Суми послідовних чисел Фібоначчі Текст научной статьи по специальности «Математика»

Scientific journal PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION

Has been issued since 2013.

Науковий журнал Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА

Видасться з 2013.

http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/

Скуратовський Р.В., Руденко Д.В. Суми посл'довнихчисел Фiбоначчi. Ф'вико-математична освта. 2018. Випуск 1(15).

С. 305-310.

Skuratovskii R., Rudenko D. The Sum Of Consecutive Fibonacci Numbers. Physical and Mathematical Education. 2018.

Issue 1(15). Р. 305-310.

УДК 378.14

Р.В. Скуратовський, Д.В. Руденко

М'жрег'юнальна Академ'я управлiння персоналом, Киево-Печерськийл'щей №171, Украна [email protected] DOI 10.31110/2413-1571-2018-015-1-059

СУМИ ПОСЛ1ДОВНИХ ЧИСЕЛ Ф1БОНАЧЧ1

Анотац'я. У роботi виведено нов'1 теореми про перiодичнiсть сум Фiбоначчi, зведених за модулем, що рiвний клькостi доданк'в у кожнш сум'1 з елементiв послiдовностi Фiбоначчi.

У статт'1 запропоновано нов'1 властивост'1 лiнiйних рекурсивних посл'довностей, пов'язан'1 з ix сумами.

Зокрема у нашiй статт'1 вивчаються теоретико-числов'1 характеристики чисел Фiбоначчi та пов'язанихз нею посл'довностей. Вперше досл'джено необxiднi i достатн умови перiодичностi сум Фiбоначчi i умови кратност'1 суми будь-яких посл'довних чисел Фiбоначчi числу ii доданк'!в . Наукова робота виникла навколо пошуку розв'язання одн'!&' авторсько'1'задач'1, яку було запропоновано на заключному етап XIX Всеукранського турнiру юних математикв iменi професора М.Й. Ядренка, що проходив у жовтн 2016 року в м'1ст'1 Чернiвцi, псля цього автором було узагальнено умови турнiрноi'задач'1. За допомогою комп'ютернихобчислень було перевiрено в'дпов'дн'!значення, якзадовольняють умову доведеноi нами теореми.

Актуальн'сть вибраноi' теми досл'дження обумовлена численними застосуваннями послiдовностi чисел Фiбоначчi та iх узагальнень у найр'1зноман'1тшших напрямках наукових досл'джень, зокрема, вони широко використовуються у математицi, криптографа, кодуванн iнформацii, фiзицi, флософп, ботанiцi, бюлогп, геологи, кристалографй, медицинi, психологи, астрономп, економiцi, комп'ютерних науках, мистецтв'1 тощо. Досл'джен'! нами послiдовностi мають не лише теоретичне, а й прикладне значення, так досл'джена нами посл'довшсть Люка застосовуеться у кодуванн та криптографа. Кр'м того нами розглянуто нов'1 послiдовностi ск'нченних сум посл'довних елементiв, що взагалi являють собою нову посл'довшсть. Як i класична посл'довшсть Фiббоначчi наш'1 лiнiйнi рекурентн послiдовностi знайдуть застосування в сам/'й математиц/', наприклад, Ю. Мат'ясевич з використанням чисел Ф'боначчi розв'язуе в'дому 10-у проблему Пльберта. 1нша з обраних нами для узагальнення посл'довностей а саме посл'довшсть чисел Люка досл'джуеться i в наш час [10]. Досл'джено законом'1рн'1сть зм'ни пероду послiдовностi введених нами сум посл'довних елементiв в залежност'1 вiд того чи е 5 квадратичним лишком в Z . Наведено строге обфунтування за допомогою теоретико-числового апарату.

В& твердження можуть бути включен в спецкурси з учбового плану, що ор'ентований для пдготовки магiстрiв-педагогiв а такожможуть бути використан як позакласнийматер'ал кер'вниками гуртк'!в.

