CC BY
51
Scientific journal
PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION
Has been issued since 2013.
Науковий журнал
Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА
Видасться з 2013.
http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/
Яковлева О.М., Гаевець Я.С., Каплун В.М. Розвиток числово)' л1нп' в Kypci математики закладов загально)' середньоÏ oceimu. Ф'зико-математична освта. 2020. Випуск 1(23). С. 164-170.
Yakovlieva O., Haievets Ya., Kaplun V. Development of a numerical line in the course of mathematics of establishments of general secondary education. Physical and Mathematical Education. 2020. Issue 1(23). Р. 164-170.
DOI 10.31110/2413-1571-2020-023-1-027 УДК 372.851
О.М. Яковлева
Державний заклад «П'вденноукра'шський нацональний педагoгiчнuй ушверситет iменi К. Д. Ушинського», Украна [email protected] ORCID: 0000-0003-0750-9769 Я.С. Гаевець
Державний заклад «П'вденноукра'шський нацональний педагoгiчнuй ушверситет iменi К. Д. Ушинського», Украна
[email protected] ORCID: 0000-0003-4580-4080 В.М. Каплун
Одеська загальноосвтня школа № 68I-III cmyпенiв, Украна
РОЗВИТОК ЧИСЛОВО1 ЛШП В КУРС1 МАТЕМАТИКИ ЗАКЛАД1В ЗАГАЛЬНО! СЕРЕДНЬО! ОСВ1ТИ
АНОТАЦ1Я
Формулювання проблеми. Числова л'/шя е однею з важливих змстових лiнiй у курй математики ЗСО, ))' розвиток починаеться у 1 клаа початково)' школи /' продовжуеться в курс! математики базово)' та старшо)' школи. Знання учнв про числа та умння ними оперувати складае пiдфунтя до формування математично)' компетентност/' здобувач'в загально)' середньо)' освти.
Матер/'али / методи. У статт'1 зроблено стислий огляд розвитку числово)' л'шК у початковому курс'! математики та у курй математики базово)' середньо)' школи на основ': теоретичного аналiзу наукових джерел, чинних навчальних програм з математики початково)' та базово)' середньо)' шкл, пiдручникiв з математики (алгебри) для 1-8 класв. Отриману iнформацiю узагальнено для визначення рвня обфунтування розширення поняття числа у пiдручниках. Досл'джено особливост'! опрацювання числово)'л'шК в початковй та базовiй середн'ш школi у зв'язку з оновленим нормативним забезпеченням математично)' освти.
Результати. Зазначено, що розвитокзм 'стово)'л'шК «Числа» в курс'! математики в'дбуваеться в такiй посл'довност'г. натуральнi числа, нев'д'емн': дробов': числа, цл числа, рацiональнi числа, д'шст числа, що в'др'вняеться вд шляху класичного розширення числових множин: натуральнi числа, цл числа, рацiональнi числа, д 'шсш числа. З'ясовано, що в п/'дручниках методики введення натуральних, цлих та ра^ональних чисел спвпадають, методики введення iррацiональних та дйсних чисел в'др'вняються.
Висновки. Введення нових числових множин в курс'! математики базово)' середньо)' школи здйснюеться на основ': поняття розширення алгебра)чних систем. На думку авторiв, чинна навчальна програма з математики базово)' середньо)' школи мстить певннедол 'ши, необхiдно ввести деяш корективи у подання зм'стово)' лiнi')' «Числа» у програмз математики, зокрема, дещо розвантажити числову лiнiю в 6-му клаа, а у 8-му клаи бльше придляти уваги властивостям iррацiональних та дйсних чисел.
КЛЮЧОВ1 СЛОВА: числовiмножини, алгебра)'чн'1 операц'й, алгебра)'чн'1 структури, розширення, курс шкльно)'математики.
ВСТУП
Числова лЫя е одыею з основних змктових лшм у кура математики ЗСО, вона е об'емною за зм^ом пропонованого навчального матерiалу, що вимагае тривалого часу на и вивчення. Вивчення чисел та '¡х властивостей (зокрема, натуральних) починаеться з 1-го класу початково' школи i лопчно продовжуеться в кура математики базово'' середньо' школи, поступово розширюючи i доповнюючи знання учыв про число вщ натуральних до дмсних, формуючи культуру усних, письмових, Ыструментальних обчислень (Програма, 2017). В старший школi розширення множини дшсних чисел не вивчаеться, але учн вчаться оперувати досними числами, ям е значеннями тригонометричних функцм числа, логарифмами числа тощо.
ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)
C/i
scientific journal
Метою дано'' статтi е стислий, але системний огляд розвитку числово'' лiнií у початковому курсi математики та у кура математики базово' середньо'' школи, а також аналiз низки пiдручникiв 5-8 класу для визначення рiвня обфунтування розширення поняття числа в^д натурального до дмсного. Актуальнiсть розглянутого питання полягае у тому, що знання учнiв про числа та умЫня ними оперувати е пщфунтям до формування математично'' компетентностi здобувачiв загально'' середньо'' освти. Крiм того, числа та вмшня оперувати з ними е також шструментом для вимiрювання та обчислення основних геометричних величин (довжини вiдрiзка, мiри кута, площi ф^гури, об'ему тта), що, в свою чергу, е складовою метрично'' геометрп та одыею з важливих змiстових лЫш шкiльного курсу геометрГ''.
ТЕОРЕТИЧН1 ОСНОВИ ДОСЛ1ДЖЕННЯ
У початковому курсi математики системоутворювальною змiстовою лiнiею е лiнiя «Числа, дм з числами», яка охоплюе вивчення питань нумерацГ'' цтих невiд'емних чисел у межах мтьйона; формування навичок виконання арифметичних дм додавання i вiднiмання, множення i дiлення; ознайомлення на практичнiй основi зi звичайними дробами; вимiрювання величин; оперування з величинами.
