CC BY
7РЕАЛ1ЗАЦ1Я ЗВ'ЯЗК1В ЗМ1СТОВО1 Л1Н11 ФУНКЦ1Й З1 СТОХАСТИЧНОЮ Л1Н1еЮ
В.К.Шрман, вчитель математики, Днтропетровський обласний лщей ттернат фiзико-математичного профтю, м. Днтропетровськ, УКРА1НА
Видшяються основн1 напрямки взаемоди функцюнальног та стохастичног зм1сто-вих л1н1й при поглибленому вивченн математики в школ1. Описуються тдходи адап-тацп знайомства з складними комбгнаторно-ймовгрностними схемами до можливос-тей учтв старших клаЫв. Пропонуються задач1 з початюв математичного анал1зу, що реал1зують так схеми.
Ключов1 слова. Стохастична зм1стова л1тя, функщональна зм1стова л1тя, поглиб-лене вивчення.
Питання основ теори ймовiрностей починають займати пдне мюце в школьному кура математики. Особливо це стосусться профшьних клаав та клаЫв з поглибленим вивченням математики, де вивченню основ стохастики видшяеться достатня кшькють часу. Введення основ теори ймовiрностi в шкшьний курс стало завдяки втшенню педагопчних щей видатних математимв та методиспв А.Колмогорова, О.Хшчша, Б.Гнеденка, А.Скорохода, М.Ядренка, ГПхмана, М.Крамера, ФМостеллера, Р.Рурке, Дж.Томаса, А.Рень"', М.Глермана, А.Плоцькi. Апро-бацiя поглибленого вивчення основ теори ймовiрностей стала можливою завдяки роботам З.1.Слепкань, Л.М.Вивальнюка, З.Г.Шефтеля, В.С.Люткаса, В.Г.Тарно-польського, В.Г.Васильченко. Питанням вивчення стохастики на сучасному етапi присвячеи роботи Я.С.Бродського, О.П.Павлова, М.1.Жалдака, Г.О.Михалша, Ю.1.Вол-кова, В.О.Грищенка. Рiзним аспектам вивчення питань стохастики присвячет роботи останнього десятилiття А.В.Лшшсько"', Т.М.Задорожньо1, Н.П.Варущик, Т.АОвчин-никово", В.Г.Божко, Т.В.Вiйчука Досш-дженням питань вивчення теори ймовiр-ностей в класах з поглибленим вивченням математики присвяченi роботи О.В.Труново"'.
В той же час цша низка питань, пов'язаних з поглибленим вивченням еле-ментiв стохастики залишаеться недостат-ньо дослiдженою. Це стосуеться по-перше системно"' неперервно"' пропедевтики основ теори ймовiрностi при вивченнi шших тем шкшьного курсу математики i подруге, способiв вивчення необхщних з прикладно"' точки зору аспекпв теори ймовiрностей, яю потребують достатньо складний, а iнодi й такий, що виходить за меж шкшьно"' програми аналiтичний апа-рат. Так в робот! [7] пропонуеться вивчати питання знаходження математичного спо-дiвання та дисперси випадково"' величини з розподшом Пуассона, що приводить до необхщносп ознайомлення школярiв з рядом Тейлора для експоненти. Новi про-грами для поглибленого вивчення математики мiстять питання про неперервш роз-подiли, що, в свою чергу викликае необ-хщнють ознайомлення з невласними iнте-гралами, вивчення яких не передбачено програмою.
Метою даног статт1 е анал1з зв 'язтв стохастичног та функцюнально'г зм1сто-вих лгнгй при поглибленому вивченш математики як в аспектI пропедевтики так / при систематизаци та узагальненн ма-тер1алу з позицт компетентютного тд-
®
ходу.
