CC BY
22
Scientific journal PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION
Has been issued since 2013.
Науковий журнал Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА
Видасться з 2013.
http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/
Кугай Н.В., KaniHi4eHHO М.М. Формування вм'шь майбутшх y4umenie математики застосовувати метод аналог'ш у процеС навчання дисципл'н математичного спрямування. Ф'вико-математична освта. 2019. Випуск 1(19). С. 88-94.
Kuhai N., Kalinichenko M.Formation Of Skills Of Future Mathematics Teachers To Use The Anology Method In The Process Of Learning Of Mathematics Disciplines. Physical and Mathematical Education. 2019. Issue 1(19). Р. 88-94.
DOI 10.31110/2413-1571-2019-019-1-014 УДК 378.011
Н.В. Кугай
Глух'вський нацюнальний педагогiчний ушверситет iменi Олександра Довженка, Украна
[email protected] М.М. КалЫченко Радюастроном'!чний iнститут АН Украни, Украна Глух'вський нацюнальний педагогiчний ушверситет iменi Олександра Довженка, Украна
kalinich @rian. kh arko v.ua
ФОРМУВАННЯ ВМ1НЬ МАЙБУТН1Х УЧИТЕЛ1В МАТЕМАТИКИ ЗАСТОСОВУВАТИ МЕТОД АНАЛОГ1Й У ПРОЦЕС1 НАВЧАННЯ ДИСЦИПЛ1Н МАТЕМАТИЧНОГО СПРЯМУВАННЯ
АНОТАЦ1Я
Формулювання проблеми. Формування методолог'чних знань i eMiHb майбутнiх учителiв математики у процеci навчання диcциплiн математичного спрямування е однею i3 актуальних проблем методично¡' науки. Як eid0M0, ниш найпоширенiшою серед досл'днишв е структурна модель методолог'мних знань, в якй виокремлено чотири рiвнi: флософський; загальнонауковий; конкретно науковий; технологiчний. Метод аналогiй в'дноситься до методолог'мних знань загальнонаукового р'вня. В'д cформованоcтi вмнь застосовувати цей метод залежить i загальний рiвень cформованоcтi методолог'чних знань i вмнь студент'ю-математишв. Для успешного i ефективного засвоення знань про метод аналогiй i вмнь його застосовувати сл'д з'ясувати: що таке аналогiя, на змстi якого навчального матер'юлу i якими прийомами доцльно формувати вмiння застосовувати метод аналогiй.
Матер/'али i методи. Анал'з науково/, навчально-методично¡' лтератури з проблеми досл'дження (математики та методики навчання математики, методологи, логки), пор'юняння, узагальнення.
Результати. Обфунтовано, що у навчаннi диcциплiн аналогiю сл'д розглядати i як схожсть м'ж поняттями, i як логiчний висновок, iяк метод пiзнання. Розглянуто приклади тем з рiзних математичних диcциплiн, на матер/ал/'яких доцльно формувати вмiння застосовувати аналогiю. Вказано прийоми формування методолог'мних вмть майбутнх учител'ю математики застосовувати метод аналогiй. Наведено приклади, в яких висновок за аналог'ею приводить до хибних тверджень.
Висновки. Для св 'домого формування знань про метод аналогiй та вмть цей метод застосовувати сл 'д якнайранiше ознайомити студент'ю з цим методом, показати можливостi його застосування у процеа навчання рiзних диcциплiн математичного циклу, прийоми формування вмiння застосовувати метод аналогiй. Важливим фактором для застосування методу аналогiй як методу пiзнання е демонстраця прикладiв неправом 'рного використання аналоги.
КЛЮЧОВ1 СЛОВА: аналогiя, дисципл'!ни математичного спрямування, методологiчнi знання i вмiння.
ВСТУП
Постановка проблеми. Сучасний стан розвитку сусптьства характеризуемся с^мким зростанням потоку вщомостей, тдвищенням значущосп математичного знання в профеайый дiяльностi людства. Збтьшуеться не ттьки кшьмсть наук, як застосовують математику як зааб розв'язання поставлених задач i як мову, але й обсяг математичних знань, використовуваних цими науками (Бевз, 1989). У зв'язку з цим на перший план виступае завдання тдготовки творчо!' особистосп, здатно! швидко орiентуватися в нових со^альних, економiчних i виробничих ситуащях. 1ншими словами, потрiбен фахiвець, який володiе методолог'!чними знаннями. Все назване вище стосуеться i навчання у вищм школ^ зокрема пщготовки майбутнього вчителя математики. До методолопчних знань майбутых учителiв математики вщносяться i знання про метод аналопй.
