CC BY
17ДОСЛ1ДЖЕННЯ ПЕР1ОДИЧНИХ ФУНКЦ1Й ПРИ ПОГЛИБЛЕНОМУ ВИВЧЕНН1 МАТЕМАТИКИ
В.К.Крман, викладач,
обласний лщей-штернат фiз.-мат. профтю при Днтропетровському нащональному ушверситет^
м. Дшпропетровськ, УКРА1НА
В робот/ анал1зуеться поняття пергодично! функци, проводиться класифгкацгя задач на досл1дження пер1одичних функцт, описуеться методика досл1дження сум пер1одичних функцт, ставляться задач1 про узагальнення поняття пер1одичност1 в шкыьному кура математики.
Перюдичш функци природно вини-кають в шкшьному кура математики при вивченш тригонометричних функцш. Але в традицшних класичних курсах тригоно-метри питанням дослiдження функцш на перюдичшсть, вивченню властивостей перюдичних функцiй придiлялось дуже мало уваги. В той же час, питання пов'язаш з перiодичнiсгю функцiй е дуже важли-вими, як для реатзаци мiжпредмегних зв'язкiв (особливо з фiзикою), так i для пропедевтики в школ iдей гармонiйного анатзу, iнших роздiлiв математики. Ц речi мають особливе значення для учшв, якi поглиблено вивчають математику, тому 1м придiляли увагу видатнi математики та педагоги. А.М.Колмогоров, Н.Я.Вшенкш, СХШварцбурд, М.Й.Ядренко, М1Шкшь дослiджували мiсце перюдичних функцш в шкшьному кура математики. В результат^ в пщручниках, створених А.М.Колмо-горовим, Б.С.Вейцем, 1.Т.Демидовим, О. С. 1вашевим-Мусатовим, С. 1.Шварцбур-дом, а також в сучасних украшських шд-ручниках, створених М.I.Шкiлем, З.1.Слеп-кань, Т.М.Хмарою, О.С.Дубiнчук, Т.В.Ко-лесник, СХНелшим, Я.С.Бродським питання достдження перiодичних функцiй стали займати пдне мiсце. Методика послвдов-ного ознайомлення учнiв з поняттям перю-дично! функци детально описана З.1.Слеп-кань [10]. Додатковою дидактичною базою,
де зiбрана значна кшьюсть задач на дослщження перюдичних функцш, дове-дення 1х властивостей, стали посiбники розроблеш В.В.Вавiловим, ИМельшковим, СНОлехником, ПХПааченко, МЛГалиць-ким, М.М.Мошковичем, Б.М.1влевим, С.М.Саакяном, С.СКочетковим, А.I.Худобi-ним. Значна робота в цьому напрямку зроб-лена вiтчизняними провiдними педагогами М.СЯюром, В.Б.Полонським, А.Г.Мерзля-ком, Ю.М.Рабшовичем [7].
В той же час дослщники вiдмiчають значнi труднощi, з якими зусгрiчаються учнi при вивченш властивостей перюдичних функцш [11]. Це обумовлено як глибиною поняття перюдично! функци, так i складшстю задач на дослiдження перю-дичних функцiй. Стае очевидним, що ознайомлення з уам спектром задач, пов'яза-них з перiодичними функщями не можливе тшьки при вивченш теми "Тригоно-мегричнi функци". Ц питання повиннi обговорюватися при вивченш майже вах тем курсу алгебри та початкiв аналiзу. Дослiдження перюдичносп дае чудову можливiсть iлюсгрувати рiзноманiтнi iдеi i методи. При поглибленому вивченнi математики значна кшьюсть питань повинна бути перенесена у позакласну роботу, на факультативнi заняття, стати предметом дослiдницькоi дiяльносгi учшв. Сшд бачи-ти, що багато задач, пов'язаних з перiодич-
тетю функцш е досить важкими (не зважаючи на майже елементарнi форму-л1ровки), а деяю являють вщкрип матема-тичнi проблеми. Таю питання вiдмiчав ще А.М.Колмогоров, 1'м придiляюгъ увагу сучаснi укра1'нсью математики i педагоги [5].