Вивчення питань, пов'язаних з випад-ковими явищами, без сумшву, повинно носити прикладний характер i е обов'яз-ковими для формування та розвитку ма-тематично'1 компетентностi. Згiдно нових програм, елементи теори ймовiрносгей вивчаються концентрично: початкове зна-йомство в 6 клаа, обчислення ймовГрнос-тей за класичною схемою в 9, основи теори ймовiрностей в 11. Ця схема фактично узаконила систему викладання основ теори ймовiрностей, яка в неявному виглядi сформувалась в профшьних фГзико-математичних класах. Бшьшють досвщче-них вчителiв розумiють, що "одним махом", стисло неможливо майже ознайоми-ти учнiв з вщповщними поняттями теор11 ймовiрностей. На це е декшька об'ектив-них причин: по-перше, поняття стохастич-но'1 змютово'1' лши носять свiтоглядний характер, тому повинш засвоюватися ево-люцiйно, поступово; по-друге, для розв'я-зування багатьох ймовiрнiсних задач не-обхiднi певнi, iнодi дуже специфiчнi, тех-нiчнi навички якi теж формуються часом; по-трете, iлюстрацiя конкретних застосу-вань потребуе iнодi знань, що виходять за межi шюльно1' програми (це стосуеться, в першу чергу, обчислювальних задач). Таким чином, виникае потреба пропедевтики та неперервного розвитку стохастичних уявлень, зокрема, при вивченнi тем змю-тово'1 лiнГí функцiй.
Отже, характеризуючи внутршньо-предмегнi зв'язки стохастично'1' та функщ-онально'1' лГни, можна видшити такi напрям-ки:
1. Розвиток стохастичних уявлень при вивченш функцГй.
2. Розвиток функцiональних уявлень при вивченш основ теори ймовiрностей
3. Формування техшчних, зокрема, обчислювальних знань та навичок, необхщ-них для ймовiрнiсних задач при вивченш тем, пов'язаних з функщями.
4. Розвиток навичок математичного моделювання функцюнальних залежнос-тей при вивченш теори ймовiрностей.
5. Розвиток обчислювальних вмшь, пов'язаних з функцiями при вивченш основ теори ймовiрностей.
Реалзащя цих внутрiшньопредметних зв'язюв оргашзуеться завдяки спецiально пiдiбраним задачам, що вщображають на-прямки 1-5 при вивченш вщповщних тем. Наведемо приклади. Щодо напрямку 1, то мова йде, в основному, про задачi на по-будову та дослщження функцiональних залежностей, пов'язаних з ймовiрностями. Акцент в них робиться не на ймовiрнiсну, а на функщональну складову, тобто робота вщбуваеться з готовими концептуаль-ними моделями. Тут можна видшити зада-чi де ймовiрностi вже заданi a priori i зада-чi, де щея обчислення ймовiрностей до-статньо прозора i вiдома учням, в тому числ з штугтивних мiркувань. Так в восьмому клаа при повторенш та системати-заци матерiалу сьомого класу, на урощ, присвяченому лiнiйним функцiям, знач-ний фрагмент уроку можна присвятити такш кориснiй задачi та ii узагальненням [3]: ''На футбольному полi гравець A та воротар B готуються до сери "одинадця-тиметрiвок". Гравець може бити в правий (стратегия 1) або лiвий (стратегия 2 гравця) боки. Аналогiчно, воротар може стрибати лiворуч або праворуч (вiдповiдно, страте-г1'1' 1 та 2 воротаря). Середня кiлькiсть за-битих м'ячiв при вiдповiдних стратегиях гравця (перший стовпчик) та воротаря (перший рядок) вщображена в таблиц 1.
1 2
1 7 10
2 9 6
Таблиця 1
Середня кшьккть забитих м'яч1в при в1дпов1дни\ стратепях гравц1в
г) яку найбшьшу та найменшу кГль-кГсть м'ячГв може бути в принципГ забито.
Пщ час евристично'1' бесiди, основна мета яко'1' з'ясувати термiн "середня кГль-кГсть забитих м'ячГв (розвиток стохастич-них уявлень), повиннГ прийти до висновку, що значения середньо'1' юлькосп забитих м'ячГв дорГвнюе
них у;
т = (7х + 9(1-х))у + (10х + 6(1 - х))(1 - у) = -6ху+4х + 3у + 6 = (4 - 6у)х + 3у + 6.
Принциповим для пункту б) е обме-ження 0 £ х £ 1. Розв'язання в) можна проГлюструвати за допомогою програмно-го комплексу ОКАШ (рис. 1).
