CC BY
39
ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВІТА (ФМО)
№ 1(2), 2014
Scientific journal
PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION
Has been issued since 2013.
Науковий журнал
ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВІТА
Видається з 2013.
http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/
Шевченко С. Застосування знаменитих функцій до побудови контрприкладів // Фізико-математична освіта. Науковий журнал. - Суми : СумДПУ ім. А.С.Макаренка, 2014. -№ 1 (2). - С. 55-59.
Світлана Шевченко
Сумський державний педагогічний університет імені А.С. Макаренка, Україна ЗАСТОСУВАННЯ ЗНАМЕНИТИХ ФУНКЦІЙ ДО ПОБУДОВИ КОНТРПРИКЛАДІВ
Поняття «контрприклади» широко використовується у наукових дослідженнях, математичних припущеннях, визначенні коректності означення та істинності твердження, доведенні теорем. Контрприкладами називають приклади, які спростовують ті чи інші твердження. Відмінність між прикладами та контрприкладами полягає в тому, що приклади підтверджують загальні положення, а контрприклади ілюструють хибність і вважаються класичним засобом заперечення гіпотези [1, с. 11].
Розвиток математики та побудова контрприкладів привели до необхідності перебудови та уточнення деяких положень математичних теорій, однією з них була теорія функцій.
Як відомо, існує багато різноманітних функцій. Вони являються основним об'єктом дослідження в математичному аналізі. Проте є функції, які мають спеціальні методи дослідження, а їх специфічні властивості використовуються у контрприкладах. За останні півтора століття вони були побудовані. До них можна віднести такі визначні функції: функцію Діріхле D(x), функцію Рімана R(x), функцію Вейєрштрасса V(x), дельта-функція Дірака S(x) та гама-функція Ейлера Г(а). Розглянемо застосування даних функцій до побудови контрприкладів.
Приклад 1. Всюди розривна функція, абсолютне значення якої є всюди неперервною функцією:
[1, якщо х - раціональне,
f (x) = < „ . . f (x) = 1, x gR.
[-1, якщо х - ірраціонал ьне,
[sinl, якщо х gQ,
Приклад 2. sinD(x) = <
[0, якщо х g і.
Приклад 3. [D(x)] = D(x), {D(x)} = 0, де [x] - ціла частина x, {x} - дробова частина x.
Приклад 4. y = ax2D(x), a ^ 0.
Розв'язання. Ця функція диференційовна в точці x = 0. Дійсно,
55
PHYSICAL & MATHEMATICAL EDUCATION
№ 1(2), 2014
y(0) = lim =„m
Ax^0 Ax Ax^0 Ax
Приклад 5. Функція
lim aAxD(Ax) = 0.
Ax^-0
—, якщо x = m, n є N, m є Z, (ml, n) = 1, n n
Ra (x) = <{1, x = 0,
a, x є I.
Розв'язання. Ra(x) для a Ф 0 неінтегровна за Ріманом на кожному відрізку, оскільки вона розривна в кожній точці відрізка і міра множини її точок розриву більше нуля.
При a = 0 маємо R0(x) = R(x), Ra(x) - всюди розривна, оскільки при хо
lim f(x) = 0^a, lim f(x) = a.
Ж^Ж0ЄІ x^x0&I
xgQ xgI
Приклад 6. Чи існує функція, неперервна в кожній раціональній точці та розривна в кожній ірраціональній точці прямої?
Розв'язання. Не існує, тому що множина точок розриву функції є множиною типу Fa. А множина I ірраціональних чисел не є множиною Fa.
Приклад 7. Добуток D(x)• R(x) = R(x), D(R(x)) = 1, R(D(x)) = 1, де D(x) - функція Діріхле, R(x) - функція Рімана. Цей приклад цікавий тим, що суперпозиція всюди розривних функцій може бути неперервною.
Приклад 8. Приклад двох ніде не диференційованих функцій сума (різниця, добуток, частка) яких всюди диференційовна.
