Різні види геометрії та особливості їх навчання Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

Scientific journal PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION

Has been issued since 2013.

Науковий журнал Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА

Видасться з 2013.

http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/

ЗаУка О.В. Pi3Hi види геометрп та oco6nueocmi Ух навчання //Ф'зико-математична освта: науковий журнал. - 2017. - Випуск 3(13). - С. 62-66.

Zaika O. Different Types Of Geometry And Features Of Its Study // Physical and Mathematical Education : scientific journal. -2017. - Issue 3(13). - Р. 62-66.

УДК 378

О.В. ЗаТка

Глух'вський нац1ональний педагог'нний ушверситет ¡меш Олександра Доеженка, УкраУна ksuwazaika@gmail. com

Р1ЗН1 ВИДИ ГЕОМЕТРП ТА ОСОБЛИВОСТ1 IX НАВЧАННЯ

Анота^я. У статт1 автор розглядае р1зн1 види вищоУгеометру як вивчають студенти - майбутн вчител1 математики: анал>тичну, диферен^альну, проективну геометрп та основи геометрп. Проанал'зовано предмет вивчення та основний метод кожноУ 1з навчальних дисципл1н. Розглянуто особливост1 орган'зацп вивчення теоретичного матералу, з метою формування методологчних знань студентв з курсу вищоУ геометрп. Запропоновано створювати: таблицi, що м>стять теми курсу та зв'язок мiж ними; опорн конспекти кожноУ теми з видiленням фундаментальних понять та тверджень, пд час створення яких необх'дно стимулювати студент>в до використання математичних символ>в. Такi таблиц та опорн конспекти сприяють узагальненню та систематизацп теоретичного матер'тлу курав, вдображають зв'язок м>ж темами курсу та м>ж рiзними навчальними дисципл>нами. Проанал'зовано основн типи математичних задач з кожноУ геометрп', з'ясовано, що переважна бiльшiсть задач з анал'1тично'У та диферен^ально'У геометрп е задачi на складання р>внянь, та отримання за Ух досл'дженням властивостей досл>джуваних геометричних об'ект'в; у кура проективноУ геометрп переважають задачi на побудову; в основах геометрп - задачi на доведення. Запропоновано використання пд час навчання вищоУгеометрп'задач, як м>стять зовншньо та внутрiшньо дисциплiнарнi зв'язки.

Ключовi слова: аналiтична геометр'я, проективна геометр'я, диферен^альна геометр'я, основи геометрп', методика навчання вищоУ геометрп.

Постановка проблеми. Методолопчна компетентшсть виступае основним критерiем визначення вщповщносл того, хто навчаеться, вимогам того рiвня осв^и, який в1д нього вимагаеться. Методолопчна компетентшсть майбутнього вчителя математики - це властивiсть особистосп, що виявляеться в готовност i здатност майбутнього вчителя математики використовувати методолопчш знання, вмшня i навички для отримання нового знання, для творчого осмислення власного досвщу [6]. Методолопчш знання - сукупшсть штелектуальних шструментальних засобiв, що забезпечують сприйняття новоТ шформацп, осмислення, розумшня. 1х необхщно розвивати у студенев шд час навчання вах математичних дисциплш, зокрема й вищоТ геометрп.

У педагопчному вищому навчальному закладi за галузевим стандартом 2010 року студенти вивчають рiзнi види геометрп: анал^ичну, диференщальну i тополопю, проективну i методи зображень, основи геометрп (де ознайомлюються не ттьки з евклщовою геометрiею, а й геометрiею М.Лобачевського, Б^мана, сферичною геометрiею). Кожна iз геометрш мае свш предмет вивчення та основний метод, але в методик навчання цих дисциплш е як вщмшне так i сшльне.

