Структурні властивості раціональних чисел – важлива складова математичних знань вчителів математики Текст научной статьи по специальности «Математика»

Scientific journal ISSN 2413-158X (online)

PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION ISSN 2413-1571 (Print)

Has been issued since 2013.

Науковий журнал Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА

Видасться з 2013.

http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/

Лиман Ф.М., Од'тцова О.О. Структуры! властивост'1 ра^ональних чисел - важлива складова математичнихзнань вчител'в математики. Ф'!зико-математична осв'та. 2018. Випуск 2(16). С. 72-78.

Lyman F., Odintsova O. The Structure Properties Of Rational Numbers Are Important Component Of Mathematical Knowledge Of Mathematics Teachers. Physical and Mathematical Education. 2018. Issue 2(16). Р. 72-78.

УДК 378.147:51

Ф.М. Лиман, О.О. Одшцова

Сумський державний педагогiчний ушверситет iменi А.С. Макаренка, Украна

mathematicsspu@gmail. com DOI 10.31110/2413-1571-2018-016-2-014

СТРУКТУРЫ ВЛАСТИВОСТ1 РАЦЮНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ -ВАЖЛИВА СКЛАДОВА МАТЕМАТИЧНИХ ЗНАНЬ ВЧИТЕЛ1В МАТЕМАТИКИ

Анота^я. Устатт'1 досл'джуються деяк властивост'1 поля (Q; +, •; 0, 1) ра^ональних чисел, його пдклець та пдгруп адитивноÏгрупи (Q; +; 0) iмультипл'кативноÏгрупи (Q \ {0}; •; 1) цього поля.

Одним i3 основних пдклець поля ра^ональних чисел е кльце цлих чисел. Стимулом його розширення до м'н'мального числового поля, яким е поле ра^ональних чисел, е проблема розв'язност'1 рiвняння ax = b з цлими коефцентами. Умова м'т'шальностi поля, де назване рiвняння мае розв'язок при а / 0, дае в'дпов'дь на питання про зображення довльного рацюнального числа часткою двох цлих чисел.

Отже, множина ра^ональних чисел Q = Z и Q \ Z, де Z- множина цлих чисел, а Q \ Z- множина дробових чисел. Загальнов'домим еоднозначнеподання будь-якого рацюнального числа q/ 0нескоротним дробом. Проте, однозначних запис'ю ненульовихра^ональних чисел iснуе неск'тченна тльтсть. Наприклад, ц'кавим iкорисним у багатьохзадачах е

однозначне подання ра^онального числа q > 0 у вигляд'г. q = n" И, де р - просте натуральне число, n е Z, a i b -

b

натуральн числа, причому (a,b) = (a, p) = (b, p) = 1. Для q<0 в'дпов'дно матимемо: q = -n" a .

b

Стосовно клець рац'юнальних чисел, розглянуто питання ¡'х дискретност'1 та щiльностi. Доведено, зокрема, що щльним буде кожне пдкльце поля рацюнальних чисел, яке м/'стить дробове число.

При досл'дженн'! властивостей числових полiв, яких не мае поле рацюнальних чисел, продемонстровано доведення його неповноти без використання iррацiональних чисел.

При розгляд'1 адитивних i мультипл'кативних груп ра^ональних чисел запропоновано одне з можливих доведень того, що група автоморф'зм'в групи (Q; +; 0) iзоморфна групi (Q \ {0}; •; 1), а група автоморф'зм'в пдгруп групи (Q; +; 0) iзоморфна пдгрупам групи (Q \ {0}; •; 1). Цей факт пролюстровано на приклад'1 групи (Z; + ; 0) цлих чисел та групи (Qp; +; 0) р-ових дробiв для довльного простого числа р.

Знання цих факт'в допоможе вчителю математики поглибити та осучаснити знання учн'ю про систему рацюнальних чисел.

Кпючовiслова: група, кльце, автоморф'!зм, ра^ональне число, др'б, дробове число, дискретнсть, щльнсть.

