CC BY
45
Scientific journal
ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)
PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION
Has been issued since 2013.
Науковий журнал Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА
Видасться з 2013.
http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/
Чемерис О.А., Прус А.В. Методика розв'язування задач на поверхн другого порядку в курс анал'!тично)' геометрп. Ф'!зико-математична осв'та. 2018. Випуск 2(16). С. 147-152.
Chemeris O., Prus A. Method Of Solving The Problem On Surface Of Another Order In Analytical Geometry Course. Physical and Mathematical Education. 2018. Issue 2(16). Р. 147-152.
МЕТОДИКА РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ НА ПОВЕРХН1 ДРУГОГО ПОРЯДКУ В КУРС1 АНАЛ1ТИЧНО1 ГЕОМЕТРП
Анотаця. Устатт'1 визначено особливостi фундаментально¡'пдготовки майбутшхучителiв математики на приклад'1 дисципл'ш геометричного циклу. Вивчення дисципл'ш, що е складовими фундаментально¡' пдготовки студент'в, спрямоване на формування загальноI математично¡' культури, необх'дно! майбутньому вчителевi математики, оволод'шня комплексом математичних метод/'в та розвиток навичок застосування ¡х на практик, розгортання теоретичних основ для прикладних наукових досл'джень, забезпечення зв'язку з методичною пдготовкою.
Проаналiзовано особливостi розв'язання задач з анал'тично! геометрп. Пошук розв'язку задач'1 будь-яко¡' складност'1 базуеться на використанн формул, ознак, правил, акс'юм, теорем, властивостей, на основi яких створюеться певний алгоритм.
Стисло оглянуто тему «Поверхн другого порядку» тавидлено базов'1 поняття, зг'дноякихiформуетьсязм'!ст практичних занять (поверхнi обертання, ел'псо'ди, гiперболо¡ди, конуси, цилiндри, параболоди, вироджен поверхнi другого порядку). Розглянуто основнi типи геометричних задач в тем/' досл'дження. Наведено приклади задач '¡з розв'язанням або вказ'!вками для роботи назаняттях /'з дисципл'ни. В задачах на складання канончнихр'!внянь, в першу чергу, використовують характеристичн властивост'1 поверхонь другого порядку, а саме, лiнiй, як ¡м належать.
Важливим типом задач е розпзнавання вид'в поверхонь другого порядку за ¡х каношчними р'!вняннями. У прикладних задачах часто зустр'!чаються ситуацп, коли рiвняння поверхнi задано в каношчному вигляд'¡, але з вiдмiнним вiд стандартного розташування осей. Проте при ч'ткому виклад'1 викладачем алгоритму розЫзнавання типiв поверхонь значна частина студент'в достатньо добре засвоюе навички застосування цих алгоритм/'в. Особливо хорошi результати дае використання р'!зномаштних опорних конспект'¡в, обговорення алгоритму студентами на практичному занятт'1. Пiдкреслено важлив'сть та прикладнийхарактер вивчення поверхонь другого порядку для курсу вищо1 математики та елементарно1 геометрп.
Ключов! слова: анал'тична геометрiя, поверхнi другого порядку, математичн задач'1, типи задач, твiрнi, лiнiйчатi поверхш.
Постановка проблеми. Сучасне сусптьство мае потребу у високоосвiчених i мотивованих фахiвцях, здатних виконувати вщповщы функцп в певних оргаызащях, тому роботодавц зацтавлеы в забезпеченн яккно' пщготовки майбутых фахiвцiв. Пщготовка майбутых учителiв - поняття широкоаспектне, воно включае в себе фундаментальну, психолого-педагопчну, методичну, шформацмно-технолопчну, практичну та сощально-гумаытарну пщготовки. Зм^ фундаментально' пщготовки передбачае вивчення теоретичних основ спе^альносп згщно з вимогами до рiвня теоретично' пщготовки педагопчного пращвника вщповщного профтю у класичних уыверситетах i базуеться на новп>лх досягненнях науки [1].
У цтому вивчення дисциплЦ що е складовими фундаментально'' пщготовки майбутых учт^в математики, спрямоване на формування загально'' математично'' культури, необхщно' майбутньому вчителевi математики, на оволодЫня комплексом математичних методiв та розвиток навичок застосування 'х на практик, на розгортання теоретичних основ для прикладних наукових дослщжень, на забезпечення зв'язку з методичною пщготовкою.