Метою даног cmammi е по-перше, анал1з поняття перюдичног функци в системi мгжтемних i м1жпредметних зв'яз-к1в; по-друге, систематизаця основних титв задач, пов'язаних з перiодичними функцями та методiв Их розв 'язку, вивчен-ня Их мщя в поглибленому Kypci алгебри та початюв аналiзу, позакласнш роботi з математики; по-трете, виявлення деяких напрямюв узагальнення поняття перюдич-ног функцп на рiвнi елементарног математики.
У математичнш енциклопеди даетъся таке означення перюду функци: "Перюд функци f (х ) - число T Ф 0, таке, що для будъ-якого х е X с R числа х - T, х + T також належать множит X i виконуеться рiвнiстъ f (х - T ) = f (х)" [6,с.265-268]. Перюдичними називаються функци, що мають перюд. В цьому означенш, треба гадати, X - область визначення функци. В деяких поабниках, наприклад, в [2] для вщповщного означення вводиться понятая функци, перюдичжй на X. Тодi множину X можна iнтерпретувати ширше, а саме, вважати , що ця множина е пiдмножиною областi визначення функци. Тодi функцiя може не бути перюдичною, але перюдич-ною на X. На жаль, в [2] не наводяться вщповщт приклади. Майже всi украïнсъкi та росшсью пiдручники з алгебри та початюв анал1зу дають схож означення. Наприклад, в базовому пщручнику [12] таке означення: "Функщя y = f (х) нази-ваеться перюдичною з перюдом T Ф 0, якщо для будь-якого х з обласп визначення функци числа х - T, х + T також належать обласп визначення i виконуеться умова f (х - T) = f (х) = f (х + T)". Звер-немо увагу на надмiрнiстъ в останньому означенш. З першого означення легко
випливае друге. Дшсно, якщо х - T е D(f ), то f (x - T + T ) = f (x - T ).
Зупинимось ще на деяких проблем-них питаннях, пов'язаних з означенням пер1одично1' функци. Перше з них, може i мае формально-лопчний характер, але е принциповим з точки зору побудови Bcieï системи понять шюльно'1' математики. Мова йде про перюдичт посл1довност1. Означення перюдично'1' послiдовностi вза-галi не вводиться, але з перюдичними послщовностями учнi зустрiчаються вже в 5-6 класах (наприклад, при вивчент десяткових перiодичних дробiв). Скорiше, мова знов-таки йде про послщовносп, перюдичт, починаючи з деякого номеру. Поняття перюдичжй послiдовностi е iнтуïтивно зрозумшим. А саме, послщов-нiсть xn будемо називати перiодичною,
якщо юнуе натуральне число к, таке, що для будь-якого натурального n виконуеть-ся рiвнiсть хп+к = xn. В той же час, виходя-
чи з ло^ки побудови понять шктьного курсу алгебри та початкв аналгзу, жод-на по^довтсть не може бути перюдичною! Дшсно, послщовтсть ми розглядаемо як функцш, визначену на множит натуральних чисел. А тсда, зпдно з означенням перюдичжй функци, якщо к Ф 0 - перюд, то для будь-якого натурального п числа п + к та п — к - натуральш, що неможливо. Друге проблемне питання полягае в тому, що в фiзицi, бюлогИ, економщ тощо, розглядаються часто процеси, перюдичт для деякого про-мiжку часу. Знову приходимо до супереч-носп з означенням перюдичжй функци. Мабуть, недоцшьно, щоб в учшв формува-лася думка: в математиц перюдичт функци - це одне, в фiзицi шше. На нашу думку, небажаним е й замовчування вчите-лями цих суперечностей.
Для виршення цих питань, ми бачи-мо необхщнють введення бiльш широких означень, в яких пiдкреслюеться, саме на яких промiжках функцiя буде перюдичною. А саме, функцш f (x) визначену на множит X œ R будемо називати перю-
дичною на промiжку [а;+<»), якщо iснуе число Т Ф 0, таке, що для будь-якого х е [а + |Т|;+~) п X числа х + Т, х - Т належать обласп визначення X i для будь-якого х е [а;+^)п X виконуеться рiвнiсть / (х + |Т| ) = / (х). Аналогично, можна ввести означення функци, перiодичноi на промiжку а]. Дал1 Функцiю / (х) визначену на множинi X с Я будемо називати перюдичною на вiдрiзку [а; Ь] , якщо юнуе число Т Ф 0, таке, що 2| Т| > Ь - а i для будь-якого
х е[а + |Т|; Ь - |Т| ]п X числа х + Т, х - Т належать обласп визначення X та для будь-якого х е [а; Ь - |Т| ] виконуеться
рiвнiсгь / (х + |Т| )= / (х) (тут вважаемо,
що [а; а] = {а}). Ц означення можна зробити бшьш "прозорими", якщо розгля-дати тшьки додатш перiоди, тодi викорис-тання модуля буде непо^бним.