Аналiз актуальних дослщжень. Питаннями аналiзу i оцЫки методу аналопй займалося чимало науков^в з рiзних галузей знань, у тому чи^ з математики та методики навчання математики (детальний огляд наведено, зокрема, у статтях (Петько, 2016), (Костюченко, 2017)). Так, вщомий американський математик Д. Пойа, розглянувши метод аналопй як метод тзнання, зауважив, що «аналопя ... мае долю у вах вщкриттях, а в деяких вона мае левову долю» (Пойа, 1975, с. 39). На важливм ролi методу аналопй у профеайый тдготовц вчителя математики акцентовано у монографп Г. Михалша
ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)
(Михалш, 2003). У po6oTi I. Гордieнко (Гордieнко, 2013) розглянуто pi3Hi види аналогiй, ix функцп та можливосп застосування методу аналогiй як методу навчання у шктьному Kypci математики. Метод аналогiй як елемент методологЫнихзнань майбутых учителiв математики висв™ений у науковiй лiтературi недостатньо.
Мета статл. Запропонувати шляхи та прийоми формування вмЫь майбутнix учителiв математики застосовувати метод аналогiй у процеа навчання дисциплiн математичного спрямування.
МЕТОДИ ДОСЛ1ДЖЕННЯ
Для написання статтi використано, переважно, теоретичнi методи пiзнання: аналiз науково!, навчально-методично! лтератури з проблеми дослiдження (математики та методики навчання математики, методологи, лопки), порiвняння, узагальнення.
РЕЗУЛЬТАТИ I ОБГОВОРЕННЯ ДОСЛ1ДЖЕННЯ
Розглянемо тлумачення поняття «аналопя» в рiзниx джерелах:
1. Аналог1я - 1) подiбнiсть, сxожiсть у чому-небудь мiж предметами, явищами, поняттями; 2) логiчний висновок, зроблений на тдст^ сxожостi, подiбностi у чому-небудь предме^в, явищ, понять (Словник, 1970).
2. Аналог1я — метод, вщповщно до якого на пщст^ подiбностi предметiв за одними ознаками робиться висновок про ix подiбнiсть за Ышими ознаками (Щерба та шшл, 2004).
3. Аналог1я е одним з методiв наукового пiзнання, за допомогою аналоги досягаеться знання про предмети i явища на пщст^ того, що вони мають подiбнiсть iз iншими (Колесников, 2011).
4. Аналог1я - метод наукового тзнання, тд час якого встановлюеться подiбнiсть у деяких рисах, якостях i вiдношенняx мiж нетотожними об'ектами (Сисоева & Кристопчук, 2013).
У контекст нашого дослiдження будемо розглядати аналопю i як сxожiсть мiж поняттями, i як логiчний висновок, i як метод пiзнання. Загальновiдомо, що умовивщ (висновок) за аналогiею мае таку схему:
Об'ект А мае властивост a, b, c, d Об'ект В мае властивост a, b, c Ймовiрно, об'ект В мае властивкть d
Висновок за аналопею схожий до iндуктивного висновку, вЫ ймовiрнiсний. Тому одержане таким чином твердження треба або довести, або спростувати. У цьому сена аналопя переходить у метод теоретичного тзнання: висуваеться ппотеза, яка тдлягае подальшому дослiдженню; якщо вона тдтверджуеться (у математицi - доводиться), то отримуемо нове (об'ективно чи суб'ективно) знання.
У монографп (Кугай, 2017) для кожно! навчально! дисциплiни математичного спрямування вказано теми, для устшного вивчення яких доцтьно застосувати метод аналопй. Розглянемо конкретнi приклади.
1. Математичний аналз. Зауважимо, що важливкть аналогй' у процеа вивчення ще! дисциплши розглянута у роботi Г. МихалЫа (Миxалiн, 2003). Наведемо окремi приклади з цiеi роботи i вкажемо прийоми формування вмiнь студенев застосовувати метод аналогiй для вказаних ситуацш.
Приклад 1.1. Границя в точц функци однiеi i багатьох змшних.