В основi формування поняття натурального числа в початковш школi лежить лiчба предме^в. Лiчба - це встановлення взаемно-однозначно'' вiдповiдностi мiж елементами задано'' скшченно'' множини i скiнченноí пiдмножини {1,2,3,..,п] натуральних чисел. Натуральне число виступае як результат лiчби, тобто назване останым при лiчбi число характеризуе кшьмсть предметiв подано' сукупносп. Поняття «натуральне число» спираеться на поняття «множина», «е^валентысть», «взаемно-однозначна вщповщысть», «потужнiсть множини». Такий пiдхiд до обфунтування поняття натурального числа притаманний «наiвнiй» теорГ'' множин Георга Кантора. Вже в 1-му клаа учн знайомляться з натуральним числом як незмЫною загальною властивiстю, що характеризуе клас скшченних еквiвалентних множин. Утворення кожного числа, порядковi i кшьшсн вiдношення пояснюються учням, розглядаючи одночасно ктька послiдовних чисел. Тому, як зазначають С.О. Скворцова та О.В. Онопрiенко (Скворцова & Онопрiенко, 2019), числа розглядаються не обмежено, не окремо, а вiдрiзками натурального ряду чисел, наприклад: 1, 2; 1, 2, 3; 1, 2, 3, 4; 1, 2, 3, 4, 5; 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Розглядаючи перший етап «утворення числа як ктьккно'' характеристики класу скшченних е^валентних множин», слщ вiдмiтити, що нове число утворюеться на пщст^ прилiчування одиниц до попереднього числа. При цьому застосовуеться рiзноманiтна наочысть: набори геометричних ф^ур, предметiв тощо. Дiйсно, в основi методики вивчення нумерацГ'' натуральних чисел в початковому кура математики лежить принцип прилiчування одинищ, а саме: 1) лiчбу починають з 1; 2) щоб одержати наступне при лiчбi число, потрiбно до даного числа додати 1; 3) щоб отримати попередне число при лiчбi, необхщно в^д даного числа вщняти 1.
Ще одним важливим етапом пщ час вивчення чисел першого десятку е «означення мiсця числа в натуральному рядЬ>. Читаючи числа за числовими сходами або числовим променем вщ меншого до бтьшого, в прямому та в зворотному порядку, учня з'ясовують, яке число найбтьше (найменше), називають попередне та наступне числа до певного числа в даному промiжку натурального ряду. Розглядаючи низку таких завдань, учш поступово знайомляться з властивостями натурального ряду чисел: у натуральному рядi ва числа розташован в певному порядку - кожне наступне число бтьше за дане на 1, а кожне попередне, навпаки, менше вщ даного на 1; найменше натуральне число 1 (Скворцова&Онопрiенко, 2019).
Шд час вивчення нумерацГ' чисел першого десятку Г. В. Бельтюкова (Бельтюкова, 1993) пропонуе придтяти увагу формуванню узагальненого поняття про лiчильну одиницю. При вивчення кожного числа, на думку автора, слщ включати вправи на лiчбу однакових груп предме^в (вивчаючи число 2, рахують пари предме^в, число 3 - тршки предме^в, число 4 - четвiрки предме^в, число 5 - п'я^рки предметiв i т. д.).
Необхщно наголосити, що, виконуючи таю вправи, учн вже помiчають, що корисно застосовувати групування предме^в при лiчбi велико'' кiлькостi предметiв. Тому результат лiчби залежить в^д обрано'' лiчильноí одиницi.
Так, вивчення нумерацГ' натуральних чисел в початковм школi здiйснюеться по концентрах: 1 клас («Десяток», «Сотня»), 2 клас («Сотня»), 3 клас («Тисяча»), 4 клас («Мтьйон»). При цьому слщ сформувати в учыв знання про способи утворення назв чисел кожного концентру (усна нумеращя) та способи запису натуральних чисел (письмова нумера^я).
Традицмно нумеращю в межах 100 було подтено на два етапи: числа 11-20 та числа 21-100. Такий порядок вивчення обумовлений тим, що лише для чисел 11-19 порядок назви розрядних чисел, що ''х складають, i порядок запису не зб^аються: 12 (дванадцять) - спочатку називаемо одиницю а по™ десятки, а пишемо першим 1 десяток i лише по™ 2 одиницГ 21 (двадцять один) - порядок читання i запису збiгаються.
Мiж тим, нумерацiя двоцифрових чисел 11-20 та 21-100 принципово схожа. Усна i письмова нумеращя цих чисел спираеться на десяткове групування одиниць при лiчбi i на позицмний принцип запису числа, десяткову систему числення. Тому в навчальый програмi з математики для 1-4 клаав, починаючи з 2011 року, не видтяються цi два етапи, а вже в 1 клаа пропонуеться вивчити нумера^ю чисел у межах першо'' сотнi. Однак, автори пщручниюв з математики Ново'' укра'нсько'' школи, враховуючи вщмшысть у порядку читання i запису чисел 11-19, спочатку пропонують розглядати числа 11-20, i лише тсля цього вводять числа 21-100 (Скворцова&Онопрiенко, 2019).
Вiдповiдно до програми початкового курсу математики пером вщомосп про дроби з'являються у 3 клаа (Програма, 2018). Однак, учням поки що не пропонують вживати термш «др^б», а лише - «частина». У 3 клаа формують конкретн уявлення про процес утворення частин в^д цiлого предмета або сукупност предметiв. Учнiв знайомлять iз частинами, 'х записом, правилами знаходження величини частини в^д даного числа та числа за величиною частини. Звичайно ц питання слщ розглядати за допомогою наочностi, практичних вправ, що пов'язан iз кресленням, вимiрюванням та iн.