Тодi можна казати, що "традицшш" перiодичнi функци - це функци, перюдичш на всш числовiй прямiй. Далi можна домовитись ототожнювати поняття "фун-кцiя, перюдична на числовiй прямш" i "перюдична функцiя". Також можна ототожнювати поняття "послщовшсть, перюдична починаючи з номеру п0" i "функцiя, що визначена на множит натуральних чисел i перiодична на промiжку [п0 ".
Видшимо основн класи задач, пов'я-заш з введенням поняття перiодичноi функци i дослiдженням функци на перюдич-нiсгь. Деяю з цих задач наведенi в [2, 7]. Отже, маемо наступнi типи.
Перший тип. Задачi на наочнсннтуь тивне осмислення поняття перiодичноi функци, аналз на перiодичнiсгь по графiкам.
Другий тип. Завдання на осмислення формального означення перюдичнса функци.
Третш тип. Задачi на пошук перiоду та доведення перiодичносгi функци
Четвертий тип. Основш задачi на доведення неперюдичносп функцiй.
П'ятий тип. Доведення неперюдичносп шляхом зведення до суперечливох' системи спiввiдношень.
Шостий тип. Доведення загальних властивостей перiодичних функцiй.
Сьомий тип. Задачi на застосування властивостей перiодичних функцiй для доведення перюдичносп, неперiодичносгi, дослiдження на перiодичнiсгь.
Восьмий тип. Задачi на знаходження головного перюду для найпросгiших три-гонометричних функцiй.
Дев 'ятий тип. Задачi на знаходження головного перiоду функцш типу / (кх + Ь), де / (х) - перюдична нетригонометрична функцiя.
Десятий тип. Знаходження перюду i головного перюду суми декшькох перю-дичних функцш з сумiрними перiодами. Як вщомо, справедливе таке твердження.
Нехай fi, I = 1,..., к - перюдичш функци з перюдами Ti,i = 1,...,к вщповщно.
Якщо для кожного i = 1,..., к
т,
Т = , де п,
т. е 2, т. Ф 0, п. е N, I Ф 0 , то число
Т
НСК (т1, т2,..., тк
НСД(n1,пк ) буде загальним перiодом для вах заданих функцiй.
Доведення цього твердження можна органiзувати, як розв'язання ланцюжка нескладних задач. Також не викликае труд-нощiв виконання сери вправ на застосуван-ня цього твердження. Але задача стае проблемною, коли треба знайти головний перюд суми (добутку). Пiдкреслимо, що головний перюд може зменшуватись вiдносно отриманого в вище сформульова-ному твердженнi за умовою, що Ti - голов-нi перiоди вiдповiдних функцiй. Дшсно, головними перiодами функцiй
g1 (х) = 1п(1 + Бт х) та g2 (х) = 1п(1 - х) е 2п. В той же час легко побачити , що головним перюдом функци
g1 (х)g2 (х) = 2 1п|соб х| е число п. Можна запропонувати двi схеми розв'язування таких задач. Перша полягае тому, що спочатку висловлюеться ппотеза що до
головного перюду, а попм доводиться методом вщ супротивного, що найменшого додатного перюду не юнуе. Друга схема полягае в тому, що з ан^зу задачi виво-дяться необхiднi умови, яким повинен задовольняти головний перiод функци, попм робиться перевiрка.