Аналiз актуальних дослщжень. Проблемi методик навчання вищоТ геометрп присвячеш роботи багатьох науковщв, ям або дослщжують особливост певноТ дисциплiни, або певноТ навчальноТ теми. Так питанням вивчення анал^ичноТ геометрп присвяченi роботи Махомети Т. (зокрема проблемi вивчення лiнiй та кривих другого порядку [7]), Григор'ева В. [1] (використанню комп'ютерних технологш) та iнших. Вивченню проективноТ геометрп присвячене наше дисертацшне дослiдження [2], над проблемою вивчення даного

ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)

курсу працюють Шаповалова Н., Панченко Л., Чемерис О. та ш. Особливостям вивчення топологи присвячена стаття ШаповаловоТ Н. i Панченко Л. [9], де розкрито особливост курсу та можливосп оргашзаци навчального процесу. Проблемам вивчення курсу «Основи геометри» присвячена наша стаття [3]. У своему дисертацшному дослiдженнi Тягай I. [8] розкривае можливосп використання штерактивних методiв навчання пiд час вивчення рiзних математичних дисциплiн, зокрема i з вищоТ геометри.

Мета статт - з'ясувати можливостi формування елеменлв методологiчних знань (зокрема конкретно наукового рiвня) майбутнiх вчителiв математики пщ час навчання рiзних видiв геометри.

Виклад основного матерiалу. До методолопчних знань конкретно наукового рiвня вщносять знання про: предмет навчальноТ дисциплши; конкретнонауковi методи навчальноТ дисциплiни; фундаментальш поняття; фундаментальнi вiдношення мiж поняттями; фундаментальнi теоретичнi факти (означення, аксюми, теореми); зв'язок з iншими навчальними дисциплшами; межi застосовностi знань; ^ор^ розвитку [4]. Проаналiзуемо, що е предметом вивчення кожного iз виду геометрш. Як зазначаеться у монографи Кугай Н.В. [4] предметом вивчення е:

- аналп"ична геометрiя - геометричш об'екти (лши першого i другого порядку, а також елементи векторноТ алгебри);

- диференцiальна геометрiя - геометричнi об'екти (переважно кривi та поверхнi, Тх сiмейства будь-якого порядку);

- топологiя - властивосл геометричних фiгур та Тх взаемного розташування, що зберiгаються пщ час гомеоморфiзму (топологiя дослiджуе властивосл топологiчних просторiв як в малому (локальш), так i в цтому (глобальнi));

- проективна геометрiя - проективш властивостi фiгур, тобто л властивостi, якi пов'язанi з взаемною належнiстю точок i прямих (саме ц властивостi е iнварiантними вщносно всiх центральних проектувань);

- основи геометри - аксюматичний (дедуктивний) метод обфунтування наукових геометричних систем (зокрема, рiзнi аксiоматичнi обфунтування евклщовоТ геометри (параболiчноТ геометрГТ), неевклiдових геометрiй М. Лобачевського (гiперболiчна геометрiя), Б. Рiмана (елiптична геометрiя)).

Основним методом е:

- аналп"ична геометрiя - метод координат та векторний метод (як сприяють застосуванню методiв алгебри до дослщження геометричних об'ектiв);

- диференщальна геометрiя i топологiя - методи математичного аналiзу (граничний перехiд, методи диференщального та iнтегрального числення);

- проективна геометрiя - метод центрального проектування (його можна розглядати як композицш проектування i перерiзу);

- основи геометри - аксюматичний метод (причому цей метод у своему iсторичному розвитку виступае i предметом вивчення).

Можна зробити висновок, що анал^ична i диференцiальна геометрiя мають спiльний предмет вивчення: вони дослщжують кривi та поверхнi, причому диференщальна геометрiя розширюе знання студентiв про ц геометричнi об'екти. Топологiя i проективна геометрiя вивчають властивостi ф^ур, що зберiгаються пiд час виконання певного вщображення. В той самий час проективна геометрiя розширюе кругозiр студентiв, виводячи Тх iз евклщовоТ геометри, а отже е фундаментом для вивчення неевклщових геометрiй: сферичноТ, М. Лобачевського, Б. Рiмана, як розглядаються в «Основах геометри». Тому «Основи геометри» можна вважати узагальнюючою дисциплшою, в якiй розкриваеться аксюматична побудова рiзних видiв геометри.

