CC BY
92
На рис. 3 а вказано графж функци q(v), л/год., побудований при цих значеннях параметрiв моделi. Оптимальне значення середньо! швидкостi, що розраховувалось за формулою (14), vopt = 66.21 км/год. (рис. 3 б), при цьому витрати палива будуть становити 33.38 л/(100 км), що на маршрут в 111 км дае економiю 8.9 л. Зауважимо, що реально водш рухався iз середньою швид-кiстю 41.84 км/год., отже, запропонована швидюсть руху дасть економда не лише палива, але й часу доставки вантажу. Розрахована швидюсть близька до рекомендованих нормативами. Таким чином, запропонована модель i методика дае цшком адекватш результати, як можуть бути використаш перевiз-никами.
Л1тература
1. Топливная экономичность автомобилей с бензиновыми двигателями/ Т.У. Асмус, К. Боргнакке, С.К. Кларк и др.; Под ред. Д. Хиллиарда, Дж.С. Спрингера. - М.: Машиностроение, 1988. - 504 с.
2. Гащук П.Н. Оптимизация топливно-скоростных свойств автомобиля. - Львов: Вища шк. Изд-во при Львов. ун-те, 1987. - 168 с.
3. Гащук П.Н. Энергетическая эффективность автомобиля. - Львов: Свит, 1992. - 208 с.
4. Гащук П.М. Энергопреобразующие системы автомобиля. - Харьков: РИО ХГАДТИ, 1998. - 277 с.
5. Библюк, Р.В. Зшько, Дадак Р.М., Маковейчук О.М. Залежнють динамiчних влас-тивостей дволанкового автопотяга вщ пружно'1 характеристики зчшного пристрою// Наук. вю-ник НЛТУ Украши: Зб. наук.-техн. праць. - Лыав: НЛТУУ. - 2005, вип. 15.4. - С. 90-95.
6. Библюк, Р.В. Зшько, Дадак Р.М., Маковейчук О.М. Дослщження динамiчних влас-тивостей дволанкового автопотяга при подолант одинично'1 перешкоди типу "сходинка"// Наук. вюник НЛТУ Украши: Зб. наук.-техн. праць. - Львiв: НЛТУУ. - 2006, вип. 16.1. -С.113-119.
7. Худсон Д. Статистика для физиков: Лекции по теории вероятностей и элементарной статистике. - М.: Мир, 1967. - 242 с.
8. [Електрон. ресурс]. - Доступний з: http://www.matlab.com
9. Клюфас С.1., Маковейчук О.М. Новий алгоритм визначення опорних точок прив'яз-ки зображень// Пдротехнолоопя, нав^ащя, управлшня рухом та конструювання авiатехнiки: Матер. 4-1 мiжнар. наук.-техн. конф. - 2003, т. 2. - С. 12-16.
УДК 004.451(86) Ст. наук. ствроб. Я.Г. Братвник, канд. техн. наук -
Львiвський Д1НТУ м. Вячеслава Чорновола; доц. Ю.1. Грицюк, канд. техн. наук - НЛТУ Украти, м. Львiв
ВИКОРИСТАННЯ ЧИСЕЛ Ф1БОНАЧЧ1 ДЛЯ КОДУВАННЯ ЧИСЛОВО1 ШФОРМАЦП
Розглянуто методику матричного шифрування/дешифрування числово'1 шфор-мацп з використанням послщовносп чисел Фiбоначчi (числа "ФГ'), у якiй використа-но класичний математичний апарат - теор^ матриць. Запропоновано методику ви-явлення i виправлення помилок у зашифрованiй матрицi, якi виникають у каналах зв'язку. У цш методицi вщповщними об'ектами коректування е натуральнi десятковi числа рiзноi величини, що мае принципове значення для розвитку теорп кодування шформацп.
Senior research worker Ya.G. Brativnyk - L'viv state institute of the newest technologies and management after Vyacheslava Chornovola; assoc. prof. Yu.I. Grytcyuk-NUFWTof Ukraine, L'viv
The use of numbers Fibonacci for the code of numerical information
The method of the matrix enciphering/decoding of numerical information is considered with the use of sequence of numbers Fibonacci (numbers of "Fi"), a classic mathematical vehicle - theory of matrices is utilized in which. In the offered method of exposure and correction of errors in an in cipher matrix the proper objects of adjustment are natural decimal numbers, that has an of principle value for development of theory of code of information.
