ВОЛЬТЕРРАНЫН БИРИНЧИ ТИПТЕГИ ИНТЕГРАЛДЫК ТЕҢДЕМЕСИНИН ЧЫГАРЫЛЫШЫНА МИСАЛДАР Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика, физика, техника. 2022, №1

УДК 517.983

Б01: 10.52754/16947452_2022_1_167

ВОЛЬТЕРРАНЫН БИРИНЧИ ТИПТЕГИ ИНТЕГРАЛДЫК ТЕНДЕМЕСИНИН ЧЫГАРЫЛЫШЫНА МИСАЛДАР

Чоюбеков Сапарбек Мийзамбекович, Ага окутуучу [email protected] Ош мамлекеттик университети Ош, Кыргызсиан

Аннотация: Интегралдык тецдемелер математиканын негизги бвлYMYнв -анын ичинде физика, техника жана башка квптвгвн илимдерге ар тараптуу колдонулган бвлYмгв кирет. Бул жагынан алганда, акыркы жылдары квптвгвн изилдввЧYлврдYн аракеттери менен интегралдык тецдемелердин теориясы дуркурвп вCYYдв. Заманбап компьютердик технологиялардын внYгYYCY менен сандык чечимдерди реализациялоо жана татаал процесстерди моделдештирYY мYмкYнчYЛYгY тYЗYлдY. Мындай типтеги квптвгвн маселелер интегралдык тецдемелерге келтирилет. Биринчи планга интегралдык тецдемелер чечимдерин сапаттуу изилдвв коюлат. Бирок, пределы боюнча интегралдануучу эки взгврYлмвлYY классикалык эмес тецдемелер втв аз изилденген. Бул анын резольвентасын тургузуунун татаалдыгы менен, ошондой эле кайсы бир моделдик учурларын эске албаганда жалпы типтеги аналитакалык кврYHYШY жазылбаганы менен тYШYндYPYлвт. Ошондуктан чечимди ушундай изилдввлвр актуалдуу деп эсептелинет.

Ачкыч свздвр: интегралдык тендемелер, вCYYЧY, YзгYлтYксYЗ, шарт, взгврYлмвлвр, жакындаштырылган чечим, мейкиндик, усул, классикалык эмес.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА ПЕРВОГО РОДА

Чоюбеков Сапарбек Мийзамбекович, старший преподаватель

[email protected] Ошского государственного университета

Ош, Кыргызстан

Аннотация: Интегральные уравнения относятся к разделу математики, важным для приложений- к ним приводится большое число задач самых разных разделов физики, техники и многих наук. В связи с этим в последние годы теория интегральных уравнений бурно развивается благодаря трудам многих исследователей. С развитием современных компьютерных технологий появляется возможность моделировать самые сложные процессы и реализации численных решений. Многие задачи такого рода сводятся к интегральным уравнениям. На первый план выдвигается качественное исследование решений этих задач. Однако, уравнения с двумя переменными пределами интегрирования, которые называют неклассическими мало изучены. Это объясняется трудностями в построении резольвенты и в составлении соотношения для нее, так как еще не получено аналитическое представление в общем виде за исключением некоторых модельных случаев. Поэтому такого исследования решений являются актуальными.

Ключевые слова: интегральное уравнения, возрастающая, непрерывные, условия, переменные, приближенные решения, пространство, метод, неклассические.

EXAMPLES OF SOLUTION OF THE FIRST KIND VOLTERRA

INTEGRAL EQUATION

Choyubekov Saparbek, Senior Lecturer [email protected] Osh State University Osh, Kyrgyzstan

Abstract: Integral equations belong to the branch of mathematics, which is important for applications — a large number of problems of various branches ofphysics, engineering, and many sciences are given to them. In this regard, in recent years, the theory of integral equations has been developing rapidly thanks to the work of many researchers. With the development of modern computer technologies, it becomes possible to model the most complex processes and implement numerical solutions. And many problems of this kind are reduced to integral equations. The qualitative research of solutions to these problems is put at the forefront. However, equations with two variable limits of integration, which are called non-classical, have been little studied. This is due to the difficulties in constructing the resolvent and in constructing a relation for it, because The analytical representation in general form has not yet been obtained except for some model cases. Therefore, studies of approximate solutions are relevant.

Keywords: integral equation, increasing, continuous, conditions, variables, approximate solutions, space, method, nonclassical.