Важливою умовою вдосконалення викладання математики для студенев спещальносп 014.04 Середня освта (Математика) за Державним стандартом вищо' освiти е посилення '' практично' i прикладно' спрямованост вивчення як теоретичного матерiалу, так i особливо системи задач [2]. Важливу роль у виршены дано' проблеми вщ^рае вироблення в студенев практичних умшь i навичок, зокрема геометричного характеру. Використання практичних завдань мотивуе сприймати новi математичн поняття; тюструе навчальний матерiал; закртлюе i поглиблюе знань з предмета; формуе
УДК 378.514
О.А. Чемерис1, А.В. Прус2
Житомирський державний унверситет iменi 1вана Франка, Украша
1olgachemerys@i.ua, 2pruswork@gmail.com DOI 10.31110/2413-1571-2018-016-2-028
практичн вмшня i навички. Визначним крилем математично! компетентности учнiв традицшно вважаеться вмшня розв'язувати задачi. Саме через розв'язування студентами навчальних задач реалiзуються освiтнi, виховнi, розвивальнi i практичнi освiтнi ц^лТому е актуальним пошук вiдповiдних технологш i методiв навчання учнiв розв'язувати геометричн задачi. Практичне спрямування курсу геометри передбачае формування в майбутых фахiвцiв умiнь використовувати здобутi знання пщ час вивчення як само! геометри, так i iнших дисциплш, а також в повсякденному житп.
Аналiз актуальних дослiджень. Питаннями фахово! пiдготовки майбутнiх учителiв математики займались вiдомi науковцi та методисти: В. Бевз, Ю. Колягiн, О. Мордкович, З. Слепкань, М. Шкть, Н. Шунда. На сучасному етапi окремi аспекти професiоналiзацГi пiдготовки майбутнiх учт^в математики в Укра!нi дослiджують там математики-методисти: О. Бойченко, М. Бурда, С. Семенець, О. Скафа, Н. Тарасенкова, О. Чашечникова, В. Шарко та шшм.
Головною рисою компетентности випускникiв фiзико-математичного факультету мае бути опанування ними рiзних спецiальних методiв, зокрема, математичного моделювання, методологiя якого описана фунтовно такими науковцями: Б. Гнеденком, А. Колмогоровим, Т. Криловою, Л. Жчупвською, Л. Панченко, О. Самарським, А. Тихоновим, Н. Шаповаловою. Наступи дослiдники (Г. Дорофеев, П. Ердыев, Ю. Колягiн, Д. Тютюнник, I. Шаригiн та iншi) вщносять системи задач до основних засобiв удосконалення процесу навчання. Серед сучасних дослщниюв фундаментально! пiдготовки майбутнiх учи^в математики варто видiлити науковi прац Г. Абрамово!, В. Голець, В. Степанович, £. Плотнтово!, В. Швеця та iн.
На сучасному етат розвитку методично! науки окремi аспекти вивчення лшш i поверхонь у кура aнaлiтичноi, геометри висвiтленi в роботах вщомих мaтемaтикiв, педaгогiв i методистiв: М. Працьовитого, Н. Тарасенково!, М. Тюлюша, О. Семеыхшо!, О. Коломiець, Я. Гончаренко, Г. Улитина, Л. Мироненко та шших.
Рiзнi методичнi шляхи та прийоми вивчення лшш i поверхонь знайшли вщображення у пiдручникaх, навчальних посiбникaх та збiрникaх задач iз курсу аналтично! геометри, серед яких слiд вщзначити визнaнi прaцi: П. Александрова, Л. Атанасяна, В. Базилева, В. Бтоусово!, П. Моденова, О. Погорелова, сучасних - В. Боровика, Л. Вавриковича, Б. Гриньова, В. Яковця.
Питанням методики вивчення лшш та поверхонь другого порядку за рахунок удосконалення оргаызацшних форм та методiв займаються Т. Махомета, зокрема для самостшно! роботи, Л. Зайцева, А. Нетреба, iз прикладним застосуванням - О. Литвин тощо.
Мета статп: зробити методичний огляд змктового модуля «Поверхн другого порядку» в кура аналтично! геометри, розв'язати проблему твiрних поверхы, пiдiбрaти рiзнi за планом реaлiзaцii' зaдaчi.