Постановка проблеми та аналiз сучасних дослщжень. Сподiвання багатьох вчених - математиюв Х1Х столггтя про те, що результати ïx дослщжень через столггтя будуть вивчати в школах, не справдились. Видатний ымецький математик i педагог Ф.Клейн (1849 - 1925) доклав багато зусиль для обГрунтування щей модерызацп шкшьно'| математично!' освти. В робот [1] вш досить критично оцшив ситуа^ю з викладанням математики, дмшовши висновку, що не кнуе шших предметв шкшьно'| освiти, при навчанн яких панувала би така ж рутина, як при навчанн математики. Курс елементарно!' математики, що вивчався i вивчаеться вшкол^ був досить давно сформований. Час вщ часу в цьому кура оды зaдaчi замшюються на ЫшМ (це носить назву осучаснення текспв задач), виключаються оды теми, вводяться шшл, але загалом це мало впливае на сам шктьний курс математики. На думку Ф.Клейна та продовжувача його щей, голландського математика i популяризатора ще'| науки, Г.Фройденталя (1905-1990) абсолютно неприпустимою е ситуащя, коли школа залишаеться сторонньою до всього того, що складае змкт сучасноУ математики [2, 3].

З того часу майже ычого не змшилося при вивченн класичних роздЫв сучасноУ математики. Через це ми вважаемо, що кроком уперед у навчанн елементарноУ математики було б дослщження питань елементарноУ математики з позицм сучасно'1' вищоУ математики, в яюй домЫують структуры пщходи, з якими, в свою чергу, обов'язково повинен бути ознайомлений вчитель математики сучасноУ школи.

Мета статп. Проаналiзувати основнi структуры властивост рацiональних чисел з позицм сучасно''' математики, знання яких допоможе вчителю осучаснити знання сво'х учыв.

Методи дослiджень. Загально алгебраíчнi методи з використанням основних фак^в теорп впорядкованих алгебра'чних структур та результат аналiзу навчально-методично''' i математично''' лтератури щодо структурних властивостей числових систем.

Виклад основного матерiалу.

Структурн властивост'1 рацюнальних чисел.

У ктьц (I; +, •; 0, 1) цтих чисел не завжди е розв'язки рiвняння ах = Ь.

Виникае задача розширення кiльця (системи) цтих чисел до тако' мiнiмально можливо' системи, де б цей недолт усувався. В такiй системi повинн необмежено виконуватися операцГ'' додавання i множення и елементiв, що задовольняли б 5 закоыв: асоцiативний (додавання i множення), комутативний (додавання i множення), дистрибутивний (множення вiдносно додавання). ^м цього алгебра'чними операцiями також повинн бути вiднiмання та дтення елементiв у пiдмножинi ненульових елемен^в. Усе це разом визначае систему (О; +, •; 0, 1) рацюнальних чисел, яка е м^мальним числовим полем.

Для спрощення запиав у подальшому будемо називати систему за множиною-ноаем: кiльце I, поле О, тощо.

Принциповим е питання про зображення рацюнальних чисел за допомогою цтих чисел. Вщповщь на нього дае загальновщома теорема

Теорема 1. Будь-яке рацюнальне число е часткою 2-х цлих чисел:

Уд е д За е 2 ЗЬ е 2\{0} (д = -).

Ь

Доведення. Розглянемо множину М = {д = — | а е 2 л Ь е 2 \ {0} } та покажемо, що М = О.

Ь

а

Справд^ для У а е 2 (а = —), тому а е М i I с М.

Якщо

д = — е М, д2 = — е М, Ь1 Ь2

то за властивостями операцiй у полi маемо:

д + д2 = -^ еМ, дд =еМ, = еМ при д2 Ф 0.

ЬЬ ЬЬ дг -Ь

Отже, (М; +, •) - поле.

У зв'язку з м^мальнютю поля О отримаемо, що М = О i теорему доведено.

Бтьш формалiзоване доведення теореми 1 з посиланнями на аксюматичне означення системи рацiональних чисел можна знайти в [4, теорема 6.1; 5, теорема 5.9].

а

На^док 1. Нехай д =--довтьне рацюнальне число. При цьому

Ь

-с ,1 ,

а = —= —о аа = Ьс, Ь й

де а, Ь, с, б е I i Ь ф 0, б ф0.

-с

Доведення. Перепишемо рiвнiсть — = — наступним чином аЬ 1 = сй 1 та домножимо лiву i праву частини на Ьб.

Ь а

Одержимо ай = Ьс .

Якщо ж тепер отриману рiвнiсть домножити на Ь-1б-1, то будемо мати -б"1 = сй"1, що i слщ було довести.

З наслщку 1 випливае, що кожне рацюнальне число неоднозначно подаеться часткою двох цтих чисел (дробом):

а ат ат0 , , ,

— =-1 =-2 = ... , де т е I \ {0}, I =1, 2, ..., к,...