Ключов! слова: лiнiйна рекурсивна посл'довшсть, посл'довшсть Фiбоначчi i Люка, перодичнсть р'!зниць часткових посл'довшсть сум Фiбоначчi iЛюка, олiмпiаднiзадач'1, матер'ал для гуртково'1 роботи.

Вступ. Задачу пов'язан з числами Фiбоначчi, наводяться у багатьох популярних виданнях, розглядаються на заняттях шктьних математичних гуртюв, пропонуються на рiзних математичних конкурсах та олiмпiадах. KpiM того, кнуе велика кшьмсть наукових товариств, як професшно вивчають властивост чисел Фiбоначчi та '¡х числены застосування у математик, фiзицi, фшософп, ботанщ, бюлогп, геологи, кристалографй', медицину психологи, астрономп, економщ, комп'ютерних науках, мистецв тощо. Там послщовносп мають не лише теоретичне, а й прикладне значення. Зокрема, часто числа Фiбоначчi зус^чаються при вивченн рiзних структур даних i алгорт^в, за '¡х допомогою винайден методи розв'язання ряду юбернетичних задач (теорп пошуку, кор, програмування, тощо), задач теорп прогнозування та теорп кодування. Бшьш детально iз застосуванням послщовносп Фiбоначчi у теорп кодування можна познайомитися у добре вщомих працях Стахова О.П. [8], Лужецького В.А. [3] та монографп Кнута [2]. Числа Фiбоначчi широко використовуються для прогнозiв змши цЫи, курав валют на фшансових ринках, однак недолгом цього методу прогнозування е те, що '¡х застосування можливе в основному по попередньому ринку, а не по майбутньому [5]. Ще, наприклад, Ю. Матасевич з

ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)

використанням чисел Фiбоначчi розв'язуе вщому 10-у проблему Гiльберта. Як бачимо, застосування чисел Фiбоначчi у науц е досить значним i тому встановлення нових властивостей цих чисел, на нашу думку, е безперечно актуальним.

У нашiй статт вивчаються теоретико-числовi характеристики чисел Фiбоначчi та пов'язаних з нею послщовностей. Наукова робота виникла в результат узагальнення умов i пошуку науково обгрунтованого розв'язання одые авторськоУ задачу яку було запропоновано на заключному етапi XIX ВсеукраУнського турнiру юних математикiв iменi професора М.Й. Ядренка, що проходив у жовтнi 2016 року в м. ЧерывцГ Сформулюемо цю задачу: розглянемо посл'довн'сть чисел Фiбоначчi {fn . ЯК можна знайти натуральн числа m > 1 maKi, що сума будь-яких m посл'довних чисел Фiбоначчi i3 nocnidoeHocmi {fn длиться без остач'1 на m ?

За допомогою комп'ютера знайдено та перевiрено вiдповiднi значення m, як задовольняють умову uieï задачi. Встановлено, що m кратне числу 24.

Актуальшсть вибрано'1 теми дослiдження обумовлена численними застосуваннями послщовност чисел Фiбоначчi та 'х узагальнень у найрiзноманiтнiших напрямках наукових дослiджень, зокрема, вони широко використовуються у математицi, фiзицi, фiлософiï, ботанiцi, бiологiï, геологи, кристалографп, медицинi, психологи, астрономи, економiцi, комп'ютерних науках, мистецтвi тощо.

Метою дано' науково-дослщницько''' роботи е вивчення теоретико-числових властивостей послщовност Фiбоначчi та окремих ïï узагальнень, зокрема, подiльностi суми послщовних ïï членiв.

Об'ект дослщження: задача про подiльнiсть суми послщовних чисел Фiбоначчi та окремих ïï узагальнень.

Предмет дослщження: методи дослщження теоретико-числових властивостей послiдовностi Фiбоначчi та окремих ïï узагальнень.

