CC BY
6РЕАЛ1ЗАЦ1Я ДИФЕРЕНЦ1ЙОВАНОГО П1ДХОДУ В ПРОЦЕС1 ВВЕДЕННЯ НОВОГО НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРИАЛУ
О. С. Чашечникова, кандидат педагог. наук, доцент, Сумський державний педагогiчний ушверситет,
м.Суми, УКРА1НА
Розглядаються питання диференцШованого тдходу в процес подання нового матергалу з математики.
Анатз результата диференцшованого навчання математики у класах рiзного профiлю за останнi роки свiдчить про те, що яюсть знань та вмшь учнiв, якi навча-ються у класах нематематичного профiлю, нерщко не вiдповiдають навiть тим вимо-гам, що висуваються вiдповiдними програ-мами з математики. Це вщбуваеться через ряд причин об'ективного i суб'ективного характеру, серед яких - вщмшносп проце-сiв розумiння навчального матерiалу з математики учнями, що вiдрiзняються профе-сiйними нахилами, задатками здiбностей, комплексом вже розвинених здiбностей.
За останнiй час з'явилися цiкавi дослщ-ження психолопв стосовно специфiки сприймання, уваги, пам'яп, мислення рiз-них категорiй учнiв (зокрема, дослiдження С.Гзюмово! [1]). Але проблемою е мору-вання цих дослщжень на практицi, в тому
чист, - при створент тдручниюв та нав-чальних посiбникiв з математики.
Мета статт - запропонувати шляхи реашзаци диференцiйованого тдходу в процеа введення нового навчального матерiалу з математики.
У будь-якому об'екп, що вивчаеться, iснують первиннi та акгуальш властивосп, якi В.Н.Пушкiн називае ознаками. Важли-вим е те, щоб учнi усвiдомлював, чим саме вiдрiзняються поняття „властивосп" та „ознаки".
ВЛАСТИВ1СТЪ: якщо об'ект е об'ек-том F, то вш мае деяку властивiсть С, але не обов'язково об'ект, що мае властивють С, е об'ектом F (схема 1а).
ОЗНАКА: об'ект мае власгивiсгь В, то цей об'ект обов'язково е об'ектом F (ознаки можуть розглядатися i як властивосп) (схема 1б).
Схема 1а
Схема 1б
В даному контекст будемо говорити про первинт та акгуальнi власгивосгi.
Первиннi властивосп - п, що „закла-дет" в даному об'екп i не змiнюються у будь-яких умовах, тобто, такi властивосп, без яких даний об'ект не юнуе.
Зокрема, пiдлогарифмiчний вираз може приймати лише додатш значення; проти-лежнi сторони паралелограма рiвнi; вершина правильно! трамщи проектуеться в центр 11 основи незалежно вiд того, який саме многокутник е основою трамщи.
Актуальт властивосп не закладеш у програмi об'екта але вiдкриваються у да-нгй конкретнш актуальнiй ситуаци. Якщо розглядаються деюлька взаемопов'язаних об'екпв, то кiлькiсть актуальних власти-востей збiльшуeться.
Зокрема, якщо вщомо, що БЛВС та КБЛВ - правильнi пiрамiди, то актуаль-ними властивостями е: всi бiчнi гранi тра-мiди БЛВС е правильними трикутниками.
ЛВСБ та БВСБ - ромби, то актуальни-ми властивостями е те, що гос^ кути цих ромбiв - по 600 .
На цьому базуеться реашзащя диферен-цшованого тдходу в процеа введення нового мaтерiaлу.
Суттсть цього тдходу:
1) вiдбувaеться побудова лопко-струк-турних схем теоретичного мaтерiaлу (видь лення ключових - базових - понять (гене-ральних об'екпв), допомжних понять, до-даткових понять; взаемозв'язюв мгж ними);
2) поступово звужуеться та "шформа-щйна площа" в iнформaцiйному полГ, що поступае вщ вчителя; поступове диферен-цшоване перекладення завдання пошуку ново! шформаци та опрацювання !! на учня як суб'екта навчально! даяльносп.
Новий мaтерiaл доцшьно вводити спо-чатку "оглядово": пропонувати учням "юс-тяк" ново! теми, так зване "дерево теми", в якому виявляються ключовА питання А !х взаемозв'язки, а вже пот1м вщбуваеться поступове заповнення комАрок (рос. "ячеек") (виявлення характеристичних ознак, властивостей), встановлення взаемозв'язюв з додатковими об'ектами, введення !х в лопчний ланцюг.
