CC BY
55
Scientific journal PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION
Has been issued since 2013.
Науковий журнал Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА
Видасться з 2013.
http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/
Хворост'на Ю.В., Хлобок С.П. nidxodu до побудови неперервних Hide не диферен^йовних функ^й // Фiзико-математична осв'та : науковий журнал. - 2017. - Випуск 1(11). - С. 120-123.
Khvorostina Yu., Hilobok S. Approaches To The Construction Of Continuous Nowhere Differentiable Functions // Physical and Mathematical Education : scientific journal. - 2017. - Issue 1(11). - Р. 120-123.
УДК 517.51
Ю.В. Хворостша, С.П. Хлобок
Сумський державний пeдагогiчний ушверситет iмeнi А.С. Макаренка, Украна
П1ДХОДИ ДО ПОБУДОВИ НЕПЕРЕРВНИХ Н1ДЕ НЕ ДИФЕРЕНЦ1ЙОВНИХ ФУНКЦ1Й
Анотац'я. У статт'1 розглядаеться встановлення зв'язк'в м'ж поняттями неперервност'1 та нiдe не дифeрeнцiйовностi, '¡стор'я формування самого поняття неперервно)' нде не диферен^йовно¡' функц) пeршi спроби побудови функ^й даного типу. Анал'1зуеться три основнi пдходи до означення неперервних нде не диферен^йовних функ^й: перший п'дх'д полягае в узагальненн функцИ Вейерштрасса; другий п'дх'д е геометричним i базуеться на систем'1 iтерованих функ^й; третй п'дх'д полягае у встановленн певного зв'язку м'ж цифрами аргументу i цифрами в'дпов'дних значень, записаних в iншй систем'1 числення. Розглядаються властивост'1 неперервних дйсних функ^й дiйсноi зм'нно)' зi складною локальною повед'шкою засобами фрактального анал'зу та фрактально)' геометрii, зокрема даеться огляд функци Ва-дер-Вардена i досл'дження властивостей дано)' функцii. Також вказана актуальнсть досл'дження i практичшсть застосування неперервних нде не диферн^йовних функ^й в р'зних математичних моделях.
Кnючовi слова: неперервна нде не диферен^йовна функ^я, функ^я Ван-дер-Вандера, iтерована функ^я, фрактальна функ^я, сингулярнi функцii.
Постановка проблеми. Для опису тих чи Гнших природних явищ вибудовуються власы геометричн образи та поняття, Гнколи унтальы, пристосован до вимог вщповщного роздГлу. У переважнш бГльшосп випадкГв для побудови таких об'екпв використовуються традиции геометри. Проте математики вже наприкшц XIX на початку XX ст. для побудови неперервних нще не диференцшованих функцГй вивчали та вводили математичн поняття, що виходили за межi традицГйно''' геометри. Зокрема, останым часом широко вивчаються фрактали - геометричн об'екти рiзьбляноí форми, яким властивий особливий характер однорщносп та самоподiбностi.
