г !х застосу-вання для пояснення нових фактГв, вико-нання практичних завдань (ми пропонуе-мо використовувати комп'ютернГ засоби навчання);

- засвоення провГдних Гдей Г основних теоретичних положень на основГ широко! систематизацГ! знань (складання класифГкацшних схем, таблиць);

- тдведення пГдсумкГв практичного заняття.

Розглянемо методичш рекомендаци щодо реалГзацГ! вищевказаних структурних елементГв.

Для постановки мети заняття ми про-

понуемо проведення на його початку ев-ристично! бесГди, що допоможе звернути увагу студенпв на необхГднГсть бГльш детального повторення навчального матерь алу з вищо! математики. Наведемо приклад ще! бесГди.

БГльшГсть закономГрностей на вироб-ництвГ виражаються у виглядГ зв'язкГв Г за-лежностей, що вГдображаються за допомогою математичних моделей !хньо! поведш-ки. ДеякГ з математичних моделей, що представляють рГзнГ процеси, мають вигляд виразГв, формул, понять, що вивчались у курсГ вищо! математики. Серед них е мат-рицГ Г системи лГнГйних алгебра!чних рГв-нянь, Гнтеграли Г диференщальнГ рГвняння. Метою нашого заняття е повторення понять, алгоритмГв, схем та приписГв вищо! математики, що допоможуть нам в оволо-дшш теори випадкових процесГв, навчання яко! передбачае досконале володшня ви-щевказаним математичним апаратом.

Повторення Г аналГз основних фактГв вищо! математики вГдбуваеться за допомо-гою використання студентами запропоно-ваних викладачем порад, систем питань, що сприяе набуванню !хнього досвщу в самостГйному складаннГ правил-орГентирГв чи евристичних стратегий розв'язування прикладних завдань, в умовГ яких вже пропонуються готовГ математичнГ моделГ деяких процесГв. Наведемо приклади таких завдань.

Завдання 1. Математична модель стану виробництва на кГнець року мае вигляд матричного рГвняння Р = Р ■ А , де

®

Р = {и, V, w }, А =

( 0,4 0,2 0,1

0,4 0,5 0,3

0,2 ^ 0,3 0,6

. Знай-

д1ть розв язки цього р1вняння.

Завдання 2. Ймов1ртсть рбезвщ-мовно'1 роботи пристрою задовольняе ди-ференщальному р1внянню

р + Л-р(0 = е3, р (0) = 1,

де Л = 8 число вщмов пристрою за оди-ницю часу. Знайд1ть р (^) .

Завдання 3. Задана кореляцшна функ-щя Кх (1^, 12) = t1 - t2 - +12) випадко-

во'1 функци X ^) . Знайдпъ взаемну коре-ляцшну функщю за формулою

К (11, 12)

Rxx (tl, 12 ) =

Э t0

Отже, пщ час розв'язування першого завдання виникае необхщтсть системати-заци знань студенпв про юнуюч1 методи розв'язання систем лЫйних р1внянь з метою усвщомлення умов застосування того чи шшого методу (наприклад, сгуденги повинш згадати, що метод Гауса може бути застосований для розв'язування будь-яко'1 системи лЫйних р1внянь). Для цього ми пропонуемо застосування програми «задача-метод» [6] в процес колективно'' роботи студенпв. Суть ще!' програми по-лягае в тому, що до групи з декшькох задач пропонуеться декшька способ1в 'х розв'язання. Студенту необхщно обрати пра-вильний та найращональшший, на його погляд, споаб розв'язання для кожно'1 1з запропонованих задач.

Складання майбуттми 1нженерами таблиць метод1в та алгоршмв розв'язання математичних задач певного класу, таб-лиць схем для розв'язант задач окремих вид1в вимагае вщ студенпв реашзаци умшня систематизаци 1 класиф1каци, що

працюють пщ час розв язування завдань аналопчних другому.

Так, пщ час повторення теми «ЛЫйш диференщальш р1вняння 1з сталими кое-фщентами» студентам може бути запро-понована система завдань, яка сприяе не тшьки систематизаци велико'' кiлькостi випадюв, що можуть виникнути у процес розв'язання р1внянь, але 1 формуванню умшня формулювати проблеми, на осно-в1 складання р1зних комбшацш парамет-р1в, невщомих р1внянь заданого типу, 1'х анашзу, встановлення при яких даних завдання мае один, жодного, нескшченну кшьюсть розв'язюв.