Розглянемо сшльне у методицi проведення лекцшних занять iз зазначених дисциплiн. Зазначеш нижче складовi цiеí методики спрямоваш на формування методологiчних знань майбутшх вчителiв математики.

Так пiд час першоТ лекцГТ викладач мае назвати предмет дослщження навчальноТ дисциплiни, ТТ методи, зв'язки з iншими дисциплшами (ям необхiднi для ТТ вивчення), оглядово повщомити студентам про фундаментальш поняття, що лежать в основi навчальноТ дисциплши. Запропонувати студентам розглянути питання про ^ор^ розвитку вщповщного виду геометри, ТТ основних понять та методiв, зв'язок з шшими галузями науки, виробництва, технiки у виглядi проектiв або доповiдей.

Доцтьно продемонструвати таблицю, що мiстить теми курсу та зв'язок мiж ними. По кожному iз роздiлiв, що складаеться з дектькох тем, складаемо матрицю сумiжностi - це квадратна матриця, кшьмсть рядкiв якоТ дорiвнюе кiлькостi тем у роздiлi. Заповнюемо матрицю по горизонталi. Якщо тема з номером, вказаним в дiагональнiй клп"инц^ пов'язана з iншою темою, то заповнюеться клiтинка на перетиш з вiдповiдним стовпчиком, де вказуеться степшь зв'язку мiж темами (1 - для вивчення даноТ теми необхщно мати загальне уявлення про шшу тему; 2 - шд час вивчення теми часто використовуються посилання на поняття шшоТ теми; 3 - у процеа вивчення найбшьш складних понять даноТ теми необхщними е чiткi знання основних понять та тверджень з шшоТ теми). Якщо теми даного роздту пов'язаш з темами iз шшого роздiлу, то до матрицi додаеться ще один стовпчик, де вказуеться роздш, тема та степiнь зв'язку [2].

На початку лекцшного заняття необхщно наголошувати на метi лекци та вказувати, з якими темами вона ткно пов'язана. Пiдводити пщсумки лекцiйного заняття доцiльно таким чином. Студентам ставиться завдання назвати фундаментальш поняття теми: там, що вперше з'явилися у нiй й там, що були вивченi ранiше; аналопчно - фундаментальнi твердження. Доречним буде демонстращя опорного конспекту розглянутоТ теми у виглядi таблицi, блок-схеми тощо. Пкля закiнчення вивчення теми студентам необхщно запропонувати скласти наступну таблицю 1 [5]. Пщ час складання такоТ таблицi необхiдно стимулювати студенлв до використання математичних символiв, щоб таблиця була лакошчною.

Таблиця 1

Опорний конспект теми

Тема

Мета:

BiAOMi поняття та твердження: Зв'язок з шшими темами

Поняття:

Твердження:

Новi фундаментальнi поняття, твердження, Застосування нових знань

вщношення

Опорний конспект у виглядi блок-схеми

Як приклад, розглянемо тему «Форми першого ступеня» курсу «Проективна геометрiя та методи зображень» (таблиця 2).

Таблиця2

Опорний конспект теми

Тема: Форми першого ступеня

Вiдомi поняття та твердження: прямолшшний ряд точок i пучок прямих, складне вiдношення чотирьох точок, взаемно-однозначна

вщповщшсть.

Зв'язок з шшими темами: для вивчення теми необхiднi знання iз теми: «Повний чотиривершинник».

€ фундаментальною для вивчення тем: «Проективш форми першого ступеня iз спiльним носiем», «Проективна теорiя конiчних перерiзiв», «Проективна геометрiя форм другого ступеня».

Новi фундаментальнi поняття, твердження, вщношення:

поняття: перспективно вщповщш елементи першого ступеня, проективна вщповщшсть. твердження: про перспективнiсть двох форм першого ступеня; умови, що визначають проективну

вщповщшсть форм першого ступеня; алгоритм побудови вщповщних елеменлв проективних форм першого ступеня.

вщношення: належносп, перетину.