З метою свiдомого формування вмшь студентiв-математикiв застосовувати метод аналопй доцтьно викладачевi на початку першо! лекцп з теми «Границя функцп багатьох змiнниx» за активно! участ студентiв записати на дошцi (або висвп^лити на слайдi) означення границ в точцi функцп однiеi змшно!:
def
a = lim f (x)<V£ > 0 3££) > 0 Vx: 0 < |x - x0| < S(e) |f (x) - a| <£ (1)
Далi звернутися до студентiв iз запитаннями: Що означае |x - x0| ? (Очiкувана вiдповiдь: Це вiдстань мiж точками х i х0). Введемо позначення: |x - x0| = р(х,х0). Тодi рiвнiсть (1) можна записати так:
def
a = lim f (x)<Vs > 0 B3(s) > 0 Vx: 0 < р(x,x0) < S(s) | f (x) - a| < £ (2)
Шсля цього викладач:
- формулюе i записуе на дошц (висвiтлюе на слайдi) означення границ в точцi функци n змiнниx:
Нехай f(x) = f(Xvxn), x0 = О^x02,■■■,x0„) .
def
a = lim f (x)<V£ > 0 B3£) > 0 Vx: 0 < р(x,x0) < S(£) | f (x) - a| < £ ; (3)
- пропонуе студентам порiвняти цi означення та зробити висновок (Очтувана вщповщь: означення сxожi);
- пропонуе зробити припущення про властивостi границi в точц функцп n змiнниx (Очтувана вiдповiдь: Мабуть, цi властивостi аналог1чн1 властивостям границ в точцi функцп одые! змiнноi);
- формулюе за активно! участ властивостi границi в точц функцп n змiнниx;
- пропонуе студентам довести сформульован властивост самостiйно (самостiйна поза аудиторна робота).
Приклад 1.2. Диференщальне числення функцп одые! i багатьох змiнниx.
Як i у попередньому прикладi, доцтьно записати означення похщно! функци в точц та означення частинних похщних першого порядку (як границю вщношення вiдповiдниx приростiв функцп до приросту аргумента за умови, що приркт аргумента прямуе до 0). З того, що ц означення схож^ студенти роблять припущення про аналог'чнсть способiв i методiв обчислення частинних похщних. На матерiалi теми «Диференцмовысть функцп n змiнниx» доцiльно показати, що висновки за аналопею е ттьки правдоподiбними, не завжди ктинними. Так, порiвнюючи означення поняття
«диференцмовна функция» для функцп одые! змЫно! i для функцп 2-х змшних, студенти, як правило, роблять припущення про аналог'1чн'1сть властивостей диференц^овно! функцГ! 2-х змшних властивостям диференцiйовно!' функцГ! однiе!' змшно!. Для спростування цього припущення (тобто, не Bci властивостi аналогiчнi), доцiльно навести приклад функцГ'' 2-х змшних, яка мае частинн похГднГ в деякш точцГ, але не е диференцшовною в цГй точцГ, та розв'язати цей приклад (а аналогiчнi властивост сформулювати як теореми i запропонувати !'х довести студентам самостiйно). Прикладом може
слугувати ФункцГя f(x, y) = J \x ■ y| ,(x; y) e R2,(x0;y0) = (0;0) .
Застосування методу аналогiй, розглянуте у прикладах 1.1 та 1.2, сприяе перенесенню студентами знань i вмГнь, сформованих у процесi вивчення одних тем навчально! дисциплГни, на шшу тему; самооцiнцi та рефлексп студентiв щодо сформованих знань та вмшь; пiдвищенню рГвня самостiйностi у навчаннк Приклад 1.3. ЧисловГ ряди i скiнченнi суми.