Методи дослiдження: aнaлiз науково-методично! лiтерaтури, системaтизaцiя та узагальнення теоретичного мaтерiaлу; формaлiзaцiя та aлгоритмiзaцiя для розв'язування задач з теми дослщження; метод проек^в для повторення базових понять, стимулюванн до сaмостiйноi' роботи, закртлены практичних навичок та ефективного використання шформацшно-комушкацшних технологiй.
Виклад основного матерiалу. У курсi вищо! математики студенти зустрiчaються iз задачами на лекщях, на практичних заняттях, на наукових гуртках, при виконанн контрольних, розрахункових, самостшних робiт, на коло^умах, екзаменах тощо. У структурi зaдaчi видiляють умову та запитання.
За змктом запитання зaдaчi подiляють на: обчислення; доведення; побудову; дослщження. За дидактичним призначенням зaдaчi клaсифiкують на: зaдaчi для мотивацп; зaдaчi для створення проблемних ситуацш; зaдaчi для пщведення п^д поняття; зaдaчi для здшснення aлгоритмiчного пiдходу; зaдaчi для опанування певним методом, прийомом; зaдaчi для контролю, корекцп та оцшки знань, умiнь. За ступенем складност зaдaчi подiляють на: репродуктивнi; реконструктивы; зaдaчi евристичного характеру, тобто творч^ нaпiвaлгоритмiчнi [3; 4].
Розв'язання зaдaчi будь-яко! складност базуеться на використанн формул, ознак, правил, aксiом, теорем, властивостей, на основi яких створюеться певний алгоритм. Викладач, який мае справу iз задачами, повинен пам'ятати про етапи !х розв'язування: aнaлiз тексту зaдaчi (вiдокремлення умови вщ запитання; створення моделi зaдaчi); пошук плану розв'язання зaдaчi (з'ясування виду зaдaчi та саме пошук плану розв'язання) та його реaлiзaцiю; перевiрку розв'язання та дослiдження крокiв; aнaлiз iнших способiв та вибiр серед них бтьш рaцiонaльного; вмiння робити висновки для подальшо! дiяльностi.
Проaнaлiзувaвши нaвчaльнi плани та програми, розроблен кафедрами алгебри та геометри й математичного aнaлiзу Житомирського державного уыверситету iменi 1вана Франка, визначимо особливост фундаментально! пiдготовки на приклaдi дисциплш геометричного циклу. Сама предметна галузь надае необмежеш можливост для штелектуального розвитку, тренування вмiнь aнaлiзувaти, синтезувати, абстрагувати, класифтувати, систематизувати, узагальнювати, планувати, а вщпрацьоваы вмiння можна з устхом переносити зi свiту абстракцп у реальний свiт. Логiчний каркас програми з геометри складаеться з ряду роздЫв: aнaлiтичнa геометрiя на площин та в просторi, основи геометри, конструктивна, проективна, диференщальна геометрiя та топологiя. Цей курс повинен створювати в студенев максимально повне i цiлiсне сприймання математично! науки (вщ Евклiдa до наших чаав) [5].
Мета навчально! дисциплiни «Анaлiтичнa геометрiя» - це ознайомлення та оволодшня сучасними теоретичними положеннями i математичними методами aнaлiтичноi' геометри та формування вмшь !х застосовувати на практик, зокрема, пiд час вивчення шших дисциплш. Завдання курсу включають у себе вивчення геометричних ф^гур за допомогою алгебри iз використання методу координат i дослщження, як геометричнi фiгури предстaвленi тими або шшими рiвняннями. Цей навчальний предмет розвивае геометричну уяву, виробляе вмшня i навички алгебра!чного aнaлiзу геометричних об'ектв, закладае основи, обов'язковi для подальшого вивчення рiзних областей математики.
Предметом вивчення навчально! дисциплши е вектори, системи координат, рiвняння прямих та площин, лiнíi та поверхн другого порядку. Курс тiсно пов'язаний з курсами елементарно! математики, лшшно! алгебри, математичного aнaлiзу, диференцiaльно! геометри, фiзики, мехaнiки, астрономи.
Програма дисциплши мктить нaступнi змiстовi модулi:
1. Елементи векторно! алгебри.
2. Метод координат на площин та у просторк
3. Пряма на площиы.
