ВОЛНЫ ПРОДОЛЬНО-СДВИГОВОГО ТИПА В АНИЗОТРОПНОМ СЛОЕ МЕЖДУ НЕОДНОРОДНЫМИ ПОЛУПРОСТРАНСТВАМИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.

№4 (85) / 2023.

УДК 539.3:534.1

doi:10.24412/0136-4545-2023-4-61-71 EDN:RHKXPW

©2023. А.А. Глухов1

ВОЛНЫ ПРОДОЛЬНО-СДВИГОВОГО ТИПА В АНИЗОТРОПНОМ СЛОЕ МЕЖДУ НЕОДНОРОДНЫМИ ПОЛУПРОСТРАНСТВАМИ

Представлен алгоритм получения дисперсионного уравнения, а также расчетных соотношений для кинематических и силовых характеристик применительно к локализованным стационарным упругим симметричным волнам P-SV типа, распространяющимся в плоскости трансверсально-изотропного функционально-градиентного слоя-пласта, обладающего симметричной по толщине экспоненциальной поперечной неоднородностью и расположенного между однотипными трансверсально-изотропными неоднородными полупространствами с физико-механическими характеристиками, описываемыми двойными экспоненциальными функциями поперечной координаты. Рассмотренная модель описывает волновые деформационные процессы, исследуемые в горной сейсмоакустике, ультраакустической дефектоскопии и акусто-электронике, а также представляет интерес в связи с вопросами волнового деформирования конструкций, создаваемых с применением аддитивных технологий.

Ключевые слова: слой между полупространствами, функционально-градиентные транс-версально-изотропные материалы, двойные экспоненциальные и экспоненциальные функции неоднородности, стационарное динамическое деформирование, продольно-сдвиговые локализованные волны, дисперсионные уравнения, расчетные соотношения для кинематических и силовых характеристик.

Введение и цели исследования. Задачи теоретического описания закономерностей распространения стационарных упругих волн вдоль деформируемого тела в виде плоскопараллельного упругого слоя, окруженного полубесконечными упругими массивами [1—3], несмотря на актуальность в фундаментально-научном отношении и широкий круг приложений в горной сейсмоакустике, шахтной пластовой сейсморазведке, ультраакустической дефектоскопии и акусто-электронике, в проектировании и анализе эксплуатационных характеристик конструкций, полученных методами 3D печати, имеют весьма обширный ряд не исследованных на данный момент аспектов, связанных с гипотезами относительно свойств упругой симметрии и возможностями учета разнотипной неоднородности для материалов компонентов такой составной волноводной структуры. Так, несмотря на исследования по данной проблематике, излагаемые в работах [4—

1 Глухов Антон Александрович - аспирант каф. теории упругости и вычислительной математики им. акад. А.С. Космодамианского ф-та матем. и информ. технологий ДонГУ, Донецк, e-mail: antonglukhov2012@yandex.com.

Glukhov Anton Alexandrovich - Postgraduate, Donetsk State University, Donetsk, Faculty of Mathematics and Information Technologies, Chair of Theory of Elasticity and Computational Mathematics named after Academician A.S. Kosmodamiansky.

12], высокую степень актуальности сохраняют вопросы учета в моделях этого типа сочетаемых факторов анизотропии и непрерывной неоднородности физико-механических характеристик материалов слоя и полупространств, в описании которой должны быть отражено наблюдаемое на практике свойство увеличения степени неоднородности материалов в приграничных областях у плоскостей контакта разнородных составляющих - вмещающих полубесконечных массивов и слоя, а также сглаживание законов неоднородности при отходе от контактных поверхностей вглубь массивов.

В этой связи, целью представляемых в данной работе исследований является разработка аналитического алгоритма получения дисперсионного уравнения, а также расчетных соотношений для кинематических и силовых характеристик в случае распространения локализованных стационарных упругих волн P-SV типа вдоль произвольного направления в плоскости трансверсально-изотропного функционально-градиентного слоя-пласта, обладающего симметричной по толщине экспоненциальной поперечной неоднородностью и расположенного между однотипными трансверсально-изотропными неоднородными полупространствами с физико-механическими характеристиками, описываемыми двойными экспоненциальными функциями поперечной координаты.