Розв'язання. V(x) - функція Вейєрштрасса (або Ван-дер-Вардена). Вона обмежена на R: |V(x)| < M. Візьмемо Mi та M2 так, щоб f (x) = Мг - V(x) > 0, f (x) = M2 + V(x) < 0, тоді f—(x) + f2(x) = M— + M2.
Для різниці: f—(x) = M— + V(x), f2(x) = M2 + V(x) ^ f—(x) - f2(x) = M— - M2.
Для добутку: f—(x) = M— - V(x) > 0, f2(x) =
1
M1 - V (x)
, тоді f1(x)• f2(x) = 1.
Для частки: f (x) = M1 - V(x), f (x) = C • M1 - C V(x), тоді
. A(x) _ 1
f2(x) C dz
Приклад 9. Функція z = x + V(y) має частинну похідну — = 1 і не має частинної
dx
похідної — в кожній точці (х; у) є R2.
ду
Аналогічно функція z = у + V(x) має частинну похідну dz = 1 і не має — в кожній
ду dx
точці (х; у) є R2.
Функція z = V(x) + V(у) не має частинних похідних в кожній точці (х; у) є R2.
Очевидно, всі наведені три функції неперервні в кожній точці (х; у) є R2.
Приклад 10. Приклад функції Ах), що має на R похідні до n-го порядку включно і не має похідної до (п + 1)-го порядку на R.
56
ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВІТА (ФМО)
№ 1(2), 2014
fi(x) = JV(x)dx, f (x) = J fi(x)dx,..., fn(x) = J fn_!(x)dx. Тоді f(x) = (x), f(x) = f- (x),
..., f(n](x) = fl(x) = V(x). Отже, fni)(x) не існує для Vx є R.
Приклад 11. Приклад монотонної диференційованої функції, похідна якої ніде не монотонна на R.
V(x) - функція Вейєрштрасса. Візьмемо M > 0 таке, що V(x) + M > 0 для Vx є R. Тоді
л
<p(x) = J (V (x) + M )dx
строго зростає на R, оскільки p'(x) = V(x) + M > 0, а V(x) + M ніде не монотонна на R. Приклад 12 [2]. Знайти інтеграл
jxp 1 (l - xm) 1dx (p, q, m > 0).
1
Зробимо підстановку xm = y, виразимо x: x = tfy = ym , dx = — ym dy. Тоді
m
1 —i
отримаємо:
1 , . 1 p-1 і 1 , Л 1
f xp1 (1 - xm )-1 dx = f y m .(1 - y)q-1■1■ ym-1dy = 1■ f J J m m ^
0
1 p-1+1-1
ym m m
■(1 - y y-1 dy =
- .f Vml .(1 - y У-1 dy = - ■ Bfp ; q ]. m J0 m v m J
Приклад 13 [2]. Обчислити інтеграл
j sin0 1p cosb 1pdp, (a, b > o).
Поклавши x — sin p, зведемо даний інтеграл до інтеграла
j x0-1 (1-x2 dx,
0
використовуючи приклад 4.2.1., будемо мати
л
2 ^
J sin0-1pcosb-1 pdp = — ■ B
a b ]_ 1
V 2'2 J = 2
Г
2
Г
Г
а + b
2
Приклад 14 [2]. Знайти інтеграл
\2m -1
0 (1 + x1)
Перетворимо підінтегральний вираз:
1(1 + x)2m -1(1- x)2n-1 .
I-----------:---------dx (m, n > 0).