Ом'я неперервних нще не диференцшованих функцГй утворюе одну з амей функцш зi складною локальною будовою. 1х пером конструкци були яскравими контрприкладами аналiзу. Пщвищений Ытерес до таких функцш з'явився в 30-х роках XX ст., коли Банах i Мазуркевич довели, що множина нще не диференцшовних в просторi С[0:1] неперервних на [0:1] функцГй з рiвномiрною метрикою е множиною другоí категори Бера. В останнiй час там функци все частiше фiгурують в наукових дослщженнях, як чисто теоретичних, так i прикладних. Варто зазначити, що ще у 1911 р. французький фiзик Ж.-Б.Перрен в його робот «Атоми» напевно першим висловив припущення, що «...кривГ, що не мають дотичних, можуть вважатись правилом, в той час як правильн кривГ—такГ, наприклад, як коло—цiкавим, але вельми частковим випадком... Напевно ми скоро зГткнемось з такими випадками, для опису яких виявиться проспше використовувати недиференцшовы функци, аыж тГ, що мають похiдну. Коли таке вщбудеться, практична цiннiсть математичних дослщжень iррегулярних континуумiв стане очевидною уам». Сьогоднi неперервнi нiде не диференцмовы функци з'являються в рiзноманiтних математичних моделях. Наприклад, вони використовуються в радюелектроыц для конструювання фрактальних антен, а також для моделювання мовних сигналiв та цифрово''' обробки зображень та сигналiв. Застосуванню фрактальних множин та функцГй в фiзицi та Гнших природничих науках присвячено чимало робп\ Фрактальнi неперервнi функцГ'' використовуються в економiчнiй теорГ'' при аналiзi коливання цiн на фондовому ринку, в медицин при дiагностицi серцебиття та Гнших науках. Фрактальнi функци виникають також в сумГжних з фрактальним аналГзом роздiлах математики, зокрема в дробовому числены, теорп динамГчних систем, теорií наближень. В останне десятилгття розвиваеться як iндивiдуальна, так i загальна теорiя таких функцГй. Потужними засобами 'хнього аналiзу е мГри Хаусдорфа дробових порядкГв та метричн розмГрностГ (Хаусдорфа-Безиковича, Хаусдорфа-Бiллiнгслi, клтинкова тощо). Продовжують дослiджуватись властивостi не тГльки класичних, але i нових прикладiв недиференцiйовних функцГй засобами теорп фракталГв. Фрактальнi властивостi функцГй вивчаються в двох напрямках—це властивост (хых рГвнГв та графiкiв. Варто зазначити, що на сьогодн зовсГм не для вах функцГй проведено глибокий фрактальний аналГз (наприклад, i дос залишаеться вГдкритим питання про розмГрысть Хаусдорфа-Безиковича графГка функци Вейерштрасса). Тривае процес створення методологи дослщження. Особливо гостро сто'ть проблема аналГтичного задання та дослщження
ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)
фрактальних властивостей таких функцм. В теорп недиференцiйовних функцiй ранiше використовувалось кiлька пiдходiв до 'хнього задання:
1) геометрично-описовий спосiб (приклади Больцано, Безиковича);
2) метод «згущення особливостей» (функци Вейерштрасса, Дарбу, Така^- Ван дер Вардена тощо);
3) метод систем ггерованих функцiй (фрактальнi Ытерполяцмы функцГ');
4) функцiя як перетворювач цифр аргументу (приклади Сiнгха, Вундерлiха, К^нн^, неперервнi канторiвськi проектори).
Мета статп: розглянути iсторiю формування поняття неперервно' нiде не диференцiйовноí функци та проаналiзувати основнi пiдходи до побудови неперервних нще не диференцмовних функцiй.
Виклад основного матерiалу. Жде не диференцiйовна функцiя - це функщя, яка не мае диференщала, а у випадку функци однк'' змiнноí - це функцiя, що немае похiдноí нi в одшй точцi. Багато математичних понять пройшли довгий дiалектичний шлях розвитку, перед тим як отримати строп визначення або сформуватися в нин кнуючому виглядк Коли вдаеться дати загальне визначення поняттю то виявляеться, що воно може охоплювати уже множину об'ек^в, значно бiльш ширшу, ыж те, що привело до даного визначення, тобто мктить об'екти, ям ще не розглядалися, або навпъ тi, про iснування яких раыше не здогадувалися. Цi загальнi закономiрностi легко спостерiгати на розвитку понять функцп, и неперервностi та диференцмованосл.
Встановлення зв'язкiв мiж поняттями неперервносп та диференцiйовностi функцiй мае цтаву iсторiю. Похибки, що зустрiчалися у роботах математи^в мали за часту об'ективний характер. Шсля вiдкриття диферен^ального числення в сили вузькостi класу Ыту'тивно склалася думка, що кожну функщю можна диференцiювати будь-яку ктьккть разiв - це пiдтверджувала практика знаходження похщно'' будь-яко'' запропоновано'' функцп, побудову дотичних до кривих, як розглядаються. Таке хибне представлення у 1806 роц Ампер намагався навпъ узаконити, аргументуючи це iснуванням i едностi похiдноí для кожно'' функцп. Ампер розумiв функцiю, як «аналтичну функцiю» за виключенням скiнченного числа точок. I саме для таких функцм його ствердження було правильним. Жзыше поняття про функци змшилося i ствердження Ампера перенесли на неперервн функцГ'' в сьогоднiшньому розумшы. Глибоко це не аналiзуючи, багато вважали його фундаментом всього диферен^ального числення, наводили сво'' доведення цього ствердження i користувались цим при доведены шших фактiв.
