КЛАСИФІКАЦІЯ ДВОЕЛЕМЕНТНИХ ДОПЕЛЬНАПІВГРУП Текст научной статьи по специальности «Математика»

Scientific journal ISSN 2413-158X (online)

PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION ISSN 2413 1571 (Print)

Has been issued since 2013.

Науковий журнал

Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА

Видаеться з 2013.

http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/

Жучок Ю.В. Клacифiкaцiя двоелементних допельнаЫвгруп. Ф'зико-математична oceima. 2020. Випуск 3(25). Частина 2. С. 38-42.

Zhuchok Yu.V. A classification of two-element doppelsemigroups. Physical and Mathematical Education. 2020. Issue 3(25). Part 2. Р. 38-42.

DOI 10.31110/2413-1571-2020-025-3-023 УДК 378, 512.53

Юрш В. Жучок

ДЗ «Луганський на^ональний унверситет iMeHi Тараса Шевченка», Украна

zhuchok.yu@gmail.com ORCID: 0000-0002-8794-9205

КЛАСИФ1КАЦ1Я ДВОЕЛЕМЕНТНИХ ДОПЕЛЬНАШВГРУП

АНОТАЦЯ

Формулювання проблеми. Задача класифiкацu математичних структур (об'ект'ю) за деякою властивстю або ознакою е однею з класичних проблем у математиц¡. Класифiкацiю структур здйснюють зазвичай з урахуванням деяких спец'юльних властивостей заданих структур. Вказати в точностi клас з певною ознакою, до якого в'дноситься доЫджуваний об'ект, i означае - класифiкувати даний об'ект. 1дея, що покладена в основу задач'! класифiкацu, якнайкраще розкриваеться на прикладi конкретних математичних об'ектiв, у даному випадку алгебра)чних систем з двома операц'ями - так званих допельнапвгруп, якi е природшм узагальненням в'домого поняття напiвгрупи.

Методи. Для проведення даного досл'дження було застосовано в комплекс наступнi методи: аналiз науково)' лтератури, систематиза^я та узагальнення рiзних погляд'в при вивченн напiвгруп та допельнапвгруп, а також загально алгебра'мш методи :з використанням основних метод'в теорп напiвгруп.

Результати. Напiвгрупою називаеться непорожня множина !з заданою на нй бiнарною асоцативною опера^ею. П'д допельнапвгрупою, яка розширюе поняття напiвгрупи, розумють непорожню множину О з двома бiнарними асо^ативними операц'ями < та >, для яких виконуються так дв! умови: О) (х < у) > г = х < (у > г), О) (х> у) < г = х> (у < г) для всх х,у,г £ й. Найпростiшими нетрив'юльними об'ектами дослдження у клав! допельнапвгруп е структури, що складаються з двох елемент'в, тому увагу акцентовано на задач'! класифiкацi')' саме двоелементних допельнапвгруп. У якостi властивост, за якою здйснюеться класифiкацiя допельнапвгруп, обрано абстрактну властивсть '¡зоморфност'!. Показано, що снуе всього ам попарно неiзоморфних двоелементних допельнапвгруп.

Висновки. Розкрито сутнсть задач': класифiкацi')' на прикладi двоелементних допельнапвгруп. В'дкритими в цьому напрямi досл'джень залишаються задач'! класифiкацi')'допельнапвгруп вищих порядшв з точнстю до '!зоморф '!зму.

КЛЮЧОВ1 СЛОВА: класифiкацiя, напiвгрупа, iзоморфiзм, допельнапiвгрупа, двоелементна допельнапiвгрупа.