Теоретичш ведомость "Liber аЬаса"("Книга абака"), написана знаменитим п^алмським математиком Леонардо iз ^зи, який вiдомий бiльше по своему прiзвиську Фiбоначчi (тобто син Боначч^, представляе собою об'емну працю, яка мктить майже всi арифметичнi та алгебра1чы вiдомостi того часу i з^рала помiтну роль у розвитку математики в Захщнш бврот впродовж дектькох наступних поколiнь. Зокрема, у цм книзi розглядалася знаменита "задача про кроли^в", яка пов'язана з числовою послщовыстю, яка називаеться послщовшстю Фiбоначчi, i визначаеться такими рекурентними стввщношеннями:

Числова послiдовнiсть fназиваеться рекурентною [4], якщо icHye натуральне число к та дшсы числа a,a,■■■,a такi, що, починаючи з деякого номера П i для вах наступних HOMepiB, виконуеться piBHidb:

При цьому, число k називаеться порядком рекурентно' послiдовностi.

У випадку послщовносп Фiбоначчi, маемо: к = 2, a = a = 1 ■

У науковiй po6oTi ми розглядатимемо деяке узагальнення чисел Фiбоначчi, пов'язане i3 змiною двох початкових значеньf таfi. Зокрема, у випадку, коли f = 2 та f = 1, отримуемо вщому послiдовнiсть Люка (Франсуа Едуард Анатоль Люка (Lucas), 1842-1891 рр.). Бтьш детальнi та ушкальы властивостi цiеí послiдовностi, а також досить цiкавi аналоги з послщовыстю Фiбоначчi i переваги застосування послщовносп Люка в галузi обчислювально' технти, зокрема, в теорп кодування, в криптограф^, для проектування високонадiйних процесорiв тощо, можна знайти у робот [6].

Будь-яке число Фiбоначчi можна визначити не ттьки рекурсивно, а й безпосередньо, як деяку функ^ю свого номера.

Теорема 1 (Бне). Для ecix натуральних чисел П е наступна pieHicmb

Розглянемо у цьому пункт деякi властивостi чисел Фiбоначчi, якi стосуються IX подiльностi [1]. Теорема 2. Число/„ длиться нацло на/,т, тод'1 i тльки тод'1, коли п длиться нацло на т. Насл'док.

1) Число Фiбоначчi е парним тод'1 i тльки тод'1, коли його номер длиться на 3.

2) Число Фiбоначчi длиться на 3 тод'1 i тльки тод'1, коли його номер длиться на 4.

3) Число Фiбоначчi длиться на 4 тод'1 i тльки тод'1, коли його номер длиться на 6.

4) Число Фiбоначчi длиться на 5 тод'1 i тльки тод'1, коли його номер длиться на 5.

5) Число Фiбоначчi длиться на 7 тод'1 i тльки тод'1, коли його номер длиться на 8.

6) Число Фiбоначчi длиться на 16 тод'1 i тльки тод'1, коли його номер длиться на 12. Наведемо ще деяк допомiжнi факти iз [1]. Мають мкце наступн твердження.

Властивсть 1. Для довльного натурального числа т, серед перших т2 - 1 чисел Фiбоначчi знайдеться хоча б одне, яке длиться на т.

/ = 1, /2 = 1, /п! = /n + fn-1, n > 2.

fn¥k ai./n+k-1 + a2fn¥k-2 +... + aJn ■

(1.1)

Теоретико-числовi властивост чисел Фiбоначчi.

Позначимо через Гп остачу вщ дiлення числа fn на m для кожного числа п. Тодi rn = f (modm) для вах чисел п■ Через це послiдовнiсть остач Г}+" позначають у лiтературi ще так: fmodm. Вiдомi наступнi теореми. Властив'кть2. Послiдовнiсть {f modm}+^ епер'юдичною. Властив'кть 3. Су^дн числа Фiбоначчi взаемно npocmi. Властив'кть 4. Правильною ерiвнiсть:

(fm , fn ) f(m,n) '

(тут символом (x,y) позначено найбтьший спiльний дтьник натуральних чисел xтаy)■

Властив'кть 5. Якщо просте числор мае вигляд 5t ± 1 , t £ N, то f дiлиться наp. Якщо просте число p мае вигляд 5t ± 2, то f длиться на р.

