CC BY
21
Scientific journal PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION
Has been issued since 2013.
Науковий журнал Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА
Видасться з 2013.
http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/
Лукашова Т.Д., Марченко К.В. Модульн арифметики. Ф'вико-математична освта. 2018. Випуск 1(15). С. 246-251.
Lukashova T., Marchenko K. The Modular Arithmetics. Physical and Mathematical Education. 2018. Issue 1(15). Р. 246-251.
УДК 511.172+512.552.18+512.624
Т.Д. Лукашова1, К.В. Марченко2
Сумський державний педагогiчний ун'юерситет iMeHi А.С. Макаренка, Украна 4anya.lukashova2015@gmail.com, 2omikomz@gmail.com DOI 10.31110/2413-1571-2018-015-1-046
МОДУЛЬН1 АРИФМЕТИКИ
Анотаця. У багатьох задачах теорп чисел, дискретноi математики та теорп шифрiв доводиться знаходити остач'1 вiд длення на деяке натуральне число (модуль) та виконувати арифметичн дп над знайденими остачами. Розглядаючи сукупнсть остач та вводячи операцп додавання, в'дшмання, множення та длення на утворених множинах, приходимо до так званих модульних арифметик. Число елементiв у цих арифметиках ск'нченне, тому i'нодi ¡хназивають ск'шченними арифметиками.
Незважаючи на те, що арифметичш дп в модульних арифметиках вводяться аналогiчно до того, як вони визначен для цлих чисел, деяк особливостi виникають при множенн елементiв, Ыднесенн'! ¡хдо степеня та добуванн кореня, а в'дтак - при розв'язуванн'1 р'юнянь та ¡х систем.
В арифметиках за простим модулем результати опера^й в'дшмання та длення на вiдмiнний вiд нуля елемент також е елементами в'дпов'дних арифметик. Тому в нихможна обходитись без в/'д'емних та дробових вираз'ю. Окр'м того, в таких арифметиках зберiгаеться б'льш'сть в'домих алгоритм'¡в розв'язування алгебрачних р'юнянь та ¡х систем. З iншого боку, в арифметиках за складеним модулем усталенi правила можуть порушуватись, що пояснюеться '!снуванням в них д'льник'ю нуля.
Незважаючи на те, що виконання арифметичних опера^й у ск'тченних арифметиках значною мiрою спираеться на теорiю конгруен^й та теорiю клець, як вивчаються у кура алгебри й теорП чисел, досл'дженню модульних арифметик та особливостям виконання в них арифметичних дй присвячено лише окремi публ'тацп.
У дан'ш статт'1 розглядаються особливостi виконання арифметичних опера^й у модульних арифметиках, як конструюються на основi клець клас'ю лишк'ю цлих чисел за заданим модулем. Значну увагу придлено питанням пднесення до степеня та добування кореня, наведено в'дпов'дн'! приклади. Матер'ал статт'1 може бути використаний при вивченнi в'дпов'дних тем з теорп чисел та дискретноi математики, а також розглянутий на заняттях спецкурс'ю та математичних гуртк'ю.
Ключов! слова: кльця клас'ю лишк'ю, скiнченнi арифметики, модульн арифметики, арифметичн операцп.
Постановка проблеми та аналiз актуальних дослщжень. У повсякденному житт досить часто доводиться оперувати р1зномантними величинами та '¡х числовими характеристиками. Арифметичн дм над цтими числами - це перше, з чим стикаються школяр1 молодших клаав на уроках математики. Розглядаючи остач1 в[д дтення цтих чисел на деяке натуральне число т - модуль, та вводячи операцп додавання та множення на утворених множинах, приходимо до так званих модульних арифметик.
Найпроспшим прикладом використання модульних арифметик е годинник: хвилинна стртка завжди показуе остачу в[д дтення величини часу, що минув з моменту його заведення, на 60, а годинна - на 12. Отже, маемо арифметики по модулям 60 та 12 вщповщно.