ВСТУП

Постановка проблеми. Задача класифтацп структур (математичних об'ек^в) за деякою властивктю або ознакою е одыею з класичних проблем у математицГ Ця задача полягае у наступному: розглядаеться множина об'ек^в, подтених певним чином на класи, при цьому для одних об'ек^в вщомо до яких клаав вони вщносяться, а для Ыших об'ек^в - ы, тобто невщомо яким саме класам вони належать. Необхщно побудувати такий алгоритм, який буде здатний класифтувати довтьний об'ект з вихщно''' множини. Класифтувати об'ект - означае, вказати точно клас, до якого вщноситься даний об'ект. Наприклад, "сюжеты задачГ', як розглядаються при навчанн математик у початкових класах загальноосвiтнiх шкт, класифтуються на двi основы групи: прост та складенГ Простою називають сюжетну задачу, для розв'язування яко' необхщно виконати одну арифметичну дю Подальша класифтащя простих задач на групи зумовлена характером випадюв застосування арифметичних дм: задачi на конкретний змкт арифметичних дш; задачi на зв'язки мiж компонентами i результатами арифметичних дш; задачу що пов'язан з поняттям рiзницевого чи кратного вщношення двох чисел; окремi види задач. Задачу називають складеною, якщо для м розв'язування треба виконати двi i бтьше взаемопов'язаних арифметичних дм. Арифметичн дм на числових множинах призводять до бтьш широких понять абстрактно' алгебри - операцп та алгебра'чно'' системи - множини з набором будь-яких операцй Саме дослщженню задачi класифтацп алгебра'чних систем на прикладi конкретного класу алгебр з двома опера^ями i присвячено цю роботу.

Однieю з областей сучасно! алгебри, яка активно розвиваеться, е теорiя HaniBrpyn. Вона мае TicHi зв'язки з багатьма математичними дисциплшами: диференцiальною геометрiею, функцiональним аналiзом, теорiею графiв, теорiею алгоритмiв, абстрактною теорiею автоматiв, а також застосовуеться в таких галузях як бюлопя, соцюлопя, математична лiнгвicтика та iн. Базовi поняття теорп напiвгруп досить елементарн й цiлком доcтупнi навiть школярам старших клаав. Бiльше того, з натвгрупою зуcтрiчаетьcя, не пiдозрюючи цього, вже першокласник, i потiм натвгрупи супроводжують учнiв протягом уciх ро^в навчання в школi. Природним узагальненням натвгрупи е поняття допельнатвгрупи, яке з'явилося в 1997 роц в робот сучасного нiмецького математика Б. Рiхтер (Richter, 1997) при опиа нового типу алгебра!чних систем - допельалгебр. ТермЫ «допельнатвгрупа» було запропоновано в робот (Zhuchok, 2017). Зараз теорiя допельнапiвгруп також починае швидко розвиватися. Як i в багатьох шших математичних теорiях, однiею з основних задач теорп допельнапiвгруп е задача класифтацп, що cвiдчить про актуальысть обрано! тематики. Вiдмiтимо, що найпроcтiший випадок для напiвгруп - класифта^я напiвгруп другого порядку (тобто двоелементних натвгруп) - був представлений в (Шеврин, 1997). Клаcифiкацiя допельнатвгруп третього порядку була наведена в (Гаврил^в&Рендзяк, 2019).

Мета cтаттi - розкрити сутысть задачi клаcифiкацií математичних структур на прикладi двоелементних допельнатвгруп.

МЕТОДИ ДОСЛ1ДЖЕННЯ

Для проведення даного доcлiдження було застосовано в комплекci наcтупнi методи: аналiз науково! лп^ератури, cиcтематизацiя та узагальнення рiзних поглядiв при вивченнi напiвгруп та допельнатвгруп, а також загальноалгебра!чы методи iз використанням основних методiв теорп натвгруп.

РЕЗУЛЬТАТИ ДОСЛ1ДЖЕННЯ ТА IX ОБГОВОРЕННЯ

1. Поняття натвгрупи. Невизначен поняття, що зус^чаються в цiй роботу можна знайти, наприклад, в (^ффорд&Престон, 1972; Ляпiн, 1960; Шеврiн, 1991).

Бiнарною опера^ею (Шеврин, 1997) на множин S називаеться будь-яке вщображення множини вах упорядкованих пар (x,y) елементiв x , y з S у множину S . 1ншими словами, icнуе правило, зпдно з яким будь-якiй парi (x,y) елементв з S зicтавляють однозначно визначений елемент з S - результат застосування дано! операци до x та y .