В 4 клаа на уроках математики продовжують формування уявлення про дроби. В цтому, в початковм школi процес формування поняття про дроби рекомендовано проводити за трьома етапами:
1. Спочатку учням пропонують засво'ти фактичне дтення (роздроблення) конкретних предме^в на рiвнi частини, вчаться утворювати рiзнi частини цих предметiв, а iз частин - дроби.
2. На наступному етат учням пропонують засво'ти цей матерiал уже на кресленнях, малюнках та ш.
3. Далi y4Hi вже мають оперувати уявленнями про дроби без будь-яких шших зовнiшнiх опор. На цьому етат учням пропонують розв'язувати сюжеты задачу що мктять дроби.
Таким чином, вiдповiдно до очтуваних результатiв навчання здобувачiв освти Типово' навчально' програми з математики, випускники початково' школи мають умти вiдтворювати послiдовнiсть чисел у межах мтьйона; читати i записувати дроби, розумти спосiб одержання дробу (Програма, 2018).
В базовш середнiй школi змiстова лiнiя «Числа» набувае продовження, знання про число розширюються i поглиблюються. Розвиток числово' лiнiï починаеться у 5-му клаа з вивчення системи натуральних чисел (в цм статт ми будемо розглядати ттьки навчальну програму з математики для загальноосвтнього рiвня навчання). В пщручниках математики для 5-го класу даеться описове означення натурального числа: натуральн числа - це числа, як ми використовуемо при лiчбi предме^в (1стер, 2018; Мерзляк, Полонський & Яюр, 2018; Тарасенкова, Богатирьова, Бочко, Коломiець & Сердюк, 2018). Натуральн числа використовують також для визначення порядку розмщення предметiв (1стер, 2018). П'ятикласники ознайомлюються з тим, що натуральн числа, записанi так, що за кожним числом йде наступне (1, 2, 3, 4, 5, ...), утворюють натуральний ряд чисел. З додаткових рубрик («Коли зроблено уроки» (Мерзляк, Полонський & Яюр, 2018), «^знайтеся бтьше» (Тарасенкова, Богатирьова, Бочко, Коломiець & Сердюк, 2018)) учн отримують вщомост про походження назви натуральних чисел i десятково' системи числення, про шил системи числення, числа-велетнi тощо. Далi йде вивчення бiнарних алгебра'чних операцм (дiй) над натуральними числами та Ух властивостей (комутативысть i асо^ативысть додавання i множення, дистрибутивнiсть множення вщносно додавання i вiднiмання, властив^ь 1). Вiднiмання вводять як операцю обернену до додавання, але так як в загальному випадку опера^я додавання не мае обернено', то опера^ю вiднiмання розглядають обмежено, ттьки для випадюв, коли рiзниця натуральних чисел е натуральним числом. Множення вводять через операщю додавання. На множин натуральних чисел операщя множення не мае обернено', тому операщю дiлення розглядають з обмеженням (дтення нацiло). Також розглядають операцiю дтення з остачею. Як показуе практика, найскладншою для учнiв виявляеться дм дiлення та дiлення з остачею. Пщ час вивчення дiй з натуральними числами треба обов'язково сформувати мщы навички Ух виконання, бо саме ц дм е основою обчислювальних алгоритмiв у роботi з шшими числами.
Далi у 5-му клаа вводять додатн дробовi числа як вщношення натуральних: дробовi числа записуемо за допомогою двох натуральних чисел i горизонтально' риски у виглядi Число b, записане пщ рискою, називають знаменником дробу i показуе, на сктьки рiвних частин подiлено одиницю (цiле). Число a, записане над рискою, називають чисельником дробу, i воно показуе, сктьки взято рiвних частин одиниц (цтого) (1стер, 2018). При введен нових чисел учням пропонуеться розглядати частини рiзних предметiв: половину яблука, третину смужки, чверть ^бини тощо й пояснюеться необхщысть введення чисел, якими можна рахувати в цих випадках. Вводяться поняття правильного та неправильного дробiв, мшаного числа, дм додавання та вщымання дробiв з однаковими знаменниками. З додаткових рубрик пщручниюв учн дiзнаються про виникнення дробових чисел з практичних потреб людства для можливост рахувати частини предме^в, про появу запису дробiв у сучасному виглядг чисельник, знаменник й риска мiж ними.
При вивченн натурального ряду чисел у пщручниках 5-го класу зазначено, що не ва числа, що вiдомi дiтям, е натуральними. Наприклад, число 0 - не натуральне.
У 5-му класу починають вивчатись скшчены десятковi дроби як звичайн дроби, що мають знаменники 10, 100, 1000 тощо, та споаб запису десяткового дробу. Вводяться дм додавання, вщшмання, множення, дтення скшченних десяткових дробiв, якi виконуються у стовпчик. Якщо учнем добре засвоений матерiал щодо дiй з натуральними числами, то робота з десятковими дробами не викликае труднош^в.
В 6-му клаа продовжуеться знайомство зi звичайними дробами. Виконуеться порiвняння дробiв з рiзними знаменниками, а також дм додавання й вiднiмання з ними, що пов'язано з традицшно складним для учнiв зведенням дробiв до сптьного знаменника. З'являються дм множення та дтення звичайних дробiв.
Шсля цього розширюеться поняття десяткового дробу: пояснюеться, що не завжди звичайний дрiб можна перетворити на скшченний десятковий, а ттьки у випадку, якщо знаменник розкладаеться на прост множники, серед яких е ттьки числа 2 та 5. Якщо мктяться будь-як шшл простi множники, то при дтенш чисельника дробу на знаменник отримуемо нескiнченнi десятковi перiодичнi дроби, де перiод - «це число, яке в запиа десяткового перюдичного дробу повторюеться нескшченно та може починатися вiдразу тсля десятково' коми, а може тсля деякого числа.» (Тарасенкова, Богатирьова, Коломiець & Сердюк, 2014). Шестикласники вчаться читати таю числа, перетворювати звичайн дроби в нескшчены перiодичнi, порiвнювати 'х, засвоюють поняття наближення iз недостачею та надлишком.