Вщповщно до розв'язування завдання, що мае загальний вигляд: розв'яж1ть р1в-няння a0 у " + a1 у + a2 у = f (х), де a0, a1, a2 - довшьт дшсш числа, запро-

понуемо студентам виконати наступну послщовтсть дш.

1. Складгть характеристичне р1вняння a0 k2 + а1к + а2 = 0 вщповщно до однорщ-ного диференщального р1вняння

а0 У + цу + а2 у = 0.

2. Знайдпь k1, k2 - кореш характеристичного р1вняння 1 у - загальний розв'язок вщповщного однорщного р1вняння. Зале-жно вщ значення дискримшанта Э = а1 - 4а0а2 проанатзуйте три випад-ки, зведеш у табл. 4.

3. Знайд1ть у* - частинний розв'язок даного неоднорщного р1вняння для де-яких зображень функцп / (х) у лшшно-му неоднорщному р1внянш а0У + а1 у' + а2у = f (х). Для цього обе-р1ть вигляд розв'язку за табл. 5.

4. Знайдгть у = у + у * - загальний розв'язок даного неоднорщного р1вняння.

Таблиця 4

Загальна схема розв'язання однор1дного диференщального р1вняння

№ Кореш характеристичного р1вняння Загальний розв'язок одно-рщного р1вняння

1 к1 1 к2 - дшсш 1 р1зш (Э>0) У = С1ек1х + С2ек 2 х

2 k1 i k2 - дшсш i р1зш (D=0) y = ek1x (Cj + C2x)

3 kj =a + ßi , k 2 = a - ßi - комплексно спряжен] (D<0) y = ea (C1 cos ßx + C2 sin ßx)

Таблиця 5

Загальна схема знаходження частичногорозв'язку

неоднорiдного диференщального рiвняння_

Вигляд право! частини (f(x)) Контрольне число право! частини (z) Структура 1 * частинного розв язку y

eax z = a - не коршь характеристичного р]вняння Aea

eax z = a - коршь характеристичного р1вняння кратност1 Т Axreax

i т. д. ...

Удосконалення розв'язування завдань третього типу вимагае застосування дидак-тичних можливостей сучасних комп'ютер-них програм, серед яких система комп'ютерно! математики Mathcad. Вико-ристання цього програмного засобу умож-ливлюеться за допомогою створених нами навчально-методичних шструкцш [2]. На-ведемо приклад тако! шструкци для знахо-

.V ¿К (t„ t2)

дження частинно! похщно!

Э L

фу-

нкцл Кх (1^ г2) = г1 ■ г2 ■ 81п(/1 +г2) .

1. Вщкрийте вГкно СКМ Ма1Исаё.

2. За допомогою опци Вид - Панели инструментов - Калькулятор, Вид - Панели инструментов - Вычисление та Вид - Панели инструментов - Исчисление винести на панель шструменпв вГдпоидш вкладки.

3. Знайти частинш похщш функци:

- задати функцю

К (1(1), г (2)) = г (1) ■ г (2) ■ зт(г (1) + г (2))

Гз застосуванням оператора присвоювання := з панел шструмет1в;

- обчислення частинно! похщно!

ЭК(1(1), г (2))

Э t (2)

зд1иснити за допомогою

d

оператору_, змгнюючи при цьому змгнну

дх

диференцшвання. Для отримання результату застосувати оператор ®.

Незважаючи на розма!ття способГв ви-користання математичних пакетв, наш до-свщ дае змогу стверджувати, що вс рГзно-види навчально! дГяльностГ студентв ста-ють значно ефектившшими головним чином завдяки можливостям програмування через оголошення деяко! ГерархГ! функцш, головна з яких розв'язуе вихщну проблему в загальному виглядГ: формування та «навчання» системи «студент-комп'ютер» [2].