Дал1 будемо позначати 6iHapHi операци символами *,<,>- або о1( о2 тощо. Операци представлятимемо для зручност у виглядi таблиць. Такi таблиц називають таблицями Келi (^ффорд&Престон, 1972).

Бшарна операцiя ◦, визначена на множит S, називаеться асо^ативною, якщо для будь-яких x, y,z е S виконуеться умова:

(Х о _у) о Z = X о (у о Г) .

Напiвгрупою називаеться непорожня множина iз заданою на ый бiнарною аcоцiативною операцiею.

Що означае навести приклад натвгрупи? По-перше, це означае вказати множину, по-друге, задати на цш множинi бшарну операцiю та, по-трете, переконатися, що задана операщя аcоцiативна.

Приклад 1.1. Адитивна натвгрупа натуральних чисел (N, +) .

Це i е натвгрупа, з якою зуcтрiчаетьcя кожен, хто починае вивчати математику в початковм школ^ i з якою люди, можна сказати, не розлучаються все життя.

Приклад 1.2. Мультиплтативна напiвгрупа натуральних чисел (N, ■) .

Це, безперечно, друга серед натвгруп, з якою ознайомлюються ва, хто вивчае математику.

Приклад 1.3. Наведемо вщразу шicть числових натвгруп. Нагадаемо, що через Z позначаеться множина вах цтих чисел, через Q - множина вciх рацюнальних чисел, а через R - множина вах дшсних чисел. Кожна з множин Z , Q , R е як адитивною (за додаванням), так i мультиплтативною (за множенням) натвгрупою. У середых i старших класах школи це поспйш супутники тих, хто вивчае математику.

2. Натвгрупи другого порядку. У цьому пункт наводиться опис уах двоелементних натвгруп (бтьш детальнее див. (Шеврiн, 1997).

HaniBrpynn (S, о) i (Г,*) називаються ¡зоморфними (Кл1ффорд&Престон, 1972), якщо ¡снуе взаемно однозначне вщображення ф-.S^T таке,щодля Bcix x,yeS виконуеться умова: ф(х° у) = ф(х) *ф(у) . При цьому вщображення ф називаеться '¡зоморф'!змом. Взаемно однозначне вщображення мае обернене до нього вщображення, i якщо ф е iзоморфiзмом S на T , то обернене вщображення ф-1 буде iзоморфiзмом T на S .

Приклад 2.1. Адитивна натвгрупа натуральних чисел (N, +) iзоморфна адитивый напiвгрупi парних натуральних чисел (2N, +) . lзоморфiзм мiж цими натвгрупами встановлюеться за таким правилом: кожному натуральному числу n зктавляеться подвiйне парне число 2n .

Приклад 2.2. Мультиплтативна напiвгрупа натуральних чисел (N, ■) та мультиплтативна натвгрупа парних натуральних чисел (2N, ■) не е iзоморфними (у перший натвгрут е одиниця, а в друпй - нi).

Поняття iзоморфiзму е одним з найважливших у математицi. За допомогою цього поняття можна визначати насктьки "схожими", "однаковими" з точки зору абстрактних властивостей (тобто таких властивостей, ям визначаються не природою елементв цих структур, а взаемодiею елементiв, яка описуеться на мовi алгебра!чних операцш) е двi доcлiджуванi математичнi структури. У математицi багато рiзних структур класифтуються, як говорять, з точыстю до

iзоморфiзму, тобто iзоморфнi структури вважаються однаковими. Протюструемо далi таку класифтащю на приклад! двоелементних напiвгруп.

Нехай S = {a, b} - довiльна двоелементна множина. Зрозумто, що на двоелемент-ий множинi можна задати бiнарну опера^ю 16-ма рiзними способами. Згiдно з (ШеврЦ 1997) всього iснуe п'ять попарно неiзоморфних напiвгруп другого порядку, а саме: це натвгрупи (S, о^, (S, °0), (S, °3), (S, °4), (S, °5), операци на яких визначаються такими таблицями Келi (таблиц 1-5 вщповщно).