Це вщповщае достдженням психолопв про те, що засвоенню великого обсягу матерАалу сприяе попередня побудова структурно! атки, в яку попм вводяться детат, шакше без пщтримуючо! структури детал не будуть „працювати", тому що новий матерАал не буде Антегруватись.
Таким чином на вщм1ну вщ лЫйного навчання, коли учню пропонуються один блок ново! шформаци за шшим, поступово додаючись до структури, що розвиваеться,
пропонуеться так зване „павутинне навчання" (термш Д. А.Нормана).
Його суметь: спочатку представля-ються основт вузли шформаци, видшено основт змгстовГ пункти, що будуть обгово-рюватись; на наступному етат надаеться загальний огляд, а пот1м - детальний огляд. Нарешт надаються детальн пщструктури. Доцшьшсть такого тдходу яскраво демон-струеться на прикладА доведення теорем.
Перша стратегия (лшшне навчання) е типовою для подання матерАалу в пщруч-никах, в шюльних лектях. Про це свАдчить анатз не тшьки втизняних, але й зарубАж-них тдручниюв з математики. Друга менш розповсюджена через складтсть процесу реашзаци.
Попередня побудова "юстяка" навчаль-ного матерАалу та поступове заповнення комАрок у структурА сприяе тому, що вщбу-ваеться реашзатя диференцшованого подання нового матерАалу в рАзних аспектах.
При такому тдход здшснюеться рАвне-ва диферентатя у процеа подання нового матерАалу. Надаеться можливАсть розгляда-ти варАювати широкий спектр властивостей об'екпв, що розглядаються; створюються умови для збАльшення обсягу додаткових об'екпв, якг взаемопов'язан з ключовими, для оргатчного введення !х взаемозв'язюв.
Зокрема, за програмою з математики для загальноосвгттх закладАв на етат, коли вивчаеться показникова функтя, !"! властивосп та графж, учн вже знайом (пгсля вивчення тригонометричних функцАй) з такою властивють функци як перюдичнють.
Старшокласникам з достатньо високим рАвнем навчальних досягнень доцАльно запропонувати дослщити питання, чи е показникова функцАя перАодичною.
Учнг користуються означенням перю-дично! функци (спонука для самоспйно! оргатзаци вщстроченого повторення), що подана у тдручнику МХШюля, З.1.Слеп-кань, О.С.Дубинчук так: "Функтя у = Дх) називаеться перюдичною з перюдом Т Ф 0 (Т=сош1;), якщо для будь-якого х з обласп визначення функци значення (х+Т) та (х-Т) також належать обласп визначення те!
функцп, та виконуеться умова f (х + Т )= f (х - Т )= =f(x)" [6,45].
Зауваження. Текст означення корисно також записати математичною символжою (х е D( f)) для учтв, яю легше сприймають та запам'ятовують iнформацiю, подану у символьнш формi.
Також важливо продемонструвати уч-ням, що, якщо функцiя - перюдична, то для будь-якого х з област визначення функци значення (х + nT) та (х - nT), де n - цше число, також належать обласгi визначення цiеi функци, та виконуеться умова
f (х + nT) = f (х - nT) = f (х).
Старшокласники роблять висновок, що областю визначення показниковоi функци е вся множина дшсних чисел, тому перша умова виконуеться.
Розглядаючи виконання друго'1 умови учнi, ще не ознайомлеш з матерiалом сто-совно розв'язування показникових рiвнянь, виконують завдання випереджального характеру:
1) ах+т повинно дорiвнювати ах;
2) запишемо рiвнiсть ах+т = ах ;
3) зробимо перетворення ах ■ aT = ах
(*);
4) область значень показниково!' функ-nii (0; +<»), ах > 0 для будь-якого дшсного х; тобто, можемо подшити обидвi частини рiвносгi (*) на ах;
5) отримаемо ат = 1, звщки ат = а0, тобто Т=0.
Висновок: за означенням перiодичноi функцii Т Ф 0, тому показникова функщя не е перюдичною.
Виконання такого досл1дницького завдання може стати мотиващею вивчення показникових рiвнянь. Для учив з менш високим рiвнем розвитку можна навпаки подати дане завдання в процеа зaкрiплення знань та умшь з теми "Покaзниковi рiвняння".
Учням з недостатньо високим рiвнем навчальних досягнень завдання у такому формулювант пропонувати недоцiльно, тому що поняття про неперiодичнiсгь показниково1 функци не е ключовим сто-совно дажл теми, i це буде вщволжати 1х вiд отримання загально1 картини вiдповiд-ного навчального мaтерiaлу.