Застосування нових знань:

Основы поняття та алгоритм побудови вщповщних елеменлв використовуеться пiд час побудови вписаних (описаних) у (навколо) кривi другого порядку правильних многокутнимв. Використовуеться в художньому мистецтвк

Виконання завдання 3i створення таких опорних конспемчв до кожно'Г теми курсу сприятиме формуванню методологiчних знань майбутшх учителiв математики, узагальненню та систематизаци знань з навчально'Г дисциплши.

Проаналiзуeмо, якi задачi розглядаються на практичних занять шд час вивчення видтених нами геометрiй. Аналiтична геометрiя розв'язуе в основному задачi на складання рiвнянь, що задають геометричш об'екти, та розкривають Ух властивосп, а отже, спрямованi на розвиток лопчного мислення студентiв. Щоправда до складу анал^ичноУ геометрГГ в рамках модулю «Геометричш перетворення», розглядаються ще елементи конструктивно! геометрГГ (де задачi розв'язують за допомогою циркуля та лшшки). Аналогiчно у курсi диференщально'Г геометрГГ теж переважна бiльшiсть задач стосуються складання певного рiвняння, що характеризуе ту чи iншу криву, поверхню, та дослiдження властивостей цих об'еклв.

Проективна геометрiя розглядае переважно конструктивш задачi (якщо в основу ïï вивчення покласти синтетичний пiдхiд [2]), якi розв'язуються за допомогою одше'Г лiнiйки (чим вiдрiзняеться вщ конструктивно! евклщово'Г геометрГГ), а тому сприяють розвитку просторовоУ уяви студенев. Крiм того до даноУ дисциплши входить теорiя зображень, що сприяе формуванню у студенев вмiння виконувати правильш зображення просторових фiгур на площиш.

В основах геометрГГ переважна бтьшГсть задач е на доведення (незалежност аксiом, несуперечливостi), що пов'язано iз вмiнням складати математичнi модель Крiм того, практичнi заняття з даноУ дисциплiни доречно проводити у виглядi семiнарсько-практичних, або iз широким залученням штерактивних форм навчання, зокрема роботи у парах, виконання певних дослщжень (проеклв) тощо.

На практичних заняттях з вищоУ геометрГ! необхщно широко використовувати задачi, якi мiстять в собi поняття кiлькох тем (використання внутрiшнiх зв'язкiв) та ктькох навчальних дисциплiн (зовнiшнi зв'язки). Так, наприклад, задача, що мiстить зовшшш зв'язки: поеднання тем «Похiдна» (математичний аналiз), «Пряма лiнiя в простор^ та «Кривi другого порядку» (анал^ична геометрiя): «Написати рiвняння кола, центр якого знаходиться в точц (f(1); f'(1)), а радiус f"(1), де f(x) = х4 - х3 + х2 - х + 6. Знайти рiвняння прямоУ, що проходить через центр цього кола i е паралельною до прямоУ 5х + у = 7».

Для розв'язання задачi «Через точку Р(0; -5) за допомогою одшеУ лiнiйки побудувати дотичнi до кривоУ, яка задана в системi координат загальним рiвнянням: 3х2 + 10ху + Зу2 - 2х- 14у-13 = 0» необхщно пригадати алгоритм зведення кривоУ другого порядку до каношчного виду (аналггична геометрiя) та правила побудови поляри (проективна геометрiя).

Доречно пропонувати студентам самим складати там задачк Це сприятиме баченню мкця навчальноУ дисциплiни серед iнших дисциплiн, ÏÏ важливiсть, можливостi застосування.

Оскiльки ми готуемо майбутнього вчителя математики, то необхщно демонструвати застосування кожноУ iз геометрiй (за можливостi) до розв'язування задач шктьного курсу геометрГ! (наприклад, векторний та координатш методи курсу аналггичноУ геометрiУ; задачi на побудову перерiзiв - проективна геометрiя тощо).

Висновок. Кожна ¡з розглянутих геометрш, яка вивчаеться у педагогiчному ВНЗ, мае своУ осо6ливостГ, але методика навчання мае бути спрямована на розвиток у студенев лопчного, просторового, математичного мислення; вчити Ух узагальнювати навчальний матерiал, створювати алгоритми, схеми розв'язування задач. Ва перераховаш види геометрiï мають високий потенцiал для формування методолопчних знань майбутнiх вчителТв математики.