1. Постановочные соотношения рассматриваемой модели. Рассматривается занимающее область = VV(1) и V(2) и V(-) в системе координат Ох^2х3 составное пространственное упругое тело с фрагментами

V(+) = {(х1,х2) е Я2, хз >Ь], V(-) = {(х1,х2) е Я2, хз < -к], V(1) = {(х1,х2) е Я2, 0 < х3 < Ь], V(2) = {(х1, х2) е Я2, 0 > х3 > -Ь].

Полагается, что материал имеющего толщину 2Н составного слоя V с1) и V (2) является трансверсально-изотропным и обладает симметричной относительно срединной плоскости хз = 0 экспоненциальной поперечной неоднородностью физико-механических свойств. Выражения для функциональных характеристик плотности р(1)(х3), р(2)(х3) и модулей упругости с(1) (хз), с(2)(х3) материалов в компонентах V(1) и V(2) слоя соответственно задаются в виде

Р(1) (х3) = Р01) ехр(^), р(2)(х3) = р02) ехр(-^х3),

с (х3) = С^О exP(^xз), с(2) (х3) = 4% ехР(-^х3), где ц - параметр неоднородности, и выполняются условия

р0 ) = р0 ), с(10 = С(/0. (3)

Вмещающие полупространства V (+) и V (-) также являются трансверсально-изотропными и имеют физико-механические характеристики, описываемые двойными экспоненциальными функциями

4+)(х3) = 4+0 • ^(+)(А,^,х3), Р(+)(х3) = р0+) • ^(А,в,х3), (4)

^(+) (А,в,х3) = ехр(А ехр(-вх3));

4_)(жз) = 4-0 • ^(-)(Л,в,хз), р(-)(хз) = р(-) • р(-)(Л,в,хз), (5)

^(-)(Л,в,хз) = ехр(Л ехр(вхз)),

в которых Л и в > 0 - параметры неоднородности;

Р(+) — Р(-) А(+) — А(-) (6)

р0 — р0 , 0 — А-0 • (6)

Представления (4), (5) описывают наличие у граничных поверхностей полупространств локализованных приповерхностных зон выраженной неоднородности свойств материала и эффект сглаживания темпов изменения этих свойств при удалении от поверхности контакта с асимптотическим стремлением к параметрам однородных материалов р0+), р0 ), А(+0), А- в глубине полупространств. При введении соответствующих представлений вида

и- (ж1,жз,г) — /1- (хз )в-г(ш*-кХ1), из- (Х1,хз )í) — /з3 (хз)е-г(ш1-кХ1), (7)

для компонент комплексного вектора динамических упругих перемещений в волнах P-SV типа с циклической частотой ш и волновым числом к вдоль координатного направления Ох1 в слоях V(з) , амплитудные функции /- (хз), /з-(хз), с учетом свойств (3), подлежат определению из систем обыкновенных дифференциальных уравнений вида

440/1- + (-1-+1с414)0/ + (рС1)ш2 - сЦок2)/- + +(с(11з)о + 440 )(/ + (-1)-+1с440 ^к)/зз — о,

(4зо + с4£о№/'ц + (-1)-+1c(l1з0^(ik)/lj+ +4/ + ЫУ^сЩо/ + (рС1)ш2 - 440к2)/з- — 0^

Уравнения (8) удобно представлять в более компактной форме

«1 /1- + (-1-+1в1/1- + 71 /1з + / + (-1-+1/ — 0, ¿2/1- + (-1)3+1/- + «2/3 + (-1)3+1в2 /з + 72/зз — 0,

«1 = ^440, ßi = c44)üM, 713 = (р^ш2 - cilJjk2),

¿1 = (4з0 + 440)(ik), £1 = cí4)oM(ik), ¿2 = (c440 + c1зo)(ik), £2 = c^^AO,

«2 = 430, ß23 = c33)o^, 72 = (р01)ш2 - c440 k2)-

Системы дифференциальных уравнений относительно комплексных амплитудных функций #1±(ж3), g3±(Ж3) в представлениях волновых смещений

U1± (Ж1,Ж3,1)= g1± (Ж3)в-г(ш'-кх1), П3±(Ж1,Ж3,1) = g3± (Ж3)е-г(ш1-кх1), (10)

описывающих исследуемые P-SV волны типа вдоль направления Ох\ в транс-версально-изотропных функционально-градиентных полупространствах V (+) и V(-), с учетом свойств (6) могут быть записаны в виде