Зазначимо, що в арифметиках за простим модулем властивост елеменпв щодо вщымання i дтення аналопчы до властивостей дшсних чисел, i тому в них зберкаеться бтьшлсть вщомих алгоритмiв розв'язування рiвнянь та ¡х систем. З шшого боку, в арифметиках за складеним модулем устален правила можуть порушуватися, що пояснюеться кнуванням у них дшьнимв нуля.
У наш час модульн арифметики знаходять найширше застосовування у теорп кодiв та шифрiв: кнуе велика кшьмсть криптографiчних протоколiв, що базуються саме на застосуванн властивостей скшченних р-арифметик. З шшого боку, у науковм та методична лiтературi питання, що стосуються обчислень у модульних арифметиках, висвптюються недостатньо, а ктьккть джерел, що стосуються ^е' теми е досить обмеженою (див. [1-9]). Тому розгляд дано' теми е корисним i цтавим, а матерiал, викладений у статп, може бути використаний при вивченн скшченних ктець у курсах теорп чисел та дискретно' математики, а також розглянутий на заняттях спецкурав та математичних гуртюв.
ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)
Мета статл. Розглянути особливостi виконання арифметичних дiй (зокрема, пiднесення до степеня та добування кореня) у модульних арифметиках.
Виклад основного матерiалу 1. Арифметичш операцм у скшченних арифметиках
Нехай 1 - ктьце цiлих чисел. Розглянемо множину
1т = {0,1,-,т-1},
елементами яко!' е класи лишкiв по модулю шей (клас лишкiв г за модулем т складаеться з цiлих чисел виду г = {г + ш£| £ ег}).
Як вiдомо iз курсу теорп чисел, над класами лишкiв природним чином означаються операцм додавання, вiднiмання та множення [10; 134]. Зокрема, сумою клаав лиш^в а i Ь за модулем т називаеться клас лишкiв а + Ь, який визначаеться остачею в^д дiлення на т суми (а + Ь) предстaвникiв цих клаав.
Вщымання клaсiв лишкiв за модулем т можна визначити як операцю обернену до додавання: р'зницею клаав лиш^в а — Ь назвемо клас лишшв х, що задовольняе умову: Ь + х = а.
Аналопчно, добутком клaсiв лиш^в а i Ь називаеться клас лиш^в а • Ь, який визначаеться остачею вщ дiлення на т добутку чисел а I Ь. Нарешт, дiлення клaсiв лишшв можна ввести як оперaцiю, обернену до множення. При цьому часткою вщ дтення елементiв а е 1т i Ь е 1т називають елемент Ц е 1т, який задовольняе умову: а = Ь • Ц. Результат дтення позначають як Ц = а-Ь або Ч =
Осктьки aрифметичнi дм над класами лишшв зводяться до вщповщних дiй над цiлими числами, а 1 е комутативним кiльцем, то у множин 1т мають мiсце комутативний, aсоцiaтивний та дистрибутивний закони вщносно додавання та множення, тобто 1т також е комутативним кiльцем [10; 137].
Множини клаав лишмв 1т з уведеними на них арифметичними опера^ями (додавання, вiднiмaння та множення) нaдaлi будемо називати модульними арифметиками або т-арифметиками, а елементи вщповщних ктець -елементами т-арифметики [3].
Для виконання арифметичних обчислень у т-арифметиках зручно користуватися таблицями додавання та множення, ям також дозволяють знайти рiзницю та частку елемен^в (див., наприклад, [7]). Окрiм того, результати додавання i множення можна подати у виглядi грaфiв. Грaфiчну iнтерпретaцiю виконання множення у 5- та 6-арифметиках наведено на рисунках 1.1 - 1.7.
