CC BY
3ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.
№4 (81) / 2022.
УДК 539.3:534.1
doi:10.24412/0136-4545-2022-4-47-52 EDN:RAPMHU
©2022. Д.С. Карасев, С.В. Сторожев
ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ РАСПРОСТРАНЕНИЯ СВЯЗАННЫХ ЭЛЕКТРОУПРУГИХ СДВИГОВЫХ ВОЛН В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАДИЕНТНОЙ ПЬЕЗОКЕРАМИКИ
Представлен аналитический векторно-матричный алгоритм получения решений системы уравнений стационарной волновой динамики для полубесконечной функционально-градиентной пьезокерамической среды класса 6mm с горизонтальной осью электрической поляризации, описывающей распространение локализованных связанных сдвиговых электроупругих волн SH-типа вдоль перпендикулярного оси поляризации горизонтального направления в граничной плоскости. Приповерхностная непрерывная неоднородность физико-механических параметров рассматриваемой среды описывается экспоненциальными функциями. Искомые решения получены в форме сходящихся по норме векторных экспоненциальных рядов и могут быть использованы для анализа закономерностей распространения электромеханических поверхностных волн Гуляева-Блюстейна в среде рассматриваемого типа.
Ключевые слова: функционально-градиентное пьезокерамическое полупространство, экспоненциальная физико-механическая неоднородность, сдвиговые электроупругие волны, интегрирование волновых уравнений, аналитический итерационный алгоритм, векторные экспоненциальные ряды.
Введение и цель исследования. Локализованные сдвиговые волны Гуляева-Блюстейна [1-7] являются одним из важнейших типов связанных электроупругих поверхностных волн, получивших самое широкое применение в аку-стоэлектронике [8-10]. При этом для волн данного типа в полубесконечных пьезокерамических телах основные характеристики процессов распространения, востребованные в предпроектном моделировании, с высокой степенью полноты исследованы для случая однородных линейно-поляризованных пьезокерамиче-ских материалов. Однако исходя из возможностей создания новых модификаций неоднородных пьезокерамических сред для специальных практических применений [11-19], в том числе функционально-градиентных пьезокерамических волноводов данного типа на основе применения аддитивных технологий, соответствующие варианты проблемы распространения локализованных сдвиговых электроупругих волн SH-типа являются в высокой мере актуальными открытыми по многим аспектам задачами волновой динамики пьезоактивных сред, представляющими интерес для поиска новых конструктивных решений в разработках акустоэлектронных радиокомпонентов. В особой мере данное заключение касается разработки высокоточных численно-аналитических методов получения и исследования дисперсионных соотношений для подобных волноводных струк-
тур.
В этом контексте, целью представляемого в данной статье исследования является разработка аналитического итерационного алгоритма интегрирования системы уравнений распространения связанных электроупругих сдвиговых волн в полупространстве функционально-градиентной пьезокерамики с экспоненциальными законами поперечной физико-механической неоднородности.
1. Основные соотношения рассматриваемой модели. Рассматривается занимающая область х1 < х < 0 в координатном пространстве 0х1х2х3 полубесконечная непрерывно-неоднородная гексагональная пьезокерамическая упругая среда класса бшш с осью поляризации 0х3, имеющая переменные вдоль оси 0x1 физико-механические свойства.
Система уравнений стационарного динамического деформирования, описывающая распространение локализованных связанных сдвиговых электроупругих волн Гуляева-Блюстейна вдоль координатного направления 0x2 в рассматриваемом полупространстве из неоднородного пьезоэлектрического материала с физико-механическим характеристиками вида
СА] = Сц0 + вс ехр(Ах!), в] = ву0 + ве ехр(Ах1), (1)
£] = £]о + ве ехр(Ах1), р = ро + вр ехр(Ах1),
в рамках модели квазистатического приближения для характеристик электрического поля включает соотношения
010-13 + 92(Т23 - риз = 0, 01£>1 + ЭгД, = 0, д3 = д/дх3 С?=ТЛ); (2) СТ13 = 044^1^3 + в15д1^, СТ23 = С44 д2П3 + в1бд2^, (3)
А = -£цд1^ + в15 д1«з, ^2 = £ц д2Р + в15д2Из.