4+0+ М)^-1^'+ (Р0+)- 4+0к2)д± + +(4+0 + )(гк)д>3± + (-1)''+11е(-1) 4+0 (гк)д3± = 0, (11)

(4+0 + с1зо)(^к)д1± + (-1)''+1-уе(-1) вхз 4+0 (*%1± + 4+0 д'±+

+(-1).+17е(-1)^'^^зС330д3± + (р0+)ш2 - 440к2)дз± = 0,

и далее представлены в матричной форме:

(40±Ч2+40±))£(±) = (-1у'7е(-1)^лз(41±)%+41±))£(±), (12)

4(0±)=[ ^ 0 ] 0

с(+) с440 0 0 С(+) с330

А(0±) =(

¡.к^(+) 1 "(+)''

+)

(13)

и [Р0 Ш- -СиоК~) )

А(1±) = / 4+0 0 \ 0 сззо

В соотношениях (11)—(13) выбирается ] = 1 для случая полупространства

V (+)

и ] = 2 - для полупространства V(-).

Системы уравнений (8), (11) дополняются краевыми условиями идеального механического сопряжения на плоскостях контакта граней слоя и границ полупространств, условиями идеального механического сопряжения в плоскости хз = 0 контакта слоев Vи V(2), а также условиями, связанными с предположениями относительно типа симметрии волновых движений в слое. Данные условия в реализуемом исследовании имеют вид

/и (Л.) = д1+(Л) /з1 (Л) = дз+^^Ъ

ехр^Хгк^ЗО + 440)/11 (Л) + сЗЗО/31(Л)) =

= ехр(Л • ехр(-^Л))(гк(С(1+0 + 4+0)д1+ (Л) + 4+0д3 +(Л)), (14)

ехр(дЛ)(гкс44)о /31 (Л) + 44о /и(Л)) =

= ехр(Л • ехр(-вЛ))(гке4++0дз+ (Л) + 4+0д1 + (Л));

/12( Л) = д1-(-Л), /32(-Л) = дз-(-Л),

ехр(-^Л)(«к(с1130 + с44о)/12(-Л) + С330 /32(-Л)) = ехр(Л • ехр(вЛ))(гк(4+0 + 4+0)д1-(-Л) + 4+0д3--)), (15)

ехр(-^Л)(гкс44о /32 (-Л) + 440/12-)) =

= ехр(Л • ехр(вЛ))(гкс4+4од3-(-Л) + с4+40д1-(-Л));

/п(0) = /12(0), /31(0) = /32 (0), ^440 /31(0) + 4 4о /11(0) = ^ /32(0) + 440 /12(0), (16)

¿Л(с13)о + с(10)/и(0) + 430 /31(0) = гй(с(113)о + с« )Ь(0) + с330/3 2(0);

/11(Л) = /12 ( Ь), /31 (Ь) = /32 ( Ь), (17)

51+(Ь) = 01-(-Ь), 53+(Ь) = -93-(-Ь).

Представленные постановочные соотношения являются базовыми для получения характеристик исследуемых волн в компонентах составного волновода и формулировки основного дисперсионного уравнения для локализованных волновых движений рассматриваемого типа.

2. Получение представлений для волновых полей и формулировка дисперсионного уравнения. Решения систем уравнений (9) для случая симметричных волн в составном слое отыскиваются на базе метода Эйлера е подстановкой /1 = Q1epxз, /3 = Q3epxз, в результате которой записываются системы линейных алгебраических уравнений относительно Ql, Qз:

(«1 р2 + (-1)'+ в1Р + 71 + (61Р + (-1)^1^3 = 0, (62Р + (-1^+^2^1 + («2Р2 + (-1)''+1в2Р + 72^3 = 0, ()

и соответствующие полиномиальные характеристические уравнения

Д1Р4 + (-1)'+1Д2р3 + Д3Р2 + (-1)'+1Д4Р + Дб = 0,

Д1 = «1«2, Д2 = (-1)'+1(«1в2 + «2 в!), Д3 = «172 + вв + 7172 - 6162, (19) Д4 = (-1)'+1(в172 + 71^2 - 61^2 - £162), Дб = 7172 - £1^2.