Природним е запитання: чому Г саме в якГй точщ перетинаються графГки всГх цих лшшних функцш? ВГдповГдь до пункту г) здаеться майже очевидною, якщо анашзу-вати табл. 1. Але, якщо пщшти формально, то мова йде про найбГльше та най-меише значения виразу
Х=0.5023 У=8.012 МюХ=-0.008445 МахУ=11
Якщо перший гравець буде застосову-вати стратегию 1 з ймовГрнГстю х, а дру-гий стратегию 1 з ймовГрнютю у, то:
а) яке буде середне число забитих м'ячГв;
б) побудувати графк залежностГ т(х) середньо'1' кГлькостГ забитих м'ячГв, якщо у = 0,8;
в) дослщити залежнють т(х) для рГз-
^■(х,у) = -6ху + 4х + 3у + 6, якщо 0 £ х £ 1 та 0 £ у £ 1. Тут виникае чудовий привщ, щоб ознайомити учшв з методом замо-рожування змгнних, тодГ приходимо до висновку, що для отримання максималь-них та мЫмальних значень нашого виразу достатньо розглянути пари значень аргументу (0;0), (0;1), (1;0), (1;1).
| (5 Список о6'ект1в - !□!
| Явна: У=У|Х)
□ ■ У|Х)=(4-6"0.5)'>;+3"0.5+6 ^ ■ У|Х)=(4-6"0.6),>;+3-0.6+6 □ ■ У|Х)=(4-6"0.7)>>;+3"0.7+6 ^ □ У|Х)=(4-б-о.8)->;+з-о.е+б 3
!■! ■ У|Х)=(4-е"0.Э)'Х+3"0.9+6
^ ■ У|Х)=(4-6"1 )>Х+3"1 +6 ■ У|Х)=(4-б-о),>;+з-о+б —
У|Х)=(4-6"0. 9)~Х+3"0.9+6 А=0 В=1 М1пУ=7.3 л]
□¡дммено об'ек-пв: 6
МюУ=-0.2 МахХ=1.008
Рис. 1
Учш дев'ятого класу вмГють розв'язу- застосування правила множення, тому при
вати найпроспшГ комбГнаторнГ задачГ на вивченн теми "Квадратична функцш" пи-
тання знаходження мЫмальних та макси-мальних значень квадратично"' функци на вiдрiзку можна проiлюструвати на такгй задачi: "В двох ящиках знаходиться 200 кульок, з них 100 червоних та 100 сишх. З кожного ящика дiстаемо по кульцГ Як треба роздiлити червош та синi кульки по ящикам, щоб ймовiрнiсть того, що обидвi кульки, що дiстали з ящикгв будуть черво-ними, якщо а) в обох ящиках по 100 кульок; б) в першому 70 кульок; в) в першому 30 кульок?". Якщо х - кшькють червоних кульок в першому ящику, то ймовiрнiсть, що обидвi витягнуп кульки червонi дорГв-
I ч х(100 - х)
нюе р(х) = —---, де а1, а2 - кгль-
кiсть кульок в першому та другому ящиках вщповщно. Тепер задача зводиться до знаходження максимуму функцл р(х) на промiжку [0; а ]. Для учшв головним буде тут зрозумГти, що у випадках а) та б) вершина параболи знаходиться на вщповщ-ному промiжку, а у випадку в) поза ним, тому в силу монотонност функци на про-мiжку, максимальне и значення буде дося-гатись на кгнцях вiдрiзку.
Продовження знайомство з ймовГрню-ними Гдеями можливо й при вивченнi теми "Послщовносп" (9 кл.). Так можна на уроках пщ керiвництвом вчителя розбирати задачi, де фактично працюе формула пов-но"' ймовiрностi i приходити до рекурент-них спiввiдношень. Застосовування и вГд-буваеться на Гту'гшвному рiвнi, виходячи зi статистичних мiркувань. Це можна ро-бити на задачi типу задач1 про розорення гравця [5, с.23-24]: "В грГ "орлянка" гра-вець обирае "герб" або "решку", пГсля чого кидаеться монета. Якщо гравець правильно назвав результат випробування, то вш отримае винагороду в 1 гр., iнакше вiн штрафуеться на 1 гр. Мета гравця довести свГй каптал до суми а гр. Гра продовжуеть-ся до тих пГр, доки гравець не досягне вщповщно"' суми або залишиться без грошей. Яка ймовiрнiсть розорення гравця, якщо його стартовий каптал становить х0 гр. (0 £ х0 £ а)?". Якщо р(п) - ймовiрнiсть
розорення з стартовим капiталом п гр., то як рангше зазначено, можна отримати спiввiдношення:
Р(п) = 2 (Р(п +1)+р(п -1))(*).