Киришуу

Интегрэлдык тецдемелердин теоретикэлык бeлYктepY TYPДYY иштерде изилденген. Тяктяп яйткэндя, [1] жумуштя Вольтеррянын экинчи типтеги интегрэлдык тецдемелерин изилдee нaтыйжaлaрын кaрaлгaн. [2, 3] жумуштярдя, Вольтеррянын биринчи типтеги интегрвлдык тендемесине ap кяндяй колдонмо мяселелерде колдонулушу келтирилген. [4, 5] жумуштярдя Вольтеррйнын биринчи жяня y4Y^y типтеги сызыктуу жяня сызыктуу эмес интегрэлдык тендемелеринин чечмиминин желгыздыгы жяня чечимдер системйсынын регуляризйциясы жeнYндe иликтенген. [6] жумуштя, Вольтеррйнын биринчи типтеги интегрэлдык тендемеси боюнчя нaтыйжaлap келтирилген.

[7, 8] жумуштярдя Липшицтин шврттяры менен кляссикэлык эмес интегрэлдык тендемени чечYY YЧYн регуляриз8циясы оперятору тургузулган жвив чечимдин жэлгыздыгы дэлилденген. [9] жумуштя, Вольтеррянын биринчи типтеги сызыктуу кляссикэлык эмес интегрэлдык тендемелердин чыгарылышы жeнYндe вйтылгвн. [10] жумуштя, Вольтеррзнын биринчи типтеги бaштaпкы шярты менен берилген сызыктуу кляссикэлык эмес интегрэлдык тендемесинин чечимин регуляризадиялоо дэлилденген. [11, 12] жумуштя биринчи типтеги кляссикэлык эмес интегрэлдык тендемени YЗГYлтYксYЗ функцияляр мейкиндигинде чечYY жeнYндe дэлилденген.

Бул жумуштя Вольтеррянын биринчи типтеги кляссикэлык эмес интегрэлдык тендемесинин чыгврылышыня мисэлдяр кapaлaт.

Маселенин коюлушу: ТeмeнкY интегрэлдык тендемени кярвилы:

tK(t, s)u(s)ds = f(t) ; t e[to,T] (1)

a(t)

мындя a(t) , K(t, s) жяня f (t )— берилген функцияляр, мындя a(t)eC%,T] , a(t) = ß<t, , f(t)eC\,T] , a(t)<t бярдык te[t0,T] YЧYн, K (t, s) жвив Kt(t, s) — G = {(t, s): a(t ) < s < t < T} aймaгындa YЗГYлтYксYЗ функцияляр, a(t) — [t0, T] кесиндисинде eсYYЧY функция, эл эми u(t) — [t0, T] кесиндисинде изделYYЧY функция.

Маселенин чечилиши:

TeMeHKY шарттар орун алсын дейли:

a) K (t, s) жана K (t, s) - G = {(t, s): a(t ) < s < t < T} , аймагында Y3rYnTyKCY3 функциялар, K (t, t ) t 0 K(t,t) Ф 0 бардык t e[t0,T ] Y4yH.

b) a(t), a'(t), f (t), f (t)e[t09T], a(to) = fi<to, a(T) = t0 , a(t)<t,

бардык tt[t0,T] YЧYн, мында a(t)- [t0,T] кесиндисинде ecyY4y функция.

u(t) = p(t), tе[Дto] (2)

болсун дейли, мында p(t) - [fi, t0] кесиндисинде белгилYY функция. te [t0,T] болсун. Анда (1) интегралдык тецдемени дифференцирлеп,

K (t, t )u(t ) - K (t ,a(t ))u(a(t ))a ' (t ) + ]к[ (t, s)u(s)ds = f ' (t ) , t ^[t0,T ]

a(t )

тецдемесине ээ болобуз. Мындан тeмeнкYHY алабыз:

u = тоШu(a(t))a '(t)- Г ^^u(s)ds , te[t0,T] (3)

K (t, t ) K K J Jt ) K (t, t ) w K (t, t ) v 7

a), b) шартарды жана (2) функцияны эске алып, (3) интегралдык тецдемени

ÏWJ) s + P(t), te[t0,T] (4)

Г K (t, t )

кeрYHYШYндe жазабыз, мында

= K (t ,a(t )) p(a(t ))a' (t ) - Г ЩЛ p{s)ds + Ш., t e[t0,T] (5) V ' K(t, t) ^ V ' ai) K(t, tyKJ K(t, t)

t = t0 эсептеп жана (2), (5) функцияларды эске алып, (1) тецдемеден жана

(4) функциядан тeмeнкYгe ээ болобуз:

t0

i K (t0, s)u(s)ds = f (t 0) ; (6)

a(t0 )

^ -К (^(У «ао^о —1 Ктт)ш+-£гк (7)

Теорема. а), Ь), (6) жана (7) шарттары орун алсын дейли. Анда, (2) шарты менен (1) интегралдык тецдеме (4) кeрYHYштeгY экинчи типтеги

интегралдык тендемеге эквиваленттYY, мында Р(г) - (5) формула менен

аныкталган.

Далилдее: Айталы, и() Е С[0,Т] функциясы (1) тендеменин (2) шарты канааттандырган чечими болсун. Анда (2) шарт жана (3), (5) катыштардын негизинде и(г) е С[г0,Т ] функциясы (4) интегралдык тендеменин чечими болот.