При дальнейшей реализации алгоритма построения и анализа дисперсионного уравнения для исследуемых нормальных волн должна учитываться параметрическая непрерывность выделяемых ветвей корней, что при численном решении (19) требует создания дополнительного алгоритма их упорядочения. В этой связи, для нахождения корней (19) целесообразным является использование аналитического метода Феррари. При этом (19) приводится к виду

р4 + (-1)'+1 V + Вр2 + (-1)''+1Ср + Б = 0, (20)

и в качестве этапа применения метода для обоих вариантов задания ], с применением формул Кардано для уравнения

у3 - Ву2 + (АС - 4Б)у - Л2Б + 4ВБ - С2 =0 (21)

рассчитывается величина

В2 2В3 В (АС - 40) „2 р = -—д = -— + ^—-- - А Б + 4ВБ - С , (23)

не зависящая от выбора ] ввиду вхождения коэффициентов полинома (20) при р и р3 в выражения (21)-(23) во второй степени, а также в виде совместного произведения. Далее корни характеристических полиномов (20) соответственно определяются из пары квадратных уравнений

Га*-а-V2--(24)

± V (— - В - уо)р2 + (~1У+1(^У0 -С)р + ^-Б = О, с полными квадратами в подкоренных выражениях. В силу этого, для ] = 1

(1) _ -Ь\ + \[Р[ (1) _ -Ъ\ - л/ТУ1 (1) _ —ъ2 + л/г>2 (1) _ -ь2 + л/Щ /2с\

Р1 — 2 ' ~~ 2 ' ~~ 2 ' ~~ 2

и для j = 2

(2) _ Ьг + /РГ (2) _ Ьг - у/Р[ (2) _ Ь2 + у^ (2) _ Ь2 + л/Щ ,

Р1 — 2 ' ~~ 2 ' ~~ 2 ' ~~ 2 '

61 = 4 + «, Ь2 = ^-а, ^ = ^-4(1+/?), ^ = ^-4(1-/?), (27)

а = (А2/4 - В - уо)1/2, в = (у2/4 - 0)1/2.

Соответственно, между наборами корней рт и р^? имеется следующая из (25), (26) и подлежащая учету при записи представлений решений систем (9) связь

р? = -р21) , р22) = -р11), р32) = -р41), р42) = -р31) • (28)

Для получаемых таким образом выражений

/' (Х3) = я' еР1Хз + я1]еР2Хз + 0$е?зхз + я' еР4Хз, /и (Х3) = Я3') еР1Хз + Я^еР2Хз + я' ерзхз + я' еР4Хз,

из (18) могут быть установлены соотношения связи Ят) и . Так, в случае j = 1

Я1Т) =л!т) Я(т), А1т) = №рт + ^1), (29) я3т) = л3т)Я(т), л3т) = (ац^ + в1рт + 71),

/11(х3) = л11)я(1) еР1 хз + л12)я(2) еР2Хз + л13)я(3) еРзХз + л14)я(4) еР4Хз, /31 (Х3) = л31)я(1) еР1 Хз + л32)я(2) еР2Хз + л^ я(3) еРзХз + л34)я(4) еР4Хз;

в случае у = 2

= 9(Т)Я{т), 0(Т) = (5грт - £1), О(3т) = (аРт - вгрт + 71); (31)

/12(ж3) = О^К 1)е-Р1Х3 + ^12)Я( 2)е-Р2Х3 + о13)К( 3) е-Р3Х3 + К(4)е-Р4Х3, Ыж3) = 0(()К(1)е-Р1Х3 + 032)К(2)е-Р2Х3 + О(3) Я(3) е-Р3Х3 + о34) К(4)е-Р4Х3. Таким образом, для симметричной волны верны соотношения

Д 1т) д(т) = о(т) К(т), Д3т) Q(m) = 03т) К(т). (33)

Используя, далее, краевые условия (16), можно записать равенства

Р1Д((1^(1) + Р2Д((2^(2) + Р3Д((3^(3) + Р4 Д (4) Q(4) =

= -Р10(1)К(1) - Р20(2)К(2) - Р30(3) К(3) - Р40(4) к(4),

Р1Д3^(1) + Р2Д32)Q(2) + РзД33)Q(3) + Р4Д34) Q(4) =

= -Р10(1)К(1) - Р2О32)К(2) - Р3О33) К(3) - Р4О34) К(4), которые трансформируются в соотношения связи четырех констант Q(m)

£ РтД^^ = 0, £ РmД3m)Q(m) = 0. (34)

т=1 т=1

При введении переобозначений

РтД1т) = От, РтД3т) = Ьт, Q(1) = А, Q(2) = В, (35)

из (34), можно, в итоге, получить

(3) сфзО!-Мз) а! а2. ^ = V—71-1-А-->А + I—71-1-Т--)в = Ф1А + 02 В,

О3(64О3 - 63О4) О3 03(6403 - 63О4) О3 (36)

г<п(4) Ьзаг-ЬгОз Ь3а2 ~ Ъ2а3 р , , . , д

ЦТ ; = т-г—+ ---—В = ф3А + ф4В.