Рис. 1.1. Множення на 2 у 5-арифметиЦ
Рис. 1.2 .Множення на 2 у 5-арифметиц
Рис. 1.3. Множення на 2 у 5-арифметиЦ
Рис. 1.4. Множення на 1 у 6-арифметиц
Рис. 1.5. Множення на 2 у 6-арифметиЦ
Рис. 1.6. Множення на 3 у 6-арифметиц
Рис. 1.7. Множення на 4 у 6-арифметиц
Проте, найчаспше виконання арифметичних дш у модульних арифметиках зводиться до виконання вщповщних дш над цтими числами та замшою результату остачею вщ дтення на модуль.
Приклад 1.1. У 5-арифметиц маемо:
2 + 3 = 23+3 = 5 = 0), 2-3 = 2—5 = -3 = —Г+5 = 4,
2^3 = 2+3 = 6 = 1.
Аналопчно, для арифметики за модулем 6:
3 + 3 = 23+33 = 3, 2 -3 = 22-33 = —3 = -1 + 6 = 3, 2^3 = 2+3 = 6 = 0.
Приклад 1.2. Знайдемо частку вщ дтення 2 ■ 3 у 5-арифметицк Для цього додамо до лишка, який визначае дтене, подвоений модуль 3 • 2 (що належить класу 0). Тодi
2 — 12 — 4
3 з '
Легко довести, кожен «др^б» у 5-арифметицi можна подати як «цтий» клас, наприклад:
з = 2 • (3)-1 = 2 •2=4,1=1 • (3)-1 = 2, з = 4 • (3)-1 = 3.
Зазначимо, що 5-арифметика е прикладом модульно!' арифметики, властивостi яко!' притаманн будь-якiй скiнченнiй арифметицi за простим модулем. Як вщомо [10; 137], ктьця Zp (р - просте число) е полями, тому кожен
елемент а такого ктьця дтиться нацто на довiльний елемент b Ф0, а дроби ^ е елементами ктьця Zp . Саме тому р-арифметики за простим модулем р можна побудувати, не використовуючи «дробових» чисел.
У загальному ж випадку др^б ^ завжди можна подати у виглядi «цтого» елемента лише у тiй арифметик, модуль яко!' взаемно простий iз знаменником дробу, причому таке подання едине. Що ж стосуеться арифметик за складеним модулем, то, взагалi кажучи, вони мають iншi властивосп. В них не завжди виконуеться операщя дiлення, бiльш того, якщо а : Ь, то частка q може визначатися неоднозначно.
Приклад 1.3. У 6-арифметиц 3: 2, 3 : 2, 1 : 3, проте, 1: 3, 3: 3 (рис. 1.4 - 1.7). Звернемо також увагу на те, що на 3 дтяться лише класи 0 i 3. При цьому частка вщ дiлення 3 на 3 визначаеться неоднозначно:
3 = Г • 3 = 3^3 = 3^
тобто: q1 = 1, q2 = 3, q3 = 3.
У 6-арифметицi добуток ненульових клаав лишкiв може бути нулем: 2^3 = 0,4^3 = 0, бо кiльце Zb мктить дльники нуля - ненульовi елементи, добуток яких е нулем. Зазначимо, що у числових множинах дтьни^в нуля немае, як !'х немае i у кiльцi Z5. У 6-арифметиц дiльниками нуля е класи: 2,3,4.
Виникае питання: а чи можуть усi ненульовi елементи деяко! скiнченноí арифметики бути дтьниками нуля? Як показуе наступний приклад, вщповщь позитивна, проте будова тако! арифметики дещо вiдрiзняеться вiд будови арифметик, розглянутих вище.
Приклад 1.4. Вiзьмемо множину 3Z, що складаеться з усiх цiлих чисел, кратних 3 i розглянемо и розбиття за модулем 9. Зрозумiло, що утвориться три класи лишкiв:
0 = {9£| tez}, 3 ={3+9tl te Z}, 6 = {6 + 9Ц te Z}. У цьому випадку 3 •3 = 9 = 0, 3 ^6 = 18 = 0, 6 ^6 = 36 = 0. Отже, уа класи лишшв е дiльниками нуля. Бтьш того, у заданiй таким чином арифметик результатом множення довтьних елементiв е нуль.