Запис числового ряду у виглядi ^ип наводить студенев на думку про аналог'чнсть властивостей числового ряду
П = 1
i суми скшченно' кiлькостi дшсних чисел V. Щоб показати хибнiсть повно' аналоги, доцтьно пiсля вивчення питання
п=1
про збiжнiсть гармонiйного ряду тдкреслити той факт, що сума скшченно' кiлькостi дiйсних чисел завжди кнуе i едина, а
от про «суму» зчисленно' кiлькостi дiйсних чисел такого сказати не можна: не можна говорити про суму ряду V —,
n=1 n
оскiльки цей ряд розбiжний. Для обГрунтування неправомiрностi довiльного розставляння дужок у числовому рядi слщ розглянути, наприклад, ряд 1 -1 +1 -1 +... + (-1)n+1 +.... i запропонувати студентам: 1) дослiдити його на збiжнiсть (Очiкувана вiдповiдь: ряд розбiжний, бо limмп Ф 0); 2) розставити дужки так, щоб «сума» ряду була рiвна 0 (Очтувана
вщповщь: (1 -1) + (1 -1) +...); 3) розставити дужки так, щоб «сума» ряду була рiвна 1 (Очтувана вщповщь: 1 - (1 -1) - (1 -1) -...). Обов'язково тсля такого завдання викладач мае акцентувати увагу студенев на тому, що пропонований ряд суми не мае, бо вш розбiжний. Шсля вивчення теми «Числовi ряди» доцтьно з'ясувати за активно!' участ студентiв вiдповiдь на запитання: У якому випадку властивосп числових рядiв аналогiчнi властивостям суми скшченно' кiлькостi доданкiв?
2. Анал'тична геометрiя. Найпроспший приклад - Вектори на площин i в просторк У цiй роботi ми не зупиняемося на цьому приклад^ але пщ час вивчення вiдповiдних питань обов'язково слщ акцентувати увагу студенев на цiй аналогй'. Це слугуватиме прикладом того, як навчати сьогодншнього студента, щоб «вш не ттьки опановував вiдповiдний теоретичний матерiал, але й навчався навчати сво'х майбутых учнiв» (Михалiн, 2003). Приклад 2.1. Пряма лiнiя на площин i в просторi.
Для цтеспрямованого формування знань про метод аналогш i вмiння його застосовувати на початку лекцп «Пряма лiнiя в простор^) необхiдно актуалiзувати знання студенев з теми «Пряма лiнiя на площиы», застосувавши, наприклад, метод контрольних запитань (тсля правильно' вщпов^ студенев рiвняння прямо' з'являеться на слайд^ друга колонка таблицi 1):
1. Запишпъ векторне рiвняння прямо'' на площинГ
2. Як з цього рiвняння можна отримати параметричне? Запишпъ його.
3. Яке ще рiвняння прямо'' можна отримати з параметричного? Запишпъ його.
4. Ям ще види рiвнянь прямо' на площин ви можете назвати?
5. Чи змшиться форма векторного рiвняння прямо' у просторi? (Hi). А як змшиться його змiст? (Записанi вектори матимуть три координати).
6. То як можна записати ще рiвняння прямо' у просторi?
Пiсля таких запитань студентам пропонуеться заповнити таблицю 1 (останню колонку).
Таблиця 1
Рiвняння прямо'1
Назва рiвняння Пряма на площин Пряма у просторi
Векторне г = r0 + ts,t е R г = r0 + ts,t е R
Параметричне x = x + l^t,y = y0+m^t,teR x = x+ l^t,y = y0 + m^t,z = z0 + n^t, t е R
Каноычне x - хо У - Уо x - x0 У - Уо z - Z0
l m l m n
Через двi заданi точки x - X y - У! x - x У - У\ z - Zj
X2 - X1 У 2 - У1 X2 - X1 У2 - У1 Z2 - Z1
Разом з тим доцтьно вказати на обережне використання методу аналогш: не вс властивосп прямо' на площинi можна перенести на пряму у проспр. Так, якщо загальне рiвняння прямо' на площин ах + Ьу + с = 0, то аналопчне рiвняння з трьома змшними ах + Ьу + ст + d = 0 не е загальним рiвнянням прямо' у просторГ Варто з'ясувати iз студентами у колективнш бесiдi тi властивосп прямо', якi е рiзними для площини i простору. План бесщи може мати таким:
1 тут: r = (x0,Уо) , s = - для рiвняння прямо' на площинi; r0 = (x,Уо,zo), s = (l'm>n) - У npocTopi
1. Взаемне розмщення двох прямих на площинi i в просторк
2. Паралельнiсть прямих на площин i в npocTopi.
3. Перпендикуляршсть прямих на площинi i в просторк
3. Комплексныйанал'з. Шд час вивчення навчально' дисциплiни «Комплексний аналГз» ефективно застосовуеться метод аналогш, який вiдноситься до методiв загальнонауково' методологГ''. Для цiлеспрямованого формування методолопчних знань про метод аналогiй i вмiнь його застосовувати доцiльно на перший лекцГ'' з навчально!' дисциплГни «Комплексний аналГз» продемонструвати студентам таблицю 2.