Висновки. Отже, одним з базових елеменпв системи професшно! пщготовки майбутшх ГнженерГв у ВТНЗ е математична освГта. Математична освГта повинна найе-фектившше сприяти формуванню у майбутшх ГнженерГв певно! системи умшь засто-сування математичного апарату, що сприяе удосконаленню математично! компетент-ностГ студентв пщ час навчання рГзних математичних дисциплГн.

1. Бурда М.1. Особливост1 оргашзаци навчання математики в 10-12 класах на профтьномур1вн1 /М.1. Бурда, О.1. Глобт // В1сник Черкаського утверситету. - Чер-каси : ЧНУ 1м. Б. Хмельницького, 2009. -Вип. 150. - С. 24-31.

2. Власенко К.В. Теоретичш й мето-дичнг аспекти навчання вищог математики з використанням ¡нформацгйних техно-логт в тженернт машинобудгвнгй школг :

&

© Vlasenko К.

монограф1я / К.В. Власенко / Науковий редактор д.пед.н., проф. О.1. Скафа. - До-нецьк: Ноул1дж, 2011. - 410 с.

3. 1гнатенко М.Я. Актив1зац1я навча-льно-тзнавальног дгяльностг учтв старших класгв при вивченш математики : моно-графгя / М.Я. 1гнатенко. - К. : Тираж, 1997. - 300 с.

4. Клочко В.1. Проблема трансформа-цгг зм1сту курсу вищог математики в тех-н1чних утверситетах в умовах викорис-тання сучасних iнформацтних технологт / В.1. Клочко // Дидактика математики: проблемы i доЫдження : мiжнар. зб. нау-кових робт. - Вип. 22. - Донецьк : ДонНУ, 2004. - С. 10-15.

5. Крилова Т.В. Концепцiя математи-чног тдготовки студентiв нематематич-них спещальностей вищог техмчног школи / Т. В. Крилова // Дидактика математики: проблеми i доЫдження : мiжнар. зб. нау-кових робт. - Вип. 25. - Донецьк : ТЕАН, 2006. - С. 21-24.

6. Максимова Т.С. Методика форму -вання профестно-евристично'г д1яльностг студент1в техшчних ВНЗ при вивчент методу Гауса з використанням комп 'ю-терног программ „ Gauss " / Т. С. Максимова //Ргдна школа. - 2005. - №2. - С. 32-34.

7. Петрук В.А. Модельний пгдх1д як складова формування фахових компетен-ц1й майбутнього выпускника технгчного ВНЗ / В.А. Петрук // Освгтянсью обргг: ре-али та перспективи: Зб. наук. праць. - К. : 1ПТО, 2007. - № 1. - С. 141-146.

8. Раков С.А. Математична освгта: компетенттсний тдх1д з використанням 1КТ: монограф1я / С.А. Раков. - Х. : Факт, 2005. - 360 с.

9. Талызина Н.Ф. Педагогическая психология: учеб. для студ. сред. пед. учеб. заведений / Н.Ф. Талызина. - 3-е изд., стереотип. - М. : Академия, 2001. - 288 с.

Резюме. Власенко Е.В. МЕТОДИКА ИСПОЛЬЗОВАНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКОГО АППАРАТА БУДУЩИМИ ИНЖЕНЕРАМИ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ. В статье проанализирована программа курса теории случайных процессов во ВТУЗе с учётом применения математического аппарата в процессе обучения ее основным понятиям, определениям, теоремам и решения заданий. Разработаны методические рекомендации использования элементов высшей математики будущими инженерами в ходе обучения исследуемой дисциплины.

Ключевые слова: теория случайных процессов, математический аппарат, элементы высшей математики, будущие инженеры.

Abstract Vlasenko К. METHODOLOGY OF THE USE MATHEMATICAL VEHICLE BY FUTURE ENGINEERS IN THE PROCESS OF EDUCATING OF THEORY CASUAL PROCESSES. In the article the program of course of theory of casual processes is analyzed in Technical college taking into account application of mathematical vehicle in the process of educating to her basic concepts, determinations, theorems and decision of tasks. Methodical recommendations of the use of elements of higher mathematics are worked out by future engineers during educating of the investigated discipline.

Key words: theory of casual processes, mathematical vehicle, elements of higher mathematics, future engineers.

Стаття надшшла доредакци 30.05.2012р.