Таблиця 1

HaniBrpyna (S, о )

°1 a b

a b a

b a b

Hanierpyna (S,°n)

°2 a b

a a a

b a a

Hanierpyna (S,

°3 a b

a a b

b a b

Hanierpyna (S,°4)

°4 a b

a a a

b b b

Hanierpyna (S,

°5 a b

a a a

b a b

Таблиця 2

Таблиця 3

Таблиця 4

Таблиця 5

3. Класифшащя допельнапiвгруп другого порядку. Нагадаемо, що структура допельнапiвгрупи з'явилася лише в шнц минулого cтолiття в робот сучасного математика Б. Рiхтер (Richter, 1997). У цьому пункт з точыстю до iзоморфiзму класифтуються вci допельнапiвгрупи, що складаються лише з двох елементв.

Наведемо визначення поняття допельнатвгрупи (Zhuchok, 2017). Непорожня множина D з двома бшарними асоц1ативними операц1ями -< та >- називаеться допельнатвгрупою, якщо виконуються так1 дв1 умови:

(Д) (х -< у) >- Z = X -< (у >- Z) , (А ) (х У у) -< Z = X У (у -< z)

для вciх x, y, z е D.

Дал1 необхщно перев1рити Bei аксюми допельнатвгрупи для кожно!' з алгебраУчних систем (S, °.), де S = {а, Ь} та о,, о , де 7, j е {1,2,3,4,5} - операци, визначеы в п. 2.

Зрозумто, що всього ¡снуе 25 випадюв. Неважко пом1ти, що кожна алгебранна система (S,o.yo.) е допельнатвгрупою при будь-якому /' е {1,2,...,5} . Цей факт випливае з асоц1ативност операцм о., де 1 </'< 5 . Отже, отримано 5 допельнатвгруп з однаковими опера^ями, при цьому, як безпосередньо випливае з (Шеврин, 1997), вони е попарно не1зоморфними. Позначимо ц1 допельнатвгрупи таким чином: Dt = (S, о.), 1 < У < 5 .

Доведемо тепер, що алгебранна система В6 = °5) е допельнатвгрупою. Для цього покажемо виконання допельнатвгруповихаксюм (Д) та (А) (операцм <\,°5 е асоц1ативними зпдно з п. 2). В1зьмемо довтьы та

розглянемо таю випадки:

1) х = у = г = а, тодi

2) х = у = г = Ь , тодi

3) х = у = а, г = Ь , тодi

4) х = г = а, у = Ь , тодi

5) х = Ь, у = г = а , тодi

6) х = у = Ь, г = а , тодi

7) х = г = Ь, у = а , тодi

8) х = а, у = г = Ь , тодi

(а оп а) °5 а = я«, а = а , а», (а»5а) = а»,а = а;

ф оп Ь) о5 Ъ = а о5 Ъ = а , Ъ о0 ф °5 Ь) = Ъ оп Ъ = а ;

(а оп а) °5 Ъ = а о5 Ъ = а , а оп (а Ь) = а оп а = а;

(а оп Ь) о5 а = а о5 а = а , а оп ф о5 а) = а оп а = а;

ф о0 а) о5 а = а о5 а = а , Ъ о0 (а о5 а) = Ъ о0 а = а ;

ф о0 6) о5 а = а о5 а = а , Ъ о0 ф°5а)=Ь°г,а = а\

ф о0 я) о5 6 = а о5 6 = а, Ъ оп (а °5 Ь) = 6 о0 а = а ;

(а 6) °5 6 = а °5 6 = а, а°п ф °5Ь) = а °п Ь = а , отже, тотожысть (Д) доведена. Подiбним чином розглядаються шшл випадки: 9) х = у = г = а, тодi

(а °5 а) а = а а = а, а°5(а°г,а) = а°5а = а\

10) х = у = г = Ь , тодi

11) х = у = а, г = Ь , тодi

12) х = г = а, у = Ь , тодi

13) х = Ь, у = г = а , тодi

14) х = у = Ь, г = а , тодi

15) х = г = Ь, у = а , тодi

16) х = а, у = г = Ь , тодi

ф °5 Ь) Ъ = Ъ °п Ъ = а , Ъ °5 ф Ъ) = Ъ °5 а = а ;