Схожа ситуа^я спостерiгаеться i в арифметицi, побудованш на основi множини парних чисел 2Z за модулем 8 (табл. 1.1). Уа !!' елементи також е дтьниками нуля, проте множення тут ненульове.
Таблиця 1.1.
Множення у (2Z)B
ol 2 4 coi
о ol 0 0 0
2 coi 4 coi 4
4 0 0 0 0
ol 0 4 0 4
В такого роду арифметиках дещо незвично може виглядати «одиниця». Як i у випадку чисел, одиницею скшченно!' арифметики природно називати такий клас лиш^в, множення на який не змЫюе Ышл елементи. Зазначимо, що у т-арифметиках роль одиниц вщграе клас лиш^в 1.
Приклад 1.5. Розглянемо класи лишшв у множин парних чисел 2Z за модулем 6: 0 = [6tl tez}, 2={2 + 6Ц te Z}, 4 = {4 + 6Ц te Z}. та складемо для них таблицю множення.
Таблиця 1.2.
Множення у (2Z)6
coi 0 4
coi coi coi coi
2 0 4 2
4 0 2 4
Очевидно, клас 4 не змЫюе множникiв у результат множення (табл. 1.2). Отже, bíh е одиницею у данiй арифметицк
2. Шднесення до степеня та добуваня корешв у модульних арифметиках
Перейдемо тепер до дослiдження операцш пiднесення до степеня i добування кореня у т-арифметиках. Зрозумто, що операцiя пiднесення до степеня в m-арифметиц^ як i в звичайнй е окремим випадком множення.
Клас лишюв ап = а • а •...• а' називаеться -м степенем класулишкв а. Вщповщно, коренем n-го степеня з класу
n pa3iB
лишк'!в а називаеться такий клас х, що хп = а (за умови, що вш кнуе).
Користуючись теоремою Ейлера або малою теоремою Ферма [10;139], показник степеня елемента ап можна зменшити по модулю (р(т) або, вiдповiдно, по модулю (р — 1), якщо модуль р - число просте.
Приклад 2.1. Протюструемо пiднесення до степеня у 5- та 6-арифметиках (таблиц 2.1, 2.2).
За малою теоремою Ферма для довтьного цтого числа а маемо а5 = а (mod 5), тому у 5-арифметиц а5 = а. Отже, при тднесены елемента а до n-го степеня досить розглянути лише значення ап, де п <5. При цьому
Таблиця 2.1.
a4k+1 = а, а4к+2 = а2, а4к+3 = а3, а4к = а4.
Шднесення до степеня у 5-арифметиц
а 0 1 2 3 4
а2 0 1 4 4 1
а3 0 1 3 2 4
а4 0 1 1 1 1
а5 0 1 2 3 4
За теоремою Ейлера [10; 138] для а Е Z,(a,m) = 1 маемо а2 = 1 (mod 6). Отже, у 6-арифметиц а2 = 1, якщо (а,т) = 1. О^м того, у цш арифметик виконуеться рiвнiсть: а3 = а (табл. 2.2). Тобто, як i у попередньому прикладi значення степенiв елементiв перiодично повторюються.
Таблиця 2.2.
Шднесення до степеня у 6-арифметиц
а 0 1 2 3 4 5
а2 0 1 4 3 4 1
а3 0 1 2 3 4 5
а* 0 1 4 3 4 1
Приклад 2.2. Доведемо, що у 6-арифметиц (а2 + Ь2) : 3 тодi i тiльки тодi, коли на 3 дтяться а i Ь одночасно.
Нехай (а2 + Ь2) : 3. Як було встановлено вище (табл. 2.2), квадрати елеметчв у 6-арифметицi дорiвнюють: 0,1,3,4. Тому сума (а2 + Ь2) набувае значень 0,1,2,3,4,5. При цьому (а2 + Ь2) : 3 лише коли (а2 + Ь2) дорiвнюe 0 або 3 (див. приклад 1.3). Але у такому випадку або а = Ь = 0, або а = 3, Ь = 0 або а = Ь = 3. У кожному iз цих випадюв а : 3 i Ь :3.