Ь Ьщ Ьт2

Множина рацюнальних чисел О = Iи де, як i ранше, I- множина цтих чисел, а - множина дробових

д

рацюнальних чисел. Тодi якщо д е I, то запис -— однозначне подання цтого числа дробом. Якщо ж д е то запис

а

д = — буде однозначним поданням дробового числа дробом тод^ коли сам дрiб буде нескоротним, тобто Ь ф 1 i НСД(а,Ь)

Ь

= 1, причому а i Ь - натуральн числа, коли число д- число додатне, i а - вщ'емне цiле число, а Ь - натуральне число, коли д - число вщ'емне.

Цiкавим i корисним у багатьох задачах е однозначне подання рацюнального числа д ф 0 у виглядi

п а

д=р т ,

Ь

де р - просте натуральне число, пе I, а, Ь е I, (а,Ь) = (а, р) = 1, а др^б — задовольняе умови попереднього абзацу.

Ь

= X ■ 8 1-1 8 15 , - 5 а 8 03 1 Наприклад, нехай р = 3. Тод| — = 3 • — , а__= з1___Якщо ж р = 2, то для тих же чисел маемо — = 2--,

21 7 19 19 21 21

_15 = 2». -15

19 19 .

Для алгебра'чних систем (одна з яких - поле рацюнальних чисел) важливим е питання про можливють i единють уведення строгого ложного порядку. Впорядкована алгебра'чна система е складним математичним об'ектом, який одночасно надтений алгебра'чною структурою (групи, кiльця, поля, тощо) i структурою впорядковано'' множини, як мiж собою певним чином узгоджуються.

Нагадаемо, що вiдношення а, задане на непорожнш множинi А, називаеться вiдношенням строгого лiнiйного порядку, якщо виконуються умови :

1) антирефлексивнють: У- е А (ааа)

2) асиметричысть: У-, Ь е А (ааЬ ^ Ьаа)

3) транзитиысть: У-,Ь, с е А (ааЬ л Ьас ^ аас)

4) зв'язнють: Уа,Ь е А (ааЬ V Ьаа V- = Ь) .

Щодо впорядкування поля рацiональних чисел мае мюце наступна теорема.

Теорема 2 [4, теорема 6.2; 5, теорема 5.11]. Поле ра^ональних чисел можна лiнiйно /' строго впорядкувати единим способом. Цей порядок е арх'тедовим i е продовженням порядку в кльц цлих чисел.

Строгий лЫйний порядок визначаеться вибором множини О+ додатних елемен^в множини О так:

- г

О+ = {— л аЬе N }. Виявляеться, що Ыакше вибрати множину О+ не можна.

Ь

Такий порядок дае можливють зображувати рацюнальы числана числовм прямiй. При цьому число х2 е О бiльше за число х1 е О (запис х2 > х1), якщо х2 зображено точкою, яка знаходиться правше за точку, що зображуе число х1.

Архiмедовiсть порядку означае наступне: Уа е0, УЬ е0, Зп е N (пЬ > а) .

Усi строго впорядковaнi ктьця (зокрема поля) подiляються на два класи у вщповщност з наступним означенням. Означення 1. Нехай (К; +, •; >; 0) - строго лiнiйно впорядковане кльце, а, Ь, се К/' а > Ь > с. Елемент а - називаеться суадшм зл'!ва до елемента Ь, а елемент с - суадшм справа до елемента Ь, якщо в К не /снуе таких елементiв х i у, як задовольняють в'дпов'дно умови а >х> Ь i Ь > у > с.

Означення 2. Строго лiнiйно впорядковане кльце (К; +, •; >; 0) називаеться дискретним в'дносно порядку « > », якщо кожен його елемент мае л/'вий /' правий сус'дш елементи, /' щльним, якщо У а, Ь е К (а Ф Ь ^ Зс е К (а > с > Ь V Ь > с > а)).

Прикладом дискретного ктьця е ктьце (I; +, •; >; 0) цтих чисел вщносно порядку « > » . Прикладом щтьного ктьця

х + V

е поле (О; +, •; >; 0). Справдк якщо х,у е О, х Фу i х > у, то х >-— > у, що забезпечуе щтьнють для О.

2

При дослщжены строго лшмно впорядкованих ктець на дискретнють i щтьшсть можна використовувати критерм дискретност та критерiй щiльностi кiльця.

Теорема 3 (критерй дискретност'1 ктьця) [4, теорема 4.18; 5, теорема 4.24]. Строго лiнiйно впорядковане кльце (К; +, • ,>; 0) дискретне тод'1 i тльки тод'1, коли множина К+ його додатних елементiв м/'стить найменший елемент.