З часом думка про нерозривнкть зв'язку неперервносп функцГ' та '''' диференцiйовностi почала пщдаватися сумнiву. У роботi «Вчення про функцГ''», опублiкованiй у 1930 рощ, Больцано будуе приклад неперервно' нiде не диференцiйовноí функцГ'. У 1834 - 1835 роках деякий зв'язок мiж цими поняттями починае розумiти Лобачевський. Дiрiхле у 1834 роц^ на лекцiях у Берлшському унiверситетi, зазначае, що в загальному випадку не можливо довести кнування похщно''' у довiльнiй неперервнiй функцГ'', а також стверджуе кнування неперервно' функцГ'' без похiдноí. У 1861 роц Рiман зазначае приклад функцГ'' вщносно яко'' Дюбуа - Реймон стверджуе, що вона не диференцмована на вай щiльнiй множинi, а Вейерштрасс, у 1882 роцi, пише з цого приводу наступне: « До останнього часу взагалi припускалося, що однозначна й неперервна функщя одые'' змiнноí завжди мае першу похщну, значення яко'' може бути не визначеним або нескшченно великим лише в окремих точках. Навпъ в листах Гаусса, Кошм, Дiрiхле мен не вдалося однозначно виявити, що ц математики, якi пщдавали суровiй критицi все у сво'й науцi, висловлювали iншi погляди. Як я дiзнався в^д деяких слухачiв Рiмана, вiн вперше висловив думку, що це припущення хибне, i наприклад функцiя, представлення нескiнченним рядом
$, 'т(п2 ■ х)
^ 2
п=1 "
не пщтверджуе такого припущення. Проте, доведення Рiмана не було опублiковано, але широко розповсюджувалось, i математики вважали, що достатньо довести кнування функцГ'', яка в будь - якому завгодно малому iнтервалi мае точки в яких вона не диференцшовна. Легко довести, що кнуе функци такого роду, як не мають похщно''' нi для одного свого аргументу. Доведення того, що функщя такого вигляду е функцкю представленою тригонометричним рядом, мен все ж таки здаеться важким...» [6, с.71-72] .
Ттьки у 1918 роцi Хардi показав, що побудована функцiя Рiмана не мае скiнченноí похiдноí н в якiй точцi е ■ ж, де
е- рацiональне або iррацiональне число вигляду 2т , 2т +1 , де т, п - цiлi, i зробив узагальнення прикладу Рiмана
4п +1 2(2п +1)
[4,с.104]. У 1970 роцi Герберт показав вщсутнкть скiнченноí похiдноí функцГ'' Рiмана е ■ ж, де е - рацюнальне число вигляду
2т +1 (т, п е М) i рiвнiсть похiдноí 1 в точках е ■ ж, коли ее рацюнальним числом з непарним знаменником i чисельником. 2п 2
У 1873 роц Шварц побудував наступний приклад неперервно' монотонно'' функцГ', що немае похщно''' на всi щшьнш множинi точок:
í (х)= £^,
п=1 4
де <р(х) = [х]х-[х], х < 0, [х] - Цiла частина х. Цю функцiю Шварц вважав недеференцмовною, але як виявилося пiзнiше
вона майже с^зь мае скiнченну похщну.
Проте побудований у 1871 роц приклад функцГ' Вейерштрасса раз i на завжди вирiшив суперечку в кнуваны недиференцiйоних функцiй
í(х) = 2а" ■ ео8(&п ■ жх)
п=1
де 0 < а < 1, Ь - непарне цте число, бтьше 1 i таке, що а. ь < 1 + —. Значно пiзнiше було виявлено, що функ^я
2ж
Вейерштрасса мае похщну рiвну +<х> або -да на нескiнченнiй скрiзь щтьый навiть незчисленнiй множинi точок.