64о3 - 63о4 64о3 - 63о4

и далее, соответственно, записать формулы для расчета амплитудных функций перемещений и напряжений в слое Удля симметричной нормальной волны:

/пЫ = А(Д11)еР1Х3 + 01Д13)еР3Х3 + ф3Д{4)еР4Х3)+ +В(Д12)еР2Х3 + ф2Д13)еР3Х3 + ф4 Д14)еР4Х3),

/31(х3) = А(Д31)еР1Х3 + ф1Д33)еР3Х3 + ф3Д34)еР4Х3)+ +В(Д32)еР2Х3 + ф2Д33)еР3Х3 + ф4 Д34)еР4Х3), ^мЫ = е^Х3 [А(с44о ^Д? еР1Х3 + сЦ) гкф^е^3 + сЦ) 1кф3 Д34) еР4Х3 + +с414)0Р1Д11)еР1Х3 + <440 Р3ф1Д13)еР3Х3 + <440 Р4ф3Д14)еР4Х3)+

+В (с414)0гкл32) еР2Хз + сЦ^л^ еРзХз + сЩ0 гкф4л{34) еР4Хз +

+С414)ор2л12) еР2Хз + сЦО р3ф2л13) еРзХз + сЦ) р4ф4л14)еР4 Хз)], ^33,1(Х3) = е»Хз [А(с13)0 гкл11)еР1Хз + с^0гкф1 л13) еРзХз + с1и)гкф3л14) еР4Хз +

+С33ор1 еР1Хз + сЦО р3ф1л^ еРзХз + сЦО ^фцл!' еР4Хз)+ +В (с1Ц0гкл12) еР2Хз + сЦО^л^е^ + сЦО гкф4л{4) еР4Хз + +сЦор2л3) еР2Хз + сЦ0 р3ф2л3)еРзХз + сЦО р4ф4л34)еР4 Хз )]•

(1)

(1)

( )

(1)

(4)

Для получения решений, описывающих волновые поля в полупространствах систем (12), в реализуемом исследовании использована представленная в работе [13] итерационная методика интегрирования, с применением которой представление получено в виде линейной комбинации базисных векторных частных решений с'+) (х 3) с произвольными коэффициентами С и О

с(+>(®3) = с&\хз) + = (), (за)

^+)(ж3) = ^(жз) + ... + 0^\х з) + ...;

(40+)932 + + АГО^ТЧ^З) = 0;

(о+)

(о+) (+)

(39)

(40)

(40+Ч2+40+)9з+40+)КЙ+)Ы = -7е-^хз(41+)9з...

О?

(40+)932+40+)9З+40+))^)(-З) =

= -те-^Ц^^з +41+))4-1 7 = 13А-

(41)

При построении базисного частного решения С^(жз) в качестве Сц£\хз) используется частное решение однородного уравнения (40) вида

(42)

в котором (,/ = 1, 2) - удовлетворяющие условию > 0 корни биквад-

ратного характеристического уравнения

ёе1

¿¿0¿2 + (р0+)„2 - с1+0к2)

гк(с1+эо + с4+о

гк(с1+0 + с4+0)5 с3+0¿2 + (р0+)„2 - с4+0к2)

(+) (+)

/=

(+) 2

-гк(с130 + с440

) ¿2 + („(+)„2 с(+) к2) I '

Далее, на базе итерационного алгоритма (41) последовательно формируются представления

(43)

(44)

Волны сдвига в анизотропном слое между неоднородными полупространствами

С^\х3) = ..., д£\х3) = (45)

£пз+ = -чК11]+м2п>3+1п_1]+ = к1п,3+ = (63+ - п/?)240+) + (63+ - п/?)40+) +40+),

к2п,+ = (63+ - (п -1)/?)41+) +41+)-

(46)

С введением обозначений

9-ПЗ+=Ш13+М.2п,+, (47)

представления для С^\х3) принимают форму экспоненциальных рядов

-• + (-^ГЯ^Я^-Я^+ ...