Теорема 4 (критерй щ'тьност'! ктьця) [4, теорема 4.18; 5, теорема 4.24]. Строго лiнiйне впорядковане кльце

(К; +, •, >; 0) щiльне тод'1 i тльки тод'1, коли множина К+ його додатних елементiв не м/'стить найменшого елемента.

Природно виникае питання про юнування щтьних ктець, ширших ктьця цтих чисел, але вужчих поля

рацюнальних чисел, вщносно того ж порядку « > ». Позитивну вщповщь дае наступна теорема.

Теорема 5. Будь-яке строго лiнiйно впорядковане п'дк'льце (К; +, • , >; 0) поля ра^ональних чисел, яке м/'стить додатне дробове число а, е щльним.

Доведення. Нехай дробове число аеК i а > 1. Тодi а2 > а. За аксюмою Архiмедa

Зт е N (та > а2). Розглянемо пщмножину I множини натуральних чисел N

Ь = {I | I • а < а2, I е Щ. I Ф0, бо 1 е I, I ф^ бо т £ I. Отже, множина I обмежена зверху i тому мае найбтьший елемент к. Тодi ка < а2, (к + 1)а > а2. Тобто (к + 1)а > а2 > ка, але ка ф а2, бо а £ N. Тому а > а2 - ка > 0.

1

Позначимо а2 - ка = Ь е К. Тодi а > Ь, а - Ь = с е К i одне з чисел Ь або с не бтьше за — а. Позначимо це число б.

1

Тим самим доведено, що поряд з елементом а е К i а ф 1 до К належить додатне число б < — а.

Продовживши мiркувaння для б, через скшченне число кро^в одержимо число хеК i 0 < х < 1. Отже, пщктьце (К; + , • , >; 0), що мютить дробовi числа, мютить число х таке, що 0 < х < 1. Тодi

lim xn = 0.

..п

п^ю

Це означае, що для будь-якого додатного числа у е К знайдеться таке число х'е К, що х '< у. Отже, за критерiем щшьност (теорема 4) ктьце (К; + , • , >; 0) е щтьним.

Теорему доведено.

Наприклад, щiльним буде будь-яке кiльце р-ових чисел (йр; + , • , >; 0), де

О = {-1 а е Z, п е Z, р — просте число}.

Рп

У лiнiйно впорядкованих полях розглядають рiзнi послiдовностi. Серед них окремо видтяють фундаментальн та збiжнi послщовносп.

Означення 3. Послiдовнiсть (ап) строго лiнiйно впорядкованого поля А= (А; +, •; >; 0,1) називаеться фундаментальною, якщо виконуеться умова

Уее А Зп0 е N Ут е ЫУп е N (т > п0 л п > п0 ^ | аи — а„ | <е).

Означення 4. Послiдовнiсть (ап) строго лiнiйно впорядкованого поля А= (А; +, •; >; 0,1) називаеться збiжною в полi А, якщо виконуеться умова

За е А У ее А+ Зп0 е N Уп е N (п > п0 ^ | а — ап | <е).

При цьому елемент а називаеться границею послiдовностi (ап).

Цей факт записуеться наступним чином

а=Ьш ап.

п^ю

Використовуючи властивостi абсолютно! величини елемента, досить легко показати, що кожна збiжна послщовнють е фундаментальною в даному полк Проте обернене твердження не завжди мае мкце. Цей факт приводить до поняття повного поля.

Означення 5. Строго лiнiйно впорядковане поле називаеться повним, якщо кожна його фундаментальна посл'довшсть е збiжною у цьому ж полi.

Незважаючи на щтьысть поля рацюнальних чисел, воно не е повним. Це одна iз суттевих властивостей системи рацюнальних чисел. 1Т слщ встановити, не виходячи за межi поля рацюнальних чисел.

Теорема 6. Поле (О; +, • , >; 0,1) ра^ональних чисел - не повне.

Доведення. Для доведення теореми достатньо вказати послщовнють рацюнальних чисел, яка буде фундаментальною, але не матиме рацюнально'Т границГ Покажемо, що такою е послщовнють (ап), де

,11 1

а = 1 + — + — +... + — п 2! 3! п!

Дослщимо спочатку цю послiдовнiсть на фундаментальнють, розглядаючи рiзницю ап+к - ап. Маемо:

1 (. 11 1 .

