CC BY
32
Scientific journal PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION
Has been issued since 2013.
Науковий журнал Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА
Видасться з 2013.
http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/
Лукашова Т.Д., Лукашова М.В., Марченко К.В. Розв'язування алгебрачнихр'!внянь в модульних арифметиках. Фiзико-математична осв'та. 2018. Випуск 2(16). С. 86-90.
Lukashova T., Lukashova M., Marchenko K. Solving Algebraic Equations In Modular Arithmetic. Physical and Mathematical Education. 2018. Issue 2(16). Р. 86-90.
УДК 511.172+512.552.18+512.624
Т.Д. Лукашова1, М.В. Лукашова, К.В. Марченко2
Сумський державний педагогiчний унверситет iменi А.С. Макаренка, Украна
[email protected], [email protected] DOI 10.31110/2413-1571-2018-016-2-016
РОЗВ'ЯЗУВАННЯ АЛГЕБРА1ЧНИХ Р1ВНЯНЬ В МОДУЛЬНИХ АРИФМЕТИКАХ
Анотаця. У багатьох задачах теорП чисел та дискретноiматематики доводиться виконувати арифметичн дп над цлими числами за певним модулем. При такому пдходi кожне цле число можна ототожнити з остачею за цим модулем та розглядати множину лишкв як нову, модульну арифметику.
Зазначимо, що арифметичн операцп над елементами утвореноi таким способом алгебра)'чноi структури вводяться подiбно до того, як вони визначен для цлих чисел, i визначаються в'дпов'дними остачами вiд длення на модуль. Проте, залежно вiд модуля, деяк особливостi можуть виникати при множенн'1 класв лишкв та пох/'дних вiд нього опера^й - Ыднесенн'! до степеня та добуванн кореня, а в'дтак - при розв'язуванн'1 р'внянь та iх систем.
В арифметиках за простим модулем результати опера^й в'дшмання та длення на вiдмiнний вiд нуля елемент також е елементами цих арифметик. Тому в них можна обйтись без в/'д'емних та дробових числових вираз'в. Окр'м того, в таких арифметиках зберiгаеться б'льш'сть в'домих алгоритм'!в розв'язування алгебрачних р'внянь та iх систем. З iншого боку, в арифметиках за складеним модулем усталенi правила можуть порушуватись, що пояснюеться iснуванням в них дльник'1в нуля.
Незважаючи на те, що виконання арифметичних опера^й у ск'тченних арифметиках значною мiрою спираеться на теорiю конгруен^й та теорiю клець, як вивчаються у кура алгебри й теорП чисел, досл'дженню модульних арифметик, зокрема, особливостям виконання в них арифметичнихдй, розв'язуванню р'!внянь та iх систем присвячено лише окремi публ'кацп.
У данй статт'1 розглядаються особливостi розв'язування алгебраi'чних р'внянь та iх систем у модульних арифметиках. Досл'джено питання розв'язност'1 окремих титв алгебраi'чних р'внянь (зокрема, лiнiйних та квадратних) та систем лiнiйних р'внянь у арифметиках за простим модулем, наведено в'дпов'дн'! алгоритми i приклади. Матер'юл статт'1 може бути використаний при вивченнi в'дпов'дних тем з теорП чисел та дискретноi математики, а також розглянутий на заняттях спецкурсв та математичних гуртк'!в.
Ключов! слова: кльця класв лишкв, модульн арифметики, скiнченнi арифметики, алгебраi'чнi рiвняння, лiнiйнi рiвняння, системи лiнiйнихр'!внянь.
Постановка проблеми та аналiз актуальних дослщжень. Цтий ряд математичних задач зводиться до пошуку остач1 в[д дтення цтих чисел на деяке число. До них, зокрема, вщносяться теоретико-числов1 задач! на доведення подтьносл та встановлення ознак подтьносл.
Розглядаючи остач1 в[д дтення цтих чисел на деяке натуральне число т - модуль, та вводячи операцп додавання та множення на утворених множинах, приходимо до так званих модульних арифметик. Число елеметчв у цих арифметиках сюнченне, тому шод1 '¡х називають скшченними арифметиками.
