КОНСТРУКТИВНИЙ ПІДХІД ДО ФОРМУВАННЯ ПОНЯТТЯ ДІЙСНОГО ЧИСЛА Текст научной статьи по специальности «Математика»

КОНСТРУКТИВНИЙ П1ДХ1Д

ДО ФОРМУВАННЯ ПОНЯТТЯ Д1ЙСНОГО ЧИСЛА

В.К.Шрман, канд. педагог. наук,

Днтропетровський обласний тститут тслядипломноТ педагогiчно'i освти, Днтропетровський нацюнальний умверситет м. О. Гончара,

м. Днтропетровськ, УКРА1НА

У статтг розглядаються послгдовностг вивчення конструктивних схем визначення дтсного числа. Обхрунтовуеться можлив1сть ефективног реал1заци таких посл1довно-стей як у курсах математичного анал1зу, так I при поглибленому вивченш математики в школг.

Ключов1 слова: визначення дтсного числа, Кантор1вський конструктивний п1дх1д, вивчення основ математичного аналгзу.

Постановка проблеми. Теорш дшс-них чисел утворюе фундамент, на якому базусться курс математичного ан^зу, як для класичних, так i педагопчних ушвер-ситепв. Класичний тдхщ, що грунту еть-ся на теори дедекшдових перерiзiв [3; 8], у сучасних курсах, як правило, змшюеть-ся формальною теорieю нескшчених де-сяткових дробiв [4] або аксюматичним пiдходом [5]. Спостереження свiдчать про те, що бшьша частина тих, хто упер-ше вивчае основи аналiзу з великими труднощами сприймають навчальний ма-терiал, побудований на конструктивнiй баз^ крiм того конструктивний виклад матерiалу займае велику кiлькiсть часу по вщношенню до аксiоматичного. У той же час, початкове ознайомлення з теорiею дiйсних чисел на основi аксiоматичного пiдходу, як обгрунтовано у дослщженш Г.О.Михалiна [6] е недоцшьним для сту-дентiв математичних та педагопчних спещальностей, також деякi аксюми (на-приклад, повноти) не е очевидними i ви-кликають вщчуття штучностi. Проти ак-сiоматичного пщходу також виступають аргументи, пов'язанi з тим, що на початку вивчення основ математичного аналiзу неможливо обгрунтувати категоричнiсть системи аксiом дiйсних чисел. Зрозумшо, що аксiоматичний пiдхiд е неможливим

при вивченнi теори дшсних чисел у сере-днiй школi при поглибленому вивченнi математики, де виникае необхщнють строгих формулювань у теори границь послiдовностей. Очевидно, що виршення вище визначених проблем можна шукати, з одного боку, в удосконаленш системи наступностi при вивченш математичного аналiзу, а з шшого в удосконаленнi лоп-ко-структурних схем викладу теори дшс-них чисел на основi конструктивного пiд-ходу.

Анал1з актуальних дослщжень.

Проблеми наступностi у навчанш математики стають у ценщ уваги сучасних дослiджень. С.С.Яценко та Н.В.Гриб [10] характеризують протирiччя у забезпечен-нi наступностi мiж загальноосвiтньою та вищою школою при вивченш математики, роблячи акцент на 1'х об'ективнш природа Грунтовно питання наступностi при вивченш математичного аналiзу досль джуються М.В.Босовським [2], на при-кладi теори границь 1'м виокремлено ета-пи формування складних понять аналiзу. Теоретичною базою для таких досль джень стали роботи Н.А.Тарасенково'1' [7], у яких з позицш семiотичного пщходу будуеться теорш формування понять у математищ. Питання вивчення студенпв-математиюв педагогiчних унiверситетiв