Далi в 6-му клаа переходять до вивчення вщ'емних чисел: i цтих, i дробових. Для кращого засвоення теми учнями в пщручниках представлено задачi практичного змкту, наприклад, задачi про термометри та гори (1стер, 2014; Мерзляк, Полонський & Яюр, 2014), задачi на розташування об'ектiв лiворуч та праворуч вiд даного (Тарасенкова, Богатирьова, Коломiець & Сердюк, 2014). Використання вщ'емних чисел на температурой шкалi вiдомо учням, тому 'х поява в курсi математики сприймаеться природно. «Натуральн й дробовi числа, як ви вивчали ранiше, тепер будемо називати додатними» (1стер, 2014; Тарасенкова, Богатирьова, Коломiець & Сердюк, 2014). Вщ'емы числа вводяться як числа, перед якими сто'ть знак мшус. В додаткових рубриках («А ще ранше» (1стер, 2014), «^знайся бiльше» (Тарасенкова, Богатирьова, Коломiець & Сердюк, 2014)) розповщаеться про ктор^ появи вiд'емниx чисел в математик («xибнi числа») та уявлення про них як «борг-майно». Число 0 особливе: його не вщносять н до додатних, нi до вщ'емних чисел.
Вводиться поняття протилежного числа: «Два числа, що мають рiвнi модулу але протилежн знаки, називаються протилежними числами. Число 0 протилежне до самого себе» (Тарасенкова, Богатирьова, Коломiець & Сердюк, 2014). З його допомогою даеться означення поняття цтого числа: «Натуральн числа, 'м протилежн i число 0 називаються цтими числами» (1стер, 2014). Або: «Натуральш числа, протилежн 'м числа i число нуль утворюють множину цтих чисел» (Тарасенкова, Богатирьова, Коломiець & Сердюк, 2014).
Пкля вивчення цтих чисел вводиться поняття рацюнального числа. Означення рацюнального числа виглядае так: додатн числа (цЫ i дробов^, вiд'емнi числа (цiлi i дробов^ i число 0 складають множину рацюнальних чисел
(Тарасенкова, Богатирьова, Коло/^ець & Сердюк, 2014). За допомогою координатно! прямо! пояснюеться, що при додаваннi додатного числа до координати точки, вона збтьшуеться i точка змiщуеться праворуч, а при додаванн вiд'емного - координата точки зменшуеться i точка змщуеться лiворуч. Порядок виконання дш множення й дiлення чисел з однаковими чи рiзними знаками подаеться у виглядi правил. Вводяться позначення множин натуральних, цтих та рацюнальних чисел: N, Z, Q. За допомогою крупв Ейлера-Вена показано стввщношення мiж ними.
Згiдно з навчальною програмою (Програма, 2017), курс математики 5-6 клаав передбачае розвиток, збагачення i поглиблення знань учнiв про числа i дм над ними, вщбуваеться поступове розширення множини натуральних чисел до множини рацюнальних чисел шляхом послщовного введення дробiв (звичайних i десяткових), а також вщ'емних чисел разом iз формуванням культури усних, письмових, шструментальних обчислень.
Розвиток числово! лЫм в курсi шмльно! математики з точки зору розширення алгебра!чних систем завершуеться у 8 клаа. В 8 класi переходять до формування поняття дмсних чисел. Бтьшють пiдручникiв вводить рацiональнi числа як числа, ям можна записати у виглядi —, де m — цiле число, а n — натуральне число (Кравчук, Шдручна & Янченко, 2016;
п
Прокопенко, Захаршченко & Кiнащук, 2016). Означення iррацiонального числа вводять у 3-тм чвертi 8-го класу з появою в курсi алгебри квадратних кореыв. Числа, якi не можна записати у виглядi — , де m — цiле число, а n — натуральне число,
п
називають iррацiональними числами (Кравчук, Шдручна & Янченко, 2016; Прокопенко, Захармченко & Кiнащук, 2016). В пщручниках з алгебри 8 класу необхщысть розширення множини рацiональних чисел обГрунтовуеться по рiзному: через неможливiсть виконання операцм добування квадратного кореня в межах множини рацюнальних чисел, через юнування чисел, що не е рацюнальними, через представлення чисел несмнченними десятковими дробами, через юнування несумiрних величин. Рацiональнi числа разом з iррацiональними числами утворюють множину дшсних чисел, яку позначають буквою R (Кравчук, Пщручна & Янченко, 2016; Прокопенко, Захармченко & Кiнащук, 2016).
Розглянемо, як вводиться та формуеться поняття дшсного числа у 8 клаа у шмльному пiдручнику «Алгебра. 8 клас» (Мерзляк, Полонський & Ямр, 2016).
Перед введенням множини дшсних чисел учн вивчають опера^ю добування квадратного кореня. Автори пщручника задаються питанням: чи завжди квадратний корЫь з невiд'емного рацiонального числа е рацюнальним числом? 1ншими словами, чи може дiя добування квадратного кореня з рацюнального числа вивести результат за межi множини Q? Для цього розглядаеться рiвняння х2 = 2. Оскiльки 2 > 0, то це рiвняння мае два коренi: V2 i -V2. Проте не iснуе рацiонального числа, квадрат якого дорiвнюе 2, тобто числа V2 i -V2 не е рацюнальними. Ц числа е прикладами iррацiональних чисел. Дане рiвняння не мае рацiональних розв'язкiв, але якщо розв'язати рiвняння графiчно, можемо переконатися, що розв'язки е. Ц числа ми називаемо iррацiональними. Отже, дiя добування кореня з рацюнального числа може вивести результат за межi множини Q. Автори наголошують, що з будь-якого невiд'емного дмсного числа можна добути квадратний корЫь, i в результатi ще! дм отримати дiйсне число. Тому дiя добування квадратного кореня з невщ'емного дiйсного числа не виводить результат за межi множини дiйсних чисел. В пщручнику наведено iнформацiю для додаткового читання про вщкриття iррацiональних чисел. Тут доводиться iррацiональнiсть числа V2. Автори показують iснування iррацiонального числа V2 графiчно, тобто, що юнують вiдрiзки, довжини яких не можна виразити рацюнальними числами. Це означае, що для вимiрювання довжин вiдрiзкiв рацюнальних чисел недостатньо. Також розповщаеться про сумiрнi та несумiрнi величини, вводиться поняття спшьно! мiри вiдрiзкiв.