У статп [5] дослщжуються суми гармоншних коливань:
n
f(x )=Z Ai sin(ax+ (), де
i=1
A ф 0,m e R,1 < i < n,a1 >a2 > ... >a > 0.
i ' r i ' ' 1 2 n
Там же доводиться, що за таких умов, коли числа a1,...,an е сумiрними, то функщя f (x) мае головний перiод ' 1 1 $
a a
кцiя
f (x)
Tf = 2n • НСК
v^ 1
. Якщо ж якась
n #
пара ai,aj несумiрна, то функцiя f(x)
неперюдична. В той же час, на нашу думку, посилання на цю теорему при розв'язани тренувальних вправ недоцiльно. По-перше вiдоме нам доведення достатньо складне, тому замiняти дуже кориснi вправи на бездумне використання недоведено'].' теореми не зовам ращонально. По-друге, в наведеному доведены використовуеться похщна, а тема "Тригонометричш функци" вивчаеться, як вiдомо, до похщно!. В той же час стаття Кукуша та Ушакова [5] про головш перiоди повинна стати предметом ретельного аналiзу на факультативних заняттях. Звернемо також увагу на те, що деяю вчителi i приймальнi комюи ВНЗ помилково вважають результат статп [5] майже очевидним i не вимагають у вiдповiдних задачах проводити доведення, що знайдений перюд е найменшим додатним.
В тш самш робот [5] автори, адаптуючи деяю iдеi ТФКП до рiвня "майже шкiльноi математики", наводять достатньо складне доведення наступного твердження.
Нехай
n
f (x) = Z Aitg(aix + ( ), де
i=1
At ф 0, ( e R,1 < i < n, a1 > a2 >... > an > 0
Тод^ якщо якась пара ai,aj несу-мiрна, то функщя f (x) неперiодична. Якщо числа a1,...,an е сумiрними, то фун-
(
Tf = п НСК
мае a1
1 a
головний
$
перюд
V1 ^n #
Знов-таки, механiчне застосування цього твердження, без розумшня його доведення, принесе мало користт В той же час, кожна така задача на пошук головного перюду мпстить дуже важливi iдеi i розв'я-зання ii вимагае глибокого знання теори.
Цiкавим питанням е пошук функцiй з сумiрними pi3HUMU перюдами, такими, щоб головний перюд суми був меншим вiд НСК двох перюдав. Наведемо приклад таких функцш. Побудуемо функци f (x) та g(x) з головними перiодами 4п i 2п вщповщно. Достатньо визначити функци на вiдрiзку з довжиною 4п . Нехай
г т Г5п 7П 1, якщо x e [0;2п] и
f (x ) =
22
не визначено, якщо x e
„ 5п$ ' 7П „ 2п;— I и I — ;4п
2 # V 2
П 3п" и 5п 7п"
_ 2 2 _ _ 2 2 _
2, якщо x e
не визначено, якщо x e
п П$ '3п 5п$ ' 7П
~2 Jи [" Jи 1т;4п
Тодi легко можна перевiрити, що f (x) + g (x) мае перюд 2п . Автору не вiдомi аналопчш приклади з всюди виз-наченими неперервними функщями.
До одинадЦятого типу задач на дос-лiдження функцiй на перюдичшсть можна вiднести рiзноманiтнi задач з параметром.
До дванадцятого типу можна вщнес-ти задач на достдження перiодичних функцш з несумпрними перiодами.
Ц приклади приводять до питання: для яких перюдичних функцш f (x)та g (x) з несумiрними головними перiодами можна стверджувати, що f (x) + g(x) -неперюдична функщя? Як вщомо, в кура aнaлiзу доводиться, що таке завжди виконуеться за умовою, що f (x)тa g(x) непе-рервнi функци, вщмшш вiд стaлоi [8, 13] 1снуе ппотеза, що для неперюдичносп суми достатньо вимагати неперервнiсть одного з доданюв хоча б в однш точцi. Також цiкaвим е пошук приклащв f (x)тa g (x) з несумiрними головними перюдами, щоб 1х сума була перюдичною (також можна розглядати вaрiaнти - з головним перю-дом чи без нього). Таю питання можуть i
повинт обговорюватися на позакласних, факультативних заняттях i вони можуть стати темами для пошуково-дослщницько!' дiяльносгi учнiв.