Зазначимо, що в арифметиках за простим модулем виконуються операцп вщымання та дтення на вщмЫний в[д нуля елемент. Тому в них збер1гаеться бтьшлсть алгоритм1в розв'язування р1внянь та '¡х систем, що мають мкце у числових полях. З ¡ншого боку, в арифметиках за складеним модулем устален правила можуть порушуватися, що пояснюеться ¡снуванням в них дтьниюв нуля.
Незважаючи на те, що виконання д1й у скшченних арифметиках значною м1рою спираеться на теор1ю конгруенцм та теор1ю ктець, як вивчаються у кура алгебри й теорп чисел, дослщженню модульних арифметик, зокрема, розв'язуванню в них р1внянь та '¡х систем присвячено лише окрем1 публтацп [1-10]. Тому розгляд дано' теми е досить актуальним. Окр1м того, вщповщний матер1ал може бути використаний при вивченн вщповщних тем з теорп чисел та дискретно'' математики, а також розглянутий на заняттях спецкурав та математичних гуртюв.
Мета статп. Розглянути особливост розв'язування алгебра'чних р1внянь та '¡х систем у модульних арифметиках.
ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)
У ходi пщготовки статт були використан наступнi методи:
- аналiз i систематиза^я науково! та навчально! лiтератури, за якими визначено основы питання щодо дослiдження розв'язносп алгебра!чних рiвнянь та !х систем у модульних арифметиках;
- теоретико-числовi методи та методи теори конгруенцй на основi яких виконуються дм у модульних арифметиках та з метою дослщження числа розв'язкiв рiвнянь та !х систем у модульних арифметиках;
- узагальнення класичних пiдходiв щодо розв'язування алгебра!чних рiвнянь та !х систем на випадок арифметик за простим модулем.
Виклад основного матерiалу
1. Арифметичш операцм у скiнченних арифметиках
Нехай 1 - ктьце цiлих чисел. Розглянемо множину 1т = (б, 1, ...,т — 11), елементами яко! е класи лишшв по модулю т (клас лишшв г за модулем т складаеться з чисел виду г = (г + тЦ £ Е 2)). Над класами лишкiв природним чином означаються операцм додавання, вiднiмання та множення елементiв [10; 134].
Сумою клаав лиш^в а /' Б за модулем т називаеться клас лишкiв а + Ь, який визначаеться остачею в^д дiлення на т суми а + Ь представникiв цих клаав. Вiдповiдно, добутком класiв лиш^в а i Ь називаеться клас лишшв а • Ь, який визначаеться остачею вщ дiлення на т добутку чисел а I Ь.
Вщымання та дiлення клаав лиш^в за модулем т можна визначити як операцм, обернен до додавання та множення вщповщно. Зокрема, р'зницею клаав лиш^в а — Ь називають клас лишкiв х, що задовольняе умову: Ь + х = а. Аналопчно, часткою вщ дiлення класiв а i Ь називають клас х Е 1т, для якого а = Ь • х. Результат дiлення позначають х = а - Ь або
_ _ а
= ь .
Множини класiв лишкiв 1т з уведеними на них арифметичними опера^ями називають модульними арифметиками або т-арифметиками, а елементи вщповщних ктець - елементами т-арифметики [4]. Модульн арифметики е прикладами так званих скшченних арифметик, в яких число елемен^в скiнченне.
У роботах [7, 12] розглядалися особливосл виконання арифметичних дш та операцiй пiднесення до степеня й добування кореня п-го степеня у т-арифметиках. Розглянемо у цих арифметиках питання розв'язносп алгебра!чних рiвнянь та !х систем.
1. Розв'язування алгебраТчних рiвнянь у модульних арифметиках Нехай у арифметик за модулем т задано лiнiйне рiвняння
ах = Ь, (1.1)
де а \ Ь - цЫ числа, б < а < т — 1 i б < Ь < т — 1.
Зрозумiло, що розв'язання такого рiвняння зводиться до розв'язання лЫшно! конгруенци
ах = Ь(той т).