Зазначимо також, що в т-арифметиках збер^аються формули скороченого множення, добре знайомi зi шктьного курсу математики. Якщо при цьому т = р - просте число, то '¡х можна спростити, користуючись малою теоремою Ферма. Зокрема, у 2-арифметиц а2 = а, тому
а2 —Ь2 = (а — Ь) = (а + Ь), (а + Ь)2 = а2 + Ь2 = (а + Ь), (а - Ь)2 = а2 —Ь2 =(а — Ь) = (а + Ь).
Вщповщно, у 3-арифметиц а3 = а, отже,
а3 — Ь3 = а — Ь, а3 + Ь3 = а + Ь (а + Ь)3 = а + Ь, (а — Ь) = а — Ь.
Нарешт, у р-арифметиках значно спрощуеться формула бiнома Ньютона:
(а + Ь)Р = ар + рар-1Ь + Р3 ~ 1)1 ар-2Ь2 +■■■ + рЬр-3а + ~Ьр = ар + ~ЬР = а + Ь
Приклад 2.3. Знайдемо значення суми
5к = а^ + + ... + ак, кеЫ (2.1)
к-х степенiв ус^х елементiв деяко' р-арифметики (р - просте непарне число) [3].
Зазначимо спочатку, що можна вважати, що к <р, осктьки за малою теоремою Ферма ар = а для ус^х а Е 1р.
Нехай к = р — 1. Тодi для усiх елементiв а ^0 маемо ар-1 = 1 . Отже,
бр-1 = а+ а?,-1 + ... + ар-1 =р — 1. Очевидно також, що при к = 1: = (а1 + а2 + ... + ар) = 0 + 1 + ... + р — 1 = 0.
Нехай тепер 0 < к <р — 1. Помножино обидвi частини рiвностi (2.1) на Ьк, де Ь Е 2р,Ь - первкний коршь по модулю р (як вщомо, по простому модулю р таю кореы кнуюють [10; 207]). Одержимо:
bksk = (ЬЩ_)к + (ЬЩ)к + ...+ (ЬЩ)к (2.2)
Осктьки b ф б i b ф 1, то елементи bä~ попарно pi3Hi i разом з а.~ пробiгають множину Zp. Отже, вираз у правiй i рiвностi (2.2) збiгаeться з âk + ак + ... + ар, тобто з sk. Отстаточно маемо: bksk = sk, звщки sk = б. Отже, _ б,якщо к ■ (р — 1) к \р — 1 ,якщо к\(р — 1).
Розглянемо бiльш детально операцiю добування кореня у р-арифметиках. Наведенi у таблицях 2.1 та 2.2 дан можна використати для знаходження значень кореыв п-го степеня з елементiв 5- та 6-арифметик.
Приклад 2.4. Знайдемо значення кореыв Уа у 5-арифметицГ
Обчислимо значення коренiв з елемен^в Z5 для п < 5. Як бачимо (табл. 2.3), квадраты кореш добуваються лише з елеметчв б, 1 та 4. При цьому W4мае два значення: 2 i 3, оскiльки 22 = 32 = 4.
Кубiчнi коренi видобуваються з кожного елемента ще'| арифметики; корiнь четвертого степеня - лише з клаав б, 1, а значення кореыв п'ятого степеня зб^аються з самими елементами: Va = а (це випливае з мало!' теореми Ферма).
Таблиця 2.3.