Розглянемо тепер, як вводяться та обГрунтовуються дiйснi числа у пщручнику «Алгебра. 8 клас» (Тарасенкова, Богатирьова, Коломiець & Сердюк, 2016).
Перед введенням дшсних чисел згадуеться, що у 5-му клаа вивчалися числа, ям використовують для лiчби, -натуральн числа. У 6-му клаа вивчалися й Ышм числовi множини - множина цiлих чисел i множина рацiональних чисел. ЦЫ числа та дробовi числа утворюють множину рацюнальних чисел. Автори пщручника звертають увагу: кожне рацюнальне число можна подати як несмнченний перюдичний десятковий дрiб. I навпаки, кожний несмнченний перiодичний десятковий дрiб е рацюнальним числом. 1ррацюнальш числа визначаються як числа, ям не можна подати як несмнчены перiодичнi десятковi дроби. Наводяться приклади iррацiональних чисел. Найбшьш вiдомим iррацiональним числом е число п: п = 3,1415926535 8979323846 2643383279 502... Прикладами iррацiональних чисел також е числа: V2 = 1,4142135.; V3 = 1,732050., тощо. Множина дiйсних чисел визначаеться як множина чисел, яку утворюють разом множина рацюнальних чисел i множина iррацiональних чисел. Автори звертають увагу: кожне дмсне число е або рацюнальним числом, або iррацiональним числом. У рубрик «Дiзнайтеся бтьше», пишеться, що термiни «рацiональне число» та <фрацюнальне число» походять вщ латинського слова ratio - розум (буквальний переклад: «рацюнальне число - розумне число», «фрацюнальне число - нерозумне число»).
МЕТОДИ ДОСЛ1ДЖЕННЯ
Для визначення рiвня обГрунтування розширення поняття числа в кура математики ЗСО ми застосували наступы методи дослщження: аналiз та синтез наукових педагопчних та методологiчних джерел з метою виявлення стану розробленосп проблеми; аналiз чинних навчальних програм з математики початково! й основно! шкiл стосовно розвитку числово! лшм; аналiз пiдручникiв 5-8 класiв для порiвняння методики введення нових числових систем; узагальнення власного педагопчного досвщу з методики навчання математики у закладах загально! середньо!, передвищо! та вищо! освти. Отриману iнформацiю узагальнено, зроблено певы висновки.
РЕЗУЛЬТАТИ ДОСЛ1ДЖЕННЯ
Аналiз сучасних методичних пiдходiв до формування поняття про число у початковш школi дозволив визначити певну систему завдань. Так, методисти М. Бантова, С. Скворцова, О. Онопрiенко, М. Богданович, М. Козак, Я. Король, П. Кочина, Н. Листопад та Ы. пропонують процес формування поняття про кожне натуральне число у 1-му клаа вибудовувати за таким планом: утворення нового числа з переднього, уже вивченого; введення числа як мльмсно! характеристики класу смнченних е^валентних множин; написання цифри, яка позначае на письмi дане число;
стввщнесення цифри з групою предметв, i навпаки; визначення мюця числа в натуральному рядГ; лiчба в прямому i зворотному порядках у межах даного числа; порiвняння чисел рiзними способами в межах числа, що вивчаеться; вивчення складу числа.
Узагальнення рiзниx методичних пiдxодiв свiдчить, що вивчення нумерацГ' чисел у будь-якому концентрi дГлиться на два етапи: усна та письмова нумерацГ'. При вивченн нумерацiï чисел першого десятка усна i письмова нумерацГя вивчаються паралельно. При вивченн нумерацiï' чисел 11-100 усна i письмова нумерацГя розглядаються окремо. МГж тим, успiшне засвоення учнями письмово'' нумерацГ' вимагае розумшня принципу позицГ' цифр в числГ, вмГння визначати розряди, класи. На перших етапах особливост десятково'' системи числення розкриваються в процес формування навичок лГчби на пiдставаx правил лГчби, зокрема: лГч6у предметiв можна починати з будь-кого предмету; лГчбу можна продовжити у будь-якому напрямку; не можна пропустити жодного предмета; не можна жоден предмет рахувати двГчГ.
Пщфунтям введення нових числових множин в кура математики базово' середньо' школи е поняття розширення числових алгебра'чних систем - вщ натвктьця натуральних чисел з 0 до ктьця цтих чисел, а потм до поля рацюнальних чисел та поля дГйсних чисел. Сума й добуток натуральних чисел завжди е натуральним числом, а рГзниця натуральних чисел не завжди е натуральним числом, тому натуральнГ числа потребують розширення. ЦЫ числа е розширенням множини натуральних чисел. Сума, рГзниця й добуток цтих чисел завжди е цГлим числом, цЫ числа утворюють комутативне кiльце, а дтення цтих чисел не завжди можливо. Тому цЫ числа теж потребували розширення. Рацюнальы числа е розширенням множини цтих чисел. Сума, рГзниця, добуток i частка (крГм дтення на 0) рацюнальних чисел завжди е рацюнальним числом, рацюнальы числа утворюють поле, але квадратний коршь Гз невiд'емного рацiонального числа не завжди е рацюнальним числом (неповнота множити рацюнальних чисел). Тому рацюнальы числа також потребували розширення. Вводяться Гррацюнальы числа. ДГйснГ числа розглядають як об'еднання рацюнальних та Гррацюнальних чисел, вони е розширенням множини рацюнальних чисел. Розглянут числовГ множини упорядковують.