1 +-+-+... +-|<

1

<

(n +1)! V n + 2 (n + 2)(n + 3) (n + 2)(n + 3) •... • (n + k)

(л i л \ л ( i

(n +1)!

1 1 1

1 +-+-- +... +

n +1 (n +1)2 (n + 1)"

n(n +1)!

n +1 - 1

v

(n +1) k-1

1 1 1

<

n • n! n • (n +1)k 1 (n +1)! n • n! 1

Число- при належному виборi n може стати меншим будь-якого додатного рацюнального числа е. Для цього

n • n!

1

достатньо взяти n > —, що завжди можливо в полi рацюнальних чисел. Отже, нерiвностi

е

0 < an+k — an <-Ц n • n!

свiдчать про фундаментальнють послiдовностi (an).

Доведемо тепер, що послщовнють (an) не мае рацюнально!' границi. Припустимо протилежне. Нехай

г c

lim an = — , c, d e N, d * 0, (c, d) = 1.

n—m d

Додамо в нерiвностях 0 < an+k — an <- до всiх частин an. Одержимо

n • n!

1

an < an+k < an +- ,

n • n!

Останн нерiвностi виконуються для будь-яких чисел n, k e N. Зокрема, i для n+ 1, тобто

1

an+1 < an+1+k < an+1 "-

(n + 1) • (n + 1)!

Дослщимо тепер послщовнють (bn), де bn = an н—1— щодо характеру ïï монотонносп. Маемо:

n n n ■ n!

1 1 -1

bn+1 - bn = «n+1 -—-— - an--- = —;-—2—- < 0.

(n +1) ■ (n +1)! n ■ n! n ■ (n +1) ■ n!

Отже, послщовнють (bn) - спадна. Оскiльки

1 1

-< a + -

n n+1 П+1+Л n+1 , 1 x , x . n , '

(n +1) ■ (n +1)! n ■ n!

то, перейшовши в цих нерiвностях до границ при фiксованому n i k, отримаемо:

с 1 1

' ' ■<a„+-

n n+1 -, n+1 , , -,. . n ,

d (n +1) ■ (n +1)! n ■ n!

с 1

Зв|дси an < — < an +- .

d n ■ n!

с 1

Покладемо n = d, одержимо a < — < ad н---Шсля множення останых нер1вностей на число dd!, будемо мати

d d ■ d!

ad• d • d! < c • d! < ad• d • d! + 1

Але натуральш числа a^ d • d! i a^ d • d!+ 1 е сус1дн1ми та м1ж ними не може бути жодного натурального числа. Тому останш нер1вност1 е суперечливими i теорему доведено.

Про групи поля рацiональних чисел

Поле рацюнальних чисел структурно утворене двома абелевими групами: адитивною групою (Q; +; 0) i мультипл1кативною групою (Q \ { 0 }; •; 1), як1 м1ж собою пов'язанi дистрибутивним законом множення вщносно додавання

Va, b e Q (a ■ (b + c) = a ■ b + a ■ c).

Кожна з названих груп мютить несюнченну к1льк1сть п1дгруп, як1 мають цтав! властивостi, що т1сно пов'язанi з властивостями рацюнальних чисел.

Означення 6. Пiдгрупа H групи (G; *; e) називаеться суттевою, якщо H n B фБ, де B- довльна пiдгрупа групи G, а E = < e > - пдгрупа, що складаеться лише з нейтрального елемента.

В подальшому тдгрупу E будемо називати нульовою, коли вихщна група G- адитивна, i одиничною, коли вихщна група G - мультиплтативна.

Теорема 7. У групi (Q; +; 0) будь-яка ненульова пiдгрупа - суттева.

Доведення. Нехай Н ф Е i В фЕ- дв1 ненульов! пщгрупи адитивноУ групи (Q; +; 0). Нехай heH i h ф 0, be B i b ф 0.

a c a c

Тод1 h = — , b = — де a, b, c, de Z. Звщси — ■ bc = ace H i — ■ ad = ace B . Отже H n B фБ , i пщгрупа Н - суттева. b d b d

Терему доведено.

Зауваження. Група (Q \ { 0 }; •; 1) мютить нескшченно багато несуттевих пщгруп. Наприклад, такою пщгрупою буде пщгрупа < p > = { pn| ne Z, p - просте число}, осктьки < p > n < q > = E, де <q> = { qn| neZ, q- просте число}.