Актуальшсть питання
Кодування шформаци - одна з найпоширешших проблем в сучаснш шформатищ. Шд кодуванням розумдать операщю ототожнення символiв або 1'х груп одного коду з вщповщними символами чи 1'х групами шшого коду. Необхщнють кодування шформаци виникае тод^ коли TOTpi6^ узгодити форму повщомлення з деяким каналом зв'язку або яким-небудь пристроем, призначеним для 11 перетворення або збер^ання. Теорiя кодування мае трива-лу юторда свого розвитку та становлення [2, 4]. Розвиток сучасно!' теори кодування повсякчас стимулюеться прогресом систем зв'язку. TeopÍH шформаци Шеннона, яка базуеться на понятл ентропи, е математичною основою ефективних Kodie. На сьогодш широко використовуються для стиснення íh-формаци коди Шеннона i Хаффмена. Потреба захистити шформацш i канали зв'язку вщ так званих шумiв сприяли розвитку теори HadMipHUX Kodie, зокре-ма кодiв Хеммшга чи цикшчних кодiв.
Таким чином, сучасна теорiя кодування шформаци - це сукупшсть, принаймш, чотирьох рiзних напрямiв [4]: тeoрiя систем числення; тeoрiя криптографа; тeoрiя ефективних Kodie; тeoрiя надлишкових Kodie. Теорш кодування часто називають теорiею шифрування шформаци.
Для вирiшення завдань процесу кодування широко використовують рiзнi математичнi апарати. Наприклад, в сучаснш криптограф^' основним ма-тематичним апаратом е теорiя чисел [1], у тому чи^ чисел Фiбоначчi зокре-ма. Проте останнiми роками для кодування числово! шформаци почали широко використовувати теорда матриць [3], елементами яких е бшарш числа. Отже, основна мета ще! роботи полягае у розробленнi матричного методу кодування та вщновлення числово!' шформаци з використанням чисел Фiбоначчi.
Використання теорй' матриць в криптограф^'
Пiд матрицею А розумiють прямокутну таблицю чисел розмiром m*n. Квадратна матриця, розмiром n*n, називаеться матрицею n-го порядку. Кож-нiй квадратнш матрицi вiдповiдае число, яке називаеться визначником матриц, наприклад:
Det
Г а11 а12Л
— 0111^22 — а12а22 .
V а21 а22 )
Основна властивiсть визначникiв задаеться такою теоремою. Теорема 1. Для будь-яких двох квадратних матриць А i B маемо:
Det (AB) = (Det A) х (Det B).
З ще1 теореми витжае, що Det (An) = (Det A)n.
Загальна iдея матрично'' криптографа грунтуеться на 3acTOcyBaHHÍ уза-гальнених Qp-матрицъ для шифрування i дешифрування числово'' шформа-цп, подано!' у виглядi квадратно!' матрицi M - так званого початкового повь домлення. Шифрувальним ключем тут використовуеться пара чисел p i n. Ос-кiльки p = 0, 1, 2, 3... i n = 1, 2, 3..., то розглянутий нижче метод теоретично мае необмежену кшьюсть шифрувальних ключiв. Загалом метод матричного шифрування числово'' шформаци мае такий вигляд:
T =M х Qnp, (1)
а дешифрування - такий
M = T х Q-n . (2)
Для усвщомлення мехашзму реалiзацil матрично'' криптограф^' вира-зом (1) розглянемо конкретний приклад. Нехай початкова матриця заповнена будь-якими натуральними числами:
r m1 m2 m3 m4 л
M=
m5 m9 v m13
m6
m10
m14
m7 mn
m15
mg m12
m16 y
(3)
а кодувальна Q^^-матриця мае булевi значення елементiв, тобто:
Q1
110 0 0 0 10 0 0 0 1 v 1 0 0 0y
(4)
Механiзм отримання зашифровано'' (таемно') матрицi полягае у вико-нанш тако'' матрично'' ди:
' m2 m3 m4 m6 m7 mg m10 mn m12 m14 m15 m16
T = M х Q
m1 m5 m9 v m13
л r1 1 0 0Л 0 0 10
х
/
0 0 0 1 10 0 0