(а °5 а) Ъ = а 6 = а , а °5 (а 6) = а °5 а = а ;

(а °5 6) а = а а = а, а °5 (6 а) = а °5 а = а ;

ф °5 а) а = а °п а = а, Ъ °5 (а а) = 6 °5 а = а ;

ф °5Ь) °п а = Ь °п а = а , Ъ °5 (6 а) = 6 °5 а = а;

ф а) °п Ь = а °п Ь = а , Ъ °5 (а 6) = 6 °5 а = а;

(а°5Ь)°г,Ь =а°г,Ь = а , ао5 (6о0 6) = а°5 а = а.

3 випадк1в 1)—16) та асоц1ативност1 операцш о2 та °5 випливае, що алгебранна система 1)6 = (5", о0; о5) е допельнап1вгрупою. Зрозумшо, що алгебра 1)7 = (5", о5; о0) також е допельнап1вгрупою. Слщ вщм1тити, що з властивостей операцш ° -,де 1< У < 5 , випливае, що допельнагпвгрупи Д, 1 <У < 7 , е попарно не1зоморфними.

Виявляеться, що в уах випадках, якi залишилось розглянути (а 'х наразi 18), не знайдуться новi допельнапiвгрупи, тобто не кнуе iнших двоелементних допельнатвгруп, вiдмiнних в^д допельнапiвгруп Д - Д . Покажемо, що це дшсно так.

1-2). Алгебра'|'чн1 системи (5", о1;о0) та (З1, о,^) не е допельнап1вгрупами, осктьки

(ао1 а) о0 6 = 6 о0 6 = а , але аоДй», й) = й<>1а = Ь.

3-4). АлгебраУчы системи (5", °1;°3) та (51, °3;о1) не е допельнап1вгрупами, осктьки

(а о1 а) о, а = 6 а = а , але ао1 (а о, а) =а°1а = Ь.

5-6). Алгебра'|'чн1 системи (5", °1;°4) та (5", не е допельнатвгрупами, осктьки

(ао4 а) о1 а = ао1 а = 6 , але ао( (ао1 а) = ао4 6 = а.

7-8). АлгебраУчы системи (5", °1;°5) та (5", 05,0^ не е допельнатвгрупами, осктьки

(а а) о1 а = а о1 а = 6, але ао5 (а а) = а о5 Ь = а.

9-10). АлгебраУчнп системи (S, °2,°3) та (S, °3,°2) не e допельнатвгрупами, осктьки

ф b) o, b = a 6 = 6, але 6 (6 b) =b b = a.

Ф °4 «) °2 b = b °n b = a, але b °4 (a °n b) = b °4 a = b.

13-14). Алгебра'чн системи {S, °з, °4) та {S, °4, O3) не e допельнатвгрупами, осктьки

( a °4 «) °3 b = a o, b = b ,але я°4 (a», b) = а»4 b = a.

15-16). Алгебра'чн системи (S,o3, °5) та {S, O3) не e допельнагмвгрупами, осктьки

( a o5a)o, b = а о, Ъ = Ъ , але я», (a°-{b) = a°^b = a.

17-18). Алгебра'чн системи {S, °4! .°5) та {S, °4) не е допельнатвгрупами, осктьки

(b °4 b)°5a = b°5 a = a, але b °4 (b °5 a) = b°4 a = b. Отже, вичерпну класифта^ю bcíx допельнапiвгруп другого порядку дае наступне твердження: Будь-яка двоелементна допельнаЫвгрупа е iзоморфною однй з отриманих вище допельнаЫвгруп D1-D7. Висновки та перспективи подальших наукових розвщок. У робот класифтовано bcí двоелементнi

допельнапiвгрупи за ix абстрактними властивостями. Встановлено, що з точыстю до iзоморфiзму iснуе всього cím рiзних

допельнапiвгруп другого порядку. Природними в цьому напрямi е задачi класифiкацii з точнiстю до iзоморфiзму

допельнапiвгруп вищих порядкiв.