Зi змiсту задачi випливае, що р(0) = 1 i р(а) = 0. П1д час розв'язування задачi вчитель повинен сконцентрувати увагу, що величини р(п) утворюють деяку по-слiдовнiсть. Учнi тодi можуть зрозумiти, що треба перейти до рекурентного способу задання цiеi' послщовносп:
р(п +1) = 2 р(п)-р(п -1)(**).
Учителю ще раз треба привести учшв до висновку, що при такому рекурентному способу задання р(п) треба знати два по-чаткових значення. Тод^ якщо припусти-ти, що р(1) = / маемо:
р(2) = 21 -1; р(з) = 3/ - 2;
р(4) = 4/ - 3
Очевидною стае ппотеза:
р(п) = Хп - п +1. Й доведення - дуже проста вправа на метод математично"' iндукцГi. Тепер, враховуючи вГдомГ значення для п = 0 та п = а остаточно маемо:
р(х0 ) = 1 - —. Звернемо увагу , що реку-а
рентне спГввГдношення задае вГдомий тип зворотно"' послГдовностГ, застосував одразу апарат характеристичних рГвнянь, можна прийти до висновку, що шукана залеж-нГсть мае вигляд лшшно"' функцГ"'. Значну кшькють завдань Гз зворотними послГдов-ностями, яким можна надати комбшатор-но-ймовГрностний змГст можна знайти в [1].
Звернемо увагу на дуже важливу для теорп ймовГрностГ задачу дослщження для фГксованого п сюнчено"' послГдовностг рк = СкпакЬп~к Учням у виглядГ задач можуть бути посгавлеш такг запитання: а) для якого номера к рк набувае найбГль-шого значення; б) на яких промГжках по-слщовнють рк зростае; в) на яких промГжках послщовнють рк спадае? На всГ цГ пи-
© Kirman V.
тання дае вщповщь дослiдження вiдно-
q (N) _ q (N)
шення
Pk+1 Pk
що повнiстю включаеться в
систему задач на достдження послщовнос-тей на монотоннiсть та обмеженИсть при вивченнi теми "ПослИдовностИ" в 9 класИ.
На нашу думку, досить принциповим для формування стохастичних уявлень i розширення свiтогляду е ознайомлення з ймовiрнiсними схемами, якИ принципово не вписуються в класичну. Розбирати цi питання пiд час вивчення теорИ! ймовИрнос-тi в шкИльному курсi, очевидно, недоцИль-но, бо вони будуть дуже ускладнювати сприйняття матерiалу i заплутають учнИв. В той же час, при вивченнИ границь послИ-довностей в темi "ЧисловИ послiдовностi" (10 кл.) як вправи на обчислення границь, можна запропоновувати учням деякИ зада-чi статистично! теорИ! чисел [9, с. 41-44]. Так пИд час проходження цИе! теми пИсля опрацювання властивостей нескИнченно малих послiдовностей можна розглянути таку задачу: "Яка ймовИрнИсть того, що навмання обране натуральне число дИ-литься на 7?". На перший погляд вщповщь майже очевидна, але якщо уважно проана-лiзувати задачу постае природне запитан-ня, що ми тут вважаемо ймовИрнИстю, бо ця задача не вписуеться в так звану класичну схему. Тому необхИдним елементом стае тут формал1зац1я задач1, тобто при-дання задачi строгого змИсту. Треба пИдвес-ти учнИв до тако! природно! загально! схе-ми. Нехай (an) деяка послщовнють. Якщо
q(N) кИлькИсть елементИв серед N перших членИв послщовностИ, що задовольняють деякИй властивостИ G, то ймовгрнгсть того, що "навмання обраний елемент послИдовнос-тИ" буде задовольняти властивостИ G приро-
К N)
дно визначити як p (G) _ lim
N®¥ N
шому прикладИ очевидно
q(N)_
В на-
N
7
Нехай r(n) - залишок при дИленнИ числа N на 7, тодИ N _ 7q(N)+r(N), тодИ
N 7q (N) + r (N)
? ( n )+rM. ö-dNl
_ V
1 r
7
(N)
7 q ( N ) + r ( N) 7 7 N
Враховуючи, що r(N) обмежена, а
1
- - нескшченно мала остаточно маемо:
7 N
p(G) _ lim q(N) _1. ОчИкуваний резуль-
n®¥ n 7
тат!