f Іл і w2\m+n ' f '
(1 + x)2m- 1(1- x)2n-1 (1 + x)2m-1 (1- x)2n-1 f (1 + x)2 ^ m-1 1 + x f (1 - xf ^ n-1 1 - x
(1 + x2)m+n = (1 + x T (1 + x2)n = v 1 + x J 1 + x2 v 1 + x J 1 + x2
/ \m-1
{1 (1+x)2Л
v 2 1 + x2 j
■2m
-1 (1 + x)(1-x)
(
22
(1 + x2)
1 (1- x)
2Л n
v 2 1 + xz j
^n-1 _
f
1 (1 + x)
2Л m-1 (
2 1 + x2
1 (1- x)
2Л n
2 1 + x2
\m+n-2
(1+x)(1- x) (1+x2)2
0
0
0
0
0
0
57
PHYSICAL & MATHEMATICAL EDUCATION
№ 1(2), 2014
f 1 (1 + x)2 л m-1 / -, \ n-1 f 1 - 2x + x2 ) (
= V 2 1 + x2 у f 1 (1+x)2 Y-1 1 2• (1 + x2) J f 2 + 2x2 -1 - 2x - x2 ^
V 2 1 + x2 J V 2 • (1 + x2) J
(1 + x)(1 - x)
2\2
/ ■> \ m-1 s
f 1 (1 + x)2^ f
V2 1 + x у
2 Y
1 -
V
Використаємо підстановку u =
(1 + x)
2 • (1 + x2) y 1 (1 + x)2
(1 + x2)
n-1
(1 + x)(1 - x) • (1 + x2)2 (1 + x)(1 - x)
■>m+n-2
\ m+n-2
2 1 + x
2
(1 + x2)2 1 2
, 1 2(1 + x)(1 + x2) -(1 + x)2 • 2x ,
du =------------------—-----------dx =
(1 + x2)2
(1 + x)(1 + x2 - x2 - x) , (1 + x)(1 - x) ,
-dx =------—— dx, тоді отримаємо:
(1 + x2)2
\2т-1м . ,\2n-1
(1 + x2)2
1(1 + x)2m 1(1m+nx)------dx = J um1 (1 - u)n1 • 2m+n-2 du = 2m+n-2 J um1 (1 - u)n-1du = 2
m+n-2
(1 + x2)m+n 0
Приклад 15. Знайти похідну функції
0(x) =
• B(m; n).
0, x < 0,
[1, x > 0.
Використаємо зв'язок похідної та інтеграла:
F(x) = 1 y(x)dx, y(x) = dF .
dx
За означенням похідної
0(0 + Ax) -0(0) 1
lim —-----------— = lim — = +да
Ax^0
Ax
Ax^0 Ax
0(0 + Ax) - 0(0) 1
lim ------------------= lim — = +Qo,
Ax->0 Ax Ax->0 Ax
d6
dd
dx
= 0, Vx Ф 0.
Таким чином, — = 5(x) (за означенням дельта-функції Д і рака).
dx
m+n-2
2
0
0
b
a
Рис. 1. Графік функції @(х)
Список використаних джерел
1. Мартиненко О. В. Контрприклади та розвиток поняття функції / О. В. Мартиненко,
О. М. Бойко // Фізико-математична освіта: збірник наукових праць. - 2012. - № 1 (3). - 88 с.
2. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г. М. Фихтенгольц. - [3-е изд.]. - Т.2 - М. : Наука, 1951 - 800 с.
58
ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВІТА (ФМО)
№ 1(2), 2014
Анотація. Шевченко С. Г. Застосування знаменитих функцій до побудови контрприкладів.
Вказується поняття «контрприкладу».
Розглядається застосування функцій Діріхле, Рімана, Вейєрштрасса та дельта-функції Дірака до побудови контрприкладів. Наводяться приклади розв'язування інтегралів з параметрами за допомогою бета- та гама-функції Ейлера.
Ключові слова: функція, контрприклад, інтеграл.
Аннотация. Шевченко С. Г. Применение знаменитых функций к построению контрпримеров.
Указывается определение понятия «контрпример».
Рассматривается применение функций Дирихле, Римана, Вейерштрасса и дельта-функции Дирака к построению контрпримеров. Приводятся примеры решения интегралов с параметрами с помощью бета и гамма-функции Эйлера.
Ключевые слова: функция, контрпример, интеграл.
Abstract. Shevchenko S. G. The use of well-known functions to build counterexamples.
Indicate the term "counterexample". The application features Dirichlet, Riemann, Weierstrass and Dirac's delta-function to build a counterexample. Examples of solving integrals with parameters using beta- and gamma-functions Euler.
Keywords: function, counterexample, integral.
59
