ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЛОКАЛИЗОВАННЫХ ЭЛЕКТРОУПРУГИХ ВОЛН РЕЛЕЕВСКОГО ТИПА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАДИЕНТНОЙ ПЬЕЗОКЕРАМИКИ С ДВОЙНОЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ НЕОДНОРОДНОСТЬЮ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545 ^Курнал теоретической и прикладной механики.

№3 (84) / 2023.

УДК 539.3:534.1

doi:10.24412/0136-4545-2023-3-36-43 EDN:IVOJVW

©2023. Д.С. Карасев1, С.В. Сторожев2, В.А. Шалдырван3

ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЛОКАЛИЗОВАННЫХ ЭЛЕКТРОУПРУГИХ ВОЛН РЕЛЕЕВСКОГО ТИПА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАДИЕНТНОЙ ПЬЕЗОКЕРАМИКИ С ДВОЙНОЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ НЕОДНОРОДНОСТЬЮ

Представлен численно-аналитический итерационный алгоритм получения базисных частных решений для системы дифференциальных уравнений в частных производных, описывающей распространение стационарных локализованных продольно-сдвиговых электроупругих волн в полубесконечном функционально-градиентном пьезокерамическом теле класса 6mm с двойным экспоненциальным законом изменения физико-механических параметров вдоль ортогонального граничной плоскости направления линейной поляризации. Используемый вариант описания неоднородности отвечает существованию приповерхностной области выраженных изменений физико-механических характеристик пьезоактивного материала и их выход на постоянные асимптотические значения в глубине полупространства. Формой представления полученных базисных решений являются сходящиеся по норме векторные экспоненциальные ряды, члены которых последовательно определяются из векторно-матричных рекуррентных соотношений.

Ключевые слова: линейно-поляризованная функционально-градиентная пьезокерамика, полубесконечное тело, двойная экспоненциальная физико-механическая неоднородность, локализованные электроупругие волны релевского типа, базисные решения волновых уравнений, итерационный алгоритм, векторные экспоненциальные ряды.

1 Карасев Дмитрий Сергеевич - аспирант каф. теории упругости и вычислительной математики им. акад. А.С. Космодамианского ф-та матем. и информ. технологий ДонГУ, Донецк, e-mail: [email protected].

Karasev Dmitry Sergeevich - Postgraduate, Donetsk State University, Donetsk, Faculty of Mathematics and Information Technologies, Chair of Theory of Elasticity and Computational Mathematics named after Academician A.S. Kosmodamiansky.

2 Сторожев Сергей Валериевич - доктор техн. наук, проф. каф. специализированных информационных технологий и систем строительного ф-та ДонНАСА, Макеевка, e-mail: [email protected].

Storozhev Sergey Valerievich - Doctor of Technical Sciences, Professor, Donbas National Academy of Civil Engineering and Architecture, Makeevka, Faculty of Civil Engineering, Chair of Specialized Information Technologies and Systems.

3Шалдырван Валерий Анатольевич - доктор физ.-мат. наук, гл. науч. сотр. каф. теории упругости и вычислительной математики им. акад. А.С. Космодамианского ф-та матем. и информ. технологий ДонГУ, Донецк, e-mail: [email protected].

Shaldyrvan Valery Anatolievich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Chief Researcher, Donetsk State University, Donetsk, Faculty of Mathematics and Information Technologies, Chair of Theory of Elasticity and Computational Mathematics named after Academician A.S. Kosmodamiansky.