Список використаних джерел

1. Richter B. Dialgebren, Doppelalgebren und ihre Homologie. Diplomarbeit, Universitat Bonn. 1997. Retrieved from: https://www.math.uni-hamburg.de/home/richter/dipl.ps

2. Zhuchok A. V. Free products of doppelsemigroups. Algebra Universalis. 2017. №77. P. 361-374.

3. Шеврин Л. Н. Что такое полугруппа. Соровский образовательный журнал. 1997. №4. С. 99-104.

4. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. М: Мир, 1972. Т. 1. 286 с.

5. Ляпин Е. С. Полугруппы. М.: Физматгиз, 1960. 592 с.

6. Шеврин Л. Н. Полугруппы/Общая алгебра. Под ред. Л. А. Скорнякова. М.: Наука, 1991. Т. 2. C. 11-191.

7. Gavrylkiv V., Rendziak D. Interassociativity and three-element doppelsemigroups. Algebra and Discrete Mathematics. 2019. №28 (2). P. 224-247.

References

1. Richter, B. (1997). Dialgebren, Doppelalgebren und ihre Homologie. Diplomarbeit, Universitat Bonn. Thesis. Bonn: University Bonn. Retrieved from: https://www.math.uni-hamburg.de/home/richter/dipl.ps [in German].

2. Zhuchok, A. V. (2017). Free products of doppelsemigroups. Algebra Universalis, 77, 361-374.

3. Shevrin, L. N. (1997). Chto takoe polugruppa [What a semigroup is]. Sorovskij obrazovatel'nyjzhurnal - Sorovsky Educational Journal, 4, 99-104 [in Russian].

4. Klifford, A.&Preston, G. (1972). Algebraicheskaya teoriya polugrupp [Algebraic theory of semigroups]. Мoskva: М^, Т. 1 [in Russian].

5. Lyapin, E. S. (1960). Polugruppy [Semigroups]. Мoskva: Fizmatgiz [in Russian].

6. Shevrin, L. N. (1997). Polugruppy [Semigroups]. In L. A. Skornjakov (Ed.), Obshchaya algebra [General algebra] (Т. 2, pp. 11191). Moskva: Nauka [in Russian].

7. Gavrylkiv, V.&Rendziak, D. (2019). Interassociativity and three-element doppelsemigroups. Algebra and Discrete Mathematics, 28 (2), 224-247.

A CLASSIFICATION OF TWO-ELEMENT DOPPELSEMIGROUPS

Yu.V. Zhuchok Luhansk Taras Shevchenko National University, Ukraine

Abstract.

Problem formulation. The problem of mathematical structures (objects) classifying by some property or feature is one of the classic problems in mathematics. Classification of mathematical structures is usually carried out taking into account some special properties of given structures. Specify the class with a specific feature to which the object belongs, means to classify this object. The idea of the classification problem is best revealed by the example of specific mathematical objects, in this case algebraic systems with two operations - the so-called doppelsemigroups, which are a natural generalization of the known concept of a semigroup.

Methods. The following methods were used to conduct this study: analysis of the scientific literature, systematization and generalization of different views in the study of semigroups and doppelsemigroups, as well as general algebraic methods using the basic methods of semigroup theory.

Results. A semigroup is a nonempty set with a given binary associative operation. Summarizing this concept, we obtain the concept of a doppelsemigroup. A doppelsemigroup is a nonempty set D with two binary associative operations < and >, if the following two conditions are satisfied: (D1) (x < y) > z = x < (y > z), (D2) (x > y) < z = x > (y < z) for all x,y,z £ D. The simplest nontrivial objects of study in the class of doppelsemigroups are structures consisting of two elements, so the focus is on the problem of classification of two-element doppelsemigroups. The abstract property of an isomorphism is chosen as the property by which the doppelsemigroups are classified. It is shown that there are only seven pairwise non-isomorphic two-element doppelsemigroups.

Conclusions. The essence of the classification problem on the example of two-element doppelsemigroups is revealed. The problems of classification of doppelsemigroups of higher orders up to an isomorphism remain open in this direction of research.

Key words: classification, semigroup, isomorphism, doppelsemigroup, two-element doppelsemigroup.