З курсу теори чисел добре вщомо, що дослщження кiлькостi розв'язкiв останньо! конгруенци залежить в^д значень чисел а, Ь i т [13; 64]. Вщповщно, у m-арифметицi число розв'язюв рiвняння (1.1) описуе наступна теорема. Теорема 1.1. Нехай у т-арифметиц'! задано лiнiйне рiвняння ах = Ь. Тод'г.
1) це рiвняння мае единий розв'язок х = а-1Ь, якщо (а, т) = 1,
2) рiвняння не мае розв'язк'в, якщо (а, т) = й > 1 i число Ь не длиться на й,
3) рiвняння мае й розв'язк'в якщо (а, т) = й > 1 i число Ь длиться на й.
Зазначимо, що елемент а, для якого виконуеться умова (а,т) = й> 1, е дтьником нуля вщповщного ктьця клаав лиш^в. Тому для розв'язносп рiвняння (1.1) потрiбно, щоб дтьником нуля був i елемент Б (причому Ь мае дтиться на й). Приклад 1.1. Розв'язати рiвняння
2х = 2
у арифметиках за модулями т = 5 та т = 6 .
1) Нехай т = 5. Осктьки (5,4) = 1, то у цм арифметик дане рiвняння мае один розв'язок, причому
х = 4-1 • 2 = 4 • 2 = 8 = 3.
2) Нехай тепер т = 6. Осктьки (4,6) =2 I 2-2, то дане рiвняння мае два розв'язки. Неважко переконатися, що ними е: х = 2 та х = 5.
Осктьки випадку простого числа т (т = р) ктьце клаав лишюв 1р е полем, то у р-арифметиц алгоритм дослщження рiвняння (1.1) подiбний до алгоритма дослщження лiнiйного рiвняння у множинi дiйсних чисел.
Наслщок. Нехай задано лiнiйне рiвняння (1.1), де а i Ь - елементи деякоI р-арифметики (р - просте число), б < а, Ь<р — 1. Тодг
1) якщо а ф б, то дане рiвняння мае единий розв'язок х = а-1Ь;
2) якщо а = б i Ь = б, то розв'язками рiвняння е уа р елементiв даноI арифметики;
3) якщо а = б i Ь ф б, то дане рiвняння розв'язк'!в не мае. Приклад 1.2. Розв'язати рiвняння 27х = 8 у 43-арифметицГ
Маемо: а = 27, р = 43, Ь = 8. За наслщком це рiвняння мае один розв'язок. Додамо до лiво! частини рiвняння вираз —43х, кратний модулю. Дктанемо рiвняння:
—16х = 8,
рiвносильне даному. Подтимо тепер обидвi частини рiвняння на 8 та додамо до право! частини модуль:
—2х = 1, —2х = 4Й. Подiлимо обидвi частини рiвняння на —2. Одержимо: х = —22 або х = 21. Перейдемо до розв'язування квадратнихр'внянь в р-арифметиках (р - просте непарне число). Розглянемо спочатку двочлення рiвняння:
х2 = а (1.2)
Виходячи з вщомих результатiв теорп конгруенцш, таке рiвняння при а = 0 мае единий розвЯзок, а при а ф 0 -або два розв'язки, або жодного, залежно вщ того, буде число а квадратичним лишком чи нелишком за модулем р. Визначити, чи е а квадратичним лишком можна за критерiем Ейлера [14; 79]. Приклад 1.3. Розв'язати рiвняння х2 = 2 у 5- та 7-арифметиках.
Задача зводиться до знаходження значень кореня квадратного з 2, який у 5-арифметиц не кнуе [12], бо 2 -квадратичний нелишок за модулем 5. Отже, у 5-арифметиц дане рiвняння розв'язюв не мае.
З'ясуемо тепер, чи мае дане рiвняння розв'язки у арифметик за модулем 7. Скористаемось крт^ем Ейлера:
_£-1 _7-1 _ _ _
2г = 2 2 = 23 = 1. Отже, у 7-арифметиц це рiвняння мае два розв'язки. Неважко перевiрити, що ними е: х1 = 3, х2 = 4.