Для них бiльш доц1льним буде така форма подач1: "Як графж покaзниковоi функц11 вiдобрaжaе те, що дана функщя не е перюдичною?" Це спонукае учтв використо-вувати iнтуiтивнi, а не лопчт компоненти.
Але на цьому ж етап1 з метою, щоб в учнiв не формувалося хибне переконання, що можна визначати перюдичнють або неперiодичнiсгь функцii лише за графшом, не виконуючи доведення, доцшьно запро-понувати учням контрприклади, застосову-ючи метод кaдрiв (рис.1 а,б). Фрагмента грaфiкiв функцiй можуть наводити на думку про 1х перiодичнiсгь (кадр 1, рис.1 а), але фактично функцiя, може бути неперюдич-ною (кадр 2, рис.1 а), i навпаки (рис.1 б).
КАДР 1
-2 -1 0 i 2 j I
КАДР 2
КАДР 1
КАДР 2
О
II
я
.2 Л
Рис.1 б
0
1
З метою розвитку нестaндaртноегi мислення, доцшьно запропонувати учням такГ завдання.
Завдання 1. Дослщити, чи е функщя у = х2 перюдичною. Якщо так, то знай-ти найменший додатний перюд функци.
Завдання 2. Досадити, чи е Т = п
перюдом функци у = соб2 х.
Прикладом нестандартного, але доступного для розумшня учнями клаав будь-якого профГлю, е завдання на дослщження функци ДГрГхле на перюдичтсть.
Розглянемо функцш, що названа на честь нАмецького математика ДАрАхле:
! 1, якщо х — рацюнальне число, #0, якщо х — 1ррацюнальне число.
Тобто, якщо х - рацюнальне число, то значення функци ДгрГхле Б(х)=1, якщо х -¡ррацюнальне число, то значення функци ДГрГхле Б(х) = 0.
Область визначення функци ДгрГхле -всГ дГйснГ числа, множина значень - склада-еться з двох чисел 0 та 1. Покажемо, що будь-яке рацюнальне число г (гф0) е перю-дом функцА! ДАрАхле.
Нехай г - перюд функци ДГрГхле, де г -деяке рацюнальне число, г Ф 0.
Сума рацюнальних чисел е рацюналь-ним числом, тому якщо х - рацюнальне число, то А число (х ± г) е рацюнальним. У цьому випадку Б(х)=1, Б(х ± г)=1, то В(х) = Б(х ± г).
Сума рацюнального числа та ¡ррацю-нального числа е Гррацюнальним числом, тому якщо х - Гррацюнальне число, г -
рацюнальне число, то число (х± г) е Гррацюнальним. У цьому випадку В(х) = 0, Б(х ± г)=0, то Б(х) = Б(х ± г).
Висновок: будь-яке рацюнальне число г (г Ф 0) е перюдом функци ДгрГхле.
Покажемо, що будь-яке Гррацюнальне число а не е перюдом функци ДгрГхле. Сума двох Гррацюнальних чисел може бути як рацюнальним числом, так г Гррацюналь-ним числом. Тому, якщо х - ¡ррацюнальне число, то число (х±а) може бути як ¡рра-цГональним, так Г рацюнальним. У випадку, якщо х - ¡ррацюнальне число, (х±а) -рацюнальне: Б(х) = 0, Б( х ±а г)=1.
а не е перАодом функцА! ДАрАхле.
Висновок: будь-яке АррацАональне число а не е перАодом функцА! ДАрАхле.
НестандартнАсть завдання викликае защкавлетсть в учнГв, надае можливГсть розвивати !хне нешаблонне мислення.
Попередня побудова "кГстяка" навчаль-ного матерАалу та поступове заповнення ячеек у структурА сприяе й здАйсненню профшьно! диференщаци: надаеться можливГсть встановлювати мГжпредметт зв'яз-ки, шюструвати теоретичнГ положення прикладами, якГ найбГльш вГдповГдають предметам "профшьного ядра".
Ьлюстращею прикладных аспекпв засто-сування знань про показникову функцАю е задачГ, в яких вдеться про: радюактивний розпад; змГну атмосферного тиску; вакуу-мування; виробництво арчано! кГслоти; розмноження бактерАй; прирАст деревини; залежнАсть висоти рАвня води у посудинА
вщ дааметру трубки; ефективнють вироб-ництва та iнше.