Соответственно, для полупространства

V (+) записываются следующие представления фигурирующих в граничных условиях (14) амплитудных кинематических и силовых характеристик волнового поля

91+(хз) = Сд1+Д(жз) + £д1+,2(жз), 9з+ (жэ) = Сд3+Л(х3) + Пд3+,2(х3); (49)

^31+ (Х3) = ехр(Л ехр(-^Х3))[С (с^+^о д3д1+д(х3) + гкс^ д3+д(х3)) + +Б(с<+д391+

,2(х3 ) + ¿кс4+о 93+,2 (х3))], ^33+ (х3) = ехр(Л ехр(-вх3))[С (гкс1+0 91+,1(х3) + с3+3о д393+,1(х3)) +

+0(1кс(+ д1+,2(х3) + с3+о д393+,2 (х3))]-

С использованием содержащих четыре произвольные постоянные А, В, С, Б представлений для характеристик волновых полей в V(+) и V(1), применительно к рассматриваемому случаю распространения симметричных локализованных волн из граничных условий (14) можно получить дисперсионное соотношения для исследуемых волновых движений в форме равенства нулю функционального определителя четвертого порядка

Г (ш,к)=ёе1 \\ард\\ = 0, (50)

а11 = Д(11)еР1^ + 01Д(13)ер3 н + ф3А[4)еР4Н,

1 1 1 (51)

а12 = д12) е^* + ф2Д13)еРз к + ф4д[4)еР4к,

ai3 = —gi+,i(h), au = —gi+,2(h); a2i = a(() epih + 0iA(3) ep3 h + фзЛ(4) eP4 h, a22 = A32) ep2h + ф2Л33) ep3 h + ф4Л34) eP4 h, a23 = -g3+,i(h), a24 = -g3+,2 (h); a3i = e^h(c44)0ifcA31) ePlh + ¿Цгкф^ eP3h + 440^3A34)eP4 h+

+440 PiAl1) epih + cffi^iA^ ep3h + 440^3 Al4)eP4h), a32 = e^h(440ikA32) eP2h + ¿ЦгкфъАз eP3h + c^ik^ A3V4 h+ +C44ip2Ai2) eP2X3 + c4^2Ai3) eP3X3 + c^p^ a(4) eP4X3 ), a33 = — (c4+4o ^3gi+,i (h) + ikc4+0 g3+,i(h))exp(A exp(-^h)), a 34 = —(4+0 d3gi+,2 (h) + ikc4+0 g3+,2(h)) exp(A exp(—^h)); a4i = e^h(ci13)0ikAii) ePlh + cS^iA^ eP3h + ci^^AiV4 h+

+c330 piA3i) ePlh + 430^iA33) eP3h + 430^3A34)eP4h), a42 = e^c^A^ eP2h + ^¿гА^Л^ eP3h + 430^4 a(4) eP4 h+ +c33)0P2A32) eP2h + 430рзф2Л33) eP3h + 430^4 A34)eP4h), a43 = —(iké+0 gi+,i (h) + 4+0 d3g3+,i(h)) exp(A exp(—^h)), a44 = — (ikcl++0 gi+,2 (h) + 4+0 d3g3+,2(h)) exp(A exp(—fih)).

Заключение. Итогом представляемых в данной работе исследований является разработка аналитического алгоритма получения дисперсионного уравнения, а также расчетных соотношений для кинематических и силовых характеристик в модели распространения локализованных стационарных симметричных упругих волн P-SV типа вдоль произвольного направления в плоскости трансверсально-изотропного функционально-градиентного слоя-пласта с симметричной по толщине экспоненциальной поперечной неоднородностью и расположенного между однотипными трансверсально-изотропными неоднородными полупространствами с физико-механическими характеристиками, описываемыми двойными экспоненциальными функциями поперечной координаты.

Исследования проводились в ФГБОУ ВО «ДонГУ» в рамках государственного задания (№ госрегистрации 1023030100040-4- 1.1.2;2.3.1).