Зазначимо, що у довтьних т-арифметиках рiвняння (1.2) може мати бтьше, нiж два розв'язки, що тдтверджуе наступний приклад.
Приклад 1.4. Розв'язати рiвняння х2 = 1 у 8-арифметицк
Простим перебором елементiв 8-арифметики неважко переконатися, що рiвняння мае 4 розв'язки: х^ = 3, х2 = 3, Х3 = 5, х^ = 7.
Розглянемо тепер повне квадратне рiвняння
ах2 + Ьх + с = 0 (1.3)
у р-арифметиц (р - просте число) та знайдемо формулу обчислення його кореыв. Осктьки
то рiвняння (1.3) еквiвалентне рiвнянню
а(
З останньо' piBHOCTi знайдемо х:
2 . 7 . г . ь ->2 4ЯС-Й2
ах2 + ох + с = а(х -—)2 н-,
4 2ау 4а
, 4ас-й2 _ с , ^2 Ь2—4ас
а(х -—)2 н-= 0 або (х -—)2 =-—.
4 2а 4а 4 2ау 4а2
, b +Vb2—4ac X ---=
2а 2а
Отже piвняння (1.3) не мае розв'язк'!в, якщо у данiй аpифметицi не можна визначити значення кореня з дискримшанта Vb 2 — 4а3 (тобто, дискpимiнaнт е квадратичним нелишком), i мае два розв'язки, якщо дана арифметика мктить значення Vb2"—4ас (тобто, дискpимiнaнт е квадратичним лишком). Ц розв'язки piзнi, якщо Ь2 — 4ас ф 0 i ствпадають, коли Ь2 — 4ас =0. У випадку 2-арифметики формула втрачае змкт, через те, що виконуеться дiлення на 2.
Приклад 1.5. Розв'язати piвняння х2 + 2х + 4 = 0 у 7-apифметицi.
D = 4 — 4 • 4 = 4 — 1 6 = 2 ^ VD = 3 або VD = —3 = 4. Остаточно маемо:
X _ —2—3 _ —35 _ - 5+7 _ 2 _ 2 _ -2+3 _ 1 _ 1-7 _ 6 _ 3 — 4
2 2=2 2 ' 2 _ 2 = _ 2 _ 2 = .
Приклад 1.6. Розв'язати piвняння Зх2 + 4х — 5 = 0 у 11-арифметиц
Знайдемо дискримшант: D = 1 6 — 4 • 3 • (—5 ) = 5 -3 1 • 5 = 1 0 . _ ii-i
Осктьки 1 0 е квадратичним нелишком по модулю 11 (бо 10 2 = —1 (mod 11)), то VD не кнуе. Отже, дане piвняння розв'язкГв не мае.
Перейдемо до розгляду алгебрачних р'!внянь вищих степен/'в у р-арифметиках та дослщимо число '¡х pозв'язкiв. Нехай маемо piвняння
а^хп+..+а!х + 00 = 0 (1.4)
де п - натуральне число, аЦ елементи р-арифметики.
Число п називають степенем piвняння (1.4), якщо ап не дiлиться на т.
Виходячи з вщомих тверджень теорГ'' конгруенцш, у випадку простого модуля (m = р) i за умови, що n < р — 1, piвняння (1.4) мае не бтьше п розв'язкГв. Якщо ж вказане рГвняння мае бiльше п розв'язкГв, то всГ коефiцiенти дГляться на р.
Зауважимо, що у випадку n > р стетнь конгpуенцií можна зменшити, використовуючи малу теорему Ферма [13; 139] та подтивши лГву частину (1.4) на двочлен (хр — х). Отримане таким чином рГвняння у дaнiй арифметик буде piвносильне даному та матиме стетнь, що не перевищуе р — 1.
ЗрозумГло також, що в р -apифметицi за простою основою р рГвняння
хр—1 = 1 (1.5)
мае точно (р — 1) розв'язкГв: його зпдно з малою теоремою Ферма задовольняють усГ ненульовГ елементи дано'' арифметики. БГльш того, якщо d - натуральний дтьник числа (р — 1), то рГвняння xd = 3 або не мае розвязкГв, або мае мае ^(d) розв'язкГв [14;132]. Знайти цГ розв'язки можна методом перебору множини Zp.