Для учтв-гумаштарив важливу роль вiдiгрaють ^оричт вiдомосгi, що вико-ристовуються на уроках математики (iсторiя становлення математики як науки, iсторiя виникнення певних теорiй, бюграфи видат-них математиюв), проведення iнгегровaних уроюв з математики та ^ори. Врахування психолого-педагопчних особливостей учнiв -гуматтарив е важливою умовою пщвищен-ня ефективносгi 1х навчання математики.
Спрямовaнiсгь на формування i розви-ток в учня-гумaнiтaрiя защкавленосп до вивчення математики може вщбуватися на початку уроку через пропонування етгра-фу до нього, в якому, як правило, заклада-еться основна iдея. Вщзначимо, що учням, таким чином, надаеться змога заздалепдь усвiдомиги основнi ще1 уроку, що сприяе позитивному впливу на формування мотиву Пересу, допомагае зосередитись на головному, вщбуваеться використання праг-нення "гуматтарив" до роботи з лператур-ними джерелами.
Пiдкреслимо доцiльнiсть подання юто-ричних довiдок у процесi введення нових понять. Доповiдi щодо бюграфш видатних математиюв учнi спроможнi пщготувати цiлком самостшно (i це вщповщае 1хшм уподобанням), а iсторичний огляд розвитку поняття подае вчитель у процеа введення нового мaтерiaлу.
Зауважимо: на бiльш високому рiвнi творчо' сaмосгiйносгi старшокласники мо-жуть розглядати розв'язування задач, якi назвемо "задачами з iсторичним минулим" Такими вважаемо також i т зaдaчi, рiзнi методи виконання яких "виникали" идповщ-но етапам розвитку математики як науки.
Це пiдвищуе зaцiкaвленiсгь учнiв до вивчення математики, сприяе тдготовщ до подальшого сприйняття мaтерiaлу, надае змогу без надлишково' напруги пщтриму-вати увагу в ходi уроку.
Ознайомлення з такими задачами спо-нукае учнiв до бiльш aктивноi роботи, 'х виконання сприяе пiдвищенню рiвня знань i вмiнь, розвитку глибини та широти мислення школярiв.
Зокрема, якщо дослiдження 1.М.Смир-ново' [2] св^ать, що увага в учтв-гу-
манiтарГiв на уроках математики може бути спйкою не бiльше 12 хвилин (порiвняемо, -в учтв-„математиюв" - 20-25 хвилин), то вищезгаданий пiдхiд в ходi проведеного нами експериментального навчання дозво-ляе зб^шити цей час до 20 хвилин.
Заповнення ячеек у структурi навчаль-ного матерiалу може вiдбуватися на осж® бiльш глибокого розгляду питань через сприймання пояснення на слух, самостшну роботу з пiдручником, iз застосуванням засобiв вiзуалiзацГi, через виконання прак-тичних робiт, що надае можливють учню спиратись у сприймант на бiльш сприят-ливу для нього форму репрезентаци, а тобто здiйснювати диференцiйований пiд-хiд iз врахуванням iндивiдуально-психоло-г1чних особливостей учтв.
"Кiстяк" теми спрямовуе самост1йну роботу учня по заповненню видiлених ячеек; допомагае не допустити прогалин у сприйнятому матерiалi. Цi прогалини часто виникають через те, що вчителю в реальнш ситуацii достатньо важко дотримуватись вимоги абсолютно! iдентичностi у деталях навчального матерiалу, що подаеться на слух та вiзуально, тим бшьше - тактильно. Основнi причини носять як об'ективний (особливостi самого навчального матерiа-лу), так i суб'ективний характер (домiну-вання якостей вiзуала, аудiала або к1несге-тика у репрезантативнш сисгемi самого вчителя).
Врахування особливостей аудиатв, вiзуалiв, к1нестетик1в з одного боку, i одночасне надання можливост1 кожному учню розвивати здатнють опрацювання матерiалу, представленого в рiзних формах репрезенгацii незалежно вiд ведучо! для нього форми, - з шшого боку, сприяють бiльш яюсному засвоенню навчального матерiалу.
За дослщженнями Р.Л.Хона, саме тодi, коли мозок отримуе iнформацiю, що перероблюеться обома твкулями, вiн здатен встановлювати усвщомлет зв'язки, пiдвищуючи таким чином ефективтсть научування. Тому вважаемо за необхщне використовувати водночас по мiрi можли-вост1 всi форми репрезенгацii.
По-перше, це сприятиме врахуванню ведучо! форми репрезентаци для даного
© Chashechnikova O.
конкретного учня, по-друге, формуванню в нього здатностi ефективно сприймати мате-р1ал, поданий в шшш форм1 репрезентаций що не е для нього ведучою.