Таблиця2
Порiвняння назв зм^ових модулiв навчальних дисциплiн
Математичний анал1з Комплексний анал1з
Вступ до аналiзу (множини, числовi множини, функцГя, числова послiдовнiсть i м границя, границя i неперервысть функцГ'') Поле комплексних чисел. Границя послщовност комплексних чисел (тут вивчаються основнi елементарнi та елементарн функци комплексно' змiнноT). Границя i неперервнiсть функцГй комплексно' змшно'''
Диференцiальне числення функцiй одые' змiнноT та багатьох змiнних Диференцiальне числення функцГй комплексно' змшно'''
1нтегральне числення функцiй однiеT змiнноT та багатьох змшних 1нтегральне числення функцГй комплексно' змшно'''
Числовi та функцюнальы ряди Ряди з комплексними членами
Аналiз ц^еТ таблицi (назв змктових модулiв, Тх змкт) i порiвняння дозволяють зробити висновок про тiсний зв'язок
цих двох навчальних дисциплЫ (як i IX назва). Викладач, згадуючи разом iз студентами означення простору Я2, точок цього простору, вщстаы мiж ними, околiв точок, границi послiдовностi i функци у точцi за множиною, неперервност функци, похiдноí функци у точщ, властивостi границь, неперервностi, похiдноí тощо, пiдкреслюе, що цi означення за формою залишаються такими самими i для простору С комплексних чисел, i для функци комплексно!' змшноТ. Аналогiчне можна стверджувати i щодо формулювань багатьох властивостей та Тх доведень. Отже, якщо студенти опанували сутысть згаданих тверджень для функци дмсноТ змiнноТ, то вони фактично майже опанували Тх i для функци комплексно' змшноТ.
Водночас викладач мае наголосити, що у комплексному аналiзi е достатня ктьккть переконливих прикладiв, якi iлюструють важливiсть методу аналопй i в той же час пщкреслюють принцип Тх обережного використання. Наведемо окремi з таких прикладiв.
Приклад 3.1. Професiйно значущим для майбутнiх учителiв математики е вивчення основних елементарних функцм комплексноТ змiнноТ. Як правило, студенти за аналопею переносять властивостi основних елементарних функцм дiйсноТ змiнноТ на вщповщы функци комплексноТ змiнноТ. З метою запоб^ання таких помилок доцiльно тсля введення основних елементарних функцiй комплексноТ змшноТ заповнити порiвняльну таблицю 3 (цю роботу можна здiйснити на вщповщному практичному заняттi або винести студентам на самоспйне опрацювання).
Таблиця3
Порiвняння властивостей основних елементарних функцш дшсно!та комплексно'! змiнно°i
Дшсна змГнна Комплексна змшна
w = ez
Для вiзуалiзацiT окремих властивостей елементарних функцГй доцiльним е, на нашу думку, застосування комп'ютерних програм. Так, на рис.1 наведено графти функцГй y = cosx, x e R та u = |cosz|, z e C . Завдання такого типу
сприяють не тiльки формуванню критичного ставлення до висновкГв, зроблених за аналопею, а й формуванню методолопчних знань i вмiнь щодо методiв аналiзу i синтезу, порiвняння, удосконаленню вмiнь застосовувати комп'ютернп засоби математики.
Рис. 1. Графши функцiй y = cosx, x e R та u = |cosz|, z e C (система MATLAB)
Приклад 3.2. З областю значень основних елементарних функцГй комплексно' змiнноT пов'язане питання про кнування i единiсть розв'язкiв рiвнянь. Це питання е важливим для формування профеайно' i методологiчноT культури майбутых учителiв математики i необдумане мехаычне застосування методу аналогiй призводить до неправильних
висновкГв. Тому варто разом Гз студентами, актуалГзувавши знання про область значень елементарних функцГй комплексно' i джсно' змшно''', заповнити таблицю 4.
