Общее представление для волны Блюштейна – Гуляева Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

Общее представление для волны Блюштейна - Гуляева

© Д.А. Приказчиков1, Б. Эрбаш2

1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия 2Анатолийский университет Эскишехир, Турция

Рассмотрена задача о распространении волны Блюштейна - Гуляева вдоль границы пьезоэлектрического полупространства. Получено общее представление для поля волны в терминах одной гармонической функции для двух основных типов однородных граничных условий.

Ключевые слова: волна Блюштейна - Гуляева, плоская гармоническая функция.

Введение. Исследования пьезоэлектрических или электроупругих поверхностных волн являются актуальной задачей, результаты которых широко применяются в науке и технике [1]. В настоящей работе рассматриваются пьезоупругая волна Блюштейна - Гуляева [2, 3], распространяющаяся вдоль поверхности трансверсально-изотропного электроупругого полупространства, а также типа однородных граничных условий: случай покрытия поверхности с помощью тонкого, идеально проводящего электрода с заземлением, и свободный контакт поверхности с вакуумом. В рамках аналитического подхода к задаче представляет интерес обобщение известного решения синусоидальной формы [2] для случая произвольных гармонических функций, по аналогии с известными результатами для упругих поверхностных волн [4-6]. Также следует выделить работу [7], расширяющую методологию [4] для случая анизотропных упругих сред. Целью данной работы является построение поля волны Блюштейна -Гуляева в терминах одной гармонической функции. Как и в случае линейной упругости, использование анзаца в форме распространяющейся плоской волны позволяет переформулировать уравнения движения в псевдостатической форме и получить с использованием граничных условий представление для поля волны в терминах одной гармонической функции.

Постановка задачи. Рассмотрим трансверсально-изотропное пье-зоупругое полупространство 0 < у (класс симметрии С6тт). Уравнения движения имеют вид [2, 8]

Аи - с-2ий = 0, Ау = 0, (1)

где А = дхх + дуу - двумерный оператор Лапласа; и = и(х, у, ^) - антиплоское перемещение; с, =

V

с44

— - скорость поперечной волны в Р

среде; р - объемная плотность; ^ = с44 Л - усиленный пьезоэлектрический модуль упругости; С44 и e15 упругий и пьезоэлектрический модули, соответственно, sn - поперечная диэлектрическая проницаемость кристалла, а вспомогательная функция у = у(x, y, t) выражается через электрический потенциал ф = ф( x, y, t) как

у = ф- — u. (2)

eii

В работе рассматриваются два вида граничных условий на поверхности y = 0:

- поверхность покрыта тонким слоем заземленного проводника

c"44Wy + в^у y = 0, у + в5 u = 0; (3)

sii

- свободный контакт поверхности с вакуумом

в

c44uy + в15У y = 0, У+ — u -ф = 0, епу у + фу = 0. (4)

^11

y ■ Yy

Здесь ф - электрический потенциал в вакууме, удовлетворяющий уравнению Лапласа Лф = 0 (у < 0). Решения также должны удовлетворять условиям затухания и, у ^ 0, (у ^ да), ф ^ 0, (у ^ -оо).

Общее представление для собственных функций. Поверхность с покрытием в виде электрода с заземлением.

Рассмотрим первый тип граничных условий (см. (3)). По аналогии с упругим случаем перемещение может быть записано в виде

u

= U (x - ct, y), у = ^( x - ct, y), (5)

что позволяет переформулировать уравнения движения (1) в псевдостатической форме:

иуу + Х2ихх = 0, Ууу + ^ = 0, (6)

с2

где X = 1 —2. Решения (6) могут быть записаны в виде произволь-

С02

ных плоских гармонических функций:

и = и Ху), ¥ = ¥(£, у),

(7)

удовлетворяющих условиям затухания и, ¥ ^ 0, (у ^ да).

Подставляя (7) в граничные условия (3) и пользуясь свойствами гармонических функций, получим

Хс44^0;,0) + ^¥^,0) = 0,

^ и (£,0) + ¥(£,0) = 0,

(8)

-11

откуда из равенства нулю соответствующего определителя имеем

4 о = ^ (1 - к2), р у '

(9)

где к = —, что совпадает с уравнением для волны Блюштейна -

811с44

Гуляева [2] для рассматриваемых граничных условий (3). По аналогии с рассуждениями в [4], функции и и ¥ связаны соотношением (см. (8))

и ($, Ху ) = --^ ¥($, Ху).

(10)

15

Таким образом, получено представление поля волны Блюштейна -Гуляева в терминах одной гармонической функции.

Свободный контакт поверхности с вакуумом. Аналогичные рассуждения справедливы для второго типа граничных условий (4). Полагая в дополнение к (5)

получим из (4)

< = Ф (х - а, у), С44Хи^,0) + ^¥^,0) = 0,

^ и (£,0) + ¥(£,0)-Ф (£,0) = 0,

811

8П¥^,0) + Ф ^,0) = 0,

(11)

(12)

откуда

cBG -

"44

1 -

1 + 8

11 У

(13)

что совпадает с известным уравнением [2]. Таким образом, общее представление поля волны Блюштейна - Гуляева для граничных условий (4) имеет вид

U ft, Ay)-- ^-^ft, Ay),

c44A

Ф ft, y)--8H^(^, -y).