Означення 7. Абелева група (A; *; e) називаеться локально цикл'чною, якщо будь-яка ск'шченна множина ÏÏ елементiв належить до цикл'чноÏ Ыдгрупи групи А. Циклiчною пдгрупою називаеться пдгрупа, породжена одним елементом.

Отже, цикл!чна група < a > складаеться з цтих кратних елемента а в адитивнш грут та з цтих степеыв елемента а в мультиплтативнш грут.

Теорема 8. Група (Q; +; 0) - локально цикл'!чна, а група (Q \ { 0 }; •; 1) - не локально цикл'чна.

Доведення. Нехай M = {—, — ,...,a-} - довтьна скшченна множина рацюнальних чисел i нехай b- сптьний

b1 b2 bn

1 1

знаменник цих чисел. Тод1 кожне з них е цтим кратним числа — , тобто М с < — > i група (Q; +; 0) - локально цикл!чна.

b b

Група (Q \ { 0 }; •; 1) - не локально цикл!чна. Справд!, наприклад, числа 2 i 3 не е степенями одного i того ж рацюнального числа. Припустимо, що це не так. Тод1

\m / \n

2 = 1^1 , 3 = ( a

b ) {b

I можна вважати др16 a нескоротним. Зв1дси 2bm = am, 3bn = an. З цих рiвностей випливае, що а i b дтяться нацто

b

на 2 i на 3, що неможливо для нескоротного дробу. Отже, група (Q \ { 0 }; •; 1) не локально ци^чна. Теорему доведено. Зауважимо, що юнують 1нш1 доведення теореми 8. Означення 9. Абелева група А називаеться подльною або повною, якщо

Vn e N Va e A 3x e A (nx = a)

коли А- адитивна група i

Vn e N Va e A 3x e A (xn = a)

коли А- мультипл'кативна група.

На приклад, група (Q; +; 0) - подтьна, а група (Q \ { 0 }; •; 1) - неподтьна. Справд^ подтьнють групи (Q; +; 0) випливае з того, що

a

Vn e N Va eQ (- eQ), n

а неподтьысть (Q \ { 0 }; •; 1) - з того, що, наприклад, рiвняння х2 = р, де р - просте натуральне число, не мае розв'язюв у множинi Q \ { 0 }.

Групу (Q; +; 0) можна мислити як об'еднання зростаючоУ послiдовностi циклiчних пщгруп

(1><< î><< î>< -<< П>< -

Група (Q \ { 0 }; •; 1) мютить елемент -1 порядку 2, бо (-1)2 = 1, який породжуе цикл1чну пiдгрупу <-1> = { 1; -1} порядку 2. Bei Ышл ÏÏ неодиничнi пiдгрупи нескшчены, оскiльки для числа а i {1; -1}, ап* 1 для Vn e Z \{0} .

Ця група мютить нескшченну кiлькiсть пiдгруп, що мають одиничний перетин. Наприклад, якщо p1, p2- рiзнi простi числа, то < p1 > n < p2 > = < 1 >. Тодi говорять, що таю групи утворюють прямий добуток < p1 > х < p2 >, елементи якого записуються у виглядi p1mp2n , де me Z,ne Z.

Автоморфiзми групи (Q; +; 0) та ÏÏ пщгруп У теорм алгебра|'чних систем будь-яке iзоморфне вiдображення системи на себе називаеться ÏÏ автоморфiзмом. Добре вщомо, що множина всiх автоморфiзмiв даноÏ алгебраÏчноÏ системи утворюе групу вщносно Ïx композицп (послiдовного виконання цих автоморфiзмiв). Зокрема, для адитивних груп маемо наступне означення.

Означення 10. Автоморф'1змом групи (G; +; 0) називаеться таке взаемно однозначне в'дображення <рмножини G на себе, яке задовольняе умову

<p(x + y) = <p(x) +p(y)

для будь-яких елементiв x i y групи G.

Групу вах автоморфiзмiв групи G позначимо AutG. Вщшукання групи AutG, як правило, супроводжуеться значними труднощами. Це пов'язано з тим, що на групу AutG властивост групи G не переносяться. Пщтвердженням цього е автоморфiзми групи (Q; +; 0) та ÏÏ пщгруп. Одыею з фундаментальних властивостей рацюнальних чисел е зв'язок мiж групами (Q; +; 0) та (Q \ { 0 }; •; 1), який характеризуе наступна теорема.

Теорема 9. Група (Q \ { 0 }; •; 1) е групою автоморф'1зм'1в групи (Q; +; 0).