Таблиця4
Множина розв'язтв окремих видiв рiвнянь
Рiвняння Множина дшсних чисел ( x £ R ) Множина комплексних чисел ( x £ C )
ax = b 1) a ф 0 - розв'язок кнуе i единий; 2) a = 0, b = 0 - розв'язки кнують, Тх безлiч; 3) a = 0, b ф 0 - розв'язмв не iснуе Аналопчно
ax2 + bx + c = 0, a ф 0 1) D > 0 - розв'язки кнують, Тх два; 2) D = 0 - розв'язок кнуе, один; 3) D < 0 - розв'язмв не кнуе Розв'язки кнують завжди 1) D > 0, D < 0 - два розв'язки 2) D = 0 - розв'язок кнуе, один
sin x = a, cos x = a 1) |a| < 1 - розв'язки кнують, Тх безлiч; 2) Н > 1 - розв'язмв не кнуе У а £ с розв'язки кнують, Тх безлiч
tgx = a, ctgx = a У a £ R розв'язки кнують, Тх безлiч У а £ с розв'язки кнують, Тх безлiч
a" = b a ф 1, a > 0 1) b > 0 - розв'язок кнуе i единий; 2) b < 0 - розв'язмв не кнуе 1) Для будь-якого b Ф 0 розв'язки кнують, Тх безлiч. 2) Для будь-якого b = 0 розв'язкв не кнуе
Приклад 3.3. За активноТ участi студентiв викладач нагадуе, що всi елементарнi функцГТ дiйсноТ змiнноТ е неперервними на своТй областi визначення. Пропонуе студентам домашне завдання: «Чи всi елементарн функцГТ комплексноТ змiнноТ е неперервними на своТй област визначення? Висунуту вами гiпотезу обГрунтуйте» (Очiкувана вщповщь: Не всi функцГТ комплексноТ змшноТ е неперервними на своТй област визначення. Наприклад, функцiя и = 1пг, г е С \ {0} не е неперервною у точках 1 = х < 0.
4. Вар'шцшне числения. Варiацiйне числення можна розглядати як аналог диферен^ального числення для функцГТ п змiнних. Крiм того, поняття диференцiала функцiонала, варiацiйноТ похщноТ аналогiчнi вiдповiдно до понять диферен^ала функцГТ п змiнних, частинних похщних тощо. Для формування знань про метод аналопй i вмiнь його застосовувати доцтьно повторити i систематизувати iз студентами знання про приркт аргументу i прирiст функцГТ, диференцмовнкть функцГТ, критичнi точки функцГТ, необхщну умову та достатню умову кнування екстремуму функцГТ, вмiння дослiджувати функщю на екстремум тощо. Зробити це можна, наприклад, у формi бесщи на однiй з перших лекцй У подальшому на лекцiйних заняттях слiд спрямовувати дiяльнiсть студентiв на встановлення аналопй мiж поняттями i фактами диференцiального числення та варiацiйного числення. Так, наприклад, пiсля введення понять «варiацiя функцГТ», «прирiст функцюнала», «варiацiя функцюнала» викладач пропонуе студентам назвати вщповщы аналогiчнi поняття з диферен^ального числення («прирiст аргументу», «приркт функцГТ», «диференцiал функцГТ»). Для рефлексп процесу формування знань про метод аналоги i вмiння його застосовувати доцтьно запропонувати студентам встановити вщповщност мiж поняттями диференцiального та варiацiйного числення (таку роботу слiд здшснити на останньому практичному заняттi або як одне iз завдань модульного контролю): Для кожного поняття або твердження диферен^ального числення (1 - 8) добергть аналопчне йому поняття або твердження варiацiйного числення (А - З).
1. Стацюнарна точка функцГТ А) Числова (числовО функ^я (Т)
2. Другий диференцiал функцГТ <<2 у Б) Варiацiя функцГТ 8у
3. Приркт функцГТ Ау В) Прирiст функцiоналу А/
4. Числова (числовО змiнна (i) Г) Варiацiя функцiоналу 8/
5. Приркт аргументу Д) Друга варiацiя функцкналу 8 I
6. Диференцiал функцп dy Е) Достатня умова екстремуму: 82I > 0 - min ( 8 2I < 0 - max )
7. Необхщна умова кнування екстремуму dy = 0 е) Необхiдна умова кнування екстремуму 8I = 0
8. Достатня умова екстремуму: d2y > 0 - min Ж) Значення функцюналу
(d2y < 0 - max ) З) Допустима екстремаль функцiоналу
(Bidnoeidb: 1 - З); 2 - Д); 3 - В); 4 - А); 5 - Б); 6 - Г); 7 - €); 8 - Е)).