Введение и цели исследования. Актуальными заданиями для современного этапа развития теории конструирования акустоэлектронных радиокомпонентов, в которых используются различные типы поверхностных электроупругих волн [1-6], является изучение возможностей эффективного использования в этих конструкциях новейших типов создаваемых на базе применения аддитивных технологий функционально-градиентных пьезоэлектрических материалов [7-12]. В этой связи, соответственно представляет интерес дальнейшее развитие теоретических методов расчетного анализа моделей волновых процессов в непрерывно-неоднородных пьезоактивных средах, в том числе эффективных численно-аналитических подходов с надежной базой приемов верификации. Применительно к некоторым задачам учета локализованных приграничных зон выраженной неоднородности физико-механических свойств материалов в полубесконечных телах из функционально-градиентной линейно-поляризованной пьезокерамики, при исследовании поверхностных сдвиговых электроупругих волн, в работах [13-16] рассмотрены модели экспоненциальной и двойной экспоненциальной зависимости параметров материала вдоль координаты по толщине полупространства с асимптотическим сглаживанием темпа изменений свойств в глубине, и предложены итерационные алгоритмы аналитического интегрирования соответствующих систем волновых уравнений для неоднородной пьезоак-тивной среды.

В этом контексте, целью исследований, представляемых в данной работе, является разработка итерационного численно-аналитического алгоритма для получения векторных базисных частных решений системы дифференциальных уравнений связанного электромеханического динамического деформирования функционально-градиентной пьезокерамики, описывающей распространение стационарных поверхностных продольно-сдвиговых электроупругих волн релеев-ского типа вдоль граничной плоскости полубесконечного тела из линейно поляризованной пьезокерамики класса 6mm с задаваемой двойными экспоненциальными функциями непрерывной поперечной неоднородностью физико-механических свойств.

1. Основные соотношения исследуемой модели. Рассматривается занимающая область x3 > ц > 0 в координатном пространстве Ox\x2x3 полубесконечная непрерывно-неоднородная гексагональная пьезокерамическая упругая среда класса 6mm с осью поляризации Ox3 и переменными вдоль оси Ox3 характеристиками вида

р = ро • &(\,e,x3), cij = Cijo • &(\,P,x3), eij = eijo • &(\,P,x3), ^ £ij = £ijo • -d(\,e,x3) d(\,e,x3) = exp(A exp—Px3)).

Здесь cij (x3), eij(x3), eij(x3), p(x3) - соответственно модули упругости, пьезоэлектрические и диэлектрические параметры, а также параметр плотности функционально-градиентной пьезокерамики. В рамках введенных зависимостей параметров пьезоактивной среды от координаты x3, в глубине полупространства x3 > П > 0 при в > 0 имеет место их асимптотическое стремление к величи-

нам е^о, е^о, £ц о, р0, а область, прилегающая к граничной плоскости хз = ц, является зоной выраженной неоднородности материала.

Система дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами относительно комплексных функций динамических перемещений у (х1,х2 ,хз ,Ь) и потенциала квазистатического электрического поля ф(х1,х2,хз,£), описывающая распространение локализованных связанных электроупругих волн релеевского типа с плоским фронтом вдоль координатного направления Ох1 в полупространстве х3 > ц > 0 из рассматриваемого неоднородного пьезоэлектрического материала, может быть записана в форме

С11 (хз)92и1(х1,хз, ¿) + дз (С44(хз )дзи1(хЬхз,г)) + +С13(хз)д1 дзиз(х1 ,хз, г) + дз(с44(хз)д1 из(х1 ,хз,г))+ +ез1(хз)д1дзф(х1 ,хз, г) + дз(е^(хз )д1ф(х1 ,хз,г))-

-р(х)д2 из(х1,хз ,г) = 0, С44(хз)д1дз «1(х1,хз ,г) + дз(с1з (хз)д1и1(хьхз,г)) + +С44(хз )д2«з(х1,хз ,г) + дз(сзз (хз )дз«з(х1,хз,г))+ (2)

+е15(хз)д^ф(х1,хз ,г) + дз(езз (хз)дз ф(хьхз,г))--р(х)д2 «з(хьхз ,г) = 0, е1б(хз)д1дз «1(х1,хз ,г) + дз(ез1 (хз)д1 «1(х1 ,хз ,г))+ +е1б(хз )д2 из(х1,хз ,г) + дз(езз (хз)дз из(х1 ,хз ,г))+ -еп(хз)д2ф(х1,хз,г) - дз(езз(хз)дзф(хьхз,£)) = 0, д^ = д/дхз, дг = д/дг, и с введением применительно к волнам исследуемого типа представлений