Насл'док 2. Якщо р - просте число, яке вiдмiнне вiд 2 та 5, то /р_/р+1 длиться на р.

Доведення сформульованого наслщку випливае безпосередньо iз теореми 9, якщо врахувати при цьому, що ттьки

прост числа 2 та 5 неможливо подати у виглядi 5t ± 1 чи 5t ± 2.

Сума послiдовних чисел фiбоначчi Сума перших послiдовних чисел Фiбоначчi та i деяких iнших послщовностей.

У цьому пунктi розглянемо таку задачу:

m

знайти всi натуральн значення m > 1 таю, що виконуеться подiльнiсть Xf :m , де послiдовнiсть f}+"t визначаеться

к=1

спiввiдношенням /п+1 = f + fn l, n > 2, а значення fi та fi - деякi цЫ числа, якi можуть змiнюватися. Розглянемо приклади обчислень.

1) Нехай fi = 1 та fi = 1, тобто розглядаемо послщовысть Фiбоначчi. У цьому випадку отримуемо таю значення m: 1, 2, 24, 48, 72, 77, 96, 120, 144, 192, 216, 240, 288, 319, 323, 336, 360, 384, 432, 480, 576, 600, 648, 672, 720, 768, 864,

960, 1008, 1080, 1104, 1152, 1200, 1224, 1296, 1320, 1344, 1368, 1440, 1517, 1536, 1680, 1728, 1800, 1920, 1944, 2016, 2064, 2160, 2208, 2304, 2352, 2400, 2448, 2592, 2640, 2688, 2736, 2880, ....

2) Нехай fi = 2 та fi = 1. У цьому випадку отримуемо таю значення m:

1, 3, 24, 48, 72, 96, 120, 144, 192, 216, 240, 288, 336, 360, 384, 406, 432, 480, 576, 600, 648, 672, 720, 768, 864, 936, 960, 1008, 1080, 1104, 1152, 1200, 1224, 1296, 1320, 1344, 1368, 1440, 1536, 1680, 1728, 1800, 1920, 1944, 2016, 2160, 2208, 2304, 2352, 2400, 2448, 2592, 2640, 2688, 2736, 2880, 3000, 3024, 3072, 3120, 3240, 3312, 3360, 3456, 3600, 3672, 3720, 3840, 3888, 3960, 4032, 4104, ..

3) Тепер дослщимо початковi значення, яю задають послщовысть Люка fi = 1 та fi = 2, тодi отримуемо таю значення m:

1, 3, 18, 24, 42, 48, 72, 96, 120, 138, 144, 192, 216, 240, 258, 264, 282, 288, 336, 360, 384, 402, 432, 480, 498, 576, 600, 618, 642, 648, 672, 714, 720, 744, 762, 768, 864, 912, 960, 978, 1002, 1008, 1080, 1104, 1152, 1200, 1224, 1296, 1320, 1338, 1344, 1362, 1368, 1440, 1536, 1578, 1584, 1680, 1698, 1728, 1800, 1842, 1920, 1938, 1944, 2016, 2082, 2160, 2202, 2208, 2280, 2298, 2304, 2352, 2394, 2400, 2448, 2592, 2640, 2658, 2688, 2736, 2778, 2802, 2880, 2922, 3000, 3018, 3024, 3072, 3138, 3240, 3282, 3312, 3360, 3378, 3456, 3480, 3522, 3600, 3642, 3648, 3672, 3720, 3840, 3858, 3882, 3888, 3960, 4032, 4098, 4104, 4224, 4320, 4362, 4368, 4416, 4458, 4464, 4512, 4554, 4608, 4674, 4704, 4722, 4800, 4896, 4920, 4938, 4962, 5040, 5178, 5184, 5280, 5298, 5322, 5376, 5400, 5442, 5472, 5520, 5682, 5688, 5760, 5802, 5832, 5898, 6000, 6042, 6048, 6120, 6144, 6378, 6384, 6480, 6498, 6522, 6600, 6618, 6624, ..