Доведення. Вщображення <px) = ax, де aeQ \ { 0 }, е взаемно однозначним вщображенням множини Q на себе. Осктьки

<px + y) = a(x + y) = ax+ ay= <px) +p(y),

то p- iзоморфiзм групи (Q; +; 0).

Покажемо, що iншиx автоморфiзмiв групи (Q; +; 0) не кнуе. Нехай y - довтьний автоморфiзм (Q; +; 0) i нехай y(1) = t. Покажемо, що y(x) = tx для Vx e Q . Справд^ оскiльки y(0) = 0, то

0 = y(0) = y-1 + 1) = y(-1) +y(1) = y(-1) +t.

Звщси,у(-1 ) = - t = (-1)t.

Нехай xeN. Тодi y(x) = y(l + 1 + ... +1 ) = xy(1) = xt.

x доданюв

Нехай x e Z \ (N и {0}). Тод1 y(x) = y( (_1) + (_1) +... + (_1) ) = |x| y(-1) = |x|t.

|x| доданкав

m

Нехай x = —, де m e Z, ne N. Тод| n

m, mm m , m , . mm

mt= y(m) = y(n— ) = Щ--1---+... +--) = ny( — ). Звщси y( — ) = — t.

n n n n n n n

Отже,увизначаеться множенням чисел 1з множини Q на певне рацюнальне вщмЫне в1д нуля число.

Теорему доведено. 1нше доведення теореми 9 можна знайти, на приклад, в [7, лема 2.1].

Таким методом можна дослщжувати групи автоморф!зм!в пщгруп групи (Q; +; 0). У теорп груп вщомо [6, 121, теорема 1], що в подтьнш грут G кожний автоморфiзм суттевоÏ пщгрупи H продовжуеться до автоморфiзму ваа групи G. Це означае, що групи автоморфiзмiв п1дгруп групи (Q; +; 0) е пiдгрупами групи (Q \ { 0 }; •; 1).

Найцiкавiшими серед пщгруп групи (Q; +; 0) е цикл1чн1 п1дгрупи, зокрема, пiдгрупа (Z; +; 0) ц1лих чисел та адитивн п1дгрупи к1льця р - ових дроб!в (Qp; +, •; 0), де

Q = {— | a e Z, n e Z, p _ просте число}.

Pn

Адитивну групу цього ктьця можна одержати як об'еднання несюнченного ланцюга адитивних цикл1чних груп

<1><<- > < <—j ><... <<А ><...

P P P

Загальновщомою е iнформацiя про групу автоморф!зм!в адитивноÏ групи (Z; +; 0) цтих чисел. Подаемо ÏÏ теоремою з коротким доведенням.

Теорема 10. Група автоморф'вм'ш групи (Z; +; 0) е цикл'!чною групою порядку 2.

Доведення. Нехай p- довтьний автоморф!зм групи (Z; +; 0) i нехай p(1) = t. Тод1 по аналоги з теоремою 9, маемо, що p(x) = tx для Vx e Z . Якщо p( y ) = 1, то ty = 1 i цте число t е дтьником 1. Тому t e{ 1; -1} i маемо автоморф!зми p(x) = x та p(x) = -x. Отже, Aut(Z; +; 0) = < - 1 >.

n доданк1в

k

Нехай t > 0 i t e Qp*. Тодi t = О, (ap) = 1, a > 0. Оскiльки t- =-e Qp * , то а = 1, а t = _L e (p).

Теорему доведено.

Теорема 11. AutQp= < -1 > x < p >, де < p > - мультипл'кативна група, породжена простим числом p. Доведення. Нехай р-довтьний автоморфiзм групи (Qp; +; 0) i нехай р1) = t. Тодi легко показати, що рх) = txдля Vx e Qp . З'ясуемо, яким може бути число t. Якщо ру) = 1, то ty = 1. Отже р - ове число t е дiльником 1, тобто оборотним

елементом ктьця (Qp; +, •; 0). Множина таких елеменпв Qp* кiльця (Qp; +, •; 0) утворюе мультиплiкативну групу (Qp*; • ; 1).

a pk

, (a,p) = 1, а > 0. Осктьки t- = — e Q *

P a pk

Якщо t < 0, то te< -1 > x < p >. Отже, AutQp= < -1 > x < p >.

Теорему доведено.