и1(х1,хз,г) = и10(хз) • ехр(—г(шг - кх1)), из(х1,хз,г) = изо (хз) • ехр(-1(шг - кх1)), (3)

ф(х1,хз,г) = ф0(хз) • ехр(-г(шг - кх1)),

а также с использованием выражений (1), преобразуется к виду

С440и//0(хз) - Сцок2ию(хз) + (С1зо + С44о)гйи'зо(хз) +

+(е150 + езю )гкф'о(хз) + рош2ию(хз) = = 7(^440 (и10(хз) + гкизо(хз)) + е^кфо (хз))е-вХ3, (С1з0 + С44о)гки1о(хз) + Оззои^хз) - С440к2изо(хз)-

-е15о к2фо(хз) + еззо ф0(хз) + ро^2изо(хз) = (4)

= 7 (с1зо гкию (хз) + еззои'зо (хз) + еззоф0(хз))е-вХ3, (е150 + ез1о)гки!о(хз) + еззои'зо(хз) - е15ок2изо(хз)+ +еПок2фо(хз) - £ззофо (хз) = = 7(ез10«ки10(хз) + еззои'зо(хз) - ^ззоф0(хз))е-вХ3, 7 =

2. Алгоритм интегрирования. Интегрирование системы обыкновенных дифференциальных уравнений (4) осуществляется с применением итерационного метода последовательных приближений, для чего рассматриваемая система записывается в матрично-вектор-ной форме

Ш)1 + В2д3 + В3)Ф(хз) = 7ехр(-/Зжз)Ш2& +£зЖяз), (5)

где

/«ю(жз)\

ф(жз) = и3о(х3) ; (6)

\Фо(хз) /

В-11 Ш_2, Из и И1) 12.2 ~ матрицы постоянных коэффициентов

/ С440 0 0

В.1 = \\biijW = О Сззо еззо \ 0 еззо —£ззо,

/ 0 (с1зо + С440 )гк (е150 + езю)гк^

Л.2 = \\b2ijW = (С130 +сио)гк О О

\(е150 + езю)гк 0 0

/рош2 — сП0к2 0 0

Из = \\b3ijW = о р0ш2-с44ок2 -е150к2 | , (7)

\ о -ещ) к2 £пок2

/ С440 0 0

П_1 = \\(1щ\\ = \ 0 Сззо еззо

\ 0 езз0 — £зз0,

(0 с440 гк е150гк^ сгзогк 0 0

езюгк 0 0

Реализуемый итерационный алгоритм включает соотношения

ф(жз) = Фо(жз) + Ф1(жз) + Ф2(жз) + ... + Фп(жз) + ..., (8)

(В1д2 + В2дз + В3)Фо(хз) = 0, (9)

Ш)2 + В2дз + В3)Ф1(х3) = -те-^Ш!^ +ШЫхз), • • •, (Ю)

Ш2 + В2дз + В3) Фп(х3) = -те-^Ш^з + Д2)Фп-1^з). (П)

Задача определения начального приближения Фо(жз)> состоящая в получении базисных решений системы однородных дифференциальных уравнений (9) с постоянными коэффициентами, решается на базе применения метода Эйлера. Характеристическое бикубическое полиномиальное уравнение для однородной системы (9) имеет вид

+ + $зё2 + ^4 = 0, (12)

(13)

$i = -С440(С330£330 + е3эо ) , $2 = k2(c330 (ei50 + 2ei50 в3ю + e3io + 6440^110 + сцо £330) — —ci30(2ei5o e330 + 2e3i0 e330 + 2c440£330 — C130 £330 ) + +e330(cii0 e330 — 2C440 e3W)) — (0440^330 + e330)p0w2 , $3 = 2ci30ei50 k4(ei50 + e3i0 ) + C440k4(2ci30 £ii0 — —e3i0 — cii0£330) — cii0 k4(2ei50 e330 + C330£ii0 )+ +ei50P0^2fc2(ei50 + 2e3i0 + 2e330) + £ii0P0W2k2(c330 + 0440) +