У загальному випадку розв'язати двочленне рГвняння
ахп = Б
у р-арифметицГ можна, спираючись на теорГю шдекав (або дискретне логарифмування) [14; 141]. Зокрема, рГвняння виду _ _£-1 _ xn = а ' n < р розв'язне у р-арифметицГ тодГ i тГльки тодГ, коли мае мГсце рГвнГсть а п = 3 [14; 144].
Приклад 1.7. Розв'язати в 3-арифметицГ рГвняння: х4 + 2х3 — Зх2 + х + 3 = 0.
Використаемо метод перебору та тдставимо у рГвняння елементи дано' арифметики. Його задовольняють значення х = 1, х = 2.
Зазначимо, що можна було спочатку понизити стетнь цього рГвняння, подтивши лГву частину на хр — х = х3 — х або виконуючи замшу х3 = х. У цьому випадку маемо
х2 + 3х — 2х2+х+1 = 0, —х2 + 3х + 3 = 0' —х2 + 3 = 0' х2 = 3'
звщки х = 2, х = 2.
Приклад 1.8. Розв'язати у 5-арифметиц рiвняння: х 10 — 2х + • = б. Спростимо рiвняння, виконуючи замiну х5 = х:
х2—2х+2 = б, (х — 2)2=б,
звiдки X =
Приклад 1.9. З'ясувати, при яких значеннях параметрiв а i Ь рiвняння х3 + ах + Ь = б мае три розв'язки у 5-арифметицГ
Позначимо х1,х2,х3 - розв'язки даного рiвняння (хь ф х) при I ф}. Пiдставимо кожне з цих значень у дане рiвняння та вщымемо з першо! рiвностi другу та третю:
х! — + а(х1 — х2) = б, х3 — х3 + а(х1 — х3) = б. Скоротимо першу рiвнiсть на (х1 — х2), а другу - на (х1 — х3):
х1 + х1х2 + х2 + а = б, ~х2 + х1х3 + х2 + а = б. Вщнявши почленно та скоротивши на х2 — х3, дiстанемо: х1 + х2 + х3 = б. Осктьки значення х; рiзнi, то останню рiвнiсть задовольняють лише класи: б, 1,4 та б,2,3.
У першому випадку, поставивши значення б, 1,4 у рiвняння, маемо:
Ь = б,1 + а + Ь = О, 4 + 4а + Ь = О, звщки Ь = б i а. = 4. Аналогiчно, для значень б, 2,3, дктанемо Ь = б i а = 1.
Отже, вказане рiвняння мае три розв'язки, якщо Ь = б i а = 4 i Ь = б i а = 1. 2. Розв'язування систем лшшних рiвнянь у р-арифметиках
Розглянемо систему лшмних рiвнянь з невщомими х1,х2, ...,хп у p-арифметицi (р - просте число):
а11х1 + а12х2 + " + а1пхп = Ь1
а21х1 + а22х2 + " + а2пхп = Ь2
(2.1)
\amiXi + аШ2Х2 + —+ ап
де âij i bt - елементи р-арифметики.
Оскiльки кiльце Zp, на ochobî якого будуеться дана арифметика е полем, то для розв'язування системи (2.1) можна використати yci результати, вiдомi з курсу лшмно'| алгебри для систем лiнiйних рiвнянь над числовими полями [13; 194]. Зокрема, для розв'язання системи (2.1) можна використати метод виключення невщомих (або метод Гаусса), а у випадку, коли число рiвнянь дорiвнюе числу невщомих, - теорiю визначни^в i правило Крамера.
Для дослщження системи (2.1) можна використовувати також критерш сумiсностi системи лiнiйних рiвнянь, що полягае у порiвняннi ранпв основно! та розширеноУ матриць системи. единою вщмшыстю вiд систем лшмних рiвнянь над числовими полями е те, що у випадку сумкносп системи вона завжди мае сюнченне число розв'язюв.