Такий пщхщ до знаходження групи AutQp дозволяе узагальнити результат теореми 11 на випадок адитивно!' групи

a

Qn = {x | x = —, де a e Z,n = pi1 pi? ...pi?,s e Z,i = 1 +m, p -pi3Hi npocmi числа, m > 1}, а саме n

AutQn = < -1 > x < p1 > x < p2 > x ... x < pm >. Висновки. Знання розглянутих у робот структурних властивостей рацiональних чисел буде корисним кожному творчому викладачу математики, !'х учням i студентам при встановленн реальних зв'язкiв класично!' елементарно!' математики з сучасною вищою математикою.

Список використаних джерел

1. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Ч.1.: Арифметика. Алгебра. Анализ. Москва-Ленинград, 1933. 469 с.

2. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. Ч. 1. Москва: Просвещение, 1982. 208 с.

3. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. Ч. 2. М.: Просвещение, 1983. 190 с.

4. Вивальнюк Л.М., Григоренко В.К., ЛевЩенко С.С. Числовi системи. Ки!'в: Вища школа, 1988. 272 с.

5. Лиман Ф.М. Числовi системи. Суми: МакДен, 2010. 192 с.

6. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т.1. Москва: Мир, 1974. 336 с.

7. Черников С.Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп. М.: Наука, 1980. 384 с.

References

1. Klein F. Elementary mathematics from higher point of view. Part 1. Arithmetic. Algebra. Analysis. Moscow, 1933, 469 p. (in Russian).

2. Freudenthal H. Mathematics as a pedagogical problem. PROSVESHCHENIE: Moscow, 1982. 208p. (in Russian).

3. Freudenthal H. Mathematics as a pedagogical problem. PROSVESHCHENIE: Moscow, 1983. 190p.(in Russian).

4. Vyval'nyuk L.M., Grygorenko V.K., Levishchenko S.S. Numerical systems. VYSHCHA SHCOLA: Kyiv, 1988. 272 p. (in Ukrainian).

5. Lyman F.M. Numericalsystems. MAKDEN: Sumy, 2010. 192 p.(in Ukrainian).

6. Fuchs L. Infinite abelian groups. P.1. MIR: Moscow, 1974. 336 p.(in Russian).

7. Chernikov S.N. Groups with given properties by system of subgroups. NAUKA: Moscow, 1980. 384 p. (in Russian).

THE STRUCTURE PROPERTIES OF RATIONAL NUMBERS ARE IMPORTANT COMPONENT OF MATHEMATICAL KNOWLEDGE OF MATHEMATICS TEACHERS Fedir Lyman, Oksana Odintsova

Makarenko Sumy State Pedagogical University, Ukraine Abstract. There are investigated some structure properties of field (Q; +, •; 0,1) rational numbers, some properties of its subfields, some properties of subgroups of additive group (Q; +; 0) and multiplicative group (Q \ {0}; •; 1) of this field in this article.

One of the basic subrings of rational numbers field is integer numbers ring. The stimulus to its extension to minimal numeral field (which are rational numbers field) is the problem of equation's ax = b with integer coefficients soluble. When such equation has a solution with a / 0, the minimal field condition gives an answer about representation any rational number as a quotient of two integer numbers.

Thus, the rational numbers set Q = Z uQ \ Z when Z - the integer numbers set and Q \ Z- the fraction numbers set. The uniquely representation any rational number q / 0 as a two integer numbers quotient is commonly known. But uniquely representations any rational number exist infinitely a lot. For example, it's interesting and useful for many problems next uniquely

representation any rational number: if q > 0 then q = pn a when p - prime number, n eZ, a and b are natural numbers being

b

(a, b) = (a, p) = (b,p) = 1; if q < 0 then q = -p

n a b'

On subject of rings of rational numbers field it's consider the issues about their discreteness and density. It's proved, in particular, that every some ring of rational numbers field is density when fractional number belongs to it.

When we investigated the properties of numeral fields which rational numbers field don't have,it's showed the incompleteness of this field. It's proved this fact without using the irrational numbers.

It's suggested the one of possible proof that the group of automorphisms of group (Q; +; 0) is isomorphic to group (Q \ {0}; •; 1), when we consider the additive and multiplicative groups of rational numbers field. It's proved that the group of automorphisms of group's (Q; +; 0) subgroups is isomorphic to subgroups of group (Q\ {0}; •; 1) too. The last fact is illustrated by an example of group (Z; +; 0) integer numbers and an example of group (Qf,; +; 0) p- adic numbers for any prime number p.

The teachers of Mathematics may make the knowledge of their students more deepen and more modern with all these facts.

Key words: group, ring, field, automorphism, ration number, fraction, fraction number, discreteness, density.