В соотношениях (1)-(3) u3(x1,x2,í), ф(х1 ,х2,Ь) - соответственно искомые комплексные функции волнового упругого смещения и потенциала квазистатического электрического поля в БН-волне; (Т13, 023 - комплексные функции касательных механических напряжений в исследуемых волнах; ^1, ^2 - комплексные функции индукции квазистатического электрического поля; С](х{), в](х1), £](х1), р(х{) - соответственно переменные характеристики модулей упругости, пьезоэлектрических, диэлектрических параметров и плотности функционально-градиентного пьезокерамического материала с асимптотически достигаемыми значениями С]0, в]0, £]0, р0 в глубине полупространства при х1 — —ж; А -положительно определенный параметр экспоненциальной неоднородности.
С учетом выражений (1), (3), система уравнений (2), после введения представлений
и3(х1, х2, ¿) = П30(х1 )ехр(—г(шЬ — кх2)),
<^(х1, х2, ^ = ^0(х1)ехр(—г(ш1 — кх2)),
отвечающих волнам рассматриваемого типа с циклическом частотой ш и волновым числом к, может быть преобразована к виду
С440и>зо(х 1) + е150р'0(ж1) + (рош2 - С440к2}изо(Ж1) - б150к2^(х1) = = (вс«з0 (Х1) + вс Аи'з0(Х1) + ве^0'(Х1) + ве Л^0(х1) +
+(врШ2 - вск2)пз0(Х1) - век2^0(Х1)) ехр(Лх1),
2 2 (5)
е150«30(Х1) - £110^0'(Х1) - е150к из0(Х1) + в1юк ^0(Х1) = = -(ве«30(Х1) + веЛп'з0(Х1) - век2«з0(Х1)--вв^0'(Х1) - веЛ^0(Х1) + ввк2^0(Хз))ехр(ЛХ1).
Интегрирование (5) является первичным этапом процедуры получения дисперсионного соотношения для локализованных электроупругих волн рассматриваемого типа.
2. Аналитический векторно-матричный итерационный алгоритм интегрирования уравнений стационарной волновой динамики. Для реализации предлагаемого алгоритма система уравнений (5) записывается в следующей матричной форме
(4°Ч2 + А2У)Е = ехр(Лж1)(А(11)912 + А^д 1 + (6)
В выражении (6): Е_(х\) = («30(^1), ^ро(х\))т - вектор решения; , А^ и , а21) , ^з1) - матричные коэффициенты вида
,(0) _ ( С440 е150 \ а(0) = ( р0ш2 - С440к2 -е150к2 С150 -£цо у ' —2 I -в!50к2 еП0к2
А(1) = ( -вс -ве \ А(1) = ( -Лвс -Лве \
-1 ~ V ~Ре ве )' -2 ~ V ХРе )
,(1) = ( -(врш2 - вс к2 -век2 -3 век2 -век2
Для интегрирования системы (6) применяется метод последовательных приближений, описываемый соотношениями
Е = Ео + Ег+Е2 + -+ЕР + - (9)
(40)^+40)ж0 = о, (ю)
(А^д2 + = ехр(ЛЖ1)(41)912 + А£)д1 + А$))Е0, (11)
(А^д2 +40))£2 = ехр(ЛЖ1)Ц(11)912 1
(40Ч2 +Л0))ЕР = еМ^Ш^гЯ+Л^дг + А^Е^....