У зв'язку з цим обговоримо ще одне коло питань, яю можуть стати джерелом для дослщницько! дiяльносгi школярiв. Мова йде про iснування нетотожних фун-кцiй, для яких деюлька несумрних чисел е перiодами. З теореми Кронекера [13] вип-ливае, що для неперервних функцiй таке неможливо. В той же час хибною е думка, що взагалi таких функцш не iснуе. Дшсно, розглянемо множину
5 = {тл/2 + п>/з : т е Q, п е Q}. Для цiеi множини введемо характе-ристичну функцiю х5 (х):
, ч +1, якщох е 5
Х5 (х) = *
)0, якщох £ 5
Легко перевiрити, що задана функщя перiодична з перiодами л/2 та л/3 . Зали-шилося пересвiдчигися в тому, що х5 (х) -не тотожна константа. Це рiвносильне тому, що 5 Ф Я. Але така нерiвнiсть виконуеться, бо 5 - злiчена множина а Я - незлiчена. На прикладi цiеi задачi ми бачимо, що тд час позакласноi роботи, факультативних занять при дослщжеш перiодичних функцiй можна познайомити-ся з дуже важливими питаннями матема-тичного аналiзу та теори множин, яю доступнi старшокласнику, що поглиблено вивчае математику.
Розглянемо ще один, тринадцятий тип задач, пов'язаних з перюдичтстю функцiй. Мова йде про задач^ де функщя, яку ми дослщжуемо на перюдичисть, не задана явно, а задовольняе деяке фун-кцiональне рiвняння (сюди, можна вважа-ти, входять i неявно заданi функци). Велика кiлькiсть таких прикладiв наведена в [9]. Ц приклади рiвнянь мають дуже просту структуру: /(х + а) = й(/(х)), де функцiя к утворюе сюнчену циклiчну групу вщ-носно операци суперпозици. Ряд iнших приклащв розв'язуеться методом пщста-новки.
Задач^ що входять до вище названих типiв, не можуть бути розглянути тшьки при вивченнi теми "Тригонометричи функци", бо передбачають рiзноманiтнi методи дослiдження, що за програмою повиннi вивчатись пiзнiше. Тому вщповщш задачi
повиннi вивчатися при проходженш вiдпо-вiдних тем. Щодо мегодiв дослiдження функцiй на перiодичнiсгь, то, як ми бачили, можна видшити так1 методи: 1) застосуван-ня спiввiдношень, систем рiвнянь, нерiв-ностей; 2) застосування необмеженост1;
3) застосування монотонносп функцiй;
4) дослiдження множини нулiв функцii;
5) дослiдження множини точок розриву функци; 6) використання неперервносгi функцii; 7) застосування похщно!. Таким чином, можна провести двовимiрну класифiкацiю задач на дослiдження перюдичносп: по типам i по методам. Маемо тощ дев'яносто один клас задач. Так1 класи вже легко розподшити по темам курсу алгебри та початк1в аналiзу.
Активною пропедевтикою вивчення перiодичних функцш може стати знайом-ство з перюдичними послiдовносгями. Як правило, бшьш детально зараз перiодичнi послiдовносгi вивчають лише факультативно. В той же час деяю питання, з яки-ми учш знайомi ще в 5-6 класах, дуже часто залишаються без доведення i в старших класах. Приклад такого питання -будь-який звичайний дрiб можна подати у вигляда неск1нченого десяткового перiо-дичного дробу. Задачi на дослщження перiодичносгi послiдовностей можна роз-бити на три групи.
1. Задачi доведення перiодичностi послiдовносгi, починаючи з деякого номеру, зокрема на доведення перюдичносп послщовносп.
2. Задачi на дослiдження того, чи буде послщовнють перiодичною з самого початку, ощнку довжини "префiкса".
3. Задачi на доведення неперiодич-носп послiдовносгей.
Щодо задач першоi групи, то там, де можна "побачити" довжину перiоду, най-легше провести доведення методом мате-матичноi iндукцii. Ми не будемо тут на цьому зупинятися. Розглянемо другу типо-ву ситуащю. Нехай 5 - скнчена множина. Розглянемо вщображення / : 5 5 . Нехай деяка послiдовнiсгь задаеться реку-рентним спiввiдношенням: уп+1 = /(уп).
Тодi легко побачити, що (уп) -послщовтсть, перiодична, починаючи з деякого номеру. Дшсно, так як число мож-ливих значень цiеi послiдовносгi сюнчене, то в нiй знайдуться два однакових члена (принцип Дiрiхле): Аналогично можна
довести вище згаданий факт про подання будь-якого ращонального числа у вигляд несюнченого перюдичного десяткового дробу. Тут щея полягае в тому, що члени послщовносп цифр частки залежать тшьки вiд утворених остач, яких теж може бути тшьки сюнчена юльюсть. В свою чергу, кожна наступна остача залежить тшьки вiд попередньоi.