конструктивному визначенню дшсних чисел ретельно вивчаються у роботах Г.О.Михалша [6], значна увага в яких прид^еться мотивацiйному аспекту, що пов'язаний з професiйною дiяльнiстю у майбутньому. Математична коректнють логiко-структурних схем викладу матер> алу на основi конструктивних пiдходiв до побудови дшсних чисел дослщжена в класичнiй робот 1.В. Арнольда [1]. У цiй робот! як найбшьш природний до сприй-няття видiляеться пiдхiд Г. Кантора до визначення дiйсних чисел, побудований на теори фундаментальних послщовнос-тей рацюнальних чисел, при цьому кон-центруеться увага на певних техшчних труднощах, що з ним пов'язаш. Канторiв-ський пiдхiд мае велике пропедевтичне значення, як явний приклад поповнення метричного простору. На сьогодшшнш день пiдхiд Г.Кантора до побудови дшсних чисел практично не застосовуеться при вивченш основ аналзу в основному через те, що початкове введення фунда-ментальних послiдовностей е неприрод-ним для тих, хто лише вперше ознайом-люеться з поняттями аналiзу. Таким чином, iснуе проблема ефективного та доступного ознайомлення з теорiею дiйсних чисел, один iз шляхiв й вирiшення - ви-клад матерiалу на основi теори фундаментальних послiдовностей достатньо не дослщжений i не висвгглений у науковiй та методичнiй лггературь

Мета статт1 — побудувати послщовну схему навчання теори дiйсних чисел на основi теори фундаментальних послщов-ностей рацiональних чисел, теоретично обгрунтувати 11 дидактичну доцiльнiсть.

Виклад основного матер1алу. Згiдно пiдходу Г.Кантора кожне дшсне число ототожнюеться з деякою фундаментальною послiдовнiстю рацюнальних чисел. Двi такi послiдовностi {х п } та {у п } вва-жаються еквiвалентними, якщо для будь-якого додатного £ юнуе натуральне число п 0 таке, що для будь-якого натурального п > п 0 виконуеться нерiвнiсть

|х п - у п < £ . Тут £ можна вважати ращ-

ональними. Клас еквiвалентностi, що ви-значаеться фундаментальною послщовш-стю {х п } позначаемо [х п ]. З кожним таким класом i ототожнюеться дшсне число. На класах е^валентносп вводяться звичайнi арифметичнi операцй та доводиться 1х коректнiсть. Якщо х = [х п ] та

7 =[У п ] то

х + У =[х п + Уп ],

х - У =[х п - Уп ],

х ■ У =[хп ■ У,].

Щодо операцй дiлення то в якосп представника (з класу еквiвалентностi) дiльника обираемо лише таю послщовно-стi {у п }, що юнуе £ > 0 таке, що |у п > £ для будь-якого натурального п . Тодi

х : У =[хп : У,].

1з кожним рацiональним числом можна ототожнити стацюнарну рацiональну послiдовнiсть, що складена з тих самих чисел. Шсля доведення коректностi опе-рацш можна довести, що дiйснi числа з такими операцшми утворюють структуру поля (доведення асощативносп, комута-тивносп, дистрибутивностi операцiй, iс-нування единого оберненого та протиле-жного елеменпв).

Наступним етапом стае введення вщ-ношення порядку на множинi дшсних чисел. Згщно [1] число а = [а п ] бiльше числа Ь = [Ь п ], якщо юнуе додатне (ращ-ональне) 8 таке, що а 1 -Ь >8 , для усiх номерiв п , що бiльшi за деяке натуральне п 1. Тут також необхiдно доводи-

ти, що вiдношення "<" на множиш дшс-них чисел утворюють лшшний порядок. У тiй самш роботi 1.В.Арнольда [1] бу-дуються схеми, в яких вводиться та доводиться коректнють операцй добування коренiв, пщнесення до степеня з дiйсним показником, добування логарифмiв. При такому пiдходi далi можливо вже розви-вати теорто границь для послiдовностей дшсних чисел. Запропоновану вище схему викладу матерiалу будемо далi нази-

вати базовою канторiвською схемою К0.