Список використаних джерел

1. Григор'ева В.Б. Використання шформацшних комп'ютерних технологiй при викладаннi курсу анал^ичноУ геометрiУ у вищий школГ прикладi педагогiчного програмного засобу Ианалiтична геометрiя" [Електронний ресурс] - Режим доступу: http://ite.kspu.edu/webfm_send/519 (дата звернення 25.09.2017)

2. ЗаУка О. В. Методична система навчання проективноУ геометрГГ в педагопчних унГверситетах : дис. ... канд.

пед. наук: 13.00.02 / ЗаУка Оксана ВолодимирГвна. - К., 2013. - 257 с.

3. ЗаУка О.В. Особливосл оргашзацГГ практичних занять з курсу «Основи геометрГГ» / ЗаУка О.В. // ЗбГрник наукових праць Бердянського державного педагопчного ушверситету (педагогГчнГ науки). - Бердянськ : БДПУ, 2013. №4. - С.53-59.

4. Кугай Н. В. Методолопчш знання майбутнього вчителя математики: монографГя / Н. В. Кугай. - Хармв: ФОП

Панов А. М., 2017. - 336 с.

5. Кугай Н. В. НейролшгвГстичне програмування як технолопя формування методолопчних знань майбутнього

вчителя математики / Н. В. Кугай, О. В. ЗаУка // МатерГали мГжнародноУ науково-практичноУ конференцГ|' «Актуальш проблеми теорГГ i методики навчання математики»: до 70-рГччя кафедри математики i теорГГ та методики навчання математики НПУ Гмеш М. П. Драгоманова 11-13 травня 2017 р., м. КиУв. - К.: НПУ Гмеш М. П. Драгоманова, 2017. - С. 181-182.

6. Кугай Н.В. До питання про методолопчну компетентшсть майбутнього вчителя математики / Кугай Н.В. //

«Молодь i ринок». - 2014.- №11(118). - С.165-168.

7. Махомета Т.М. Методика вивчення лшш i поверхонь у кура анал^ичноТ геометри в педагогiчних унiверситетах: дис_.канд.пед.нак: 13.00.02 / Тетяна МиколаТвна Махомета. - КиТв, 2014. - 237 с.

8. Тягай I. М. Форми штерактивного навчання математичних дисциплш майбутшх учителiв математики: дис_.канд.пед.нак: 13.00.02 / Тягай 1рина Михайлiвна [Електронний ресурс]. - Режим доступу: http://www.npu.edu.ua/images/file/vidil_aspirant/dicer/%D0%94_26.053.03/Tiagai.pdf (дата звернення 25.09.2017)

9. Шаповалова Н., Панченко Л. Особливост навчання топологи для тдвищення компетентности майбутнiх вчителiв математики i фiзики // Фiзико-математична освiта. Науковий журнал. - Суми : СумДПУ iм.А.С.Макаренка, 2015. - № 1 (4). - С. 47-53.

References

1. Hryhor'yeva V.B. Vykorystannya informatsiynykh komp'yuternykh tekhnolohiy pry vykladanni kursu analitychnoyi

heometriyi u vyshchyy shkoli prykladi pedahohichnoho prohramnoho zasobu "analitychna heometriya" [Elektronnyy resurs] - Rezhym dostupu: http://ite.kspu.edu/webfm_send/519 (data zvernennya 25.09.2017) (in Ukrainian)

2. Zayika O.V. Metodychna systema navchannya proektyvnoyi heometriyi v pedahohichnykh universytetakh : dys. ...

kand. ped. nauk: 13.00.02 / Zayika Oksana Volodymyrivna. - K., 2013. - 257 s. ) (in Ukrainian)