Проаналiзувавши три наведен випадки, помiчаемо, що серед знайдених чисел дуже часто зустрiчаються числа, яю кратн 24. Тому, у зв'язку iз цим можемо висловити здогадку, що, напевно, умову пошуково' задачi "про суму послщовних чисел Фiбоначчi" задовольняють числа m, яю кратн числу 24.

Критерш подтьносп суми послщовних чисел Фiбоначчi на число доданмв. Лема. Нехай f+1,/п+2,...,/м, n>0 - довтьы m послщовних чисел Фiбоначчi. Тодi виконуеться рiвнiсть:

m

X f+к = fn+m+2 -fn+2 ■ (2.1)

k=1

l

Справд^ скориставшись рiвнiстю Xf = f+2 -1, для вах натуральних чисел l, здшснимо наступнi перетворення:

)к '

к=1 к=1

X f.+к = /П+1 + fn+2 + ... + fn+m = (f + f2 + ... + fn+m )-(/1 + f2 + ... + fn )=X f -X f = OCm+2 -1)-(fn+2 - l) = fn+m+2 - fn+ к=1

що й потрiбно було встановити.

Тут було використано те, що XЛ = fn+m+2 -1 ■

к=1

Мае мiсце наступне твердження.

Теорема 3. Сума будь-яких т посл'довних чисел Фiбоначчi кратна т тод'1 i тльки тод'1, коли числа/т та/т+1 - 1 кратнi т.

Доведення. Сформульовану теорему можна коротко переформулювати наступним чином:

X f+к :m, n > 0 » .

к=1

Heo6xidHicmb. Нехай вщомо, що для довтьного значення n > 0 виконуеться подiльнiсть Z f+jt:m . Доведемо,

k=1

що виконуються умови

\fm 'm |/„+1 -1:m-

Покладемо у тотожностi (2.1) значення n = 0 :

m

fk = fm+2 " f2 = fm + fm+1 " 1 ■ (2-2)

k=1

ТуТ викоРистане те, Що fm+2 = fm + fm+1 1 f2 = 1 ■

Тепер покладемо у тотожностi (2.1) значення n = 1:

m

Z fk+1 = fm+3 " f = fm+2 + fm+1 " 2 = fm + 2{fm+1 "1) ■ (2-3)

(2-4)

За умовою лiвi частини рiвностей (2.2) та (2.3) дтяться нацiло на m, тому виконуються подтьностк

\fm + fm+1 -1m

[fm + f "1):m,

а тодi i рiзниця чисел f + fm+1 -1)-f + 2fm+1 -1)) також дiлиться на m, тобто fm+1 -1:m. А тодi i3 (2.4) випливае, що fm :m Достатнiсть. Нехай виконуються умови

\fm :m> \fm+1 "1:m-

Доведемо, що для всiх п > 0 виконуеться подiльнiсть ^/п+к .т . Доведення здшснимо за допомогою методу

4=1

математично! iндукцií за числом п > 0 .

т т

Базашдукци. Нехай п = 0 . ^ ^/п+к = ^/к = -1 = /т + /+1 ~1)'-т , як сума двох чисел, що кратн т.

4=1 4=1

т

Припущення iндукцii. Припустимо, що для вах значень 0 < I < п виконуеться подiльнiсть ^^/¡+4 '.т . Доведемо, що

Z fn+1+k :m ■

Скориставшись, зокрема, спiввiдношенням (2.1), виконаемо наступи перетворення:

Z fn+1+k = fn+1+m+2 fn+1+2 = fn+m+3 fn+3 = Cf+m+2 + fn+m+1 ) Cfn+2 + fn+1 ) = k=1

Cfn+m+2 " fn+2 ) + (fn+m+1 " fn+1 ) = Z fn+k + Z fn-1+k * m ,

k=1 k=1

бо, згiдно iз припущенням iндукцií, кожна iз сум кратна m. Отже, теорему повнiстю доведено.