Представление F_o определяется в результате интегрирования однородной системы (9) методом Эйлера и задается суммой двух базисных векторных решений
(j)
.Fq с произвольными постоянными коэффициентами a,j
Zo = aiZÎ,1)+a2ZÎ,2), (12)
где
F^ = Qf еМ^хгУ, (13)
ôj (Reôj > 0) - корни биквадратного характеристического уравнения
ô4 + [eiio(pow2 - C440k2) - 2e?5Qk2 - eiioC44o]ô2 + +[(C440k2 - pow2)eiiok2 + e?5ok4] = 0,
- векторные коэффициенты вида
Qf = (1, ei5o/eno)T. (15
(14)
Составляющие (] = 1,2; р > 1) определяются как частные решения последовательностей неоднородных уравнений (11) в виде
+ (16)
где
(17)
МоР,- = (рА + ^)240)+40). (18)
Ж1ю = ((р - 1)Л + 53)2а{1) + ((р - 1)А + 53)А^1) + 41) , (19)
или
= Щр) М1р] ■ ... ■ М-1.Ми^0). (20)
В итоге, для двух базисных решений системы уравнений (5) получены записываемые в форме экспоненциальных рядов с явно определяемыми векторными коэффициентами представления
= Т.Я-Т ехр((рх+и=^• (21)
р=0
По признаку Даламбера функциональный ряд (21) является сходящимся по норме в области х1 < х < 0 ввиду свойства
lim
( exp(((p + l)A + 5>i))/( Qf exp((pA + 5j)x\))
= exp(A^) < 1.
Таким образом, для полубесконечной пьезоактивной функционально-градиентной гексагонально-анизотропной среды получены аналитические решения уравнений распространения сдвиговых электроупругих волн, являющиеся основой для исследования закономерностей распространения в рассматриваемых средах локализованных волн Гуляева-Блюстейна.
Выводы. В результате представленных исследований разработан базовый аппарат для получения и численно-аналитического исследования дисперсионных соотношений, описывающих распространение поверхностных волн Гуляева-Блюстейна в рамках модели квазистатического приближения связанного электромагнитного поля при динамическом электроупругом деформировании непрерывно-неоднородной гексагональной пьезокерамической упругой среды класса 6mm.
Использован вариант экспоненциального описания закона неоднородности для физико-механических характеристик пьезокерамического материала, согласно которому в глубине полупространства эти характеристики асимптотически стремятся к постоянным значениям, а при малых значениях поперечной координаты реализуется описание локализованной приповерхностной неоднородности свойств материала.
1. Liu H. Propagation of Bleustein-Gulyaev Waves in a Pre-Stressed Layered Piezoelectric Structure / H. Liu, Z.B. Kuang, Z.M. Cai // Ultrasonics. - 2003. - Vol. 41. - P. 397-405.
2. Jin F. The Propagation Behavior of Bleustein-Gulyaev Waves in a Pre-Stressed Piezoelectric Layered Structure / F. Jin, Z. Wang, K. Kishimoto // International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation. - 2003. - Vol. 4. - P. 125-138.
3. Kaplunov J. An Explicit Asymptotic Model for the Bleustein-Gulyaev Wave / J. Kaplunov, L. Kossovich, A. Zakharov // Comptes Rendus Mecanique. - 2004. - Vol. 332(7). - P. 487-492.
4. Приказчиков Д.А. Общее представление для волны Блюштейна-Гуляева / Д.А. Приказчиков, Б. Эрбаш // Инженерный журнал: наука и инновации. - 2013. - Вып. 7. URL: http://eng_journal.ru/catalog/mathmodel/hidden/848.html
5. Желнорович В.А. Поверхностные волны Релея и Блюстейна-Гуляева в упругих пьезо-электриках при наличии релаксации диэлектрической поляризации / В.А. Желнорович // ПММ. - 2015. - Т. 79, Вып. 2. - С. 273-285.
6. Кулак Г.В. Акустооптическая диагностика поверхностных волн Гуляева-Блюстейна бесселевыми световыми пучками в кубических кристаллах / Г.В. Кулак, Г.В. Крох, Т.В. Ни-колаенко, О.В. Шакин // Квантовая электроника: материалы XII Междунар. науч.-техн. конф.(Минск, 18-22 нояб. 2019 г.) / редкол.: М.М. Кугейко (отв. ред.) [и др.]. - Минск: РИВШ, 2019. - С. 48-49.
7. Белубекян В.М. Условия появления волны Гуляева-Блюстейна с учетом нестационарности электрического поля / В.М. Белубекян, М.В. Белубекян, В.Г. Гараков // Доклады Национальной академии наук Армении. Механика. - 2020. - Т. 120, № 3. - С. 174-180.
8. Кузнецова И.Е. Влияние электрических граничных условий на существование аномального резисто-акустического эффекта / И.Е. Кузнецова, Б.Д. Зайцев // Ученые записки физического факультета Московского университета. - 2014. - № 5, 145331.