4. Теорiя прямих та площин у просторк
5. Коычн перерiзи: елiпс, гiпербола, парабола. Загальна теорiя алгебраУчних лiнiй другого порядку.
6. Вивчення алгебраУчних поверхонь другого порядку за Ух канонiчними рiвняннями.
Зокрема, останнiй змiстовий модуль включае в себе таю теми: поверхн обертання; елтсоУд; одно- та двопорожниннi гтерболоУди; цилiндричнi поверхнi; конiчнi поверхнi; елттичний та гiперболiчний параболоУди; елементи дослщження загального рiвняння поверхнi другого порядку. Вщповщно, теоретичний матерiал лекцiй опрацьовуеться i на практичних заняттях з аналiтично,i геометрй\ Модуль «Поверхн другого порядку» е набагато складншим для засвоення студентами. При цьому основним чинником такоУ ситуац^ е погане просторове мислення, характерне для переважноУ бшьшост студентiв, недостатнi технiчнi навички алгебраУчних перетворень та невмiння самоспйно працювати.
Поверхня е найважливiшим поняттям у рiзних роздiлах геометр^ та шших математичних дисциплiнах. В аналтичый геометр^ рiвняння виду ¥(х,у,£) = 0 е рiвнянням поверхнi вiдносно заданоУ системи координат; його задовiльняють координати кожноУ точки, що лежить на поверхш, i не задовiльняють координати жодноУ точки, що не лежить на ый [4, с. 108-109]. Якщо поверхня задана геометрично, то можна знайти УУ рiвняння ^ навпаки, поверхню в просторi можна задати и рiвнянням. Поверхнею, заданою рiвнянням вiдносно певноУ декартовоУ системи координат, називають геометричне мiсце точок (ГМТ), координати яких задовольняють дане рiвняння. Поверхнi подiляються на алгебраУчн й неалгебраУчнi (трансцендентнi). Якщо лiва частина рiвняння ¥(х,у,£) = 0 е многочлен степеня п вщносно х,у,z , то вщповщна поверхня називаеться алгебраУчною поверхнею п -го порядку [6, с. 108-109].
Класифтащя поверхонь необхщна для того, щоб спростити вивчення Ух рiзноманiття, видiливши певнi групи, що волод^ть однаковими основними геометричними властивостями.
Ус поверхнi можна роздiлити:
• за законом утворення - графiчнi (невщомий закон утворення) та геометричнi (вщомий);
• за формою твiрноУ - лшшчат (коли твiрною е пряма) та нелшмчат (коли твiрною е крива);
• за законом руху твiрних - поступально, обертаючим рухом (поверхн обертання), гвинтовим рухом (гвит^ поверхнi) тощо;
• за ознакою розгортання - т, що розгортаються та не розгортаються.
• за ознакою напрямних, як можуть бути ламаними, прямим або кривими, тому поверхн бувають багатогранними або неплощиними.
Слщ мати на уваз^ що рiзноманiття поверхонь i способiв Ух одержання не мае меж, тому створення единоУ системи для класифтацГ( поверхонь не е здшсненим. Бiльш того, з геометричноУ точки зору класифiкацiя поверхонь не може мати наукового обгрунтування. Що стосуеться методики використання в процес навчання, то тут, навпаки, класифтащя поверхонь, заслуговуе самоУ серйозноУ уваги [5, с. 377-382]. Так, поверхн сталоУ кривини е предметом особливоУ уваги основ геометр^ (залежно вщ знака гаусовоУ кривини поверхн подiляють на поверхнi додатноУ, нульовоУ або вiд'емноУ гаусовоУ кривини).
Стандарним типом задачi з нашоУ теми е вщшукання та запис каноычних рiвнянь поверхонь обертання, якi можна розв'язувати як на лекцшних так i на практичних заняттях.
Приклад 1. Отримати рiвняння поверхонь обертання iз вказаною твiрною та вксю обертання. Результат перевiряемо за заповненою таблицею 1.
Таблиця 1.