Дослщжены вище властивостi можуть бути використан для розв'язання наступних авторських задач. Задача № 1. Нехай число Фiбоначчi, представлене у десятков^ системi числення, мае останню цифру рiвну а. Через скiльки елементiв послщовност Фiбоначчi гарантовано трапиться число, в якому остання цифра теж а? Що змЫиться, якщо елементи послщовност представити в трiйковiй системi числення?

Розв'язання можна знайти, знаючи перюдичнють гп = f (modm) за модулем 10.

Задача № 2. Знайти номери елеменпв послщовност Фiбоначчi, в яких, гарантовано, останн 2 цифри чисел Фiбоначчi записаних у десятковш системi числення будуть повторюватися?

Теоретико-числове обфунтування перiодичностi сум Фiбоначчi

Завдяки теоремi 3 i лемi питання про подiльнiсть сум послщовних чисел Фiбоначчi на натуральне число звелося до питання про перюдичнють елеменпв з {f mod , також цей зв'язок можна пояснити за допомогою формули

i

Zf = f+2 -1 . Тому знайшовши перюд появи 0 в послiдовностi {f modm}* зрозумiемо який перiод у послiдовностi

k=1

{f™+2 "f+2 modз якоí виражаеться послiдовна сума чисел Фiбоначчi довжини m.

Нехай P - множина простих чисел, T(m) - це перюд суми послщовних m чисел Фiбоначчi за модулем m, S(m) -значення суми послiдовних m чисел Фiбоначчi зведеноí за modm . Перiод послiдовностi {f„+„+2-f„+2modз яко'| виражаеться послщовна сума чисел Фiбоначчi довжини m спiвпадае з T(m).

Теоретико-числове пояснення подтьност видiлених сум Фiбоначчi на кiлькiсть íх доданкiв m i {f mod m}* грунтуеться на представленнi числа f, n e N за допомогою формули БЫе (1.1). Дослiдимо порядки у ктьц лишкiв за модулем m тобто у Zm. Для цього спочатку розглянемо випадок m e P.

k=1

Якщо е елементом ктьця Zm, тобто icHye r: r2 = 5(mod m), де m e P im Ф 2, m Ф 5, то мультиплтативний порядок елемента f по modp ep - 1 [6]. Маемо

r—\p(p)/ r—\p(p)/ Г~\Р-1 / I—

1W 5 I I 1W 5 I I 1W 5 I I 1W 5

2 I I 2 I I 2 II 2 = ^-^---Тз-0(тоа "Х

тому суми Фiбоначчi повторюються з перюдом Т(р) i саме / дтиться на р тобто е перюдичними з перiодом ф(")= Р~ 1. Наприклад, для т = 11 маемо Т(11) = 10 - це перюд повторення його сум за модулем 11 i звичайно мае мюце подтьысть /п1 = 55 на 11. Тобто у ктьц лишкiв за модулем 11 число 5 е квадратичним лишком, тому перюд

Т(11) = 10, тобто Т(11) = р - 1 = 11 - 1. Тому у випадку I — | = 1 буде мати мкце конгруенщя / _2 = / г = 0(шоар).

IРI " "

Це так, бо згiдно бо мультиплтативний порядок елемента в Zp зпдно малiй теоремi Ферма

/ r—\n<p(m)

'1+ V5

= 1(mod m)

. А звщси cлiдye конгруентнють f . . = 0modm бо для простогоp e P мае мicце взаемна простота

2

'1 ±V5 ^

2

, mod m

= 1

При цьому тд перiодом ми розумiемо не найменше число елементiв тсля якого починаеться повторення, а кожне

таке число. При цьому ф(т) [6] не завжди е найменшим перюдом. Це пов'язано з тим, що теорема Ейлера лише гарантуе

/ ¡—\ф(т'> 1 + V 5

^1(шоа т), але порядок числа з Zm може бути i менше нiж ф(т), тобто перюдичысть пов'язана з

. 1 ±л/5 „

мультипл1кативним порядком чисел - у Zm.