(5)
Шсля виконання матричного множення MxQ1 зашифрована матриця T набуде такого вигляду:
T
m1 + m4 m5 + mg m9 + m12
v m13 + m16
m1 m5 m9 m13
m2 m6 m10
m14
m3Л
m7 mn
m15 y
t1 t5 t9
t13
t2 t6
t10 t14
t3
ti t11 t15
t4
tg t12 t16
(6)
Розглянемо тепер механiзм дешифрування таемного повщомлення (6), який полягае у множенш за-шифровано'' матрицi T на обернену до Q1-Mampu-
цю, тобто на так звану розкодувальну Q11-матрицю. Отже, мехашзм отри-мання початково! матрицi (3) можна подати таким добутком матриць:
Т х Q1-1
ш1 + ш4 ш5 + ш8 ш9 + ш12
V Ш13 + Ш16
Ш1
ш5 ш9
Ш13
Ш1
ш5
Ш9 V Ш13
Ш2 Ш6 Ш10 Ш14
л
Ш3л ( 0 0 0 1 ^
ш7 1 0 0 -1
х
Ш11 0 1 0 0
Ш15 , V 0 0 1 0 ,
' Ш1 Ш2 Ш3 ш4 ^
ш5 Ш6 ш7 Ш8
ш9 Ш10 Ш11 Ш12
V Ш13 Ш14 Ш15 Ш16)
■ М'
ш2 ш3 ш1 + ш4 - Ш1 ш6 ш7 ш5 + ш8 - ш5 ш10 ш11 ш9 + ш12 - ш9
Ш14 Ш15 Ш13 + Ш16 - Ш13 у
Використаемо тепер матричний вираз (1) для обчислення вщповщних визначникiв матриць в лiвiй i правiй його частинах. Тод^ згiдно з теоремою 1, отримаемо:
БаТ = БаМ х DetQnp. (7)
Але, зпдно з [2], визначниковi притаманна така властивють:
DetQnp = (-1)рр . (8)
Якщо пiдставити вираз (8) в (7), то мехашзм матричного шифрування числово! шформаци набуде тако! властивостi криптографи:
DetT = DetM х (-1)рр. (9)
Тотожшсть (9) мае теоретичне i практичне значення. Стосовно теоретичного значення, то вона вщшрае роль головно! контрольно! властивостi криптографи. Це означае, що ми можемо не тшьки шифрувати початкове по-вiдомлення М i робити його недоступним для несанкщонованого доступу (наприклад, мхакерiвм), але й захищати таемне повщомлення Т вiд випадко-вих збо!'в (мшумiвм) у каналах зв'язку. Отож, використовуючи метод матричного шифрування/дешифрування, ми можемо проектувати надшш крипто-системи, якi дадуть змогу захистити шформащю вiд мхакерiвм i мшумiвм од-ночасно. Практичне значення матричного методу полягае у можливост зас-тосування наявних технiчних i програмних засобiв, якi на сьогодш широко використовуються в iнформацiйнiй практищ. Теоретичну та програмну реаль защя такого криптографiчного методу подано нижче.
Особливост матричного кодування шформаци числами "Ф1"
Розглянемо механiз реалiзацil матрично! криптографи, яка також грун-туеться на застосуванш узагальнених Ор -матриць, проте !х елементами е спецiально пiдiбранi числа Фiбоначi (далi - числа "ФГ). Як i рашше, початкове повiдомлення М подамо у виглядi матрицi 3-го порядку:
/Ш1 ш2 Ш3Л
М
ш4
V Ш7
ш5 Ш8
Ш6 Ш9 ,
(10)
позаяк початкове повщомлення1 е послiдовнiстю таких десяткових цифр:
1008 4864 537 3647 3566 4636 725 611 283. (11)
Тепер це повщомлення подамо у виглядi тако! матрищ:
/1008 4864 537 л
M
3647 725
3566 611
4636 283
(12)
Припустимо, що для матричного шифрування числами "ФГ викорис-тано такi значення елеменлв Qp-матрицi:
^55 8 34л
034 =
8
34
2 5
5 21
(13)
а для матричного дешифрування Q34-матриця, обернена до (13), матиме та-кий вигляд:
-17 -2 28
1
3
28 3 -46
Тодi механiзм матричного шифрування повщомлення (11) полягае у множенш початково! матрицi (10) на кодувальну матрицю (13), внаслiдок чо-го отримаемо таке зашифроване повщомлення:
/ ,„_ ,„_ ,„_ л
M X 034 =
m1 m4 v my
m2 m5 m8
m3
m6
m9 j v
f 55 8 341
X 8 2 5
. 34 5 21,
8m1 + 2m2 + 5m3 34m1 + 5m2 + 21m3 л f ft t2 t3 ^
8m4 + 2m5 + 5m6 34m4 + 5m5 + 21m6 = t4 t5 t6 = T.