У межах статт розглянути вс навчальн дисциплЫи математичного циклу (а '¡х понад 15), тим паче, теми цих навчальних дисциплш, не виявляеться можливим. Як зазначалося вище, у монографп (Кугай, 2017) для кожноТ дисциплiни математичного циклу наведено перелт методологiчних знань рiзних рiвнiв, у тому чи^ вказано, у процес навчання яких дисциплiн i конкретно яких тем застосовуеться метод аналоги.
ВИСНОВКИ ТА ПЕРСПЕКТИВИ ПОДАЛЬШОГО ВПРОВАДЖЕННЯ
Незаперечно, що аналопя е одним iз важливих методiв наукових вщкритпв у математицi. Не менш важливу роль метод аналопй вщкрае i у розширенi досвiду пiзнання студенев - майбутнiх учителiв математикiв. Для свщомого формування знань про метод аналопй та вмЫь цей метод застосовувати слщ якнайранiше ознайомити студенев з цим
методом, показати можливосп його застосування у процес навчання рГзних дисциплш математичного циклу, прийоми
формування вмшня застосовувати метод аналогiй. Важливим фактором для застосування методу аналогш як методу
тзнання е демонстрацГя прикладiв неправомiрного використання аналог!!.
Список використаних джерел
1. Бевз Г. П. Методика викладання математики : навч. поабник. К. : Радянська школа, 1989. 296 с.
2. Гордiенко I. В. Метод аналоги у вивченн шктьного курсу стереометри : автореф. дис. на здоб. наук. ступ. канд. пед. наук : 13.00.02 - теорГя i методика навчання (математика) / Нац. пед. ун-т Гм. М. П. Драгоманова. К., 2013. 20 с.
3. Колесников О. В. Основи наукових дослщжень. 2-ге вид. випр. та доп. Навч. поаб. К. : Центр учбово! лГтератури, 2011. 144 с.
4. Костюченко Р. Ю. Аналогия в науке и обучении. Вестник Сибирского института бизнеса и информационных технологий. 2017. № 4. С. 136-142. https://cyberleninka.rU/article/v/analogiya-v-nauke-i-obuchenii (Дата звернення 11.02.2019).
5. Кугай Н. В. Методолопчы знання майбутнього вчителя математики : монографГя. ХаркГв : ФОП Панов А. М., 2017. 336 с.
6. Михалш Г. О. Професшна пщготовка вчителя математики у процеа навчання математичного аналГзу : монографГя. Ки!в : НПУ Гмен М. П. Драгоманова, 2003. 320 с.
7. Петько Л.В. Метод аналоги як зааб пщвищення якосп процесу навчання в умовах унГверситету. HayKoei записки Бердянського державного педагогiчного ушверситету. 2016. Вип. 2. С. 158-163. URL : http://enpuir.npu.edu.ua/handle/123456789/11617 (Дата звернення 11.02.2019).
8. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения / ред. С. А. Яновская; пер.: И. А. Вайнштейн. Москва : Наука, 1975. 464 с.
9. Сисоева С. О., Кристопчук Т. £. Методолопя науково-педагопчних дослщжень : Пщручник. РГвне : ВолинськГ обереги, 2013. 360 с.
10. Словник укра!нсько! мови: в 11 т. Т. 1: А - В / ред. П. Й. Горецький, А. А. Бурячок, Г. М. Гнатюк, Н. I. Швидка. К. : Наукова думка, 1970. 799 с.
11. Щерба С. П., Щедрш В. К., Заглада О. А. ФГлософГя : Навч. поаб. для студ. вищ. навч. закл. / За заг. ред. С. П. Щерби. К. : МАУП, 2004. 216 с.
References
1. Bevz H. P. (1989) Metodyka vykladannia matematyky [Methodology of mathematics]. Kyiv: Radianska shkola [in Ukrainian].
2. Hordiienko I. V. (2011) Metod analohii u vyvchenni shkilnoho kursu stereometrii [The method of analogy in the school course of stereometry ]. Extended abstract of candidate's thesis. Kyiv: Nacional Pedagogical Dragomanov University [in Ukrainian].
3. Kolesnykov O. V. (2011) Osnovy naukovykh doslidzhen Basics of the scientific research []. Kyiv:Tsentr uchbovoi literatury [in Ukrainian].