Розвиток лшГ' «Числа» в кура математики базово'' середньо'' школи йде наступним шляхом: натуральш числа, невщ'емш дробовГ числа, цЫ числа, рацГональнГ числа, дГйснГ числа, що вщрГзняеться вГд шляху класичного розширення числових множин: натуральнГ числа, цЫ числа, рацГональнГ числа, дГйснГ числа. До появлення в програмГ дГйсних чисел методика введення цтих i рацюнальних чисел в пщручниках майже ствпадае. Методика введення множини Гррацюнальних та множини дГйсних чисел у пщручниках алгебри 8-го класу, як бачимо, рГзна. Оды автори визначають множину дГйсних чисел як об'еднання множини рацюнальних чисел i множини Гррацюнальних чисел, що вщповщае теорГ' дшсного числа РГхарда Дедекшда, шоп автори розглядають множину рацюнальних чисел як множину нескГнченних перюдичних десяткових дробГв, ГррацГональних - нескГнченних неперюдичних десяткових, тобто спираються на теорГю дГйсного числа Карла Вейерштрасса. Однак, в бтьшост пГдручникГв практично не придГляють уваги на незамкненють множини ГррацГональних чисел вГдносно операцГй додавання та множення, чим ця множина ютотно вГдрГзняеться вГд числових множин, якГ вивчалися попередньо, та властивостям множини дГйсних чисел.
ОБГОВОРЕННЯ
На нашу думку, чинна навчальна програма з математики базово' середньо'' школи мютить певнГ недолти.
Навчальна програма 6-го класу перевантажена вивченням нових числових множин та ''х властивостей: за навчальний рт дгги мають опанувати множину додатних дробових чисел та дГ' над ними, множину цтих чисел та дГ' над ними, множину рацюнальних чисел та дГ' над ними, представлення рацюнальних чисел десятковими дробами та дГ' над ними. В результат учнГ плутаються й не засвоюють мщно та надшно жодну з цих тем. Вважаемо доцГльним повернути вивчення нескГнченних десяткових дробГв як представлення рацюнальних чисел у 7 клас, щоб дещо розвантажити числову лшГю 6-го класу.
Звернемо увагу на недолти чинно' навчально'' програми з математики для 8-го класу. На вивчення натуральних чисел та ''х властивостей в кура математики 5-го класу вщводиться приблизно 40 годин, на вивчення цтих чисел та ''х властивостей в кура математики 6-го класу - приблизно 40 годин, на вивчення рацюнальних чисел та ''х властивостей у 6-му та 8-му класах - приблизно 50 годин, а на вивчення ГррацГональних та дГйсних чисел та 'х властивостей у кура алгебри 8-го класу в програмГ вщводиться не бтьше 1 години у темГ 2 «Квадраты коренГ. ДГйснГ числа» (10 годин). Тут не йдеться про вивчення властивостей квадратних коренГв, тому що квадраты коренГ, якГ не е рацюнальними числами, не вичерпують множину ГррацГональних чисел. Безумовно, на дГ' з квадратними коренями у 8-му клаа i з коренями n-го ступеня, значеннями тригонометричних функцГй, логарифмГчних функцГй, показникових функцш у 10-11 клаа вщведено достатню кГлькГсть годин, однак, такГ числа теж е тГльки прикладами дГйсних чисел. Якщо поняття про натуральнГ, цГл i та рацГональнГ числа формуються в учнГв у 5-8 класах протягом довгого часу, то поняття дГйсного числа не зможе сформуватись у 8 клаа за 1 годину. Очевидно, що при розв'язанш задач, прикладГв i розрахунках в основой та старший школах учнГ використовують як рацГональнГ, так i Гррацюнальы числа, однак у бГльшост випадкГв це виконуеться механГчно. У школярГв виникають певнГ труднощк вони можуть оперувати дшсними числами, але не можуть дати означення, що таке дшсне число, не розумГють вщмшнють мГж рацГональними та ГррацГональними числами, ставлять знак рГвност мГж Гррацюнальними числами та 'х рацГональними наближеннями при розв'язаннГ рГвнянь, погано розумГють зв'язок мГж звичайними дробами i десятковими дробами, не знають, якими десятковими дробами представляються рацГональнГ числа та Гррацюнальы числа тощо. Тому часто можна спостерГгати за тим, що учнГ мають уявлення про те, що таке натуральне число, цте число, рацюнальне число, однак, не розумГють, що таке дшсне число. Наприклад, питання «Сктьки рацюнальних коренГв мае рГвняння? А сктьки дГйсних?» часто ставить учнГв в глухий кут.
Переглянувши пщручники з алгебри 8-11 клаав для загальноосвтнього рГвня та рГвня стандарт, ми дшшли до висновку, що вони мютять достатньо однотипнГ формулювання та завдання щодо задач вищевказаного змюту. У пщручниках завдання на доведення Гррацюнальност числа досить одномангты, сформульованГ вони майже однаково, кГлькГсть задач невелика, тому ''х зовсГм недостатньо для опанування учнями поняття дГйсного числа, Гррацюнального числа. КрГм того, лшГя десяткових дробГв чГтко не видГлена. ДесятковГ дроби застосовуються для обчислень, в учнГв не
формуеться уявлення про те, як класи десяткових дробiв виражають рацюнальы числа, а якi - iррацiональнi. Стороною проходить питання перетворення несмнченних перiодичних десяткових дробiв в звичайы.