8m7 + 2m8 + 5m9 34m7 + 5m8 + 21m9 v t7 t8 t9 ,
(14)
55т1 + 8т2 + 34т3 55т4 + 8т5 + 34т6 ^55т7 + 8т8 + 34т9
Застосуемо алгоритм обчислення матричного виразу (14) для шифрування початково! матрищ (12):
/1008 4864 537 ^ (55 8 34^ (112610 20477 69869л
M X 034
3647 725
3566 611
4636 283
f 55 8 341
X 8 2 5 =
. 34 5 21,
386737 54385
59488 8437
239184 33648
T. (15)
Зрозумшо, що тсля цього таке зашифроване повщомлення T можна передавати звичайними комушкацшними каналами зв'язку, наприклад, засо-бами Internet, не боячись за те, що хтось його зможе вщразу ж розшифрувати.
Мехашзм дешифрування таемного повщомлення (14) виконуеться у зворотному порядку. Зокрема, розшифроване повiдомлення M' представимо у такш матричнiй формi:
1 код поввдомлення радиста на планшет: 1008 - екстрене повщомлення; 4864 - тип легального апарату; 537 -приналежшсть крш'нц 3647 3566 4636 - в1дпов1дно широта, довгота 1 азимут; 725 611 283 - в1дпов1дно висота, швидшсть, команда до виконання.
*2 *3 ^
т х О34 = х
V *7 *8 ,
-17 -2 28
1
3
28 3
-Щ - 22 + 28/3 -17/4 - 2/5 + 28/6 -17*7 - 28 + 28/9
-2/1 +12 + 3/3 -24 +1/5 + 3/6 -2/7 +18 + 3/9
28*1 + 3*2 - 46/3л 28*4 + 3/5 - 46/6 28/7 + 3*8 - 46/9
46 )
т2
= т'4 т5
V т7 т8
т3л т6 т9 у
(16)
--М
Застосуемо алгоритм обчислення матричного виразу (16) для дешиф-рування таемного повщомлення (15), внаслiдок чого отримаемо:
т х е-1 =
^112610 386737
V
54385
20477 59488 8437
69869 л 239184 33648
х
^-17 -2
1008 3647
V
725
4864 3566 611
537 4636 283
/ V
л
28
-2 1 3
28 3 -46
(17)
= М'
Як бачимо, отримаш значення елемеипв матрицi М' повшстю збша-ються з елементами початково! матрицi М, представлено! в (12).
Зрозумшо, що для матричного шифрування та дешифрування можна використати зовЫм iншi значення елементiв 0Р-матрищ, наприклад:
/233 21 144^ (98 3 -159л
21 2 13 , 0-1 = 3 1 -5
0,144
144 13 89
159 -5 258
У цьому випадку результат шифрування матрищ (12) буде зовЫм вщ-рiзнятися вiд матрицi (15), проте отриманий на виходi результат !! дешифрування буде аналогiчним до матрищ (17).
Таким чином, нами показана можливють шифрування та однозначного дешифрування числово! шформаци з використанням матричних дiй, вико-ристовуючи 0Р-матрицю, значеннями елементiв яко! е числа Фiбоначi. Проте допитливий читач може поставити резонне запитання: у чому ж особливють матричного шифрування з використанням чисел "ФГ'7 Вщповщь на це запитання подана у наступному шдроздш.
Виявлення помилок у зашифрованому повщомленш
Одне iз завдань теорi! кодування iнформацi! е виявлення та виправ-лення помилок, як можуть виникати у зашифрованому повщомленш тд впливом випадкових перешкод у комушкацшних каналах зв'язку.