Бажання побудувати бтьш широк класи неперервних недиференцiйовних функцiй призвело до питання про «масивысть» множини таких функцiй у просторi Bcix неперервних функцiй. У 1931 роцГ, використовуючи метод категорiй, на це питання незалежно i рiзними способами знайшли вiдповiдi Банах i Мазуркевич, довiвши, що майже всi, в розумшы категорiй Бера, неперервнi функци нiде недиференцiйованi. Множина таких функцм мае категорiю Бера у просторi С[0: 1] всiх неперервних на [0: 1] функцм з рiвномiрною метрикою. Доведено, що ця множина утворюе коаналiтичну неборилевську пiдмножину простору С[0: 1].
Сьогоднi iснуе багато прикладiв нiде не диференцiйовних функцй для означення яких виокремлюють три основних пщходи. Перший пiдхiд полягае в узагальненн функци Вейерштрасса. 1сторично першим це зробив Т. Така^ у 1903 роцi, функцiя мае наступний вигляд:
г (х) ,
n=o 2
де (f(x) = infix - m| - перiодична функцiя, перюд яко!' дорiвнюе 1. Згодом аналопчы функци побудував К.Кнопп (1918), Ж. де Рам (1957) та Ышк
Детально розглянемо приклад неперервно!' нще не диференцiйованоí функцГ'', що е модифтащею прикладу функцГ'', побудованого в 1930 роц голландським математиком Ван-дер-Варденом [3].
Нехайf0(x), x е P — функцiя, що дорiвнюе вiдстанi вiд точки х до найближчо!' цiлочисельноí точки, тобто
( 1
I х,при 0 < х < -
/« = { 1 2 — х, при —<х<1,
де /о(х + 1) = /о(х),для Vx е R.
Розглянемо властивост дано!' функци. Зрозумiло, що /0(х) — функцiя, неперервна на всш числовiй осi, перiод
дорiвнюе 1, лiнiйна на кожному вiдрiзку р-", Де s е Z, i кутовий коефiцiент графiка цГе!' функцГ'' на кожному такому вiдрiзку дорiвнюе ±1. Покладемо
, /0(4"*) _
/п(х) = —^— для п > 0.
Очевидно, що /й(х) — вщстань мГж точкою х i прилеглою до не' точкою т • 4", де m£Z. Для кожного xeW, /й(х) — неперервна перiодична з перюдом i максимальним значенням ФункцГя лiнiйна на кожному вщрГзку
[^f-2"^] i кутовий коефщент графiка цГе!' ФункцГ' на кожному такому вщрГзку дорiвнюе ±1.
Для будь-якого дмсного числа х визначимо
/« = //пМ = /
/о(4пх)
4«
п=0 п=0
Так як 0 < /г(х) < — , то ряд, що визначае /(х) рiвномiрно сходиться до R за ознакою Вейерштрасса i з неперервностi /й(х) слiдуе неперервнiсть /(х).
Нiде не диференцмовысть функци Ван-дер-Вардена доводиться наступним чином. Нехай х — довтьне дiйсне число. 1снуе послiдовнiсть вкладених один в одного вiдрiзкiв
2 • 4П ' 2 • 4Г що мiстять точку х.
На такому B^pi3Ky Дп , довжина якого г, завжди знайдеться така точка хп така, що |хп — х| = Склавши вiдповiднi спiввiдношення для к > п i к < п, знаходиму ix суму i отримуемо
от "
/(*п) — /(*) V /fe (Х") — /fe (Х)
У М*п) — /fcW = У
¿i Х„ — X ¿-1
е цiлим числом, яке парне при непарному п i непарне при парном п. Вщповщно, кiнцева границя pi3HocropoHHboro даного вiдношення при п ^ от не iснуе, а тому не кнуе i /(х).
Другий тдхщ е геометричним i базуеться на системi iтерованих функцiй [3]. Означення функци через побудову графта е основним, зокрема аналiтичне подання е другорядною задачею. Поняття класу iтерованих функцiй BBiB Дж.Хатчинсон, а тзнше це питання дослiдили i розвинули М.Бернелi, Д.П.Хардiн та ш.