Тескерисинче, и(г) е С[г0,Т ] функциясы (4) интегралдык

тендемесинин чечими болсун дейли, мында Р(г) - (5) формула менен

аныкталган. У(г) — функциясын тeмeнкY формула боюнча аныктайбыз:

Шг), р< г < г0, ^) -{и(г), г0<г < Т. (8)

Анда (5) функциянын, (7) жана (2) шарттарынын негизинде (4) интегралдык тендемеден тeмeнкYгe ээ болобуз:

К (г, г )и(г) — К (г, а(г ))и(а(г ))а' (г) + \ К' (г, б)\(б)Ж - /' (г), г Е[г0,Т ]

а(г)

мындан

(г V

1 к (г, - /'(г); гЕ[г0,Т] (9)

(9) туундуну г0 дeн г га чейин интегралдап жана (6) шарты эске алуу менен

1 к(г,8)у(8)с18-/(г); гЕ[г0,Т]

а(г)

ээ болобуз. Б.а. (8) формула менен аныкталган функция (1) тецдеменин (2) шартты канааттандырган чечими болот. Теорема далилденди.

Натыйжа: Теореманын шарттары орун алсын дейли. Анда (2) шарт

канаатандырган (1) интегралдык тецдеме Се[р,т] мейкиндигинде

жалгыз чечимге ээ болот. 1-мисал.

и(г) = г , г е[-2;0]

(10)

шарты менен берилген

г 28

Г[1 + (г - з)]и(з^з = г2 + 4г--; г е[0;1] (11)

г 2 3

интегралдык тендемени карайлы. Мында а(г) = г - 2 , го = 0 , р = -2 ,

28

г, = 1, К(г,з) = 1 + (г-з), а'(г) = 1, /(г) = г2 + 4г- — . Дагы г е[-2;0] болгондо и(г) = г. ср(г) = г , г е [-2;0] болсун дейли. Бул учурда

К(г, г) = 2, К(г,а(г))=3, К(г, з)=1, (г, з) = в={(г, з): г - 2 < з < г < 1}.

(6) жана (7) шарттарын текшерели:

г0

$ К (г0, з)и (зуз = / (г 0); (6)

а(г0)

Гл 1 л0 28

Г (1 - з)зdз = Г (з - з 2^з =

1 2 1 3

-з --з

V2 3 У-2

3

<р(г0) = К(10;а(г\)) и(а(г0))а'(г0) - $К^ф^з + (7)

3 01 4 1

(Р(0) = Р(0) = 3 - (-2)-1 -} 1 зdз + 4 = -6 -1 з2

+ 4 = -2 + 2 = 0.

-2

Анда теорема боюнча (10) шарт менен берилген (11) интегралдык тендеме темен^ интегралдык тендемеге эквиваленттYY болот:

0

2

2

0

t

u(t) = — J u(s)ds + P(t) , t e [0;l]

(12)

мындя

3 0 l

P(t ) = -. (t — 2) ■l — J sds + 2t + 4 = 3t — б + 2t + 4 —

l t—2 2

—s 2

t—2

= t — 2 + l(t — 2)2 = t — 2 +112 — 2t + 2 =112 — t ;

l 2

2

2

l 9

P(t) = -1 — t ; t e[0;l] Андя (12) интегрэлдык тендеменин чечимин тeмeнкYчe тв6в6ыз:

(1З)

u(t ) = P(t ) — i e-(t-s) P(s)ds

l t l

u(t ) =112 — t — I e-^X- s2 — s)ds =

l

u = — s — s dv = e ds 2

du = (s — l)ds v = Q(t-S)

l 2 --t —t—e 2

с

2

—s — s

v2

+ J e-(t-s)(s — l)ds =

Jo 0

u = s — l du = ds

= -12 — t-2

-t2 — t 2

+ e-(t-s) (s — -у, — J e-(t-s)ds = t — l + et — l + et = t — 2 + 2e-t

Ошентип, берилген интегрэлдык тендеменин жообу:

u(t ) = t — 2 + 2e4

2-мисал. ТeмeнкY интегрэлдык тендемени кapaйлы:

t

J в* su(s)ds = в* ; t e [0;l]

(14)

(15)

u(t) = в , t e [—1;0]

(16)

шярты менен

берилген. Мындя a(t) = t — 1 , t0 = 0 , ß = —l , tl = 1

K(t,s) = ets , a'(t) = 1 , f (t) = в . Андэн сырткяры t e[—1;0] болгондо

0

0

0

t

J

0

и(г) = е . (р(г) = е , г е [-1;0] болсун дейли. Бул учурда К(г,а(г)) = е

К(г, з) = ег~з, К(г, г) = 1, (г, з) = в={(г, з): г -1 < з < г < 1} YЧYн.