Приклади утворення поверхонь обертання
Назва noBepxHi Bicb l TBipHa лiнiя L Рiвняння noBepxHi
Сфера Ox i 2,2 d2 Ix + y = R коло ■ \z = 0 x2 + y2 + z2 = R 2
ЕлтсоУд обертання Oy елiпс ■ 2 2 x- + y- = l 22 a b z = 0 2.2 2 x + z y 2 + y2 =1 a b
Однопорожнинний пперболоУд обертання Oz гiпербола ■ 2 2 x z a2" с2= y = 0 2,2 2 x + y z 2 2 =1 a с
Двопорожнинний пперболоУд обертання Ox гiпербола ■ 2 2 xz — ~ ~ = 1 a с y=0 2 2.2 x y + z 2 2 1 a с
ПараболоУд обертання Oz 1 x2 = 2 pz парабола ■ U = 0 x 2 + y 2 = 2 pz
Важливим типом задач е розтзнавання видiв поверхонь другого порядку за Ух каноычними рiвняннями. У прикладних задачах часто зустрiчаються ситуац^, коли рiвняння поверхн задано в канонiчному виглядi, але з вщмшним в^д стандартного розташування осей. Студенти роблять помилки в розтзнаваны поверхнi i в схематичному зображены.
Проте при чггкому викладi викладачем алгоритму розпiзнавання типiв поверхонь значна частина студенев достатньо добре засвоюе навички застосування цих алгоритмiв. Особливо хороши результати дае використання рiзноманiтних опорних конспектiв, обговорення алгоритму студентами на практичному занятп. Крiм того, ми вважаемо доцтьним при вивченн цiеï теми наводити в розширеному опорному конспектi випадки рiвнянь поверхонь в каноычному видi з нестандартним розташуванням осей [7].
Так, двопорожнинним пперболощом називаеться поверхня, яка в деякш прямокутнiй системi координат
2 2 2
х У z i / „. ...
задаеться, наприклад, р1внянням: —- + ---т = -1 (див. рис. 1). Ця поверхня утворена внасл1док р1вном1рного
222 abc
стиснення двопорожнинного пперболоща обертання до одые з його площин симетрп або шляхом розтягнення в протилежних напрямах.
Zj
Змшюючи р1вняння вихщно!' пперболи, що етв1рною, або oci
обертання, одержимо rnuii канонiчнi рiвняння
двопорожнинних пперболо'^в:
2 2 2 2 2 2 x y z _ x y z_
~ - 72 + ~ = - ' 2 + 72 + ~ = - '
abc abc
2 2 2 2 2 2 x y z x y z
~ - 72 2 = ' 2 - 77 + ~ = '
abc abc
z
о
>: y—" Y C,
-
z
2
2 2
x y ------
2,2 2 abc
= 1
Рис. 1. Двопорожнинний гiперболоiд
Також цтавими е вiзуальнi висновки за каноычними рiвняннями поверхонь, до яких може пщвести викладач студентiв. Наприклад, як вiдрiзняються головнi рiвняння однопорожнинних та двопорожнинних пперболощв? (Канонiчнi рiвняння однопорожнинних гiперболоíдiв мiстять непарну кшьмсть мiнусiв, а двопорожнинних - парну).
Особливо складною для вивчення студентами е тема «Дослщження алгебра'чних рiвнянь поверхонь другого порядку». Цi складнош^, як правило, е наслiдком недостатнього розумшня теорп квадратичних форм та недостатнього рiвня навичок оперування ними, недостатньо високого рiвня аналiтичних навичок для застосування квадратичних форм i особливо поганим вщчуттям геометрично' суп розв'язувано'' задачi [8].
В задачах на складання канонiчних рiвнянь, в першу чергу, використовують характеристичнi властивост поверхонь другого порядку, а саме, лшм, якi 'м належать (наприклад, для складання рiвнянь лiнiйчатих поверхонь використовують колЫеарысть бiжучого вектора до деякого, який може бути сталого напряму чи з певним розмщенням).
{(х-1)2 + (у + 3)2+(г -2 )2 = 2 5 1х + у - 7 + 2 = 0
Задача 1. Скласти рiвняння конiчноï поверхнi з напрямною К (0, 5, 0), через яку проходять ус тв^рн^.
та в1домою точкою
К
Зробимо рисунок (рис. 2).
Нехай М (X, Y, - бiжуча точка шукано' коычно' поверхнi, Р (х, у, z) -
и проекщя на напрямну конуса, тому пщберемо вектор р (т, п,1) - вектор,
якому колiнеарнi вектори КМ i Кр (це характерна властивкть твiрних конiчноí поверхнi).