Покажемо методику виявлення помилок у зашифрованому повщомленш, використовуючи матричне кодування числово! шформаци. Головна його щея полягае у використанш властивостi визначника початково! матрицi М як контрольного критерш для переданого зашифровано повщомлення Т. Згiдно з теорiею матриць, визначник кодувально! О-матриц можна задати таким виразом:
Бег О = (-1)п. (18)
Продемонструемо щею виправлення помилок на прикладi початково-го повiдомлення М, заданого матрицею (10). Як зазначалося вище, визначник ще! матрицi можна обчислити за такою формулою:
БегМ = (т1т5т9 + т4т8т3 + т2т6т7) - (т7т5т3 + т4т2т9 + т8т6т1). (19)
Застосуемо тепер теорему 1 для зашифрованого повiдомлення Т = Мх&п, представивши його у матричнш формi:
Бег Т=Бег [М х оп] = Бег М х Бег оп. (20)
Тепер, використовуючи вираз (18), можна записати вираз (20) у такому виглядг
Бег Т = Бег М х (-1)п. (21)
Формула (21) показуе, що визначник початково! матрицi (Бег М) i визначник зашифровано! матрицi (Бег Т) пов,язанi мiж собою простим сшввщно-шенням, тобто визначник переданого повщомлення Т дорiвнюе визначнику початкового повщомлення М за абсолютною величиною. Знак визначника зашифрованого повщомлення Тзалежить вiд числа п, тобто:
[-БегМ, якщо п - парне;
ШТ Чп,^ (22)
\БеХМ, якщо п - непарне.
Математичнi тотожностi (20), (21), (22) е основою методу виявлення помилок, як трапляються у каналах зв'язку пiд час передачi зашифрованого повiдомлення. 1дея методу полягае в такому. Вщправник обчислюе визначник початкового повщомлення М, представленого матрицею (10), i посилае його каналом зв'язку разом з зашифрованим повщомленням Т. Адресат обчислюе визначник отримано! матрищ Т i порiвнюе його з визначником початково! матрищ М. Якщо таке порiвняння вiдповiдае умовi (22), то зашифрова-не повiдомлення Т е коректним i адресат може дешифрувати його.
Апробуемо запропоновану методику виявлення помилок на розгляну-тому вище прикладь Формула для обчислення значення визначника початкового повщомлення М показана в (19). Тод^ зпдно з виразом (22), визначник зашифровано! матрищ Т повинен дорiвнювати
БегТ = -БегМ = -(т1т5т9 + т4т8т3 + т2т6т7) + (т7т5т3 + т4т2т9 + т8т6т1).
Спробуемо довести це твердження спочатку теоретично. Дшсно, тсля обчислення визначника матрицi вiд Мх&34, а також виконання нескладних математичних перетворень, отримаемо:
БегТ = Бег (М х О34) = -БегМ. (23)
/гг,„ . о™ , о Л о™ , , С™ о л , с™ , 11™ Л
Бег (М х О34 ) = Бег
55т1 + 8т2 + 34т3 8т1 + 2т2 + 5т3 34т1 + 5т2 + 21т3 55т4 + 8т5 + 34т6 8т4 + 2т5 + 5т6 34т4 + 5т5 + 21т6 55т7 + 8т8 + 34т9 8т7 + 2т8 + 5т9 34т7 + 5т8 + 21т9 де = (55т1 + 8т2 + 34т3) (8т4 + 2т5 + 5т6) (34т7 + 5т8 + 21т9) +
+ (55т4 + 8т5 + 34т6 )(8т7 + 2т8 + 5т9 )(34т1 + 5т2 + 21т3) +
+(8т1 + 2т2 + 5т3 )(34т4 + 5т5 + 21т6 )(55т7 + 8т8 + 34т9 )--(55т7 + 8т8 + 34т9 )(8т4 + 2т5 + 5т6 )(34т1 + 5т2 + 21т3 )--(55т4 + 8т5 + 34т6 )(8т1 + 2т2 + 5т3 )(34т7 + 5т8 + 21т9 )--(8т7 + 2т8 + 5т9 )(34т4 + 5т5 + 21т6 )(55т1 + 8т2 + 34т3) = = т1т5т9 + т4т8т3 + т2т6т7 - т7т5т3 - т4т2т9 - т8т6т1.
Це означае, що зашифроване повiдомлення Т е коректним, тобто його можна однозначно дешифрувати.
Тепер розглянемо числовий приклад, який тдтвердить наше теоре-тичне припущення. Оскшьки початкова матриця М мае вигляд (12), то зна-чення !! визначника дорiвнюе
Бег М = 92989519071, (24)
а значення визначника зашифровано! матрищ Т становить:
Бег Т = -92989519071. (25)
Порiвнявши результати (24) i (25), бачимо, що Бег Т = - Бег М, тобто вони вщповщають контрольному сшввщношенню (22).