2

У випадку л/5 € 2т i т е Р, перюд Т(т) = р2 - 1 або е дтьником числа р2 - 1. Це так, бо тодi 45 належить квадратичному розширенню 2 г кiльця 2р, яке е полем, а порядок мультиплтативно! групи поля 2*2 рiвнийр2 - 1 [6].

Для прикладу розглянемо модуль р = 7. Число 5 не е квадратичним лишком в Z^, тому Т(7) е дтьником числа 49-1. Справд^ / = 987 = 141-7 також виявилося, що Т(7) = 16, яке е дтьником числа 72 - 1 = 48. Це тдтверджують вище наведен обчислення.

Цi мiркування дозволяють уточнити формулювання Теореми3 i розширити його для послiдовностi {>(т)}^ .

5 1 -----------=

При 1 — 1 = 1 маемо T(p) = p - 1, а при I — I = -1 маемо перюд T(p) = p2 - 1.

IР) IР)

Взаемод^ перiодiв за модулями простих чисел, як е множниками у розкладi складеного числа m, ми розглянемо у наступай роботi.

Висновки. У науково-дослщницьюй роботi вивчаються теоретико-чиcловi характеристики чисел Фiбоначчi та пов'язаних з нею послщовностей. При цьому проведено таю дослщження та отримано наступи результати:

1) Скориставшись перiодичнicтю послщовносп остач f modm}* чисел Фiбоначчi f на натyральнi числа m > 1, у

робот складено таблицю остач перших 30-ти чисел Фiбоначчi на 2 < m < 12 .

2) Доведено вщповщну теорему, яку перевiрено за допомогою комп'ютера, задачу "сума послщовних чисел Фiбоначчi". При цьому знайдено вс значення m, як задовольняють умову дано!' задачi.

3) Вперше доcлiджено необхiднi i достатн умови перiодичноcтi сум Фiбоначчi i умови кратноcтi суми будь-яких m поcлiдовних чисел Фiбоначчi числу м доданкiв m. Знайдено теоретико-числове обГрунтування перiодичноcтi рiзниць часткових сум послщовносп Фiбоначчi за модулем p.

Розглянуто цю задачу, зокрема, i для чисел Люка, помiчено певну схожють властивостей поcлiдовноcей цих сум.

Список використаноТ лiтератури

1. Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи. М.: Наука, 1978. 144 с.

2. Кнут Д. Искусство программирования. Основные алгоритмы. Т. 1 3-е изд. М.: Вильямс, 2006.

3. Лужецький В.А. Високонадмы математичн Фiбоначчi-процеcори. "УН1ВЕРСУМ-ВЫниця". 2000. 248 с.

4. Маркушевич А.И. Возвратные последовательности. Популярные лекции по математике. М.: Наука, 1983. 48 с.

5. Найман Э.Л. Малая энциклопедия трейдера. 9-е изд., перераб. и доп. М.: Альпина Бизнес Букс, 2008.

6. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1, Том 2. М.: Мир,. 1988. 430 с.

7. Сороко Е.М. Структурная гармония систем. Минск: Наука и техника, 1984.

8. Стахов А.П. Металлические пропорции - новые математические константы природы. «Академия Тринитаризма», М., Эл. № 77-6567, публ.14748, 22.03.2008.

9. Spinadel V.W. The metallic means family and forbidden symmetries the metallic means family and forbidden symmetries. «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12603, 18.11.2005.

10. Новосад М.В., Дичка 1.А. Числа Люка. Науковий вкник Чершвецького уыверситету. 2009. Вип. 446. С. 11- 15.