З колшеарносп векторiв випливае пропорцiйнiсть 'х координат, тому маемо наступну систему стввщношень:
{х - о у - 5 г - о
m n 1
x - 0 _ y - 5 _ z - 0
Рис. 2. Кошчна поверхня (до 3ada4i 1)
Виразимо з другого рiвняння х i у через z i пiдставимо все в рiвняння напрямнок
x = mz i y = nz + 5 '
J(mz -1)2 + (nz + 3)2 + (z - 2)2 = 2 5 I mz + nz + 5 - z + 2 = 0 7
1
Виразимо з другого рiвняння z через m i n: z = -
7m
m + n -1
-11 +1-
7n
m + n -1
2
i тдставимо в перше р1вняння:
m + n -1
+ 3 1 +1-
7
m+n-1
- 2 I = 25 .
9 9
Пкля спрощення маемо 52m - 4n - 50mn + 36m + 92n +10 = 0 .
2
2
X . Y - 5 . . ..
Тепер використавши постановку m = — i n =— , остаточно отримаемо р1вняння кон1чно1 поверхн1:
52X 2 - 4(Y - 5)2 + (92Z - 50X)(Y - 5) + 36XZ + 10Z 2 = 0 .
В наступай задач! 2 в умов! не вказано тип шукано'|' поверхы, але саме формулювання робить пщказку щодо утворення прямими л^ями, тому шуканою поверхнею е ппербол!чний параболощ.
Задача 2. Знайти р!вняння множини точок, що лежать на вах прямих, паралельних до площини Oxy i що
'х = 1 + 2t y = 2 + 3t. z = t
| х = 0
перетинають дв! прям!: \ та
[y = 0
В'дпов'дь. Це р!вняння ппербол!чного параболоща 3XZ - 2YZ + 2X - Y = 0 .
Висновки. Для усунення проблем при вивченн в курс! «Анал1тично'|' геометри» змктового модуля «Поверхн другого порядку» ми пропонуемо на практичних заняттях звернути увагу на наступне:
1) базою для розв'язування задач е знання способ!в утворення поверхонь другого порядку та |'х властивостей;
2) робити акцент на розтзнавання поверхонь за каноычними р!вняннями;
3) алгоритмувати кроки розв'язання з метою систематизаци та узагальнення для складнших задач.
Плануемо видання методичних рекомендацш для практичних занять за темою дослщження, як! будуть мктити вщповщний теоретичний матер!ал, перелт завдань для аудиторноУ та самоспйно'|' роботи. Зокрема, буде використано досвщ групово'|' роботи на приклад! методу проектв для повторення базових понять, стимулюванн до самостшно'|' роботи, закртлены практичних навичок та ефективного використання математичних пакетв.
Список використаних джерел
1. Постанова Кабшету Мшктр1в УкраУни «Про Державну нацюнальну програму «Освп^а (Украша ХХ1 столггтя)» вщ 3 листопада 1993 року № 896 (1з змшами, внесеними зпдно з Постановою КМ № 576 (576-96-п вщ 29.05.96). URL: http://zakon2.rada.gov.ua/laws/show/896-93-п (дата звернення: 17.05.2018).
2. Профть осв!тньо'|' програми. Галузь знань 01 Осв!та (Педагопка). Спец!альнкть 014.04 Середня освп^а (Математика) URL: https://www.uzhnu.edu.ua/en/infocentre/get/15320 (дата звернення: 17.05.2018).
3. Фридман Л. М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. Москва: Просвещение, 1983. 160 с.
4. Яковець В. П., Боровик В. Н., Ваврикович Л. В. Анал!тична геометр!я: навчальний поабник. Суми: ВТД «Уыверситетська книга», 2004. 296 с.
5. Навчальн плани та робоч! програми для дисциплш геометричного циклу / Розроблено кафедрою алгебри та геометри (протокол № 1 вщ 31 серпня 2017) (рекомендовано радою ф1зико-математичного факультету Житомирського державного ушверситету ¡меы 1вана Франка). Житомир, 2017. 35 с.
6. Анал!тична геометр!я / за заг. ред. В. П. Бтоусово'|'. Кж'в: Вища школа, 1973. 328 с.
7. Слепкань 3. I. Науков! засади педагопчного процесу у вищм школ!. Ки'|'в: НПУ, 2000. 210с.
