О резонансном режиме в нестационарной задаче о подвижной нагрузке для упругого полупространства Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

О резонансном режиме в нестационарной задаче о подвижной нагрузке для упругого полупространства

© Т.В. Облакова, Д. А. Приказчиков МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

Рассмотрена нестационарная задача о движении сосредоточенной нагрузки вдоль поверхности упругого полупространства с постоянной скоростью, равной скорости волны Рэлея. Решение строится в ближнем поле, с использованием асимптотической модели для волны Рэлея. На первом этапе из анализа гиперболического уравнения решение находится на поверхности, затем из задачи Дирихле для эллиптического уравнения поле восстанавливается вглубь области.

Ключевые слова: подвижная нагрузка, нестационарная, асимптотическая модель, волна Рэлея.

Введение. Исследование динамических процессов в задачах о подвижной нагрузке является весьма актуальной проблемой науки и техники, имеющей многочисленные приложения, в том числе в вопросах развития высокоскоростного железнодорожного транспорта. Среди классических работ в этой области можно выделить [1], в которой использовалась модель балки на упругом основании, а также [2], где впервые была решена стационарная задача о движении импульсной нагрузки в случае упругой полуплоскости. Следует отметить, что решение стационарной задачи определено с точностью до постоянных, соответствующих перемещениям полуплоскости, как жесткого целого, которые могут быть определены только из соответствующей нестационарной постановки [3-5].

Известные точные решения задачи о подвижной нагрузке [6, 7] для упругой полуплоскости имеют достаточно нетривиальные интегральные представления, существенно затрудняющие дальнейший анализ. В связи с этим развиваются приближенные подходы к задаче [8]. Отметим также работы [9, 10], основанные на использовании приближенной эллиптически-гиперболической природы поверхностной волны [11].

В связи со значительными упрощениями аналитические подходы к задаче основаны на решении плоских задач. В то же время, как показано в [12], результаты исследования трехмерной постановки качественно отличаются от соответствующих аналогов для плоской задачи, что особенно важно при моделировании реальных физических задач, включая высокоскоростное движение железнодорожного транспорта. Настоящая работа расширяет подход, рассмотренный в [12], для случая нестационарной трехмерной задачи в рамках резо-

нансного режима, когда скорость перемещения нагрузки вдоль поверхности совпадает со скоростью поверхностной волны Рэлея. В соответствии с формулировкой асимптотической модели [13] решение на поверхности описывается двумерным гиперболическим уравнением. Затем решение, затухающее вглубь полупространства, определяется как решение задачи Дирихле для псевдостатического эллиптического уравнения. Найденные приближенные решения выражены в терминах элементарных функций, что существенно упрощает их дальнейший анализ. Полученные результаты могут найти интересные приложения, в том числе при моделировании движения трещин [14].

Асимптотическая модель для волны Рэлея в случае упругого полупространства. Приведем краткое описание асимптотической модели для волны Рэлея [13]. Рассмотрим упругую полуплоскость < х < го, - го < у < го, 0 < г <го, в случае нормальной нагрузки на поверхности

°хг\г_0 = 0 °уг|г_0 = 0 °гг|г=0 = Р(X У, 0. (1)

Описываемая приближенная формулировка для волны Рэлея включает в себя псевдостатические эллиптические уравнения, учитывающие условия затухания,

+ к 2 аг2 + к1

Га2ф аV ах2 ау2

= 0,

у

а Уш + к 2

игт к2

2

а Уш , а У/

ах2

Л

ау2

= 0, (2)

где ф и уш, (ш _ 1, 2) - упругие потенциалы, постоянные

кш _

Г с2 Л/2

1 - *.

V ^ш

, с1, с2 и сК - скорости распространения продольной,

поперечной волн и волны Рэлея, соответственно, а также уравнение мембранного типа на поверхности г = 0

а2ф + сГф -сф_ 1+к-2 р

ах2 ау2 с2К а2

2дВ

(3)

где д - сдвиговой модуль Ламэ; В _ — - к2) +—- к12)-1 + к

к-1

■ 4 к2

упругая постоянная [11] и соотношения связи между потенциалами при г = 0

ау1 _ 2 сф ау 2

аг 1+к22 ах

Сг 1 + к^Т Су

2 Сф Сф

1 + к22 Г СУ1, +аУ2

л

Сх Су ;

(4)

При этом поле перемещений выражается в терминах введенных потенциалов[15] как

их =

дф

дх дг

иу =

дф_д^2 и =_дф+д^1(5) ду дг дг дх ду

Нестационарная задача о подвижной нагрузке для упругого полупространства. Рассмотрим задачу о движении с постоянной скоростью импульсной подвижной нагрузки по поверхности г = 0. Ограничимся здесь исследованием резонансного случая, когда скорость движения нагрузки совпадает со скоростью волны Рэлея. В случае движения вдоль оси Ох функция Р(х, у, г) имеет вид (рис. 1)

Р( х, у, г) = Р0§ (х _ скг )5 (у).