References

1. Vorobev N.N. Chisla Fibonachchi. M.: Nauka, 1978. 144 s.

2. Knut D. Iskusstvo programmirovaniya. Osnovnyie algoritmyi. T. 1. 3-e izd. M.: Vilyams, 2006.

3. Luzhetskiy V.A. Visokonadiyni matematichni Fibonachchi-protsesori. "UNIVERSUM-Vinnitsya". 2000. 248 s.

4. Markushevich A.I. Vozvratnyie posledovatelnosti. Populyarnyie lektsii po matematike. M.: Nauka, 1983. 48 s.

5. Nayman E.L. Malaya entsiklopediya treydera. 9-e izd., pererab. i dop. M.: Alpina Biznes Buks, 2008.

6. Lidl R., Niderrayter G. Konechnyie polya. Tom 1, Tom 2. M.: Mir,. 1988. 430 s.

7. Soroko E.M. Strukturnaya garmoniya sistem. Minsk: Nauka i tehnika, 1984.

8. Stahov A.P. Metallicheskie proportsii novyie matematicheskie konstantyi prirodyi. «Akademiya Trinitarizma», M., El. # 776567, publ.14748, 22.03.2008.

9. Spinadel V.W. The metallic means family and forbidden symmetries the metallic means family and forbidden symmetries. «Akademiya Trinitarizma», M., El # 77-6567, publ.12603, 18.11.2005.

10. Novosad M.V., Dichka I.A. Chisla Lyuka. Naukoviy vIsnik Chernlvetskogo unlversitetu 2009. Vip. 446. S.11-15.

THE SUM OF CONSECUTIVE FIBONACCI NUMBERS R.V. Skuratovskii, D.V. Rudenko

MAUP, lyceum 171, Ukraine

Abstract. New properties of the sums of linear recursive sequences were proposed in this paper. Particularly, theoretical-numerical characteristics of Fibonacci, Luka and associated with them number sequences are being researched.

For the first time necessary and sufficient conditions of periodicity of Fibonacci and Luka sums were investigated. Also the conditions of the divisibility of any sum of the consecutive m Fibonacci numbers by their amount.

Scientific work arose around the solution of one of the author's problem, which was offered at the final stage of XIX Ukrainian tournament which was dedicated to professor M. Y. Yadrenko. This tournament had place during October 2015 year in Chernivcy city.

The problem was generalized by the author of this paper after this tournament.

Using computer calculations, we checked the corresponding values that satisfy the condition of the theorem proved by us.

The relevance of the chosen topic of research is caused by numerous applications of the sequence of Fibonacci numbers and their generalizations in a variety of scientific research areas, in particular, they are widely used in mathematics, cryptography biology, geology, crystallography, medicine, psychology, astronomy, economics, computer science, art, etc.

The sequences studied by us have not only a theoretical but also an applied value, so the Luke sequence we studied in our application is used in coding and cryptography. In addition, we consider new sequences of finite sums of successive elements, which in general represent a new sequence. As well as the classical Fibonacci sequence, our linear recurrence sequences will be used in the mathematics itself, for example, Y. Matyaselevich uses the numbers of Fibonacci to solve the known 10th Hilbert problem. Another of our choices for generalization of sequences, namely the sequence of Luke's numbers, is also being investigated in our time [10]. The regularity of the change in the period of the sequence of the imposed sum of successive elements, depending on the quadraticity remainder of the number 5 in Zp.

The rigorous argumentation is given with the help of the numbers theory theorem.

All statements can be included in the special courses of the curriculum, which is aimed at preparing masters-teachers and also can be used as extracurricular material by club leaders.

All statements can be included in the special courses of the curriculum, which is aimed at preparing masters-teachers and also can be used as extracurricular material by club leaders.

Key words: linear recursive sequence, Fibonacci sequence and Luke, olympiad tasks, material for circle work.