Дуже легко показати, що якщо послiдовнiсть (yn) задана рекурентним спiввiдношенням yn+1 = f (yn), де для ск1нчено!' множини S вiдобрaження f : S — S е взаемно-однозначним
(бiекцiею), то послiдовнiсть (yn) буде перiодичною з початку. Це випливае з того, що якщо така послщовтсть перiодичнa з перюдом t, починаючи з номеру m , то з
рiвностi
У m У m
У m
' У m+t-1 , y m
ym
випливае,
У m-3 У m
що
.... Очевидно, що обернене твердження не буде правильним.
Цжавими е питання про наявнють та довжину "префшав" у послщовностей, яю е перiодичними, починаючи з деякого номера. Так, дослщницький характер носить питання про наявшсть "префжав" в десяткових дробах, отриманих зi звичайних m
—, де m, n - нaтурaльнi взаемно-просп n
числа.
Помiтимо, що питання про перюдич-нiсть послiдовностей може виникати не тшьки тода, де зафжсована сюнчена множина, в яюй набувають значення елементи послiдовностi. Можна побуду-вати широке коло задач, яю не вписуються в цю схему. Наприклад, нехай задана функцiя f : R — R, послiдовнiсть (pn)
задаеться рекурентно: pn+1 = f (pn). Тодi можна ставити питання про перюдичшсть (зокрема, перiодичнiсть, починаючи з деякого номера) послщовносп (pn) в залежносп вiд значення параметра
Обговоримо, в яких роздшах шюль-но!' програми поглибленого курсу доцшьно було б включати питання про перюдичт послщовносп. Доведення теореми про перюдичт десятюв дроби доступно учням восьмого класу та ii можна було б провести не тшьки на факультативних заняттях, але i пiд час вивчення теми
"Квадратний корiнь та його властивост1", де вперше вводиться поняття iррaцiонaль-ного числа i систематично вивчаються властивосп рaцiонaльних та iррaцiонaль-них чисел. Приклади з рекурентними послiдовностями лишюв можна розбирати як при вивчент теми "Подiльнiсть", так i теми "Числовi послiдовностi", а також на факультативних заняттях при ознайомлент з принципом Дiрiхле. З узагальненою схемою виникнення перiодичностi в послi-довностях зi ск1нченою множиною значень, яю задаються рекурентно, доцiльно познайомити учтв в одинадцятому клaсi при узагальнент та системaтизaцii знань з комбшаторики, де можна ввести поняття in 'екцп, сюр 'екци, 6ieh^ii. Також щ питання можна розглядати на факультативах.
Зрозумшо, що ряд задач про перюдичт послщовносп можна розглядати в дев'ятому клаа при вивчент основ тригонометри. I, нарешп, питання про зво-ротнi послщовносп можна почати вивчати нaприкiнцi вивчення теми "Послщовносп i прогресй", а попм продовжити при вивчен-m тем "Комплекснi числа", "Многочлени", "Комбшаторика та теорiя ймовiрностей".
Дуже важливим розвиваючим еле-ментом при вивчент математики, особливо на поглибленому рiвнi, е усвiдомлення того факту, що будь-яке поняття, задачу можна узагальнити. Не е виключенням i поняття перiодичноi функцii. Опишемо деяю шляхи узагальнення перiодичноi функцii, з якими корисно було б знайомити учтв старших клаав, якi поглиблено вивчають математику.
Перш за все, ще раз звернемо увагу на те, що на перюдичну функцш, визна-чену на R , можна дивитись, як на фун-кцш, визначену на тш з довжиною, що дорiвнюе додатному перiоду. На це коло можна дивитись, як на вiдрiзок числово!' прямо!' [0; T], де точки 0 i T ототожню-ються. Для будь-яких двох точок такого кола можна ввести операцш додавання:
x © y = t • + у 3
)T т2
i поняття протилежного елемента:
x
T •
x
T
Таким чином, коло стае абелевою групою. До речi, це поняття не в абстрактному виглядi (а на прикладах "числових"
© Kirmaii V.