(14)

Заключение. Построено общее представление для поля волны Блюштейна - Гуляева в терминах одной гармонической функции (см. (10), (14)), что расширяет результаты работ [4, 7] для случая пьезоэлектрических сред. С учетом природы волны Блюштейна - Гуляева, характеризующейся более медленным затуханием [3], полученные результаты представляют существенный интерес, так как описывают все виды затухающих гармонических функций (см. [5]). Результаты также позволяют упростить асимптотическую модель [8], переписав ее в виде скалярной задачи Дирихле для уравнения Лапласа по аналогии с моделью для волны Рэлея [9]. Так же, как и в [10], может быть рассмотрена задача о волне Блюштейна - Гуляева в случае пьезоэлектрического полупространства с покрытием, исследованы задачи о подвижной нагрузке.

В заключение отметим, что подобные представления могут быть построены для более общих типов поверхностных акустических волн [11-14], включая магнитоупругие поверхностные волны [15, 16], с учетом возможной анизотропии среды и наличия предварительных деформаций.

Авторы выражают искреннюю признательность д-ру физ.-мат. наук, проф. Ю.Д. Каплунову за ценные замечания.

Исследования выполнены при поддержке грантов Президента РФ МК-3150.2012.8, Turkish Research Council 03.220.01-16415.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Campbell C.K. Surface Acoustic Wave Devices, Academic Press, Boston, 1998.

[2] Bleustein J.L. A New Surface Wave in Piezoelectric Materials. Appl. Phys. Let., 1968, vol. 13, рр. 412, 413.

[3] Гуляев Ю.В., Поверхностные электрозвуковые волны в упругих телах. Письма вЖЭТФ. 1969. № 9, рр. 63-65.

[4] Chadwick P. Surface and Interfacial Waves of Arbitrary form in isotropic Elastic Media. Journal of Elasticity, 1976, vol. 6, рр. 73-80.

[5] Friedlander F. On the Total Reflection of Plane Waves. Quart. J. Mech. Appl. Math. 1948, vol. 1, рр. 376-384.

[6] Kiselev A.P. Rayleigh Wave with a Transverse Structure. Proceedings of the Royal Society London, Ser. A, 2004, vol. 460, рр. 3059-3064.

[7] Prikazchikov D.A. Rayleigh Waves of Arbitrary Profile in Anisotropic Media. Mechanics Research Communications, 2013, vol. 50, рр. 83-86.

[8] Kaplunov J., Kossovich L., Zakharov A. An Explicit Asymptotic Model for the Bleustein - Gulyaev Wave. Comptes Rendus Mecanique, 2004, vol. 332(7), рр. 487-492.

[9] Kaplunov J., Zakharov A., Prikazchikov D.A. Explicit Models for Elastic and Piezoelastic Surface Waves. IMA Journal of Applied Mathematics, 2006, vol. 71, рр. 768-782.

[10] Dai H.-H., Kaplunov J., Prikazchikov D.A. A Long Wave Model for the Surface Elastic Wave in a Coated Half Space. Proceedings of the Royal Society London, Ser. A, 2010, vol. 466, рр. 3097-3116.

[11] Alshits V.I., Darinskii A.N., Lothe J., Lyubimov V.I. Surface Acoustic Waves in Piezocrystals: an Example of Surface Wave Existence with Clamped Boundary. Wave Motion, 1994, vol. 19, рр. 113-123.

[12] Тарасенко С.В., Обменный механизм локализации фононов вблизи поверхности магнитоупорядоченного кристалла. Физика твердого тела, 1998, № 40 (2), с. 299-304.

[13] Liu H., Kuang Z.B., Cai Z.M., Propagation of Bleustein-Gulyaev Waves in a Pre-Stressed Layered Piezoelectric Structure. Ultrasonics, 2003, vol. 41, рр. 397-405.

[14] Jin F., Wang Z., Kishimoto K. The Propagation Behavior of Bleustein - Gulyaev Waves in a Pre-Stressed Piezoelectric Layered Structure. International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation, 2003, vol. 4, рр. 125-138.

[15] M.S. Ruderman Soliton Propagation on Multiple-Interface Magnetic Structures. Journal of Geophysical Research, 1992, vol. 97, рр. 16843-16853.

[16] Saxena P, Ogden R.W. On Surface Waves in a Finitely Deformed Magnetolas-tic Half-Space. International Journal of Applied Mechanics, 2011, vol. 3(4), рр. 633-665.

Статья поступила в редакцию 27.06.2013

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:

Приказчиков Д.А., Эрбаш Б. Общее представление для волны Блюштейна -Гуляева. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 7. URL: http://engj ournal.ru/catalog/mathmodel/hidden/848.html

Приказчиков Данила Александрович - канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры «Вычислительная математика и математическая физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор 35 научных работ и 7 учебно-методических пособий. Область научных интересов: динамическая теория упругости, распространение волн, асимптотические методы. е-mail: prikazchikovda@yandex.ru

Эрбаш Барыш - канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры «Математика» Анатолийского университета в Эскишехире, Турция. Автор 14 научных работ и одного учебно-методического пособия. Область научных интересов: теория упругости, распространение волн, смешанные задачи.