Формально-струтурное моделирование экономических систем Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 510.67+658.012

А. В. 1ЛЬМАН (АБ «Брок&знесбанк»), В. М. 1ЛЬМАН (ДПТ)

ФОРМАЛЬНО-СТРУКТУРНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ЕКОНОМ1ЧНИХ СИСТЕМ

Для моделювання економ1чних систем запропоновано застосовувати модель систем формально! струк-тури, яка надшена властивостями формально! системи, алгебри та структури (будови). Розглянуто приклад моделювання системи бухгалтерського облшу.

Для моделирования экономических систем предложено использовать модель систем формальной структуры, которая наделена свойствами формальной системы, алгебры и структуры (строения). Рассмотрен пример моделирования системы бухгалтерского учета.

For modelling economic systems, it has been proposed to use a model of formal structure systems, which has the property of formal system, algebra and structure (composition). An example of the modelling of a bookkeeping system has been considered.

Принцип дослщження економiчних систем полягае в тому, щоб навести певний порядок i надати змютовносп деякому набору факпв, з'ясувати !х вплив на поведшку системи i пов'язати все це в одне цше [1]. Конкретно це дослщження може бути пов'язане з анатзом маркетингових заходiв щодо виробництва та збуту продукци, дослщженням господарсько -фшансово! дiяльностi пiдприемств, аналiзом наповнення кредитного портфеля банкiвських установ i т. iн.

1снуе велика кшьюсть методiв моделювання тих чи шших питань економiчних систем [2]. Але серед них е зовшм небагато ушверсальних в певному розумiннi пiдходiв, за допомогою яких можливо описати будь яку економiчну систему. До них вщноситься системний пiдхiд, який спираеться на елементи теори систем [3], теоретико-множинний пiдхiд [4] та ш.

У наступних матерiалах статп, для наведен-ня певного «порядку» в економiчних системах, пропонуеться застосовувати ушверсальний фо-рмально-структурний пiдхiд конструктивно! математики, який спираеться на теорда форма-льних систем та структур. Взагалi то теорiя фо-рмальних систем [5] розвивалася як роздш ма-тематично! логiки, за допомогою якого вдалося уточнити i чггко визначити логiко-математичну мову будови лопчно! теорi!. Але, як з'ясувалося у подальшому, аксiоматична теорiя формаль-них систем дозволяе також: конструювати по-роджуючi системи такi, наприклад, як форма-льнi породжуючi граматики, що застосовують-ся у системах програмування; визначити досить важливе для штелектуальних систем поняття алгоритму та ш.

Застосування елементарних формал1зм!в на економ1чних системах дае можливють ввести конструктивш множини, завдати певш правила виводу елемент1в економ1чних конструкцш, тобто поставити у вщповщшсть економ!чнш систем! формальну модель. Конструктивно так! системи можливо створити за такою схемою:

1) на об'ектах завдано! економ!чно! системи будуеться формальний алфавщ

2) на заданому алфавт будуеться вшьна формальна мова економ!чно! системи;

3) у цш мов! вид!ляеться послщовшсть конструкц!й (формул), яка приймаеться за акс> оми (початок виводу тощо);

4) задаються формальн! правила виводу, за допомогою яких виводяться конкретш конс-трукц!! (формули та ш.) задано! економ!чно! системи.

Розглянемо тепер елементарш конструктив-н! об'екти економ!чно! системи S, за допомогою яких можливо будувати шш1 об'екти ще! системи. Оск!льки природа конструктивного об'екту р!зна, тому будемо використовувати ушфшовану назву !мен! об'екту - символ.

Визначення 1. Конструктивний об'ект еко-ном!чно! системи - це е символ. Множину сим-вол1в або елемент!в будемо називати алфав!том A = (а1,a2,...} . У подальшому будуть розгляда-тись алфавгти, як! задовольняють умови:

- алфавгт складаеться з ск!нченно! кшь-кост! символ1в, тобто в!н скшченний;

- порядок символ1в у множит несуттевий;

- порожн!й символ о завжди належить алфав!ту, хоча не завжди видшяеться в перелшу його символ1в;

- символи алфав!ту р!зш, тобто однаков! символи в алфавт не допускаються;

- елементами множини можуть бути pi3Hi комбшаци символiв цього ж алфав^у.

Згiдно з умовами об'екти алфавтв можуть бути простими i сполученими. Прост об'екти неподiльнi, тобто не можуть бути сполучеш з символiв даного алфавiту. Сполученi ж об'екти складаються з бiльше як одного символiв ал-фавiту. Сполучення oa = a будемо вiдносити до простих елементiв. Наприклад, алфавiт A = {o, a,b,ab,aab} мiстить в собi три просп елементи (символи) o, a, b i два сполучених елементи ab, aab . Наведемо декшька важливих визначень.