На нашу думку, потрiбно розширювати кiлькiсть завдань за лiнiею дмсних чисел, робити ïx рiзноманiтними, включати бiльше завдань на представлення дшсних чисел десятковими дробами, задачi на наближення. I там завдання повинн зус^чатися не тiльки в кура алгебри 8 класу, а й в алгебрi 9-11 клаав. Хоттося б, щоб учнi не ттьки виконували дй з числами мехаычно, а й розумiли, що вони роблять i число з яко'' множини отримують у вiдповiдi. ^м того, цiй темi можна придтяти увагу на уроках геометрп, розв'язуючи задачi з вiдповiдниx тем, наприклад, «Розв'язування трикутнимв», «Розв'язування прямокутних трикутнимв», «Многокутники. Площi многокутнимв», «Правильнi многокутники. Довжина кола. Площа круга».
Отже, тд час введення кожно'' ново'' числово'' множини, виходячи з юторичного розвитку математики та враховуючи вiковi особливостi учнiв основно'' школи, вчителю необxiдно виконувати певний ряд дм:
- на прикладi спецiально п^браних задач встановити неможливiсть 'х розв'язання у вщомм числовiй множинi;
- ввести новi числа, дати ''м назву та означення, знайти 'х мiсце на координатнiй прямiй; корисно надати кторичы вiдомостi про появу цих чисел;
- об'еднати новi числа з вже вщомими, показати, що попередня множина чисел е тдмножиною ново';
- визначити правила порiвняння нових чисел, дй над ними та 'х властивосп;
- оргаызувати розв'язання завдань, в тому чи^ практичного змiсту, з новими числами.
ВИСНОВКИ ТА ПЕРСПЕКТИВИ ПОДАЛЬШОГО ДОСЛ1ДЖЕННЯ
Введення нових числових систем в курсi математики базово'' середньо' школи здiйснюеться на основi поняття розширення алгебра'чних систем. На нашу думку, чинна навчальна програма з математики базово' середньо'' школи мктить певн недолти, необxiдно ввести деяк корективи у подання змiстовоï лн' «Числа» у програмi з математики, зокрема, дещо розвантажити числову лЫю в 6-му класi, а у 8-му клаа бтьше придiляти уваги властивостям iррацiональниx та дiйсниx чисел. Перспективу подальшого дослiдження вбачаемо в бтьш детальному системному аналiзi змкту числово'' лiнiï в чинних тдручниках алгебри стосовно методики введення множин рацюнальних, iррацiональниx та дiйсниx чисел та 'х властивостей.
Список використаних джерел
1. Бельтюкова Г. В. Первый концентр - числа от 0 до 20. Начальная школа. № 1, 1993. С. 38-40.
2. 1стер О. С. Математика: тдручник для 6 класу загальноосвiтнix навчальних закладiв. К.: Генеза, 2014. 296 с.
3. 1стер. О. С Математика. 5 кл.: тдручник для закладiв загально'' середньо' освти. 2-ге вид. Ки'в: Генеза, 2018. 288 с.
4. Кравчук В., Шдручна М., Янченко Г. Алгебра: тдручник для 8 кл. загальноосвiтнix навчальних закладiв. Тернопiль: Пiдручники i поабники, 2016. 256 с.
5. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Ямр М. С. Алгебра: тдручник для 8 кл. загальноосвт-iix навчальних закладiв. Х.: Гiмназiя, 2016. 240 с.
6. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Ямр М. С. Математика: тдручник для 6 класу загальноосвiтнix навчальних закладiв. Х.: Гiмназiя, 2014. 400 с.
7. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Ямр М. С. Математика. 5 кл.: тдручник для закладiв загально' середньо'' освiти. 2-ге вид. Х.: Гiмназiя, 2018. 272 с.
8. Навчальн програми для загальноосвiтнix навчальних закладiв Укра'ни, опис ключових змiн. 5-9 класи. К.: Видавничий дiм «Освiта», 2017. 56 с.
9. Прокопенко Н. С., Захаршченко Ю. О., КЫашук Н. Л. Алгебра: тдручник для 8 кл. загальноосвт-iix навчальних закладiв. Х.: Вид-во «Ранок», 2016. 288 с.
10. Скворцова С. О., Онопрiенко О. В. Нова укра'нська школа: методика навчання математики у 1-2 класах закладiв загально'' середньо'' освти на засадах штегративного i компетентысного пiдxодiв: навч.-метод. посiб. Харкiв: Вид-во «Ранок», 2019. 352 с.
11. Тарасенкова Н. А., Богатирьова I. М., Бочко О. П., Коломiець О. М., Сердюк З. О. Математика. 5 кл.: тдручник для закладiв загально' середньо'' освти. 2-ге вид. К.: Видавничий дiм «Освп^а», 2018. 240 с.
12. Тарасенкова Н. А., Богатирьова I. М., Коломiець О. М., Сердюк З. О. Алгебра: тдручник для 8 класу загальноосвiтнix навчальних закладiв. К.: УОВЦ «Орюн», 2016. 336 с.
13. Тарасенкова Н. А., Богатирьова I. М., Коломiець О. М., Сердюк З. О. Математика: тдручник для 6 класу загальноосвiтнix навчальних закладiв. К.: Видавничий дiм «Освп^а», 2014. 304 с.
14. Типова освтня програма для 3-4 клаав зaклaдiв загально'' середньо' освiти: наказ Мастерства освiти i науки Укра'ни вщ 08.10.2019 №1273. URL: https://mon.gov.ua/ua/npa/pro-zatverdzhennya-tipovih-osvitnih-program-dlya-3-4-klasiv-zakladiv-zagalnoyi-serednoyi-osviti-1273 (Дата звернення - 01.03.2020 р.).
References
1. Bel'tjukova G. V. (1993). Pervyj koncentr - chisla ot 0 do 20 [The first concentrate is numbers from 0 to 20]. Nachal'naja shkola,1, 38-40 [in Russian].