Добування коренв у 5-арифметищ
а 0 1 2 3 4
Vä б 1,4 — — 2, 3
3vfä б 1 3 2 4
Wà б 1,2,3,4 — — —
Vä б 1 2 3 4
З останньо'|' рiвностi слщуе також, що для елементiв 5-арифметики, з яких добуваються квадратнi, кубiчнi та бiквадратнi корен вiдповiдно, мають мiсце рiвностi:
Va = Va, Va = Va, Va = Va, Va = Va = a. Аналогiчно, у 6-арифметищ, W4вiдповiдають два класи: 2 i 4, W3 = 3, а J2також не кнуе. Проте, i у цш арифметицi добуваються коренi кубiчнi з уах клaсiв лишкiв, причому VÏÏ = а, для довiльного а Е Z6 (табл. 2.4).
Таблиця 2.4.
Добування коренв у 6-арифметиц
а 0 1 2 3 4 5
Vä б 1,5 — 3 2,4 —
3vfä б 1 2 3 4 5
Wà б 15 — 3 2,4 -
Зазначимо також, що у деяких арифметиках квадратний коршь може мати бтьше, ыж два значення. Наприклад, у 8-арифметиц Л мае чотири значення: {1,3,5,7}
Виникае питання: зi сктькох лишюв у m-арифметиц добуваються корен квaдрaтнi i сктьки значень у цьому випадку вщповщае кожному квадратному кореню. Вiдповiдь на це питання вщома, якщо m = р - просте число. Виявляеться, що за цих умов коршь квадратний добуваеться рiвно з половини ненульових клаав (Ух називають квадратичнимилишками по даному модулю), причому кожному такому кореню вщповщае два класи лиш^в [10; 169]. Встановити, чи е число а, яке визначае клас а, квадратичним лишком, можна, скориставшись крт^ем Ейлера
[10, с.169]: цле число а е квадратичним лишком по модулю р modi i тльки modi, коли
р-1
а 2 = 1(mod р).
р-1 _
Тобто, в р-арифметиц мае виконуватися рiвнiсть а 2 = 1. у випадку довтьного m ситуа^я е бiльш складною (див., наприклад, [11; 168]).
Приклад 2.5. Покажемо, що у 5-арифметиц лишок 2 мае властивосп, подiбнi до властивостей V—1 арифметики комплексних чисел.
Справд^ степенi цього лишку утворюються так само, як i степен комплексного числа i:
21 = 2, 22 = 4 = -Л, 23 = -1^2 = -2, 24 = -2 •2 = 1.
Вщ'емне значення кореня тобто -2 = 3, в^грае в 5-арифметиц роль числа, спряженого з уявною
одиницею звичайно'|' арифметики.
Число 5 - не единий модуль, за яким повна система лиш^в (тобто, система чисел узятих по одному з кожного класу лиш^в за даним модулем), мктить елемент з властивостями уявноУ одиницГ Зокрема, у повнiй системi найменших додатних лишкiв за будь-яким модулем (г2 + 1) лишок (г2 -3- 3) розглядаеться як нуль, тому:
г2 + 1 = г.
Отже, лишок г в (г2 + 1) - aрифметицi - аналог уявноУ одиницi. Зокрема, в цш aрифметицi мають мiсце рiвностi:
y4k+1 = у у4к+2 = —1 у4к+3 = = 1
Вщ'емне значення
тобто -г вiдiгрaе у цш aрифметицi роль числа, спряженого з уявною одиницею
звичайно'|' арифметики.
Висновки. Виконання арифметичних дм у модульних арифметиках мае певн особливост у порiвняннi з арифметикою цтих чисел. Зокрема, у арифметиках по простому модулю результат вщымання та дтення ненульових елементiв також е елементом дано! арифметики. У арифметиках за складеним модулем дiлення виконуеться не завжди, а результат множення ненульових елемен^в може бути нулем.
Список використаних джерел
1. Бич О. В. Будуемо новi арифметики. У свт математики. 1998. № 1. С. 11-14.
2. Виленкин Н. Сравнения и классы вычетов. Квант. 1978. № 10. С. 4-8.
3. Геронимус А. Сравнения по простому модулю. Квант. 1978. № 11. С. 6-10.
4. Геронимус А. Диофантовы уравнения по простому модулю. Квант. 1978. № 12. С. 2-6.