Зокрема, в ход1 вивчення теми „Многогранники" пропонуемо учням не тшьки виконувати рисунки вщповщних ф1гур, але й „читати !х"; вгадувати за словесним описом, самостшно виготовляти модель
Вщповщно тому, яю саме навчальш 1нтереси е ведучими для конкретних учшв, в1др1зняються ix мнем1чн1 та розумов1 при-йоми роботи над навчальним матер1алом.
Враховуючи нов1 досшдження стосовно псиxологiчниx особливостей сприймання (С.1зюмова) [1], пщкреслимо, що для бшь-шосгi учшв клаав математичного проф1лю бшьш ефективною е ситуащя, коли така структурна схема вщразу подаеться з пояснениям лопчних зв'язюв (тобто, вс основш вузли шформаци доцшьно вводити поступово, така первинна схема повинна бути динамчною), а для учшв клаав фiлологiчного проф1лю - спочатку для кра-щого сприймання необхщно продемон-струвати вже готову загальну схему, а потiм вже пояснювати взаемозв'язки.
У першому випадку, якщо складаються наочнi схеми, всi ячейки, що вщповщають основним вузлам шформаци, заповнюють-ся поступово - вони "з'являються" як результат введення чергово! основно! влас-тивосп, зв'язка та шше. У другому випадку надаеться готова вiдповiдна наочна схема, а вже пстм обгрунтовуються логiчнi зв'язки.
Ще раз наголосимо: важливим компонентом творчо! спрямованосгi е орiеигацiя учня на саморозвиток. Рушiйною силою цього процесу е усвiдомлення учнем про-тирiч рiзного плану у навчальному процесi, тому таю ситуаци, в яких протирiччя проявляються достатньо яскраво, необxiд-но створювати.
В процесГ роботи з новим матерГалом учню можна демонструвати цГ протирГччя, зокрема, - мГж вже вГдомим Г новим (можли-вГсть знаходити комплекснГ кореш квадрат-них рГвнянь, для яких дискримшант е вГд'емним; юнування прямих, якГ водночас не перетинаються, але й не е паралельними; Аснування просторового чотирикутника та Анше). Корисним е певний "перегляд" самим учнем сформовано! в нього на даному етапА системи знань з урахуванням "нового знання".
РеалАзацАя диференцАйованого пАдходу в процесА введення нового навчального мате-рГалу як вчителем в ходГ уроку, так Г в текст! шдручниюв для класГв рГзного профГлю, сприяе пАдвищенню якостА системи знань та вмАнь учнАв без зайвого перевантаження як учнГв, так Г вчителя.
1.Изюмова С А Природа мнемических способностей и дифференциация обучения. - М.: Наука, 1995. - 382 с.
2.Смирнова И.М Профильная модель обучения //Математика в школе. -1997. -1. - С.3.
З.ЧашечниковаО.С. 1ндив1дуальт особливостi опрацьовування навчального матер1алу з математики учнями//Педагоачт науки: Зб. наук.праць. - 43. - Суми: СДПУ, 2007. - С. 190-200.
4. Чашечникова О. С. Органзац^но-^яльшсний блок системи розвитку творчого мислення // Дидактика математики: проблеми дошдження: Мжн. Зб. наук. робт. - Вип.27. -Донецьк: Фрма ТЕАН, 2007. - С. 69-74.
5.ЧашечниковаО.С. Врахування домнуючих репрезентативних систем як одна з умов розвит-ку творчого мислення учн в при навчанн математики // Теоретико-методолог чн пробле-ми розвитку особистост7 в систем неперервног освгти: Матер.методолог семнару АПН Украгни. -16грудня 2004р. - К., 2004. - С.445-450.
б.ШкльМ.1., Слепкань31, Дубинчук О.С. Алгебра початки анал зу: П друч. для 10 кл. загаль-ноосвгт. навч. Закладв. - К.: Зодак-ЕКО, 2002. -272 с
Резюме. Чашечникова О.С. РЕАЛИЗАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИРОВАННОГО ПОДХОДА В ПРОЦЕССЕ ВВЕДЕНИЯ НОВОГО УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА. В статье рассматриваются вопросы дифференцированного подхода в процессе подачи нового материала по математике.
Resume. Chashechnikova O. REALIZATION OF DIFFERENTIAL SUIT IN THE PROCESS OF INTRODUCTION OF NEW MATERIAL. This article is about differential suit in the process of introduction of new material.
Надшшла доредакцп 28.11.2007р.
©