+£330 P0 w2fc2(cii0 + C440 ) + kAd{30£ii0 + e^wp0^2k2 — £330 (p0 w2)2 ,

$4 = cii0k6(ei50 + C440£ii0 ) — P0w2k4(e^50 + cU0£ii0 )+

+£ii0k2p0w2(p0w2 — сП0 k2) ,

а его корни ±¿i, ±62, ±¿3 в явном аналитическом виде определяются по формулам Кардано. Соответственно, базисные частные решения (9) могут быть представлены в форме

Ф(±) = С(±) e±¿j хз Z (±) = (Z (±) Z (±) Z (±))T (14)

—Oj büj C ' -ioj ^lOj' i20j' Í30j) ' [ }

где

С(±) = 1 z(±) = (T(±)T(±) - T(±)r(±))/(r(±)T(±) - r(±)T(±))

ilOj ~~ ' Ьоj ~ ^ 2lj T13j Tllj 23 j )¡ \ 12 j 23j T22j T13j

Z(±) = (r(±)T(±) _ T(±)T(±)) /(r(±)T(±) _ T(±)T(±)) (15) Í30j ~~ ^ 21j 12j Tllj T22j )¡ \T12j 23j T22j T13j J>

Tp±j = ±6J bipq ± 6j b2pq + b3pq ■

После определения в форме (14) шести базисных решений (9), построение соответствующих решений (5) реализуется согласно итерационному алгоритму с выбором последовательных приближений в виде

(16)

где

С(±) = _7(M(±).)-iMg) С(±) —raj _Ira J -yJ—n— 1 j '

Mg = (±5,- - npfB, + (±5,- - п/5)Б2 + B3, (17)

M2nj = (±5, -(n-l)l3)Di+ D2.

На базе соотношений (17) может быть получено представление

= ("7 ГСМ^ГМ^СМ^ (18)

а при введении обозначения

выражение (18) принимает вид

С(±) = (_7)»д(±) ■ д(±) 1 ....... (20)

2.П] к '' —п] —п— 1,] — I] 2.0] у '

В итоге, базисные частные решения (5) записываются в следующей явной форме

те

^(яз) = ЕЙ? еМ(-п(3 ± 5,)х3) и = ТГЗ). (21)

п=0

Исследование сходимости экспоненциальных рядов в представлениях (21), как и в работах [13-16], может быть проведено с использованием критерия Да-ламбера. С учетом выполняющегося в области хз > ¡> 0 свойства

Иш

п^те

■(±) п+1,^'

ехр((—(п + 1)в ± 5,)хз))/(

■(±)

ехр((—пв ± 6з)хз)) < 1, (22

функциональный ряд (22) является сходящимся по норме в этой области. Вводя, далее, представления

(±) =

/ х1±). \

—П]

А2п7

V Х3п) /

0'= 1,3), Ф^\х3) =

Чт^яз) = Е ехр((-п/3 ± 6у)хз) и = 1, 3),

,(±)

(г)(±) (хз)^ ) (хз) ) (хз)/

и = 1, 3),

(23)

п=0

с учетом требований рассматриваемой модели относительно свойств затухания характеристик волнового поля при хз ^ те, для комплексных функций волновых упругих перемещений, для комплексных функций механических напряжений на граничной поверхности полупространства, а также для комплексной функции потенциала квазистатического электрического поля, можно записать выражения

«1(х1, хз, г) = (в1П(1)(хз) + в2П(2)(хз) + взП(з)(хз))ехр(—г(Ш — кх1)), из(х1, хз, г) = (в1п2-)(хз) + в2П(2)(хз) + взП( - )(хз))ехр(—г(ш — кх1));

031 (х1, хз, г) = (в1 (С44гкп2- )(хз) + С44дзп1- )(хз)) + в2(с44гкп2- )(хз)+

+С44дзп(-) (хз)) + вз(с44П(- ) (хз) + С44дзП( - ) (хз)) ехр(—г(шг — кх1)), 0зз(х1, хз, г) = (в1 (С1згкп(- )(хз) + С22дзп2- )(хз)) + в2(с1згкп(- )(хз)+