Третiй пiдхiд до побудови фрактальних неперервних функцш полягае у встановленн певного зв'язку мiж цифрами аргументу (поданого в певый системi числення) i цифрами вiдповiдних значень, записаних в ЫшМй системi числення. 1дея використовувати для задання функцiй рiзнi способи зображення чисел i певним чином перетворювати елементи цих зображень з'являеться у роботах В.Сертнського , А.Сшгха, В.Вундерлiха, Дж.Кiннi та н
Класи неперервних нiде не диференцшовних функцiй постiйно розширюються i поповнюються новими представниками. Але досi залишаеться вiдкритою загальна проблема зручного аналтичного задання таких функцiй i ефективного апарату '¡х дослiдження.
Список використаних джерел
1. Безикович А.С. Исследование непрерывных функций в связи с вопросом об их дифференцируемости // Мат. Сб. - 1924. - №4. - С. 529-556.
2. Медведев Ф.А. Очерки истории теории функций действительного переменного. - М.: Наука, 1975. - 248 с.
п —1
S
S
п
х„ — X
п
fe=0
fe=0
3. Працьовитий М.В. Фрактальний пщхщ у дослщженнях сингулярних розподiлiв / М.В. Працьовитий. - Кж'в, Нацюнальний педагогiчний унiверситет iM. М.П. Драгоманова, 1998. - 47 с.
4. Турбин А.Ф. Фрактальные множества. Функции распределения / А.Ф. Турбин, Н.В. Працевитый. - К.: Наукова думка, 1992. - C.104-108.
5. Waerden B.L. Van der. Ein einfaches Deispiel einer nicht differentierbaren steligen Funktion // Math. Z. - 1930. - 32. - S. 474475.
6. Weierstrass K. Uber contnurliche Funktionen ienrs reelen Arguments die fur keine Werth des letziert einen bestimmten Differentialquotienten besitzen (1872) // Math. Werke. - 1895. - Bd. 2. - S. 71-74.
References
1. Bezikovich A.S. Issledovanie nepreryvnyh funkcij v svjazi s voprosom ob ih differenciruemosti // Mat. Sb. - 1924. - №4. -S. 529-556. (in Russian)
2. Medvedev F.A. Ocherki istorii teorii funkcij dejstvitel'nogo peremennogo. - M.: Nauka, 1975. - 248 s. (in Russian)
3. Pratsovytyi M.V. Fraktalnyi pidkhid u doslidzhenniakh synhuliarnykh rozpodiliv / M.V. Pratsovytyi. - Kyiv, Natsionalnyi pedahohichnyi universytet im. M.P. Drahomanova, 1998. - 47 s. (in Ukrainian)
4. Turbin A.F. Fraktal'nye mnozhestva. Funkcii raspredelenija / A.F. Turbin, N.V. Pracevityj. - K.: Naukova dumka, 1992. - C. 104108. (in Russian)
5. Waerden B.L. Van der. Ein einfaches Deispiel einer nicht differentierbaren steligen Funktion // Math. Z. - 1930. - 32. - S. 474475.
6. Weierstrass K. Uber contnurliche Funktionen ienrs reelen Arguments die fur keine Werth des letziert einen bestimmten Differentialquotienten besitzen (1872) // Math. Werke. - 1895. - Bd. 2. - S. 71-74.
APPROACHES TO THE CONSTRUCTION OF CONTINUOUS NOWHERE DIFFERENTIABLE FUNCTIONS
Yurii Khvorostina, Svitlana Hilobok
Sumy Makarenko State Pedagogical University, Ukraine Abstract. In the article the making connections between the concepts of continuity and nowhere differentiable, the history of the formation of the concept of continuous nowhere differentiable functions, the first attempt to build functions of this type. We analyze three main approaches to the definition of continuous nowhere differentiable functions: the first approach is a generalization of Weierstrass functions; the second approach is based on geometric and iterated function system; the third approach is to establish some connection between the numbers i argument numbers corresponding values recorded in another numeration system. We consider the properties of continuous real functions of a real variable with complex behavior of local means of fractal analysis and fractal geometry, in particular, provides an overview of the Va-der-Worden's function and study the properties of this function. Also indicated the relevance of research and practical application of continuous nowhere differentiable functions.
Key words: the continuous nowhere differentiable function, the Va-der-Worden's function, an integrated function, fractal function, singular functions.