Дидактичш недолiки К0 майже очевидна Звернемо увагу на переваги. Перш за все, К0 дае динамiчну iнтерпретацiю дiйсного числа. Тобто, дшсне число ро-зумiеться як iдеальний нескiнчений про-цес вимiрювання або уточнення. Подруге, так само динамiчну iнтерпретацiю можна далi застосовувати при визначеннi елементарних функцш, та, по-трете, схема К0 мае пропедевтичний характер для вивчення понять загально'1 топологй. Що-до недолшв, то до головних можна вщ-нести: 1) неприроднiсть, штучнють по-няття фундаментальностi послiдовностей для тих, хто вперше почав вивчати аналiз; 2) ряд технiчних труднощiв знов таки для та ж категорй осiб; 3) необхiднiсть спе-цiальних обмежень, наприклад, при озна-ченнi дiлення; 4) неочевиднiсть при ви-значеннi вiдношення порядку.

Уах вище визначених недолiкiв можна запоб^и, якщо побутувати процес викладання модернiзував незначно схему К0. У програмi математичного аналiзу пiсля вивчення основ теорй множин, на-туральних, цiлих, рацiональних чисел пропонуеться розглянути блок LQ , при-свячений теорй границь, але на множит рацюнальних чисел. Тут можна вести розмову про послщовносп чисел, збiжних або розбiжних у полi рацюнальних чисел. Саме у блощ LQ без проблем форму-люються та доводяться основнi теореми про границ послiдовностi: про еднiсть границi, про обмеженють збiжноi посль довностi, властивосп нескiнченно малих, арифметичнi властивостi границь, теореми про граничний перехщ у нерiвностях. Частково можна також розглядати теорш пiдпослiдовностей. Значну юльюсть тех-нiчних прикладiв на обчислення границь можна також розглядати в цьому блощ. Тут також можна вивчати теореми Тьоп-лща, Штурма тощо. Формальне вивчення границь у полi рацiональних чисел повинно супроводжуватися неформальним обговоренням, в якому кожного разу пщ-креслюеться, що зi зростанням номеру

члени збiжноi послiдовностi (а розгляда-ються лише збiжнi у полi рацюнальних чисел) практично не вiдрiзняються один вщ одного. Так поступово формуеться поняття фундаментальностi послщовнос-тi. Тепер при формальному введенш воно перестае носити штучний характер. Важ-ливий момент - наведення прикладiв фу-ндаментальних послiдовностей, якi не е збiжними у полi рацiональних чисел. Таю приклади на цьому етат е дуже нетривiа-льними. Важливий пропедевтичний характер для наступного блоку може мати до-ведення того факту, що якщо послщов-нють рацiональних чисел обмежена та монотонна, то вона е фундаментальною. Доведення такого твердження можна пропонувати провести самостiйно або в режимi консультацiй.

Звернемо увагу, що пщ час вивчення питань блоку LQ в курсi алгебри удо-сконалюються навички, пов'язанi з еле-ментарною теорiею множин, зокрема до-статньо уваги придшяеться роботi з бша-рними вiдношеннями, достатньо ретельно розбираеться вщношення еквiвалентнос-тi, тому реалiзацiя основних iдей К0 повинна сприйматись позитивно. Отже, на-ступним у модершзацй К0 стае реалiзацiя блоку ТЯ. - побудови теорй дшсного числа за схемою Г. Кантора. Шсля визна-чення дiйсного числа як класу е^вален-тностi краще одразу перейти до визна-чення та вивчення вщношень порядку. На нашу думку, краще працювати з альтер-нативним означенням, а саме: кажемо, що число а = [а п ] менше за число Ь = [Ь п ] ,

тобто а < Ь , якщо юнують таю рацюна-льнi г та I , таю, що Г < $ i такi, що ю-нуе натуральне число п 0 , що для будь-якого натурального п > п 0 виконуються нерiвностi а п < г та Ь п > $ .