Теорема 2.1. [13; 194] Нехай у системi (2.1), що розглядаеться у р-арифметиц^ m = ni визначник основно)' матрицi А ^ 0. Тод'1 система (2.1) мае единий розв'язок, який визначаеться з р'вностей:
Ахi = А1,Ах2 = А2.....Ахп = Ап.
Зазначимо, що твердження теореми залишаеться правильним i у випадку довтьно'|' m-арифметики за умови (А,т) = 1.
(х1+х2+ х3 =1 х1 + 2х2 — х3 =0 . 3х1 + 3х2 + 8х3 = 5
Обчислимо визначник основно!' та допомiжних матриць, користуючись властивостями визначни^в та виконуючи арифметичн дм за правилами 11-арифметики.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
А= 1 2 —1=5^0, А1= 0 2 —1=4, А2= 1 0 —1=1 0, А3 = 1 2 0=2.
33 33 8} 538 358 33 33 55
За теоремою 2.1 маемо: x1 = t = 4^ 9=3, : х2 = = = 10 • 9=2, : х3 = 2 = 2 • 9=7.
(х1 +х2 +х3 = 1 х1 + 2х2 — 3х3 = 0 . 2х1 + 3х2 + 5х3 = 1
13 13 13
У даному випадку А = 1 2 —3 = 0, тому теорему 2.1 застосувати неможливо. Осктьки ранги основно!' i
2 3 5
розширено'1' матриц дорiвнюють 2, то система сумкна. Знайдемо ÏÏ розв'язки. Для цього використаемо метод Гаусса:
13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13
0)~(0 3 —4
-1
0 1-4
-1
3 2 —ЗЗ _
V2 3 5 1 V0 3 з—1! V0 0 00 Отже, система мае одну втьну змшну. Нехай це буде х3. Тодг
х2 — 4х3 = —1 ( х2 = 4х3 — 1 ( х2 = 4х3 — 1 - -,
2 3 -, { 2 3 -, { 2 - -, де х3Е{0,3,-,6}. х1+х2+х3 = 1 кх1 = —х2 —х3 + 1 = —5х3 + 2
Висновки. У арифметиках за простим модулем розв'язування алгебра!чних рiвнянь та !х систем мае багато сптьного з тим, як вони розв'язуються у числових множинах. Зокрема, працюють твердження про число розв'язюв, схожими е алгоритми розв'язування лшмних та квадратних рiвнянь та систем лшмних рiвнянь. У арифметиках за складеним модулем вказан алгоритми працюють не завжди, що тюструють наведенi приклади.
х
Список використаних джерел
1. Бич О. В. Будуемо новГ арифметики. У свт математики. 1998. № 1. С. 11-14.
2. Геронимус А. Диофантовы уравнения по простому модулю. Квант. 1978. № 12. С. 2-6.
3. Виленкин Н. Сравнения и классы вычетов. Квант. 1978. № 10. С. 4-8.
4. Геронимус А. Сравнения по простому модулю. Квант. 1978. № 11. С. 6-10.
5. Егоров А., Котова А. Необыкновенные арифметики. Квант. 1993. № 3-4. С. 37-42.
6. Егоров А. Сравнения по модулю и арифметика остатков. Квант. 1970. №5. С. 27-33.
7. Лукашова Т. Д., Пискун К.В. Скачены арифметики. У свт математики. 2015. № 1. С. 26-34.
8. Михелович Ш. Х. Материалы для факультативных занятий по дополнительным вопросам арифметики в средней школе Ч. 1. Даугавпилс: Даугавпилсский пед. Инст-т, 1973. 178 с.
9. Попов £. Д. 1нтерпретацГя комплексних чисел у скГнченних арифметиках. У свт математики. 1975. № 6. С. 110-121.
10. Хмара Т. М. НезвичайнГ арифметики. У свт математики. 1974. № 5. С. 7-14.
11. Окунев Л.Я. Краткий курс теории чисел. М.:Учпедгиз, 1956. 240 с.
12. Лукашова Т.Д., Марченко К.В. МодульнГ арифметики. ФГзико-математична освГта. 2018. Випуск 1(15). С. 246-251
13. Михелович Ш. Х. Теория чисел. М.: «Высшая школа». 1967. 336 с.