Розглянемо випадок, коли зашифрована матриця (15) виявилася час-тково "зруйнованою" внаслщок передачi каналом зв'язку. Нехай "руйнуван-ня" цiе! матрицi вiдбулося з одним з !! елементiв, значення якого вiдрiз-няеться вiд початкового значення. Наприклад, перший елемент зi значенням 112610 набув значення 212076, тобто, матриця Т матиме такий вигляд:
'212076 20477 69869 л
386737 59488 239184
54385 8437 33648
Т'
V
(26)
Визначник ще! матрицi дорiвнюватиме:
Бег Т = - 1634889658815, (27)
що значно вiдрiзняеться вiд Бег Т.
Порiвнюючи (27) i (24), можемо побачити, що значення визначниюв матриць не вщповщають фундаментальнiй умовi (23) ^ отже, матриця (26) е некоректною.
Проте, механiзм виявлення помилок е тшьки першим кроком у проце-сi роботи над дешифруванням таемного повщомлення. Завдання полягае в тому, щоб навчитися !х виправляти.
Виправлення помилок у зашифрованому пов1домленн1
Покажемо тепер можливiсть вщновлення отриманого "зруйнованого" повiдомлення Т, використовуючи властивостi 0Р-матрищ, елементами яко! е числа Фiбоначчi. Продовжимо розгляд зазначеного вище прикладу, коли по-чаткове повщомлення подано у виглядi матрищ (10), а формулу для обчислен-ня !! визначника показано у виразi (19).
Оскiльки кодувальна Озгматриця мае вигляд (13), то зашифрована матриця Т набуде вигляду (14). Сутшсть мехашзму вщновлення "зруйнова-них" елементiв матрицi Т полягае в такому. Паралельно з обчисленням зна-
чень елеменпв матрицi Т також обчислюемо визначник початково! матрицi М згiдно з (19). Зашифроване повщомлення разом зi значенням визначника (т', т2, т3, т4, БегМ) посилаемо каналом зв'язку адресату.
Припустимо, що приймач каналу зв'язку адресата мае спещальш засо-би для виявлення помилок (що малоймовiрно) у кожному з елеменпв зашиф-рованого повщомлення Т. Нехай помилку виявлено в першому елемент матриц Т. Тодi адресат "зруйноване" повщомлення отримае у такому виглядi:
'х г2 ^
Т ' =
(28)
г4 г5 г6 Ь г8 г9 у
де х - "зруйнований" елемент зашифрованого повiдомлення Т, а решта еле-ментiв матрицi е коректними i дорiвнюють таким значенням:
х 8т1 + 2т2 + 5т3 34т1 + 5т2 + 21т3 л
55т4 + 8т5 + 34т6 8т4 + 2т5 + 5т6 34т4 + 5т5 + 21т6
Т' =
55т7 + 8т8 + 3 4т9 8т7 + 2т8 + 5т9 34т7 + 5т8 + 21т9
(29)
Тодi, згiдно з властивiстю матричного шифрування, у випадку засто-сування кодувально! О34-матрищ, значення визначника початково! матрищ М мае дорiвнювати визначнику (19) з протилежним знаком. Тобто, можемо записати таке рiвняння для вщновлення "зруйнованого" елемента х = г1: Бег Т' = -Бег М ^ хг5г9 + г4г8г3 + г2г6г7 - г7г5г3 - г4г2г9 - г8г6 х =
(30)
= т1т5т9 + т4т8т3 + т2т6т7 - т7т5т3 - т4т2т9 - т8т6т1.
Пiдставляючи у вираз (30) замють г2, г3, ..., г9 вiдповiднi значення з ви-разу (29), отримаемо
х (8т4 + 2т5 + 5т6) (34т7 + 5т8 + 21т9) +
+ (55т4 + 8т5 + 34т6 )(8т7 + 2т8 + 5т9 )(34т1 + 5т2 + 21т3) +
+ (8т1 + 2т2 + 5т3 )(34т4 + 5т5 + 21т6 )(55т7 + 8т8 + 34т9 )-
-(55т7 + 8т8 + 34т9 )(8т4 + 2т5 + 5т6 )(34т1 + 5т2 + 21т3 )-
-(55т4 + 8т5 + 34т6 )(8т1 + 2т2 + 5т3 )(34т7 + 5т8 + 21т9 )-
-(8т7 + 2т8 + 5т9 )(34т4 + 5т5 + 21т6 )х = = т1т5т9 + т4т8т3 + т2т6т7 - т7т5т3 - т4т2т9 - т8т6т1.