Наступним кроком у ТЯ стае вивчення арифметичних операцш. Дове-дення коректностi для додавання, вiднi-мання, множення не викликае проблем. При визначеннi дiлення краще спочатку визначити поняття оберненого числа. До-

®

ведения iснування i eдиностi стае нескладною задачею (юнування просто тривiа-льною), при цьому не треба нiяких обме-жень, якi робились для представниюв дi-льника, треба просто працювати з нену-льовими числами.

Окремими задачами можуть розгля-датись задачi на доведення властивостей вiдношень порядку, яю пов'язанi з ариф-метичними операцшми. До ТЯ доцiльно включити доведення всюди щiльностi множин рацiональних та iррацiональних чисел.

Завершувати блок ТЯ повинш факти та задачi на !х опрацювання, якi тради-цiйно розглядаються при конструктивному пiдходi. Це теорема про юнування точно! верхньо! та точно! нижньо! межи, теорема Кантора про вкладеш вiдрiзки, принцип Архiмеда, теорема Бореля-Лебега тощо. Тут також можна вводити поняття кореня довшьно! степенi та сте-пеня з рацiональним показником.

Шсля ТЯ е усi можливосп розгорта-ти традицiйну теорiю границь для посль довностей дiйсних чисел, активна пропедевтика яко! вже проведена у блощ LQ .

Таким чином, у блощ, присвяченому тео-ри границь на множиш дiйсних чисел LR значно скорочуеться час на опрацю-вання вщповщних понять та навичок.

Таким чином, схема

LQ ® ТЯ ® LR не мютить тих недолiкiв, якi притаманнi схемi КО i бере вiд КО ус переваги. Звер-немо увагу, що можливо будувати iншi модершзаци КО у залежностi вiд рiвня пiдготовленостi студентiв. Перша очевидна трансформащя ланцюжка LQ ® ТЯ ® Ш

пов'язана з тим, що розглядаються в означеннi фундаментальних послщовнос-тей не довiльнi рацiональнi £ , а числа 1

вигляду

10п

Таку ж теоретичну конс-

трукщю можна розглядати без блоку LQ . Вона е бшьш наочною, нiж схема КО. Останню конструкцiю, у свою чергу, можна модертзувати, якщо розглядати по-

слiдовностi з такою властивютю: iснуе деяке натуральне т , що для будь-якого

1

натурального п

|Х п +1 Х п

<

10п

Для

таких послщовностей неважко ввести поняття е^валентносп, а далi будувати

теорто, подiбну ТЯ .

Остання схема, на нашу думку, може бути ефективною при поглибленому ви-вченнi математики в старших класах се-редньо! школи. Вона е природною, якщо протягом навчання математицi сьомих -дев'ятих клаав буде сформовано штугти-вне поняття дшсного числа, як процесу вимгрювання. Такий динамiчний пiдхiд також е природним для шкшьного курсу. Дшсно, натуральнi числа в уявленш учнiв спочатку формуються як результат процесу перерахування, рацiональнi, завдяки геометричнш iнтерпретацiй, як результат процесу побудови, нарешт^ дiйснi числа i виникають як результат послiдовного ви-мiрювания та уточнення. При цьому в 8-9 класах нескшчений десятковий дрiб ш-терпретуеться як процес поступового уточнення результатiв вимiрювания.

Зрозумшо, що усi запропонованi схе-ми не будуть реалiзованi ефективно, якщо буде вщсутнють наступнiсть у викладанш математики в середнiй та вищий школi, зокрема, якщо у середнш школi не буде сформовано штуггивне наочне означення дiйсного числа та поняття гранищ. Задача активно! пропедевтики цих понять ле-жить не тшьки на курсах математики (ал-гебри та геометри), але, що не менш важ-ливо усього комплексу природничих та технологiчних дисциплш. Дiйсно, саме там формуеться емтрична база, пов'язана з процесами вимiрювания та обчислення, що стае пщгрунтям для формування складного абстрактного поняття дшсного числа.