9. Аветисян А.С. О постановке задач бесконтактного поверхностного управления распространением электроакустической волны / А.С. Аветисян // Акустический журнал. - 2022. - T. 68, № 3. - С. 261-269.
10. Акустические волны в материалах и элементах конструкций с дефектами, неоднородно-стями и микроструктурой: монография / М.С. Аносов [и др.]; отв. ред. В.И. Ерофеев, А.О. Мальханов. - Нижний Новгород: Нижегород. гос. техн. ун-т им. Р.Е. Алексеева, 2021. -
311 с.
11. Setter N. Piezoelectric material and devices / N. Setter. - Lausanne, Switzerland: Swiss Federal Institute of Technology, 2002. - 518 p.
12. Hudai K. Porous PZT ceramics for receiving transducers / K. Hudai, R. Rajamami, R. Stevens, C.R. Bowen // IEEE Trans. UFFC. - 2003. - V. 50. - N 3. - P. 280-296.
13. Saito Y. Lead-free piezoceramies / Y. Saito, H. Takao, T. Tani, T. Nonoyama, K. Takatori, T. Homma, T. Nagaya, M. Nakamura // Nature. - 2004. - V. 432. - P. 84-87.
14. Heywang W. Piezoelectricity, evolution and future of a technology / W. Heywang, K. Lubitz, W. Wersing. - Berlin: Springer, 2008. - 581 p.
15. Рыбянец А.Н. Свойства керамических пьезокомпозитов ЦТС/ЦТС / А.Н. Рыбянец // Известия РАН. Серия физическая. - 2010. - Т. 74. - № 8. - С. 1150-1153.
16. Yoon H. Macroporous alumina ceramics with aligned microporous walls by unidirectionally freezing foamed aqueous ceramic suspensions / H. Yoon, U. Kim, J. Kim, Y. Koh, W. Choi, H. Kim // J. Am. Ceram. Soc. - 2010. - V. 93. - P. 1580-1582.
17. Lugovaya M.A. Complex material properties of porous piezoelectric ceramics / M.A. Lugovaya, A.A. Naumenko, A.N. Rybyanets, S.A. Shcherbinin // Ferroelectrics. - 2015. - V. 484, Issue. 1. - P. 87-94.
18. Рыбянец А.Н. Упругие диэлектрические и пьезоэлектрические свойства керамоматрич-ных композитов ЦТС/a-AOs / А.Н. Рыбянец, Г.М. Константинов, А.А. Науменко, Н.А. Швецова, Д.И. Макарьев, М.А. Луговая // ФТТ. - 2015. - Т. 57., Вып. 3. - C. 515518.
19. Bowen C.R. The piezoelectric medium and its characteristics / C.R. Bowen, V.Y. Topolov, H.A. Kim // Springer Series in Materials Science. - 2016. - V. 238. - P. 1-22.
D.S. Karasev, S.V. Storozhev
Integration of equations a coupled electroelastic shear waves propagation in the halfspace of functional-gradient piezoceramics.
Is presented an analytical vector-matrix algorithm for obtaining solutions to the system of equations of stationary wave dynamics which describes the propagation of localized coupled SH-type electro-elastic shear waves along perpendicular to polarization axes horizontal direction in the boundary plane in a semi-infinite functionaly-gradient piezoceramics medium of class 6mm with a horizontal axis of electric polarization. The near-surface inhomogeneity of the physical and mechanical parameters of the considered medium is described by exponential functions. The desired solutions in the form of vector exponential series converging in the norm and can be used to analyze the patterns of propagation of Gulyaev-Bluestein electromechanical surface waves in a medium of the type under consideration are obtained.
Keywords: functionally-graded piezoceramic half-space, exponential physical and mechanical in-homogeneity, shear electroelastic waves, integration of wave equations, analytical iterative algorithm, vector exponential series.
ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк Получено 03.12.2022
ГОУ ВПО "Донбасская национальная академия строительства и архитектуры", Макеевка
Donetsk National University, Donetsk
Donbas National Academy of Civil Engineering and Architecture, Makeevka