Пiсля виконання нескладних математичних перетворень над цим рiв-нянням, отримаемо такий його розв'язок:
х = 55т1 + 8т2 + 34т3. (31)
Покажемо реалiзацiю цього механiзму на конкретному прикладь Для матрицi (28) "зруйнований" елемент х = г1 визначаемо з тако! рiвностi:
хг5г9 + г4г8г3 + г2г6г7 - г7г5г3 - г4г2г9 - г8г6х = -БегМ,
-БегМ - г4г8г3 - г2г6г7 + г7г5г3 + г4г2г9 звiдки х =-.
^9 - ^8^6
Пiдставивши у цей вираз числовi значення елеменлв з матрицi (26), з'ясуемо, що х = 112610, тобто "зруйнований" елемент зашифровано! матрищ
Т вiдновлено. Порiвнюючи це вiдновлене значення з елементом зашифровано! матрищ Т, яке задано виразом (14), можемо побачити, що х = г1. Таким чином, ми вiдновили зашифроване повщомлення Т, використовуючи власти-вост визначникiв вiдповiдних матриць. За такою ж самою методикою можна вщновити будь-яю iншi елементи матрицi Т.
Але в реальних ситуацiях адресат, зазвичай, не знае, яю елементи за-шифрованого повiдомлення "зруйнованi". О^м того, таких "зруйнованих" елементiв може бути не один, а деюлька, тодi що робити у цих випадках. Роз-глянутi нижче мiркування дають нам деякi вiдповiдi на щ запитання.
У розглянутому вище числовому прикладi початкова матриця М, ко-дувальна 034-матриця i зашифрована матриця Т представлен вiдповiдно ви-разами (12), (13) i (15), а сшввщношення для визначникiв представлено виразом (22). Припустимо, що шсля порiвняння визначникiв Бег Т i Бег М ми з'ясували, що !хнi значення не вщповщають спiввiдношенню (22), а це е озна-кою появи помилок у зашифрованы матрицi (15). Однак ми не маемо шфор-мацi! щодо конкретного "зруйнованого" елемента матрицi Т. У цьому випад-ку виникае дев'ять рiзних гiпотез щодо можливого "зруйнованого" елемента цiе! матрищ. Для виявлення одного з них необхщно щ гiпотези перевiрити за розглянутою вище методикою виправлення помилок. Проте тут е ще одна умова, яка стосуеться елемеипв зашифровано! матрищ Т: вы и елементи мають бути цтими числами. Ось чому шд час перевiрки дев'ятьох гiпотез до уваги необхiдно брати як достовiрнi тiльки тi результати, яю приводять нас до отримання цших чисел. Нарештi, якщо нашi тести не отримали цiлих чисел т в однiй з перевiрок, то це означае, що можлива помилка виникла в двох, трьох i бiльше елементах зашифровано! матрищ Т, а вже таю помилки скоректувати практично неможливо.
Висновки
Розглянуто методику матричного шифрування/дешифрування число-во! шформаци з використанням послщовност чисел Фiбоначчi (числа "Фi"), у яюй використано класичний математичний апарат - теорда матриць. У зап-ропонованш методицi виявлення i виправлення помилок у зашифрованы матрицi вiдповiдними об'ектами коректування е не окремi бгги або !х комбь нацi! у двшкових кодах, як це прийнято в класичнш теорi! кодування, а нату-ральнi десятковi числа, що значно спрощуе роботу з ними. Таким чином, роз-глянутий вище метод матричного кодування мае принципове значення для розвитку теори кодування шформаци.
Лггература
1. Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи. - М.: Наука, 1978. - 141 с.
2. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. 5-е изд., испр.и доп. - СПб.: Наука, 2006. - 423 с.
3. Маркушевич А.И. Возвратные последовательности. - Л.: Гос. изд. техн. лит-ры, 1950. - 52 с.
4. Школьський Ю.В., Пас1чник В.В., Щербина Ю.М. Дискретна математика: Пщруч-ник. - Льв1в: Магнол1я Плюс, 2006. - 608 с.