5. Егоров А. Сравнения по модулю и арифметика остатков . Квант. 1970. №5. С. 27-33.
6. Егоров А., Котова А. Необыкновенные арифметики. Квант. 1993. № 3-4. С. 37-42.
7. Лукашова Т. Д., Пискун К.В. Скшчены арифметики. У свт математики. 2015. № 1. С. 26-34.
8. Хмара Т. М. Незвичайш арифметики. У свт математики. 1974. № 5. С. 7-14.
9. Попов £. Д. 1нтерпретащя комплексних чисел у сюнченних арифметиках. У свт математики. 1975. № 6. С. 110-121.
10. Окунев Л.Я. Краткий курс теории чисел. М.: Учпедгиз, 1956. 240 с.
11. Требенко Д.Я., Требенко О.О. Алгебра i теорiя чисел. К.: НПУ iменi М.П. Драгоманова, 2006. Ч.1. 400с.
References
1. Bych O.V. We are building new Arithmetic. In the world of Mathematics.1998 №1. p. 11-14.
2. Vilenkin N. Comparison and residues classes. Kvant. 1978. № 10. p.4-8
3. Geronimus A. Comparison of a simple module. Kvant . 1978. № 11. p. 6-10.
4. Geronimus A. Diophantine equations of a simple module, Kvant. 1978. №. 12. p. 2-6.
5. Egorov A. Comparison of modulus and Arithmetic of residues. Kvant. 1970. №5. pp. 27-33
6. Egorov A., Kotova A. Uncommon Arithmetic, Kvant. 1993. № 3-4. pp. 37-42.
7. Lukashova T.D., Piskun K.V. Finite Arithmetic. In the world of Mathematics. 2015. № 1. p. 26-34.
8. Khmara T. M. Uncommon Arithmetic. In the world of Mathematics. 1974. № 5. p. 7-14.
9. Popov E. D. Interpretation of complex numbers in Finite Arithmetic. In the world of Mathematics. 1975. № 6. р. 110-121
10. Okunev L.I. Safety education of Number Theory M.: Uchpedgiz, 1956, 240 p.
11. Trebenko D.I., Trebenko O.O. Algebra and Number Theory. K .: Drahomanov's NPU, 2006, p.1. 400 р.
THE MODULAR ARITHMETICS T.D. Lukashova, K.V. Marchenko
Makarenko Sumy State Pedagogical University Abstract. In many problems of number theory, discrete mathematics and theory of ciphers you have to find the modulo for some positive integer (the modulus) and to perform arithmetic operations on found rest. Considering the totality of the balance and the introducing operations of addition, subtraction, multiplication and division for educated, come to the so-called modular arithmetic. The number of elements in these finite arithmetic, so sometimes called a finite arithmetic.
Despite the fact that the arithmetic operations in the comparison module are entered the same way as they are defined for integers, some peculiarities arise from the multiplication of the elements, the lifting them to a power and extracting the root, and then in the solution of equations and their systems.
In arithmetic to a Prime modulus, the results of the operations of subtraction and division by a nonzero element is also the relevant elements of arithmetic. So they can do without negative and fractional expressions. In addition, the arithmetic remains the most well-known algorithms for solving algebraic equations and their systems. On the other hand, in the arithmetic module according to the established rules can be violated, owing to the existence in them of zero divisors.
Despite the fact that the arithmetic operations in finite arithmetic relies heavily on the theory of congruences and of the theory of rings that are studied in the course algebra and number theory, the study of modular arithmetic and run them in arithmetic is concerned only separate publication.
This article discusses the features of execution of arithmetic operations in the comparison module, which are constructed on the basis of the residue class rings of integers with a given module. Considerable attention is given to issues of exponentiation, and root extraction, the appropriate examples are given. The material can be used for studying relevant topics on number theory and discrete mathematics, and discussed in the classroom courses and math.
Key words: rings of residues classes, modular arithmetic, finite arithmetic, arithmetic operations.