Розвиток функцюнальних уявлень при вивченнИ теорИ! ймовИрностей крИм технИч-них задач на побудову функцюнальних залежностей перш за все полягае в безпо-середньому баченнИ ймовИрностИ, як функ-цц, задано! на алгебрИ подИй. В достатньо сильних класах учитель може акцентувати на цьому увагу, видИляючи алгебру подИй, як пИдмножину булеану дано! унИверсально! множини, замкнено! вИдносно операцИй об'еднання, перетину, доповнення (в шко-лИ ми не розглядаемо поняття s — алгеб-ри), якИй належить як унИверсальна, так i порожня множина. Конструюючи рИзно-манИтнИ такИ алгебри (булеви алгебри) i мИри на них можна побудувати змИстовнИ задачИ, доступнИ сильним школярам при ви-конаннИ шдивщуальних творчих завдань [6]. 1нший аспект розвитку функцИональ-них уявлень при вивченш теорИ! ймовИрно-стей - широке застосування Идей симетри, якИ, без сумнИву, носять функцИональну природу в комбшаторно-ймовИрнюних задачах. В той же час, на нашу думку екс-плИкацИя поняття випадково! величини як вИдображення в школИ е недоцИльною, так як на початковому знайомствИ, яке носить Инту!тивний характер буде тИльки затруд-няти сприйняття учнями матерИалу.
При розв'язуваннИ комбИнаторно-ймовИрнИсних задач, як вИдомо, дуже часто зустрИчаються факторИали И тому, якщо уч-ням стверджують про прикладний характер вИдповИдних задач бажано було б пока-зати !м формулу СтирлИнга, як наближену формулу для обчислення факторИалИв:
i
—+n
,2 „-n
п!»42тп"е" =42пп2 е
1люстрацгя застосування ще"' формули е цГлком зрозумГлою, в той же час в учшв вона природно викликае вГдчуття здиву-вання. Цжаво, що можна майже на елеме-нтарному рГвнГ провести й доведення при вивчент теми "Показникова та логариф-мГчна функцй". Проблема тГльки полягае в тому, що в умовах сучасних програм важ-ко органзувати послГдовну "хронолопю" доведення. Справа в тому, що вщоме нам доведення формули Стирлшга спираеться на застосування так званою формули Вал-люа:
Г V. \2
— = lim-
1
(2n)!! 4 (2n-1)!!,
2 2п +1 Елементарне (але достатньо технГчне) доведення ще"' формули можна провести шюструючи застосування комплексных
чисел за схемою [9, с66-69] Г за допомо-гою штегралГв при вивченнГ теми "1нтег-рал та його застосування" (до вступу в дГю ново"' програми щ теми йшли перед вив-ченням теорГ" ймовГрностей в 11 класГ). Але вщ "нехронологГчностГ" е й перевага: умотивованють само"' формули ВаллГса. Схема доведення формули ВаллГса достатньо вщома [8, с.344], й можна реалГзувати на уроках пГд час вивчення ще"' теми, якщо попередньо обговорити з учнями доведен-ня формул (за допомогою рекурентних спГввГд ношень):
| • 2n
Sin X =
(2n -1)!! — (2n)!! ' 2:
I • 2n+1
Sin X =
(2n)!!
о (2n +1)!!'
Далi залишаеться проiнтегрувати на
■г, —
промгжку вiд 0 до — подвшну HepiBHiCTb Sin2n+1 x < sin2n X < Sin2n-1 X
що приводить до нерГвностГ
2
(2n)!!