14. Бородш О. I. ТеорГя чисел. К. : «Радянська школа», 1960. 246 с.
References
1. Bych O.V. We are building new Arithmetic. In the world of Mathematics.1998 №1. Р. 11-14.
2. Geronimus A. Diophantine equations of a simple module' Kvant. 1978. №. 12. Р. 2-6.
3. Vilenkin N. Comparison and residues classes. Kvant. 1978. № 10. Р.4-8.
4. Geronimus A. Comparison of a simple module. Kvant . 1978. № 11. Р. 6-10.
5. Egorov A.' Kotova A. Uncommon Arithmetic, Kvant. 1993. № 3-4. Р. 37-42.
6. Egorov A. Comparison of modulus and Arithmetic of residues. Kvant. 1970. №5. Р. 27-33
7. Lukashova T.D., Piskun K.V. Finite Arithmetic. In the world of Mathematics. 2015. № 1. Р. 26-34.
8. Mikhelovich Sh. H. Materials for facultative studies on additional questions of Arithmetic in secondary school. Ch. 1. Daugavpils: Daugavpils Ped. Inst.' 1973. 178 p.
9. Popov E. D. Interpretation of complex numbers in Finite Arithmetic. In the world of Mathematics. 1975. № 6. Р. 110-121.
10. Khmara T. M. Uncommon Arithmetic. In the world of Mathematics. 1974. № 5. Р. 7-14.
11. Okunev L.I. Safety education of Number Theory M.: UchpedgiZ' 1956. 240 p.
12. Lukashova T., Marchenko K. The Modular Arithmetics. Physical and Mathematical Education. 2018. Issue 1(15). Р. 246-251.
13. Mikhelovich Sh. H. . Number Theory. М.: "Hight school"' 1967. 336 p.
14. Borodin O. I. Number Theory. K.: "Soviet school"' 1960. 246 p.
SOLVING ALGEBRAIC EQUATIONS IN MODULAR ARITHMETIC T.D. Lukashova, M.V. Lukashova, K.V. Marchenko
Makarenko Sumy State Pedagogical University, Ukraine Abstract. It is necessary to perform arithmetic operations for a particular module in many tasks of Theory of Numbers, Discrete Mathematics and Cipher Theory. In this case, each integer can be identified with the remainder of this module and consider a plurality of residues as a new Modular Arithmetic.
In spite of the fact arithmetic operations over elements of an algebraic structure formed in this way are introduced in the same way as they are defined for integers, and are determined by the corresponding residues from division into a module. However, depending on the module, some features may arise when multiplying the classes of residues and derivative operations, elevation to degree and extraction of the root, when solving equations and their systems.
In Arithmetics for a simple module, the results of the operations of subtraction and division for a non-zero element also are the elements of the corresponding Arithmetics. Therefore, they can be considered without negative and fractional expressions. Moreover, in such an Arithmetics, most of well-known algorithms of solving algebraic equations and their systems are preserved. On the other hand, in the Arithmetics for the compiled module, the established rules may be violated, what is explained by the existence of dividers of zero in them.
Despite the fact that the implementation of arithmetic operations in finite Arithmetics basing mostly on the Theory of Congruences and the Theory of Rings, which are studied in the course of Algebra and Theory of Numbers, only some individual publications are devoted to the study of Modular Arithmetics, the peculiarities of the implementation of arithmetic operations and the solving algebraic equations and their systems, in them.
In this article peculiarities algebraic equations and their systems in Modular Arithmetic. The solvability of certain types of algebraic equations (in partiqular, linear and square equations), as well as systems of linear equations in arithmetic by a simple module, is explored, and the corresponding algorithms and examples are given. The problem of solvability of certain types of algebraic equations, as well as systems of linear equations in Modular Arithmetic is explored. Corresponding algorithms and examples are given in this article. The material of the article can be used in the study of relevant topics in the Theory of Numbers and Discrete Mathematics, as well as at the lessons of the special courses and mathematical circles.
Key words: rings of residues classes, Modular Arithmetic, Finite Arithmetic, algebraic equations, linear equations, systems of linear equations.