3. Zayika O.V. Osoblyvosti orhanizatsiyi praktychnykh zanyat' z kursu «Osnovy heometriyi» / Zayika O.V. // Zbirnyk

naukovykh prats' Berdyans'koho derzhavnoho pedahohichnoho universytetu (pedahohichni nauky). - Berdyans'k : BDPU, 2013. #4. - S.53-59. ) (in Ukrainian)

4. Kuhay N. V. Metodolohichni znannya maybutn'oho vchytelya matematyky: monohrafiya / N. V. Kuhay. - Kharkiv:

FOP Panov A. M., 2017. - 336 s. ) (in Ukrainian)

5. Kuhay N. V. Neyrolinhvistychne prohramuvannya yak tekhnolohiya formuvannya metodolohichnykh znan' maybutn'oho vchytelya matematyky / N. V. Kuhay, O. V. Zayika // Materialy mizhnarodnoyi naukovo-praktychnoyi konferentsiyi «Aktual'ni problemy teoriyi i metodyky navchannya matematyky»: do 70-richchya kafedry matematyky i teoriyi ta metodyky navchannya matematyky NPU imeni M. P. Drahomanova 11-13 travnya 2017 r., m. Kyyiv. - K.: NPU imeni M. P. Drahomanova, 2017. - S. 181-182) (in Ukrainian)

6. Kuhay N. V. Do pytannia pro metodolohichnu kompetentnist maibutnoho vchytelia matematyky / Kuhai N.V. //

«Molod i rynok». - 2014.- №11(118). - S.165-168 (in Ukrainian)

7. Makhometa T.M. Metodyka vyvchennya liniy i poverkhon' u kursi analitychnoyi heometriyi v pedahohichnykh universytetakh: dys_.kand.ped.nak: 13.00.02 / Tetyana Mykolayivna Makhometa. - Kyyiv, 2014. - 237 s.) (in Ukrainian)

8. Tyahay I. M. Formy interaktyvnoho navchannya matematychnykh dystsyplin maybutnikh uchyteliv matematyky:

dys_.kand.ped.nak: 13.00.02 / Tyahay Iryna Mykhaylivna [Elektronnyy resurs] - Rezhym dostupu: http://www.npu.edu.ua/images/file/vidil_aspirant/dicer/%D0%94_26.053.03/Tiagai.pdf (data zvernennya 25.09.2017) (in Ukrainian)

9. Shapovalova N.V. Osoblyvosti navchannya topolohiyi dlya pidvyshchennya kompetentnosti maybutnikh vchyteliv

matematyky i fizyky / Shapovalova N.V., Panchenko L.L. - [Elektronnyy resurs] - Rezhym dostupu: https://cyberleninka.ru/article/n/osoblivosti-navchannya-topologiyi-dlya-pidvischennya-kompetentnosti-maybutnih-vchiteliv-matematiki-i-fiziki (data zvernennya 25.09.2017) (in Ukrainian)

DIFFERENT TYPES OF GEOMETRY AND FEATURES OF ITS STUDY Oksana Zaika

Glukhiv National Pedagogical University named after Alexander Dovzhenko, Ukraine Abstract. In the article the author considers different types of higher geometry which are studied by the students - future teachers of mathematics: analysis, differential, projective geometry and foundations of geometry. Analyzed the subject matter and the main method of each of the academic disciplines. The peculiarities organization learning of theoretical material, with the purpose of formation the methodological knowledge of students in the course of higher geometry. Prompted to create: a table containing the topics of the course and the relationship between them; supporting notes of each topic, highlighting fundamental concepts and claims, the creation of which it is necessary to encourage students to use mathematical symbols. The following tables and supporting notes contribute to the generalization and systematization of theoretical material on courses, reflecting the connection between topics and between different academic disciplines. The basic types of mathematical task in each geometry, it was found that the vast majority of tasks analytical and differential geometry are tasks on writing equations and obtain with their study of the properties of the studied geometric objects in the course of projective geometry is dominated by the tasks of building; the foundations of geometry - problems on proof. Proposed use in teaching of higher geometry tasks that contain externally and internally disciplinary communication.

Key words: analytical geometry, projective geometry, differential geometry, geometry basics, methods of teaching higher geometry.