Визначення 2. Розмiром алфавiту A зветь-ся кшьюсть його простих елементiв (символiв) i позначаеться як dim A . Так для алфав^у A = {o, a, b, ab,aab} його розмiр dim A = 2, так як приймаемо, що dim{o} = dim 0 = 0 .

Визначення 3. Алфав^ зветься базисним або стандартним, якщо вiн складаеться тiльки з символiв, тобто ус його елементи простi. Наприклад, двшковий алфавiт B = {a, b} - станда-ртний. Якщо A с B, тодi кажуть, що алфавiт A е шдалфав^ом алфавiту B i в разi A с B кажуть, що алфав^ A е власним шдалфав^ом алфавiту B.

Визначення 4. Алфавгти A i B звуть рiв-ними (A = B), якщо виконуються включення A с B i B с A . На заданому алфавiтi можливо побудувати новi конструктивнi об'екти. Нехай задано деякий алфав^ A .

Визначення 5. Словами (ланцюжками) над алфавитом A будемо називати конструктивнi об'екти побудоваш за допомогою iндуктивного процесу:

- слово s = o е порожшм;

- якщо конструктивний об'ект l - слово над алфавiтом A, тодi конструктивний об'ект la, a е A е також словом побудованим над ал-

фав^ом A.

З визначення 5 маемо, що ls = sl = l, тобто порожне слово е одиницею на множит ств; якщо l слово над алфавiтом A, тодi за вдук-

тивним процесом lll...l = l' також слово над

алфавитом A . Очевидно, l0 =s . Над алфав^ом A = {o, a,b,ab,aab} можливо отримати нескш-ченну сукупнiсть слiв {s,a,b,aa,bb,ab,...} . Множину слiв побудованих над алфав^ом A будемо позначати через F(A). Таку множину отав звуть вiльною мовою.

Нехай l слово над алфавiтом A, тобто l = a1a2 ... ak е F (A) i ai е A, тодi

Визначення 6. Довжиною слова l над ал-фав^ом A е кiлькiсть символiв, з яких складаеться це слово i позначають |l| = k .

Приймемо довжину порожнього слова s за = 0 . Зрозумшо, що будь-яке не порожне слово мае довжину k > 1. Якщо lj i l2 слова множини F(A), тодi для довжини ^в мають вико-нуватися властивостi

W = l + |l2

= '

Визначення 7. Два слова I = Ь1Ь2 ...Ьт е В) { д = а1а2...ап еА) однаков1 I = д , якщо |/| = |д| або п = т 1 а7 = Ь1, для вах значень 1 < 7 < п .

Нехай задано алфав1т А економ1чно! систе-ми Б, над яким побудована формальна вшьна мова А). Дал1 припустимо, що Л деяка множина аксюм економ1чно! системи { Р за-вдана сукупшсть правил виводу з аксюм Л, тод1 формальну систему над алфав1том А ви-значимо як [5].

Визначення 8. Формальною системою Б а над алфавитом А назвемо упорядковану четв1р-ку Ба =( А, А), Л, Р .

Аксюми формально! системи можуть бути безпосередньо слова з сукупносп А), яю ви-значаються за певними правилами. Для розш-знання аксюм будемо позначати !х грецькою буквою с або С1,та шшими додатними

символами. Форма запису правил Р може бути будь-якою, наприклад, типу синтаксичних д1аг-рам або д1аграм Бекаса-Наура як в програму-ванш, або каношчними системами Поста. Але ми будемо користуватися бшьш компактною формою замщень ^мплшацш) х ^ у, яка чи-тасться «якщо х, тод1 у » або так « у виводить-ся з х », або « х замщуеться у ». Завжди будемо вважати, що множина правил виводу Р е сюнченною, тобто складаеться з1 сюнченно! кшькост правил.

Визначення 9. Ланцюжок зветься виведе-ним з аксюм Л формально! системи Б а , якщо юнуе послщовшсть правил (вивод1в), у тому числи однакових, за якою вш виводиться при застосуванш цих правил.

Так, наприклад, вивщ ланцюжка х = ааа3 з аксюми с за допомогою правил:

Р1: с ^ а1, Р2 : а1 ^ а1а2,

Рз: а2 ^ а2аз;

можливо записати у вигляд1 послщовносп вивод1в

p1 p2 p3

с———>a1 ———>a1a2 ———>aia2a3 .