4. Kostjuchenko R. Ju. (2017) Analogija v nauke i obuchenii [Analogy in science and education]. Vestnik Sibirskogo instituta biznesa i informacionnyh tehnologij Bulletin of the Siberian Institute of Business and Information Technology -, 4, 146-152. Retrieved from https://cyberleninka.ru/article/v/analogiya-v-nauke-i-obuchenii [in Russian].
5. Kuhai N. V. (2017) Metodolohichni znannia maibutnoho vchytelia matematyky [Methodological knowledge of the future teacher of mathematics]. Kharkiv: FOP Panov A. M. [in Ukrainian].
6. Mykhalin H. O. (2003) Profesiina pidhotovka vchytelia matematyky u protsesi navchannia matematychnoho analizu [Professional training of a mathematics teacher in the process of teaching mathematical analysis]. Kyiv : NPU imeni M. P. Drahomanova [in Ukrainian].
7. Petko L.V. (2016) Metod analohii yak zasib pidvyshchennia yakosti protsesu navchannia v umovakh universytetu [The method of analogy as a means of improving the quality of the learning process in a university]. Naukovi zapysky Berdianskoho derzhavnoho pedahohichnoho universytetu - Scientific notes of the Berdyansk state pedagogical university, 2, 158-163. Retrieved from http://enpuir.npu.edu.ua/handle/123456789/11617 [in Ukrainian].
8. Poja D. (1975) Matematika i pravdopodobnye rassuzhdenija [Mathematics and plausible reasoning] (I. А. Weinstein Trans.). Moskva : Nauka [in Russian].
9. Sysoieva S. O. & Krystopchuk T. Ye. (2013) Metodolohiia naukovo-pedahohichnykh doslidzhen [Methodology of scientific and pedagogical research]. Rivne : Volynski oberehy [in Ukrainian].
10. Slovnyk ukrainskoi movy: v 11 t. T. 1: A - V (1970) Dictionary of the Ukrainian language [].Kyiv: Naukova dumka [in Ukrainian].
11. Shcherba S. P., Shchedrin V. K., Zahlada O. A. (2004) Filosofiia [Philosophy].Kyiv: MAUP [in Ukrainian].
FORMATION OF SKILLS OF FUTURE MATHEMATICS TEACHERS TO USE THE ANOLOGY METHOD IN THE PROCESS OF LEARNING OF MATHEMATICS DISCIPLINES Kuhai Nataliia
Dovzhenko Hlukhiv national pedagogical university, Ukraine Mykola Kalinichenko
Dovzhenko Hlukhiv national pedagogical university, Ukraine, Radio astronomy institute, Ukraine
Abstract. Formation of methodological knowledge and skills of future teachers of mathematics in the process of teaching of mathematical disciplines is one of the topical problems of methodological science.
Formulation of the problem. Today the most common among researchers is a structural model of methodological knowledge, in which four levels are singled out: philosophical; general scientific; specifically scientific; technological. The method of analogy refers to the methodological knowledge of the general scientific level. From the formation of skills to apply this method depends on the general level of formation of methodological knowledge and skills of mathematicians student. For successful and effective knowledge of the method of analogies and abilities to apply it should find out: what is an analogy, on the content of which educational material and what techniques it is expedient to form the ability to apply the method of analogy.
Materials and methods. Analysis of scientific, educational and methodological literature on the problem of research (mathematics and methods of teaching mathematics, methodology, logic), comparison, generalization.
Results. It is substantiated that in the study of disciplines, analogy should be considered both as a similarity between concepts, and as a logical conclusion, and as a method of cognition. Examples of topics from various mathematical disciplines, on the basis of which it is expedient to form the ability to apply the analogy, are considered. Methods of forming the methodological skills of future mathematics teachers are pointed to apply the method of analogies. Examples are given in which the conclusion by analogy leads to false allegations.
Conclusions. For conscious formation of knowledge about the method of analogies and skills, this method should be used as soon as possible to familiarize students with this method, to show the possibilities of its application in the process of teaching different disciplines of the mathematical cycle, methods of forming the ability to apply the method of analogy. An important factor for applying the analogy method as a method of cognition is the demonstration of examples of misuse of analogy.
Key words: analogy, disciplines of mathematical direction, methodological knowledge and skills.