1. Мелешко В.В. Упругие волноводы: история и современность / В.В. Мелешко, А.А. Бон-даренко, С.А. Довгий , А.Н. Трофимчук, Г.Я. ван Хейст // Математические методы и физико-механические поля. - 2008. - Т.51, №2. - С. 86-104.

2. Акустические волны в материалах и элементах конструкций с дефектами, неоднородно-стями и микроструктурой: монография / М.С. Аносов [и др.]; отв. ред. В.И. Ерофеев, А.О. Мальханов. - Нижний Новгород: Нижегород. гос. техн. ун-т им. Р.Е. Алексеева, 2021. -311 с.

3. Velasco V.R. Dynamics of systems with two interfaces / V.R. Velasco, B. Djafari-Rouhani //

Phys. Rev. - 1982. - Vol. B 26. - P. 1929-1941.

4. White J.E. Underground sound. Application of seismic waves / J.E. White. - Elsevier Science Publishers B.V., 1983. - 270 p.

5. Wendler L. Acoustic interface waves in sandwich structures / L. Wendler, V.G. Grigoryan // Surface Science. - 1988. - Vol. 206. - P. 203-224.

6. Григорян В.Г. Локализованные акустические волны в слоистых структурах / В.Г. Григорян, Л. Вендлер // Физика твердого тела. - 1991. - Т. 33, № 7. - C. 2120-2128.

7. Hoven J.M. Acoustic waves in finely layered media / J.M. Hoven // Geophysics. - 1995. - Vol. 7.60, № 4. - P. 1217-1221.

8. Datta S.K. On ultrasonic guided waves in a thin anisotropic layer lying between two isotropic layers / S.K. Datta // J. Acoust. Soc. Am. - 2000. - Vol. 108. - P. 2005-2011.

9. Ting T.C.T. Steady waves in an anisotropic elastic layer attached to a half-space or between two half-spaces - A generalization of Love waves and Stoneley waves / T.C.T. Ting // Math. Mech. Solids. - 2009. - Vol. 14, No 1-2. - P. 52-71.

10. Глухов И. А. Симметричные упругие волны в трансверсально-изотропном слое между однотипными трансверсально-изотропными полупространствами / И.А. Глухов, В.И. Сто-рожев // Теорет. и прикладная механика. - 2014. - Вып. 8 (54). - С. 114-122.

11. Глухов И.А. Локализованные волны в анизотропном упругом слое между разнотипными анизотропными полупространствами / И.А. Глухов, В.И. Сторожев // Труды XVII Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (г. Ростов-на-Дону, 14-17 окт. 2014 г). Т. 1. - Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ. - 2014. - С. 132-137.

12. Глухов И.А. Локализованные P-SV волны в транстропном слое между транстропными полупространствами при условиях скользящего контакта / И.А. Глухов, В.И. Сторожев // Теорет. и прикладная механика. - 2014. - Вып. 9 (55). - С. 71-81.

13. Глухов А.А. Интегрирование системы уравнений распространения произвольно ориентированных трехпарциальных поверхностных волн в функционально-градиентном орто-тропном полупространстве / А.А. Глухов, В.И. Сторожев, В.А. Шалдырван // Журнал теоретической и прикладной механики. - 2022 - №4 (81). - С. 15-22. - doi: 10.24412/01364545-2022-4-15-22. - EDN JBHEKR.

A.A. Glukhov

Waves of longitudinal shear type in an anisotropic layer between inhomogeneous halfspaces.

An algorithm for obtaining the dispersion equation, as well as calculated relationships for kinematic and stresses characteristics for localized symmetrical stationary elastic waves of the P-SV type propagating in the plane of a transversely isotropic functionally gradient layer-layer, which has an exponential transverse heterogeneity symmetrical in thickness and located between similar transversally isotropic inhomogeneous half-spaces with physical and mechanical characteristics described by double exponential functions of the transverse coordinate is presented. The considered model describes wave deformation processes studied in mining seismoacoustics, mine reservoir seismic exploration, ultraacoustic flaw detection and acoustoelectronics, and is also of interest in connection with the issues of wave deformation of structures created using additive technologies. Keywords: layer between half-spaces, functional-gradient transversally isotropic materials, double exponential and exponential functions of heterogeneity, stationary dynamic deformation, longitudinal-shear localized waves, dispersion equations, calculated relations for kinematic and stresses characteristics.

Получено 24.11.2023