(6), (7) шарттарды текшерели:

0 0

I е- зeзdз = | dз = 1 (6*)

0

((0) = Р(0) = ее 1 - |е-зeзdз +1 = 1 -1 (з +1 = 2 -1 = 1. (7*)

-1 -1

Теорема боюнча (16) шарт менен берилген (15) интегралдык тендеме темен^ интегралдык тендемеге эквиваленпуу болот:

г

и(г) = Р(г) ег-зи(з(, г е[0;1] (17)

0

мында

0 0 Р(г) = еег-1 - I ег-зез(з + ег = ег - ег | (з + ег = 2ег - ег з\^ = 2ег + ег (г -1) =

ее

г-1 г-1

= 2ег + ег - е1 = е1 + егг = е1 (г +1)

Р(г) = е(г+1); ге[01] (18)

Анда (16) интегралдык тендеменин чечими теменкYче жазылат:

Я(г, з) = -е(г-з ] е~(-з ] =-1

и( г) = ег (г +1) -1 е8 (з + 1)(з =

и = з +1 (V = е8 (з (и = (з V = е8

г

1 - / ч

е*(г +1)-е8(з + 1)г0+{е8(з = ег(г +1)-ег(г +1) +1 + е\ = 1 + ег -1

е -1 = е

0

0

Б.а. (16) шартты канааттандырган (15) интегралдык тендеменин чечими

и(г) = е (19)

болот.

-1

0

0

Корутунду: Вольтерранын биринчи тYPдeгY (1) классикалык эмес интегралдык тецдемеси чечилди. Теорема 1 айтылып, далилденди. Бир нече мисалдар келтирилип толук чыгарылды.

Адабияттар

1. Цалюк, З.Б. Интегральное уравнения Вольтерра [Текст] / З.Б. Цалюк // Итоги науки и техники, Мат. анализ, 15, 131-198 (1977)

2. Апарцин, А.С. Неклассические уравнения Вольтерра первого рода: Теория и численные методы [Текст] / А.С. Апарцин // Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1999.-193 стр;

3. Апарцин, А.С. Неклассические уравнения Вольтерра первого рода: Теория и численные методы [Текст] / А.С. Апарцин // Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1999.-193 стр;

4. Апарцин, А.С. Применения интегральных уравнений Вольтерра для моделирования стратегий технического перевооружения электроэнергетики [Текст] / А.С. Апарцин, И.В. Караулова, Е.В. Маркова, В.В Труфанов // Электричество, 2005, -№ 10- Стр. 69-75;

5. Иманалиев, М.И. О решениях систем нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода [Текст] / М.И. Иманалиев, А. Асанов, // доклады АН СССР, 309, №5, 1053-1056, (1975)

6. Иманалиев, М.И. Регуляризация и единственность решений для интегральных уравнений Вольтерра третьего рода [Текст] / М.И. Иманалиев, А. Асанов, // доклады РАН, 415, №1, 14-17, (2007)

7. Lamm, R.K. survey of regularization methods for the first kind Volterra equations, Surveys on Solution Methods for Inverse Problems [Текст] / R.K. Lamm // Springer, Vienna (2000), p. 53-82

8. Асанов, А. Регуляризация и единственность решения неклассического интегрального уравнения со условиями Липшица [Текст] / Асанов А., Бекешов Т.О., С.М. Чоюбеков // Вестник спецвыпуск КНУ имени Ж. Баласагына. - Бишкек, 2011. Стр 108-112

9. Чоюбеков, С.М. Регуляризация решения неклассического интегрального уравнения с условиями Липшица [Текст] / С.М. Чоюбеков // Международный научный журнал «Молодой ученый» № 8 (112) Россия, г. Казань 2016; стр. 34-38.

10. Асанов, А. Регуляризация решение неклассических линейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода [Текст] / Асанов А., С.М. Чоюбеков // ННТиИК, № 1, 2021, 3 DOL10.26104/NШЖ.2019.4/г.Бишкек стр 3-9

11. Чоюбеков, С.М. О решении линейных неклассических интегральных уравнений вольтерра первого рода [Текст] / С.М. Чоюбеков, Асанов А., Бекешов Т.О. // ННТиИК, № 1, 2020 3 DOЫ0.26104/NШЖ.2019.4/г.Бишкек стр. 3-9

12. Асанов, А. О решение неклассического интегрального уравнения I рода в пространстве не прерывных функции [Текст] / Асанов А., Бекешов Т.О., С.М. Чоюбеков // Вестник ОшГУ, №3. - Ош, 2012, с. 48-54

13. Чоюбеков, С.М. Об одном классе неклассического интегрального уравнения Вольтерра I рода [Текст] / С.М. Чоюбеков, Асанов А., Бекешов Т.О., // Вестник ОшГУ, №3. - Ош, 2014, с. 83-88