Послщовшсть виводiв ланцюжка визначае його формальну структуру, тобто його будову. Повна сукупнють виведених ланцюжюв у фор-мальнiй системi SА зветься формальною мо-вою L. Зрозумiло, що L с F(A).

Нехай, наприклад, необхiдно утворити формальну систему S a над сукупшстю об'екпв A = {a, b, c} деяко! економiчноï системи S з ак-сiомами Л :

1) с = a, 2) с = b, 3) с = c та правилами виводу P :

1) с —^ aca, 2) с — beb .

Тодi, як нескладно бачити, що множина F (A)

складаеться з будь-яких ланцюжкiв побудова-них за допомогою визначення 5 над заданими об'ектами алфав^у A . Об'ектами ж мови L, створеними за щею системою Sa будуть си-метричш ланцюжки, наприклад, ланцюжок aabcbaa , який отримаемо в результат послщо-вностi виводiв

1 v 1 V 2 v

с-> aca-> aacaa->

з

aabcbaa-> aabcbaa

за допомогою подвшного застосування першо-го правила поим другого правила та третьоï аксiоми формальноï системи.

Створена, за визначенням 8, формальна система явно не вщтворюе процешв морфолопч-них перетворень за тими чи шшими дiями в економiчнiй системi. Врахувати цей недолш можливо за допомогою введення над формальною системою вiдповiдноï алгебри.

З дiями над об'ектами економiчноï системи зв'яжемо певш операци позначенi знаками-символами. При чому з кожною операщею пов'яжемо, з визначеною для не1', кiлькiстю мiсць. Наприклад, арифметична операщя дода-

вання - двохмюцинна (+ ).

Визначення 10. Сигнатурою - Е називають множину знакiв-символiв операцiй з визначе-ними 1'х мiсциностями. Тодi алгеброю s над множиною F(A) звуть упорядковану пару, яка складаеться з ще1' множини та сигнатури, тобто Е = ( F( A), Е.

Взагалi то, алгебра як математична дисцип-лiна вивчае алгебраïчнi операци за значеннями результату операцiй. Наприклад, в рамках алгебр зв'ясовуються 1'х груповi властивостi, уш-

версальшсть та iн. Тому алгебра не визначае «порядок-будову» в економiчних системах за цими операщями за виключення випадку, коли множина F(A) упорядкована. Тобто, якщо мiж елементами множини F(A) можливо, наприклад, ввести вщношення (<) i сигнатуру задати

у виглядi Е = (minк, maxт ), тодi алгебра S задае упорядковану структуру - реш^ку C = (F(A), Е^ . Але взагалi множина F(A) не е

упорядкованою, тому для моделювання еконо-мiчних систем запропоновано використовувати новий математичний об'ект «система формально!' структури», який надшений властивостями формальноï системи, структури (будови) та алгебри. Конструктивно така система формальноï структури може бути побудована як пбрид фо-рмальноï системи, алгебри та структури, тобто за трьохелементною схемою:

- на об'ектах заданоï економiчноï системи будуеться формальний алфав^ A ;

- на вщношеннях, дiях над об'ектами економiчноï системи будуеться конструктивна множина мюцинних операцiй (i операцiя виводу) - сигнатура Е ;

- задаються формальш правила виводу конструкцш економiчноï системи, правила застосування операцш сигнатури, властивостi правил i аксюми виводу конструкцiй та застосування операцш - аксюматика U .

У подальшому систему формальноï структури будемо позначати як упорядковану тршку

Ф = (A, E,U) . (1)

Зрозумiло, що за допомогою введеноï системи формальноï структури Ф можливо запи-сати модель для будь-якоï предметноï областi. Зокрема, для упорядкованоï множини A i сигнатури в однш з альтернативних форм

Е = {min2,max2} | {H2,U2} | {л2, v2}

i вiдповiдноï аксюматики для вибраноï форми структура Ф сшвпадае з решггкою [6].

Визначена система формальноï структури (1) дозволяе виводити ланцюжки конструкцш еко-номiчноï системи, за послщовностями яких вда-еться вiдтворювати ланцюги виводiв, котрi зада-ють структури цих конструкцiй. Множина виведених в системi формальних структур Ф лан-цюжкiв утворюе формальну економiчну мову L . Якщо ланцюжок lm е L, тодi структура цього ланцюжка Ф(1т ) задаеться ланцюгом виводу

l0 ———11 —-2— ...———

h ——L— •••——— lm . (2)

Оскшьки iмплiкацiйнi правила виводу зада-ють бiнарнi вiдношення на упорядкованих парах (li, lj ), тодi ланцюговi виводу (2) можливо

поставити у взаемнооднозначну вiдповiднiсть орieнтований граф виводу ланцюжка lm . Гра-фiчне зображення структури будь-якого ланцюжка мови економiчноï системи дозволяе за-стосувати арсенал методiв дослiджень теорiï графiв [7] для аналiзу економiчних систем.