+сзздзп2-) (хз)) + вз(с1зП(-) (хз) + сзздзП(-)(хз)) ехр(—г(Ш — кх1)); ф(х1, хз, г) = (в1 (хз) + [ЬПза(хз) + взПзз)(хз))ехр(—г(ш — кх1)),

(24)

(25)

(26)

с использованием которых дисперсионное уравнение для исследуемых электроупругих локализованных волн релеевского типа в функционально-градиентном

(

пьезокерамическом полупространстве со свободной от механических напряжений электродированной границей имеет формулировку

F(u,k) = Det\\Xpq\\ =0 Сp,q = h3),

Xlq = -- М + С44дз-- М, (27)

A2q = Cl3ikn[-) + c22д3-) М > A3q = -

Заключение. Итогом реализованных исследований является разработка численно-аналитического итерационного алгоритма поиска базисных частных решений для системы дифференциальных уравнений в частных производных, описывающей распространение стационарных локализованных продольно-сдвиговых электроупругих волн в полубесконечном функционально-градиентном пье-зокерамическом теле класса 6mm с двойным экспоненциальным законом изменения физико-механических параметров вдоль ортогонального граничной плоскости направления линейной поляризации. Искомые базисные решения получены в виде сходящихся по норме векторных экспоненциальных рядов, члены которых последовательно определяются из векторно-матричных рекуррентных соотношений. В аналитической форме сформулировано дисперсионное уравнение для исследуемых электроупругих локализованных волн релеевского типа в функционально-градиентном пьезокерамическом полупространстве со свободной от механических напряжений электродированной границей.

Исследования проводились в ФГБОУ ВО «ДонГУ» в рамках государственного задания (№ госрегистрации 1023030100040-4- 1.1.2;2.3.1).

1. Takali F. Surface Acoustic Wave Energy in Piezoelectric Material / F. Takali, A. Njeh, M.H. Ben Ghozlen // Physics Procedia. - 2009. - Vol. 2, Issue. 3. - P. 1369-1375. https://doi.Org/10.1016/j.phpro.2009.11.104

2. Tanaka S. Piezoelectric acoustic wave devices based on heterogeneous integration technology / S. Tanaka // Proceedings 2014 IEEE International Frequency Control Symposium (FCS) (Taipei, Taiwan). - 2014. - P. 1-4. doi: 10.1109/FCS.2014.6859994.

3. Chen S. Study on the electromechanical coupling coefficient of Rayleigh-type surface acoustic waves in semi-infinite piezoelectrics/non-piezoelectrics superlattices / S. Chen, Y. Zhang, S. Lin, Z. Fu // Ultrasonics. 2014 Feb; 54(2):604-8. doi: 10.1016/j.ultras.2013.08.013. Epub 2013 Aug 30. PMID: 24035609.

4. Желнорович В.А. Поверхностные волны Релея и Блюстейна-Гуляева в упругих пьезоэлек-триках при наличии релаксации диэлектрической поляризации // ПММ. - 2015. - Т. 79, Вып. 2. - С. 273-285.

5. Washim R.A. Piezoelectric MEMS based acoustic sensors: A review / Reza Ali Washim, Prasad Mahanth // Sensors and Actuators A: Physical. - 2020. - Vol. 301, 111756. https://doi.org/10.1016/j.sna.2019.111756

6. Setter N. Piezoelectric material and devices / N. Setter. - Lausanne, Switzerland: Swiss Federal Institute of Technology, 2002. - 518 p.

7. Hudai K. Porous PZT ceramics for receiving transducers / Kara Hudai, Ramesh Rajamami, Ron Stevens, Cris R. Bowen // IEEE Trans. UFFC. - 2003. - V. - 50. - N 3. - P. 280-296.

8. Saito Y. Lead-free piezoсeramies / Y. Saito, H. Takao, T. Tani, T. Nonoyama, K. Takatori, T. Homma, T. Nagaya, M. Nakamura // Nature. - 2004. - V. 432. - P. 84-87.