1
п
(2п-1)!! 0 2п +1 2 ^(2п-1)!!^
Тепер доводячи збГжнГсть крайнГх ви-разГв Г користуючись тим, що "х рГзниця прямуе до 0, легко отримати формулу ВаллГса.
Доведення формули Стирлшга можна запропонувати як домашне завдання у виг-лядГ ланцюжка задач, якГ приводять безпо-середньо до необидно"' формули. Пюля чого пропонуеться обговорення цих задач на семшарГ Отже, пропонуеться такий лан-цюжок.
Задача 1. Довести, що функщя
(2n)!!
J_ 2n ■
f (x ) =
1
( 1 I (
X + — I ln 1 + — I спадае на пром1-
v 20 I xJ F
жку (1;+¥.
Розв'язання 3aAa4i 1. Розглянемо похщ-ну нашо" функцй:
2 X +1
f '(x) = ln
Розглядаемо другу похщну:
f "(x)=-
1 4х2 + 4x-(2X + 1)(4X + 2) = 4X2 + 4X + 2 1 4X2 + 4X 1
;( X +1)
4х2 (х +1)2
4х2 (х +1)2 х(х +1) > 4х2 (х +1)2 х(х +1)
> 0
Отже, перша похщна зростае. Тепер звернемо увагу на те, що lim f '(х) = 0,
звiдси випливае, що на пpомiжку (1;+да) похiднa f '(х) < 0, вщповщно, наша функ-цiя f (х) е спадною.
Задача 2. Довести, що
Нш
1 I,
X + — I ln
2 J
1+11=1
х J
Розв'язання зaдaчi 2. Задача зводиться до друго" визначно" гранищ:
© Китам V.
Нш
1 +1 | = Нш х 1п
х 0 х®+¥
х +1 | +1 Нш 1п
х 0 2 х®+¥
х+1 | = Нш 1п
х 0 х®+¥
1 + - 1= 1п = 1 х 0
Зауваження. При обговоренш на семь нарГ необидно ще раз звернути увагу на використанш неперервносп логарифму при обчисленш границь.
Задача 3. Довести, що для вс1х нату-ральних п виконуеться нер1втсть
1+1'
п 0
> е
Розв'язання задачГ 3. Дана нерГвнють
ргвносильна нергвностг
/ 1 Л /
п +1 11п 2
1+1'
п 0
> 1,
справедливГсть яко'1' для п > 2 випливае з результатГв задач 1 та 2. При п = 1 нерГвнють безпосередньо перевГряеться.
Задача 4. Розглянемо посл1довн1сть
п!еп
хп = —1-. Довести, що ця посл1довн1сть
п
п+— 2
збгжна.
Розв'язання задачГ 4. Очевидно, що ва члени послщовносп додатнГ. Розглянемо вщношення
1
хп = п!еп (п + 1)п+1+2 = 1 '
х.
п+1
п
п+— 2
2 (п + 1)е
п+1
V
1
1 Т+2 1 + -| > 1 п 0
Остання нерГвнГсть випливае з результату попередньо'1' задачГ. Отже, наша послщов-нГсть спадна та обмежена, тому е збГжною.
х„
Задача 5. Обчислити границю Нш——
2п
(застосувати формулу Валлгса).
Розв'язання задачГ 5. Нескладними пе-ретвореннями з урахуванням формули ВаллГса, маемо:
л!=
1)
• Нш
(2п)!! = 2 •
2п
п
л/2п +1 (2п -1)!!
Задача 6. Обтрунтуйте наближену
-+п
¿жп2 е-
формулу п!» л/2mn"e~" = 42жп
Розв'язання задачГ 6. З задачГ 5 нескладно довести, що Ншхп = 42т це фактично
п!