Наведемо тепер деяю алгебро-множиннi властивостi систем формальних структур (1). Розглянемо двi формальш структури Ф1 i Ф2 з множини систем формальних структур, нехай щ структури утворюють мови Li i L2 , тодi

Визначення 11. Системи формальних структур Ф1 i Ф2 конструктивно-еквiвалентнi, якщо ïx формальнi економiчнi мови однаковi, тобто Li = L2 .

Нескладно перевiрити, що введене за визна-ченням 11 вiдношення задае вщношення екв> валентностi, тому за цим вщношенням еконо-мiчну множину систем формальноï структури можливо розбити на класи е^валентносп.

Слiд зауважити, що введена формальна структура (1), яка дiе над вщьною мовою побудова-ною на алфавiтi та сигнатурi F( A U S) - с^зь визначена вiдносно операцш сигнатури Е, тому таку структуру Ф назвемо вiльною системою формальноï структури сигнатури Е i вона е уш-версальною вщносно операцiй сигнатури Е . Крiм того, оскiльки мае мiсце включення L с F(A U Е), тодi формальна економiчна мова L е перелiченою. У подальшому будемо розгля-дати тшьки вiльнi системi формальних структур.

Визначення 12. Структури Ф1 i Ф2 - одно-типнi, якщо ïx сигнатури однаковi i ïx аксюма-тики спiвпадають з точнiстю до символiв алфа-вiтiв, на яких вони визначенi, тобто вони мають вигляд Ф1 = (A1,Е,Ц) i Ф2 = (A2,E,U2) .

Однотипнi структури Ф1 i Ф2 гомоморфнi, якщо юнуе вiдображення ф алфавiту A1 на алфавiт A2 i аксюматики U1 на U2, таке що довшьна k -мiсцинна операщя f е Е i довшь-ний об'ект аксiоматики U1 (аксюма, правило, властивiсть) p задовольняють умови

ф[f (a1, a2,am )] =

f [ф( a1 ), ф( a2 ), ф( am )] ,

ф[Р (a1, a2, am )] =

= Р [ф(a1 ), ф(a2 ), ф(am )] ,

для будь-якого набору елементiв

(a2, am )е A1m .

Якщо вщображення ф : Ф1 ^ Ф2 i у : Ф2 ^ Ф3 -гомоморфiзми, тодi вщображення фу е гомо-морфiзм структури Ф1 в структуру Ф3. Взаем-нооднозначний гомоморфiзм звуть iзоморфiз-мом. Якщо ф - iзоморфiзм, тодi нескладно пе-реконатися у тому, що обернене вщображення ф-1 е також iзоморфним вiдображенням.

Визначення 13. Структура Ф1 = (A1,Е,^ називаеться пiдструктурою системи формаль-ноï структури Ф^ A, Е,и^, якщо A1 œ A i для будь я^ операци f е Е за аксюматикою U, f (a1,a2, ..., aj ) е F (A1, Е) для довiльного набору a1, a2,..., aj е A1.

Ствердження. На множит пщструктур фо-рмальноï структури Ф можливо задати струк-туру-решггку.

Дiйсно, якщо пiд об'еднанням двох пщстру-ктур Ф1 = (A1,Е,U) i Ф2 = (A2,Е,^ розумiти

пщструктуру Ф3 = (A1 U A2, Е, U) , тодi множина вшх пiдструктур системи формальноï структури Ф = (A, Е,^ утворюе на операци об'еднання

структуру-решiтку [6].

Зрозумшо, що окремi операцiï сигнатури структури Ф на алфавт цiеï структури також мають певш алгебраïчнi властивосп, але вони визначаються у аксюматищ структури Ф .

Наведемо тепер приклад застосування формально-структурного пщходу до моделювання економiчноï системи бухгалтерського облiку. Оскiльки, наведене у Закош про бухгалтерсь-кий облiк [8], його визначення складне i розми-те, то спочатку спростимо i формалiзуемо визначення бухгалтерського облшу.