(6)

Рис. 1. Схема постановки задачи

Следовательно, уравнение (3) принимает вид

д2ф д2ф 1 д2ф 1 + к2 — +—2 _ - —2- =-- Р05( х _ сКг )5( у).

дх2 ду2 с\ дг2

2^Б

(7)

Решение уравнения (7) по аналогии с решением в [3] может быть записано через свертку с соответствующим фундаментальным решением:

г Н

ф(х, у, 0, г ) = АР0

(г _т)_д/(х _сКг )2 + у2

(г _т)2 _(х _скг )2 _ у2

ё т,

(8)

где А = _•

?(1 + к22)

Переходя в подвижную систему координат (С, у), получим

(Н ск8+

ф( у,0, () = АР0

ч2 2 + у2

С- у2 Ч2

ds,

(9)

где С = х - ск(; ^ = (- т.

С2 + у2

Интегрируя (9) при условии С<0, ( >--, найдем значе-

2ск с

ние потенциала ф на поверхности г = 0:

АР I-

Фо (С, у, () = ф (С, у, 0, () = - Ч2 - - у2. (10)

Сск

Найденное решение представляет интерес в первую очередь для исследования развития резонансных явлений во времени. При (^го

Ф 0

(С, у, () - С

АР0

ск V

2сЕ

(11)

т. е. значение потенциала растет по времени как

О [41),

что отличает

полученное трехмерное решение от соответствующего решения плоской задачи, характеризующейся линейным ростом.

Используя значение потенциала на поверхности г = 0, восстановим его значение вглубь полупространства. По аналогии с [12] можно рассматривать параметрическую зависимость от переменной у, и таким образом, рассматривать задачу Дирихле вида

а2ф , 2 а2ф _ |

^ТГ + = 0, Ф г=0 =Ф0.

Ог ос

(12)

Применяя формулу Пуассона, получим Ф

( ) = 11 УФ0(г,у,()

У,^() = - Л (г-с)2 + А?г2 ^

АР0кхгЧ^ - г2 - 2ск(г - у <п-с„ Л ..Г/,. Й\2 , 7.2.2

(13)

пск г

(г -С)2 +*12.

dr,

где sm = -скг + (-1)тл1с2к(2 -у2, (т = 1, 2) .

С

Интеграл (13) может быть записан в терминах элементарных функций:

ф( ^ г,г ) = -

Е (0)

жк + к2 г2 21к1г(£- ¡к1г) Ик1г(^кг) где Е(я) = -7г(? + + ^^^э + с^х

х tanh -1

, (14)

г (я + сКг) + у2 + ясКг

I 2.2 2" VсКг - У

- ( + сКг) 4 г2 - у2 -(г + сКг)

Потенциалы ут, (т = 1,2) могут быть восстановлены с использованием соотношений (4). Затем, используя (5), можно найти выражения для компонент перемещения. Рассмотрим подробно вертикальное перемещение иг . Из (4) и (5) получим

иг =

= дф(г, X, у, V) 2 дф( г, х, у, к2 г)

&

1 + к2

&

(15)

где функция ф(г,х,у,к1г) определена в (14).

На графиках (рис. 2-4) проиллюстрированы полученные результаты. При их построении были использованы следующие значения упругих параметров материала: с = 5970 м/с, С2 = 3763 м/с,

сК = 3409 м/с, что соответствует БЮг [16].

0 -200 -400 -600 -800 -1000

.............

г ■

V -

7 = 0.5 ............ .

1 7 = 1 ............................

1 7 = 2 ...............

- 1 7 = 5 -------------- _

7 = 0 -

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 Рис. 2. Зависимость потенциала ф от подвижной координаты (у = 1, г = 10)

На рис. 2 показана зависимость масштабированного потенциала ф = _ ф(^, у, ^) от подвижной координаты Е, для нескольких

АР0

фиксированных значений глубины г. Кривые на рис. 2 демонстрируют затухание по мере удаления от поверхности, а также резонанс под нагрузкой при г = 0 . Очевидно, что на поверхности при г = 0 область возмущения находится строго за нагрузкой (Е, < 0), что не

наблюдалось в соответствующей плоской задаче. При удалении от поверхности зона динамических возмущений начинает распространяться перед движущейся нагрузкой.

О

-1000 -2000 -3000 -4000 -5000 -6000 -7000 -8000

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 Рис. 3. Рост потенциала ф по времени в зависимости от подвижной координаты (у = 1, г = 1)

3000 2000 1000 0

-1000

-2000

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Рис. 4. Затухание перемещения й2 в зависимости от подвижной координаты у = 1, ^ = 10)

.............. Ч.' 1 / _ 1 / 1 / :

- \ 1= 10 -

г= юо---------- ■

1= 1000 ...................

¥ 1 1

\ 7/

7 г = 0.3 - -

У г = 0.5 ----------

■/.- 1 ......................

Интерес представляет исследование решения при больших временах. Понятно, что в данной задаче установление стационарного режима невозможно. Иллюстрации роста по времени потенциала ф в зависимости от подвижной координаты £ приведены на рис. 3.