Г означае, що Нш
л/2
п -п
тп е
= 1
Формула СтирлГнга дае можливють ознайомити учнГв з Гдеею доведення локаль-ноi теореми Лапласа (як наближено'1' формули) Г, вщповщно, штегрально'1' теореми Лапласа. Ознайомлення з цими фактами Г виконання вГдповГдних обчислювальних робГт дае можливють проГлюструвати практичне застосування широкого кола ймовГрнГсних задач, пов'язаних Гз схемою БернуллГ. Система обчислювальних вправ на застосування цих фактГв описана в [4]. З наближеними формулами для обчислен-
ня значень бшомГального розподГлу можна ознайомити знов-таки при вивченш теми "Показникова та логарифмГчна функцш". При першому знайомствГ з теорГею ймовГр-ностГ учнГ вже зустрГчали вирази Рп(к) = скпркдп-к, Р + Я = 1,0 £ р £ 1 Г ро-зумГють 1'х ймовГрнГсний змют. Тому на початку вивчення теми можна запропону-вати учням домашне завдання по табулю-ванню величин рп (к) використовуючи
Где'1' статистичного моделювання (за допо-могою генератора випадкових величин). РГвень знань з програмування вже достат-нГй для виконання такого завдання. УчнГ дГляться на групи, кожна група буде вико-нувати завдання для вщповщного р . Групи отримають шструкци з алгоритмами. ОрГентовно, алгоритм мае вигляд:
Ш 1. Вводиться число п випробувань та N кшькосп ГтерацГй.
е
2
1
Ш 2. Для всх к = 0,...,п величинам рп (к) надаються нульовГ значення.
Ш 3. I := 1 (шщГатзащя лГчильника ГтерацГй).
Ш 4. 3 := 1 (шщГалГзацш лГчильника випробувань всередиш гтераци).
Ш 5. К := 0 (шщашзацш лГчильника успГхГв пГд час серГ' випробувань).
Ш 6. Генерацш випадкового числа г е[0;1]
Ш7. Якщо г е [0; р], то К := К +1 (ре-естрацГя успГху в серГ' випробувань)
Ш 8. 3 := 3 +1
Ш 9. Якщо 3 £ п то перейти до кроку Ш 6.
Ш 10. рп (К) := рп (К)+1
Ш 11. I := I +1.
Ш 12. Якщо I £ N то перейти до кроку Ш4.
Ш 3. Для всх к = 0,...,п набуваються
значення
in (k ):= pn(k'
N
Результати виконаних завдань у вигля-дi таблиць та графшв в единому фоpмaтi (бажано у вигляд електронних таблиць
ЕХСЕ1) учитель готуе для уроку з теми "Застосування показниково"' функцл". Пгд час уроку учням Глюструеться на одному з прикладГв, що при достатньо великих п Г немаленьких р можна вважати, що
11
k - np
^e 2, дех = -
pn(kI-" /т— e ,де х- г
■sjnpq л/2— sjnpq
Найбшьш сильним учням можна за-пропонувати (на подальших уроках) об-грунтувати цю формулу спираючись на формулу Стирлшга та наближену форму-
лу
ln(1 + х)» х- —
2
для достатньо малих
х . На цьому ж урощ можна запропонува-ти учням в домашнГй роботГ модернГзува-ти алгоритм для дослГдження величин
Р.
1,n
(k )=C
1
n
. Пiсля вивчен-
ня друго'1 важливо'1 гpaницi можна обгрун-
тувати формулу p 1,n (k)'' пно майже всiм учням:
k„-l
le
k!
це досту-
lim Рщ(k ) = limCn
= n(n -1)...(n -(k -1)) (l
k! V n
\kf
n
\kf
n-l,
\
1 -1
n j
f
Через те, що Нш
l
1- I = e
v n J
-i
та
lini „(„-i)..(n-fr-1»k=1
n®¥ (n -1)
точно: limp.,,(k) =
= 1 маемо оста-
Л,УЯ к!
Остaннiй результат буде використано при вивченш теори ймовipностей при об-грунтуванш наближення бiномiaльного pозподiлу пуaссонiвським у випадку n ® ¥ та np = 1.