9. Heywang W. Piezoelectricity, evolution and future of a technology / W. Heywang, K. Lubitz, W. Wersing. - Berlin: Springer, 2008. - 581 p.

10. Рыбянец А.Н. Свойства керамических пьезокомпозитов ЦТС/ЦТС / А.Н. Рыбянец // Известия РАН. Серия физическая. - 2010. - Т. 74. - № 8. - С. 1150-1153.

11. Lugovaya M.A. Complex material properties of porous piezoelectric ceramics / M.A. Lugovaya, A.A. Naumenko, AN. Rybyanets, S.A. Shcherbinin // Ferroelectrics. - 2015. - V. 484, Issue. 1. - P. 87-94.

12. Рыбянец А.Н. Упругие диэлектрические и пьезоэлектрические свойства керамоматрич-ных композитов ЦТС/a-AOs / А.Н. Рыбянец, Г.М. Константинов, А.А. Науменко, Н.А. Швецова, Д.И. Макарьев, М.А. Луговая // ФТТ. - 2015. - Т. 57., Вып. 3. - C. 515518.

13. Болнокин В.Е. Анализ модели распространения сдвиговых упругих волн в полубесконечном трансверсально-изотропном функционально-градиентном геомассиве / В.Е. Болнокин, А.А. Глухов, В.И. Сторожев // Журнал теоретической и прикладной механики. -2022 - №3 (80). - С. 14-19. - doi: 10.24412/0136-4545-2022-3-14-19. - EDN: BOBAVC.

14. Глухов А.А. Интегрирование системы уравнений распространения произвольно ориентированных трехпарциальных поверхностных волн в функционально-градиентном орто-тропном полупространстве / А.А. Глухов, В.И. Сторожев, В.А. Шалдырван // Журнал теоретической и прикладной механики. - 2022 - №4 (81). - С. 15-22. - doi: 10.24412/01364545-2022-4-15-22. - EDN: JBHEKR.

15. Глухов А.А. Анализ модели распространения поверхностных релеевских волн в функционально-градиентном ортотропном полупространстве с приграничной локализованной зоной неоднородности / А.А. Глухов, В.И. Сторожев // Журнал теоретической и прикладной механики. - 2023. - №2 (83). - С. 26-38. - doi: 10.24412/0136-4545-2023-2-26-38. - EDN: ETYFCH.

16. Карасев Д. С. Интегрирование уравнений распространения локализованных сдвиговых электроупругих волн в функционально-градиентной пьезокерамике с двойной экспоненциальной неоднородностью / Д.С. Карасев, В.И. Сторожев, В.А. Шалдырван // Журнал теоретической и прикладной механики. - 2023. - №2 (83). - С. 48-55. - doi: 10.24412/01364545-2023-2-48-55. - EDN: SPYOBC.

D.S. Karasev, S.V. Storozhev, V.A. Shaldyrvan

Integration of propagation equations of localized electroelastic waves of the Rayleigh type in the half-space of functional-gradient piezoceramics with double exponential inhomogeneity.

A numerically analytical iterative algorithm for obtaining basic partial solutions for a system of partial differential equations describing the propagation of stationary localized longitudinally shear electroelastic waves in a semi-infinite functional gradient piezoceramic body of class 6mm with a double exponential law of change of physical and mechanical parameters along an orthogonal boundary plane of the direction of linear polarization is presented. The used variant of the description of heterogeneity corresponds to the existence of a near-surface region of pronounced changes in the physico-mechanical characteristics of a piezoactive material and their output to constant asymptotic values in the depth of the half-space. The form of representation of the obtained basic solutions is normally convergent vector exponential series, the terms of which are sequentially determined from vector-matrix recurrence relations.

Keywords: linearly polarized functional gradient piezoceramics, semi-infinite body, double exponential physico-mechanical inhomogeneity, localized electroelastic waves of the Relev type, basic solutions of wave equations, iterative algorithm, vector exponential series.

Получено 11.09.2023