В завершение проиллюстрируем затухание масштабированного

вертикального перемещения iiz =--Ruz (£, y, z, t) в зависимости от

AP0

подвижной координаты £ при удалении от поверхности (см. рис. 4).

Заключение. На основе приближений трехмерных динамических уравнений теории упругости решена нестационарная задача о подвижной нагрузке для упругого полупространства. Использование асимптотической модели для волны Рэлея позволило получить выражения для компонент ближнего поля напряженно-деформированного состояния в виде элементарных функций. Полученные результаты могут быть распространены на дорезонансный и сверхрезонансный режимы подвижной нагрузки, а также на случай движения распределенной нагрузки [10, 17].

Исследования Приказчикова Д.А. выполнены при поддержке гранта Президента РФ МК-3150.2012.8. Авторы выражают благодарность д-ру физ.-мат. наук, профессору Ю.Д. Каплунову за ценные замечания.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Timoshenko S. Method of Analysis of Statical and Dynamical Stresses in Rail. Proc. Second Int. Congress of Appl. Mech, Zurich, 1926, Zurich, Orell Fussli Verlag, 1927, pp. 1-12.

[2] Cole J., Huth J. Stresses Produced in a Half Plane by Moving Loads. ASME J. Appl. Mech, 1958, vol. 25, рр. 433-436.

[3] Каплунов Ю.Д. Нестационарная динамика упругой полуплоскости при действии подвижной нагрузки. Институт проблем механики РАН. Препринт. 1986, № 277, 53 с.

[4] Ang D.D. Transient Motion of a Line Load on the Surface of an Elastic Halfspace. Quart. Appl. Math, 18 (1960) 251-256.

[5] Gakenheimer D.C., Miklowitz J., Transient excitation of an elastic half space by a point load traveling on the surface. J. of Appl. Mech. 36 (1969) 505-515.

[6] Freund L.B. The Response of an Elastic Solid to Nonuniformly Moving Surface Loads. J. of Appl. Mech, 1973, vol. 40, рр. 699-704.

[7] Georgiadis H.G., Lykotrafitis G.A. Method Based on the Radon Transform for Three-Dimensional Elastodynamic Problems of Moving Loads. J. Elasticity, 2001, vol. 65, рр. 87-129.

[8] De Hoop A.T. The Moving-Load Problem in Soil Dynamics - the Vertical Displacement Approximation. Wave Motion, 2002, vol. 36, рр. 335-346.

[9] Демченко А.Т., Каплунов Ю.Д., Алейников И.А., Приказчиков Д.А. Применение асимптотической модели для волны Рэлея к задаче о подвижной нагрузке. Наука и техника транспорта, 2005, № 3, с. 82-85.

[10] Kaplunov J., Nolde E., Prikazchikov D.A. A Revisit to the Moving Load Problem Using an Asymptotic Model for the Rayleigh Wave. Wave Motion, 2010, vol. 47, рр. 440-451.

[11] Kaplunov J., Zakharov A., Prikazchikov D.A. Explicit Models for Elastic and Piezoelastic Surface Waves. IMA J. of Appl. Math, 2006, vol. 71, рр. 768-782.

[12] Kaplunov J., Prikazchikov D.A., Erbas B., Sahin O. On a 3D Moving Load Problem for an Elastic Half-Space. Wave Motion, 2013.

[13] Dai H.-H., Kaplunov J., Prikazchikov D.A. A Long Wave Model for the Surface Elastic Wave in a Coated Half Space. Proceedings of the Royal Society London. Ser. A, 2010, vol. 466, рр. 3097-3116.

[14] Bratov V., Petrov Y. Application of Incubation Time Approach to Simulate Dynamic Crack Propagation. International Journal of Fracture, 2007, vol. 146, рp. 53-60.

[15] Приказчиков Д. А., Коваленко E. В. Выбор потенциалов в трехмерных задачах динамической теории упругости. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана, сер. Естественные науки, вып. математическое моделирование, 2012, т. 2, с. 132-137.

[16] Royer D., Dieulesaint E. Elastic Waves in Solids II. Springer, Berlin, 1996.

[17] Гольдштейн Р.В. Волны Рэлея и резонансные явления в упругих телах. ПММ 29(3) (1965), с. 516-525.

Статья поступила в редакцию 27.06.2013

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:

Облакова Т.В., Приказчиков Д. А. О резонансном режиме в нестационарной задаче о подвижной нагрузке для упругого полупространства. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 9. URL: http://engj ournal.ru/catalog/mathmodel/hidden/959.html

Облакова Татьяна Васильевна - канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры «Вычислительная математика и математическая физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор около 20 научных статей и учебно-методических пособий. Область научных интересов: теория вероятностей и математическая статистика, математическое моделирование.

Приказчиков Данила Александрович - канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры «Вычислительная математика и математическая физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор 35 научных работ и 7 учебно-методических пособий. Область научных интересов: теория упругости, распространение волн, асимптотические методы. е-mail: prikazchikovda@yandex.ru