До реч^ таке наближення дае можли-вiсть показати, що однорщний потiк подiй (потiк Пуассона) мае вщповщний (пуас-сонiвський) розподш ймовipностей. Вщпо-
вГднГ мГркування [2, с.109-113] дають приклад математичного моделювання функ-цГональних залежностей методом редук-ци, тобто зведення до вщомо"' задачГ. В да-ному випадку до задачГ про серГ' випробу-вань БернуллГ. Корисним е розгляд пГд час вивчення теорГ' ймовГрностей класГв задач, що зводяться до граничних випадюв бшо-мГального розподГлу, наприклад, задач "про родзинки" та радГоактивний розпад, якг приводять до пассонГвського розподГлу [5, с.50-51] та задачГ про броушвський рух, що приводить до нормального розподГлу [5, с.53-56]. Останнш задачГ можна при-святити окремий Гнтегрований урок фГзи-ка-математика та лабораторну роботу з фГзики на комп'ютерне моделювання.
n
© Kirman V.
Отже, роблячи висновок, можна ствер-джувати про достатню складнИсть зв'язкИв стохастично! та функцИонально! змИстових лИнИй, яка перш за все проявляеться в про-тирИччях мИж реашзащею практично! спрямованостИ викладання основ теорИ! ймовИрностей И наявнИстю необхИдних ана-лИтичних знань та вмИнь в учнИв старшо! школи. На нашу думку, цИ протирИччя мо-жуть бути розв'язанИ з одного боку пошу-ком альтернативних структур подачИ матерИалу, знаходженню нових схем дове-день, широкого введения в практику нав-чання обчислювального експерименту, а з другого, дослИдженню оптимальних мето-дИв та оргашзацшних форм навчання основ теорИ! ймовИрностей.
1. АлфутоваН.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ /Н.Б.Алфутова, А.В.Устинов. - М.: МЦНМО, 2002. - 264 с.
2. Вентцель Е. С. Теория вероятностей / Е.С.Вентцель. -М.: Наука, 1969. -576с.
3. Вертгейм Б.М., Игры с квадратичными функциями / Б.М.Вертгейм // Квант. - 1981. -№11. - С.6-10.
4. Лютикас В.С. Факультативный курс по математике. Теория вероятностей / В.С.Лютикас. -М.: Просвещение, 1990. - 76с.
5. Прохоров Ю.В. Теория вероятностей. Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы. Справочник / Ю.В.Прохоров, Ю.А.Розанов-М.: Наука, 1987. - 400с.
6. Сикорский Р. Булевы алгебры / Р.Сикорский. -М.:Мир, 1969. - 160с.
7. Трунова О.В. Про вивчення початюв те-орп ймов1рностей та елемент1в статистики в лщеях i класах з поглибленим вивченням математики/ О.В.Трунова //Математика в школ1, 2005. - №2. - С. 40-47
8. Фихтенгольц ГМ. Основы математического анализа., том 1 / Г.М.Фихтенгольц, М.: ГИТТЛ, 1956. - 440с.
9. Яглом АМ. Неэлементарные задачи в элементарном изложении / А.М.Яглом, И.М.Яглом - М.: ГИТТЛ, 1954. -544с.
Резюме. Кирман В.К. РЕАЛИЗАЦИЯ СВЯЗЕЙ СОДЕРЖАТЕЛЬНОЙ ЛИНИИ ФУНКЦИЙ СО СТОХАСТИЧЕСКОЙ ЛИНИЕЙ. В данной статье выделяются основные направления взаимодействия функциональной и стохастической содержательных линий при углубленном изучении математики в школе. Описываются подходы адаптации знакомства со сложными комбинаторно-вероятностными схемами к возможностям учащихся старших классов. Предлагаются задачи анализа для реализации таких схем.
Ключевые слова. Стохастическая содержательная линия, содержательная линия функций, углубленное изучение.
Summary. Kirman V. THE REALIZATION OF CONTEXTUAL FUNCTION LINE CONNECTIONS WITH PROBABILITY TENDENCY. The main tendencies of the relationship of functional and stochastic lines under profound study of school mathematics have been outlined in this article. The methods of adapting complex combinatorial probabilistic schemes to the abilities of senior grades pupils have been described. The elementary problems in mathematical analysis due to which such schemes are realized have been suggested.
Keywords. Probability tendency, contextual function line, profound study.
Стаття представленапрофесоромН.А.Тарасенковою.
Надшшла до редакци 2.10.2009р.