8. Махомета Т. М. Оргашзацшш форми ! методи вивчення лшм i поверхонь у курс! анал1тично'|' геометри. Проблеми методики ф1зико-математично'|' ! технолопчно'|' осв!ти. Вип. 8 (I), 2018. С. 81-85.
References
1. Postanova Kabinetu Ministriv Ukrajiny «Pro Derzhavnu nacionaljnu proghramu «Osvita (Ukrajina KhKhl stolittja)» vid 3 lystopada 1993 roku # 896 (Iz zminamy, vnesenymy zghidno z Postanovoju KM # 576 (576-96-p vid 29.05.96). URL: http://zakon2.rada.gov.ua/laws/show/896-93-p (data zvernennja: 17.05.2018).
2. Profilj osvitnjoji proghramy. Ghaluzj znanj 01 Osvita (Pedaghoghika). Specialjnistj 014.04 Serednja osvita (Matematyka) URL: https://www.uzhnu.edu.ua/en/infocentre/get/15320 (data zvernennja: 17.05.2018).
3. Frydman L. M. Psykhologho-pedaghoghycheskye osnovbi obuchenyja matematyke v shkole. Moskva: Prosveshhenye, 1983. 160 s.
4. Jakovecj V. P., Borovyk V. N., Vavrykovych L. V. Analitychna gheometrija: navchaljnyj posibnyk. Sumy: VTD «Universytetsjka knygha», 2004. 296 s.
5. Navchaljni plany ta robochi proghramy dlja dyscyplin gheometrychnogho cyklu / Rozrobleno kafedroju alghebry ta gheometriji (protokol # 1 vid 31 serpnja 2017) (rekomendovano radoju fizyko-matematychnogho fakuljtetu Zhytomyrsjkogho derzhavnogho universytetu imeni Ivana Franka). Zhytomyr, 2017. 35 s.
6. Analitychna gheometrija / za zagh. red. V. P. Bilousovoji. Kyjiv: Vyshha shkola, 1973. 328 s.
7. Sljepkanj 3. I. Naukovi zasady pedaghoghichnogho procesu u vyshhij shkoli. Kyjiv: NPU, 2000. 210 s.
8. Makhometa T. M. Orghanizacijni formy i metody vyvchennja linij i poverkhonj u kursi analitychnoji gheometriji. Problemy metodyky fizyko-matematychnoji i tekhnologhichnoji osvity. Vyp. 8 (I), 2018. S. 81-85.
METHOD OF SOLVING THE PROBLEM ON SURFACE OF ANOTHER ORDER IN ANALYTICAL GEOMETRY COURSE
O. A. Chemeris, A. V. Prus
Zhytomyr State University named after Ivan Franko, Ukraine Abstract. The article outlines the peculiarities of the fundamental training of future mathematics teachers on the example of the disciplines of the geometric cycle. The study of disciplines that are part of the fundamental training of students is aimed at forming a general mathematical culture, a necessary future mathematics teacher, mastering the complex of mathematical methods and developing the skills of their application in practice, deploying theoretical foundations for applied research, providing communication with methodological training.
Peculiarities of solving problems with analytic geometry are analyzed. The solution of the problem of any complexity is based on the use of formulas, signs, rules, axioms, theorems, properties, on the basis of which an algorithm for solving is created.
The theme "Surfaces of the second order" is briefly examined and the basic concepts are determined, according to which the content of practical classes (rotational surfaces, ellipsoids, hyperboloids, cones, cylinders, paraboloids, degenerate surfaces of the second order) is formed. The main thematic types of geometric problems in the research topic are considered. Examples of problem solving or guidance for work in disciplines are given. In the tasks for the compilation of canonical equations, first of all, we use the characteristic properties of surfaces of the second order, namely, the lines lying on them.
An important type of task is the recognition of the types of surfaces of the second order according to their canonical equations. In applications, situations are often encountered when the surface equation is given in canonical form, but different from the standard arrangement of axes. However, with a clear presentation by the teacher of the algorithm for the recognition of types of surfaces, a significant proportion of students are sufficiently well acquainted with the skills of the application of these algorithms. Particularly good results give the use of various background notes, discussion of the algorithm by students in practical classes. The importance and applied character of the study of surfaces of the second order for the course of higher mathematics and elementary geometry are emphasized.
Key words: analytical geometry, surfaces of the second order, mathematical problems, types of tasks, inventive, line-shaped surfaces.