Висновки. Отже, проведений аналiз показуе, що, по-перше, вивчення визна-чення дiйсних чисел краще проводити за конструктивними, а не аксюматичними схемами, по-друге, штугтивному динам> чному розумiнню поняття дiйсного числа вщповщае схема на основi фундамента-

льних послщовностей рацюнальних чисел, по-трете, таку схему можливо реаш-зувати ефективно, якщо при викладi ма-терiалу спочатку будувати теорто гра-ниць для поля рацюнальних чисел. Мож-ливi iншi модифжаци запропонованих схем, ефективнiсть яких необхщно досль дити шляхом проведення педагогiчних експериментiв.

1. Арнольд И.В. Теоретическая арифметика /И.В.Арнольд. - М.: Учпедгиз, 1938. -480 с.

2. Босовський М.В. Наступшсть у ви-вченм теорИ' границь у загальноосвттх та вищих навчальних закладах / М.В..Босовський // Дидактика математики: проблеми / досл1дження: м1жнар. зб. наук. роб1т. - Донецьк, 2005. - Вип. 24: Труди м1ж-нар. наук.-мет. конф. "Евристичне навчання математики". - С. 127-131.

3. Дедекинд Р. Лекции по теории чисел / Р.Дедекинд; пер. с нем. А.И.Каменецкий, Б.И.Сегал. - Казань: Изд-во Импер. ун-та, 1905. -196 с.

4. Дороговцев А.Я. Математический анализ. Краткий курс в современном изложении/ А.Я.Дороговцеев. - К.: Факт, 2004. -

560с.

5. Зорич В.А. Математический анализ / В.А.Зорич. -М.: ФАЗИС, 1997. - Ч. 1 - 554 с.

6. Михалт Г. О. Формування основ про-фестног культури вчителя математики у процеа навчання математичного анал1зу: дис. ... докт. пед. наук: 13.00.02 / Г.О.Михал1н. - К., 2004. - 413 с.

7. Тарасенкова Н.А. Поняття як об'екти засвоення / Н.А. Тарасенкова // Дидактика математики: проблеми 7 досл1джен-ня: м1жнар. зб. наук. роб1т. - Вип. 16. - Донецьк: Ф1рма ТЕАН, 2001. - С. 69-80.

8. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. / Г.М. Фихтенгольц. - М.: Гос. изд-во технико-теоретической лит., 1956. - Т. 1. - 440 с.

9. Хинчин А.Я. Педагогические статьи /А.Я.Хинчин; под ред. Б.В.Гнеденко. - М.: Изд-во АПН РСФСР, 1963. - 204 с.

10. Яценко С. С. Об'ективм протир1ччя у забезпеченм наступност1 м1ж загальноосв1-тньою та вищою школою/ С.С.Яценко, Н. В. Гриб // Дидактика математики: пробле-ми 7 досл1дження: м1жнар. зб. наук. роб1т. -Вип. 30. - Донецьк: Вид-во ДонНУ, 2008. - С. 125-129.

Резюме. Кирман В.К. КОНСТРУКТИВНЫЙ ПОДХОД К ФОРМИРОВАНИЮ ПОНЯТИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА. В статье рассматриваются последовательности изучения конструктивных схем определения действительного числа. Обосновывается возможность реализации таких схем, как в курсах математического анализа, так и при углубленном изучении математики в школе.

Ключевые слова: определение действительного числа, Канторовский конструктивный подход, изучение основ математического анализа.

Abstract. Kirman V. THE CONSTRUCTIVE APPROACH TO THE FORMATION OF CONCEPT OF THE REAL NUMBER. The sequences of studying the constructive schemes of a real number definition have been considered in the article. The possibility of implementation of such schemes both in courses of mathematical analysis and in in-depth study of mathematics at school has been substantiated.

Key words: definition of a real number, Kantor's constructive approach, studying the bases of mathematical analysis.

Стаття представлена професором Н.А. Тарасенковою.

Надшшла доредакцп 04.02.2012 р.

®