2. Ister O. S. (2014). Matematyka: pidruchnyk dlia 6 klasu zahalnoosvitnikh navchalnykh zakladiv [Maths. 6 class]. Kyiv: Heneza [in Ukrainian].
3. Ister. O. S. (2018). Matematyka. 5 kl.: pidruchnyk dlia zakladiv zahalnoi serednoi osvity. [Maths. 5 class]. Kyiv: Heneza [in Ukrainian].
4. Kravchuk V., Pidruchna M. & Yanchenko H. (2016). Alhebra: pidruchnyk dlia 8 kl. zahalnoosvitnikh navchalnykh zakladiv [Algebra. 8th grade]. Ternopil: Pidruchnyky i posibnyky [in Ukrainian].
5. Merzliak A. H., Polonskyi V. B. & Yakir M. S. (2016). Alhebra: pidruchnyk dlia 8 kl. zahalnoosvitnikh navchalnykh zakladiv [Algebra. 8th grade]. Kharkiv: Himnaziia [in Ukrainian].
6. Merzliak A. H., Polonskyi V. B. & Yakir M. S. (2014). Matematyka: pidruchnyk dlia 6 klasu zahalnoosvitnikh navchalnykh zakladiv [Maths. 6 class]. Kharkiv: Himnaziia [in Ukrainian].
7. Merzliak A. H., Polonskyi V. B. & Yakir M. S.(2018). Matematyka. 5 kl.: pidruchnyk dlia zakladiv zahalnoi serednoi osvity [Maths. 5 class]. Kharkiv: Himnaziia [in Ukrainian].
8. Navchalni prohramy dlia zahalnoosvitnikh navchalnykh zakladiv Ukrainy,opys kliuchovykh zmin. 5-9 klasy (2017) [Curricula for Ukrainian secondary schools, description of key changes. 5-9 classes ]. Kyiv: Osvita [in Ukrainian].
9. Prokopenko N. S., Zakhariichenko Yu.O. & Kinashchuk N. L. (2016). Alhebra: pidruchnyk dlia 8 kl. zahalnoosvitnikh navchalnykh zakladiv [Algebra. 8th grade]. Kharkiv: Ranok [in Ukrainian].
10. Skvortsova S. O. & Onopriienko O. V. (2019). Nova ukrainska shkola: metodyka navchannia matematyky u 1-2 klasakh zakladiv zahalnoi serednoi osvity na zasadakh intehratyvnoho i kompetentnisnoho pidkhodiv [New Ukrainian School: Methods of Teaching Mathematics in Grades 1-2 of General Secondary Education Institutions Based on Integrative and Competent Approaches]. Kharkiv: Ranok [in Ukrainian].
11. Tarasenkova N. A., Bohatyrova I. M., Bochko O. P., Kolomiiets O. M. & Serdiuk Z. O. (2018). Matematyka. 5 kl.: pidruchnyk dlia zakladiv zahalnoi serednoi osvity [Maths. 5 class]. Kyiv: Osvita [in Ukrainian].
12. Tarasenkova N. A., Bohatyrova I. M., Kolomiiets O. M. & Serdiuk Z. O. (2016). Alhebra: pidruchnyk dlia 8 klasu zahalnoosvitnikh navchalnykh zakladiv [Algebra. 8th grade]. Kyiv: Orion [in Ukrainian].
13. Tarasenkova N. A., Bohatyrova I. M., Kolomiiets O. M. & Serdiuk Z. O. (2014). Matematyka: pidruchnyk dlia 6 klasu zahalnoosvitnikh navchalnykh zakladiv [Maths. 6 class]. Kyiv:Osvita [in Ukrainian].
14. Typova osvitnia prohrama dlia 3-4 klasiv zakladiv zahalnoi serednoi osvity (2019) [Typical educational program for 3-4 classes of general secondary education institutions]. Retrieved from: https://mon.gov.ua/ua/npa/pro-zatverdzhennya-tipovih-osvitnih-program-dlya-3-4-klasiv-zakladiv-zagalnoyi-serednoyi-osviti-1273 [in Ukrainian].
DEVELOPMENT OF A NUMERICAL LINE IN THE COURSE OF MATHEMATICS OF ESTABLISHMENTS OF GENERAL SECONDARY EDUCATION
Olga Yakovlieva, Yana Haievets
South Ukrainian National Pedagogical University named after K. D. Ushynsky
Viktoriia Kaplun School of general education №68, Odessa
Abstract.
Formulation of the problem. The number line is one of the important content lines in the course of mathematics of general secondary education, its development begins in the first grade of elementary school and continues throughout the course of mathematics in basic and secondary school. Students' knowledge of numbers and their ability to operate is the basis for the mathematical competence of general secondary education students.
Materials and methods. The article provides a brief overview of the development of numerical lines in elementary mathematics and secondary school mathematics based on the theoretical analysis of scientific sources, current curricula for mathematics of elementary and secondary schools, mathematics textbooks for grades 5-8. The information obtained is generalized to determine the justification for expanding the notion of numbers in textbooks. The peculiarities of numerical processing in a primary and secondary schools in connection with the updated normative provision of mathematical education are investigated.
Results. It is noted that the development of the content line "Numbers" in the course of mathematics occurs in the following sequence: positive integers, integral fractional numbers, integers, rational numbers, real numbers, which is different from the path of classical expansion of numerical sets: natural numbers, integers, rational numbers, real numbers. It is found that in the textbooks the methods of entering the natural, integer and rational numbers coincide, the method of entering the irrational and real numbers is different.
Conclusions. The introduction of new number sets in the high school mathematics course is based on the notion of an extension of algebraic systems. According to the authors, the current high school math curriculum has some drawbacks, some adjustments are needed to represent the content line "Numbers" in the math program: unload the numeric line in 6th grade, and pay more attention to the properties of the irrational and real numbers in 8th grade.
Keywords: numbers, extension of number sets, algebraic operations, algebraic structures, extensions school mathematics course.