Визначення 14. Бухгалтерський облiк (БО) -динамiчний процес (в часi T ) органiзацiï i про-ведення бухгалтерських операцiй ( O ) на основi бухгалтерських рахунюв ( H ), тобто

БО = (T, O, H). (3)

У рамках введеного формального визначення 14 будемо в подальшому виконувати моде-лювання системи БО - (1).

Нехай деяке тдприемство використовуе в свош дiяльностi бухгалтерсью рахунки (r0,r1,.,rm} = H вибранi з плану рахунюв i нехай N допомiжна множина символiв (со,с,а, . ß, у,8, х, ф, Ц, V, n, р, т, у, . Тодi aлфaвiт A системи формaльноï структури Ф (БО) подамо як A = H U N .

Введемо тепер елементарш операцi!, якi су-проводжують органiзацiю та проведення бухгалтерских операцiй. До елементарних операцш вiднесемо: операцiю «приписування» П, при-значення яко! приписати рахунку г певний признак або характеристику (дебгг, активний та ш.); операцiю кореспонденцi! двох рахункiв Ko; операцш проводки Pr i операцш Op - для оргаш-

зацi! складних бухгалтерських операцш. Таким чином, сигнатуру формально! структури подамо

у вигляд Е = {П2, к0о,Pr3, Okp, ^2} . У сигнатурi шоста мiсциннiсть операцi! К0 обумовлена тим, що кореспонденцiя визначена на суперпо-зицi! операцi! приписування: дебiту або кредиту, активносп або пасивносп, синтетичного або аналiтичного облiку рахунюв. Операцiя Рг та-кож передбачае попередне застосування опера-цi! приписування грошово! суми с, та часу

ti е Т до кореспонденци, а операцiя Ор може

об'еднувати k -проводок.

Перейдемо до опису аксюматики и формально! структури. У нашому випадку аксю-матика сукупшсть аксiом, це аксiоми-початку с0 = БО та аксiом

V = -

I Пс5 = П5с;

С = Г)| г1 гт

П = активний|пасивний|активно-пасивний, X = синтетичний|анал^ичний; правил виводу Р та властивостей операцiй V . с0 ^ Орас0; у ^ Пу5; с0 ^ Ор а; у ^ Прп;

Р =

а ^ Пу^х; р ^ Псх;

^ П^т; ^ с; т ^ ПцРгР; 5 ^ дебiт | кредiт; Р^ КоФ; с,-

Ф ^ уПу5; V -

,

■ь.

Нескладно побачити, що побудована формальна структура на бухгалтерських рахунках та !х характеристиках утворюе абшеву швгрупу вiдносно операцi! приписування, оскшьки

[ П (П с5)ц = Пс(П 5ц).

Таким чином, модель системи формально! структури Ф(БО) дозволяе реалiзувати опера-цл над бухгалтерськими рахунками:

Пс5 = гдебгт ; К0ссщ5 = Гд , де г = г акт.|пас.|акт.пас. синт.|анал. деб.|кред. рКо^ = гГ(а;

Ора = РГРГ... Рг i побудувати формальну мову

Ь [Ф (БО)] с Е(Н и N и Е \ {})

для будь-якого пiдприемства, за якою досл> джувати його дiяльнiсть. Слiд зауважити, що наведена методика моделювання дозволяе вра-хувати кшьюсний, валютний та iншi облiки, ^м того побудована модель може бути вико-ристана для керування фшансовими потоками економiчно! системи, для проектування автома-тизовано! системи ведення i аналiзу бухгалтер-ського облiку тдприемства тощо.

Б1БЛ1ОГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК

1. Макконнелл К. Р. Экономикс: принципы, проблемы и политика / К. Р. Макконнелл, С. Л. Брю. -К.: Хагар-Демос, 1993. - 785 с.

2. Баканов М. И. Теория экономического анализа / М. И. Баканов, А. Д. Шеремет. - М.: Финансы и статистика, 2000. - 416 с.

3. Моисеев Н. Н. Математические задачи системного анализа. - М.: Наука, 1981. - 487 с.

4. Молчанов А. А. Моделирование и проектирование сложных систем. - К.: Выща школа, 1988. - 359 с.

5. Смальян Р. Теория формальных систем. - М.: Наука, 1981. - 209 с.

6. Скорняков Л. А. Элементы теории структур. -М.: Наука, 1982. - 160 с.

7. Харари Ф. Теория графов. - М.: Мир, 1973. - 300 с.

8. Закон Укра!ни вщ 16.07.99 р. № 996 «Про бухгалтерский облш та фшансову звггтсть в УкраМ».

Надшшла до редколегп 23.06.2005.