груп) не е складним для учнiв десятого класу, якi володiють операцiями з орiенго-ваними кутами, арифметикою лишюв, тощо. Б^ш того, поняття групи передба-чено програмою [1] при загальному вив-ченш алгебраг^них структур на початку десятого класу.
Подивимось ще на один бж узагаль-нення перiодичносгi. Нехай задано зворот-ну функцiю р: Я — Я, з множиною зна-чень Я . Тодi функцiю / : Я — Я природ-но назвати р -перюдичною, якщо для будь-якого х виконуеться спiввiдношення / (р(х )) = / (х). Щкаво пошукати такi р, яю приводять до змiсговних прикладiв. Очевидно, для р(х) = х + а маемо звичайт перюдичт функцп, а для р(х) = -х - пар-ш. Розглянемо випадок, коли р(х) = кх + а, де к > 1, а > 0. Природно поставите задачу пошуку р -перюдичних функцш, яю е неперервними, тобто мова йде про розв'язок функцюнального рiвняння / (кх + а ) = /(х) в клаа неперер-вних функцiй. Можна довести, що /(х) може бути лише тотожною константою [9]. Легко пересвiдчигися в тому, що будь-яка тотожна константа задовольняе нашому функциональному рiвнянню. Пошук нетри-вiальних розв'язюв попереднього рiвняння в класi функцiй, що набувають значення в множинi {0;1} може привести до характе-ристичних функцш множин "фрактальноГ' природи.
1. БурдаМ.1., ЖалдакМ.1., Колесник Т.В., Хмара Т.М., ШшлъМ.1., ЯдренкоМ.Й. Програ-ма поглибленого вивчення математики в 10-11 профтъних класах.// Матем. в шк .-2003-№7-С. 19-25
2. Вавилов В.В., Мельников И.И., Олех-ник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по математике. Начала анализа. - М. : Наука, 1990.
3. ВасильевН.Б., Гутенмахер В.Л.,. Раб бот Ж.М, Тоом А.Л. Заочные математические олимпиады. - М. : Наука, 1981.
4. Конет IM., ПанъковВ.Г., Радченко ВМ., Теплтсъкий Ю.В. Обласш математичш олм-тади.- Кам 'янецъ-Под1лъсъкий.: Абетка, 2000.
5. Кукуш О.Г., Ушаков Р.П. Як знайти головний перюд функцп? // У свт1 математики .Т.5-1999-№4- С. 20-36.
6.Математическая энциклопедия. Т. 4. -М. : Советская энциклопедия, 1984.
7.Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир С.М. Тригонометрия. Задачник к школъному курсу. - М. : АСТ-ПРЕСС: Магистр-S, 1988.
8. М^телъман 1.М. Дещо про всюди щшът множини та перюдичт функцп // У свт1 математики. Т.2 -1996- №4 - С. 6-13.
9. Пенцак C.I, Юрчишин А.С. Функцшш р1вняння. - Лъвв: ЛДУ, 1998.
10.Слепканъ З.И. Методика преподавания алгебры и начал анализа.-К.: Рад. шк., 1978.
11. Храмов А.В. О периодичности тригонометрических функций // Математика в школе. - 2004. - №1. - С. 9-10.
12. Шшлъ М.1., Слепканъ 3.I., Дубт-чук С.С. Алгебра та початки анализу. Подручник для 10-11 клаав.-К.: Осв1та, 2000.
13. Ядренко М.Й. Принцип Д1р1хле та його застосування. - К.: Вища школа, 1985.
Резюме. Кирман В.К. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРИОДИЧНЫХ ФУНКЦИЙ ПРИ УГЛУБЛЕННОМ ИЗУЧЕНИИ МАТЕМАТИКИ. В работе анализируется понятия периодической функции, проводится классификация задач на исследование периодических функций, описывается методика исследования сумм периодических функций, ставятся задачи на обобщение понятия периодичности в школьном курсе математики.
Summary. Kirman V. INVESTIGATION OF PERIODIC FUNCTIONS IN THE ADVANCE MATHEMATICS LEARNING. In this article the concept of periodical functions is studied, some problems about investigation of periodical functions are classified. Also here the method of investigation sums of periodical functions is decrypted, setting problems about generalization of periodic functions in the school subject of mathematic.
Надшшла до редакци 17.11.2005р.
