МОДЕЛИРОВАНИЕ В МЕХАНИКЕ ТВЕРДЫХ СРЕД
УДК 539.3
Ю. Д. Каплунов, Д. А. Приказчиков
ПОСТАНОВКА СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УПРУГОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ В РАМКАХ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДЛЯ ВОЛНЫ РЭЛЕЯ
Обсуждаются смешанные задачи для упругой полуплоскости в рамках асимптотической модели для волны Рэлея. Использование эллиптико-гиперболического дуализма позволяет существенно упростить процедуру определения вклада поверхностных волн в общее динамическое поведение. В частности, для задачи о действии вертикального штампа и задачи о полуплоскости с гибкой нерастяжимой накладкой решения выражаются в терминах одной гармонической функции. В случае более общей смешанной задачи, когда на части поверхности заданы оба перемещения, приближенная формулировка содержит две гармонические функции.
E-mail: prikazchikovda@yandex.ru
Ключевые слова: смешанные задачи, асимптотическая модель, волна Рэлея, гармоническая функция.
Исследование приповерхностной динамики упругих тел является важной задачей механики сплошных сред, имеющей многочисленные инженерные приложения. Хорошо известно, что вблизи поверхности основной вклад в динамическую картину вносится волной Рэлея. Поскольку решение задачи в точной постановке учитывает результат распространения упругих волн всех типов, предпринимаются попытки выделить вклад поверхностной волны (см., например, [1, 2]). Асимптотическая модель волны Рэлея [2] была затем выведена в работе [3] с помощью более общего представления, использующего гармонические функции [4, 5]. Эта модель улучшила понимание свойств волны Рэлея, в частности выявила ее двойственную эллипти-ко-гиперболическую природу. При этом она позволила существенно упростить постановку задач приповерхностной динамики, включая задачи о подвижной нагрузке на упругой полуплоскости [6, 7]. Асимптотическая модель [3] была также распространена на случай трехмерного упругого полупространства [8]. Кроме того, получены соответствующие обобщения для интерфейсных волн Стоунли и Шольте—Гоголадзе [9].
В настоящей работе на основе асимптотической модели для волны Рэлея рассматриваются приближенные постановки смешанных
задач для упругой полуплоскости. Задача о действии вертикального штампа в рамках этой модели ранее рассматривалась в работе [10]. В развитие [10] обсуждается приближенная постановка задачи для упругой полуплоскости, часть поверхности которой покрыта гибкой нерастяжимой мембраной, а также для более общей смешанной задачи, для которой на части поверхности заданы оба перемещения. Показано, что в первой из упомянутых задач, как и в работе [10], поле волны Рэлея может быть выражено в терминах одной гармонической функции. Это является существенным упрощением по сравнению с традиционной формулировкой задачи. Рассмотрен пример, иллюстрирующий эффективность предлагаемого подхода. Во втором случае аналогичная скалярная постановка оказывается невозможной; для него решение выражается через две гармонические функции. Полученные результаты могут найти ряд интересных приложений, в частности при исследовании распространения трещин в упругих телах [11].
Асимптотическая модель для волны Рэлея в случае упругой полуплоскости. Приведем краткое описание асимптотической модели для волны Рэлея [3]. Рассмотрим упругую полуплоскость -да<х< а>, 0 <у <а>. В случае граничных условий, заданных в терминах напряжений,
УУ
y=0 = р(X, 0; &xy y=0 = Q(x, t)
(1)
затухание в глубь среды описывается псевдостатическими эллиптическими уравнениями
k2 = 0;
ду
дх2
(2)
д2ш ,2 дV
ду
2 + к2
дх2
= 0,
(3)
где (р и у/ - упругие потенциалы Ламе; кт =
Г С2 > 1-7,
V Vm у
1/2
постоян-
ные, т = 1,2 (с1, с2, сК — скорость распространения продольной, поперечной и рэлеевской волны соответственно).
Возможность представления поля волны Рэлея в терминах одной гармонической функции, установленная в работе [4], позволяет связать потенциалы соотношениями
2k 2k ^(х к2У, t ) = -—12 V (X k2У, t); k2У, t ) = -T~72l,'(X, klУ, t ^ (4)
1 + k2
1+kk
где знак * обозначает гармоническое сопряжение. Очевидно, что в силу линейности задачи можно отдельно рассматривать случаи нормальной {<2 = 0) и тангенциальной (Р = 0) нагрузки. Для нормальной
нагрузки распространение волны Рэлея вдоль границы полуплоскости описывается гиперболическим уравнением
öV 1 öV
dx1
cR dt2
.hü P 2juB '
(5)
где В = -к22) + ^(1 -к2)-(1 -к24)
численная в работе [3].
В случае тангенциальной нагрузки
упругая постоянная, вы-
сХ2
cR dt2 '
М О
2pB
(6)
Задача об упругой полуплоскости с накладкой в виде гибкой нерастяжимой мембраны. Рассмотрим смешанную задачу для упругой полуплоскости, часть которой покрыта гибкой нерастяжимой мембраной (рисунок). При этом будем считать, что часть поверхности под накладкой сдвигается в горизонтальном направлении, а нормальные напряжения отсутствуют вдоль всей поверхности. Обозначим часть поверхности под накладкой через £2, а остальную ее
часть — через ^ и = Щ. Тогда граничные условия примут вид
yy
= 0, x е R; <г
= Q(x, t), x е S1; u у=о = U(x, t), x е S2, (7)
У=0 - л ^ ху\у=0
где и — заданное перемещение поверхности под накладкой; < — тангенциальное напряжение на остальной части поверхности.
Упругая полуплоскость с накладкой
Используя приближенную формулировку для поля волны Рэлея, приведенную выше, получим в случае граничных условий (7)
öV 1 д2¥
dx2 cR dt2
1 + k2 Q 2ßB
■ Si;
1 -k22 1+k22 dy
y=0
= U(x, t), x 1
: S2.
(8)
Предлагаемая постановка смешанной задачи (3), (8) является существенным упрощением традиционной формулировки, поскольку исходная векторная задача плоской теории упругости сведена к скалярной задаче для гармонической функции.
В качестве примера изучим стационарное движение накладки и(х, I) = g (х - с1), предполагая для простоты < = 0. В результате придем к эллиптической задаче для сдвигового потенциала ^:
а V
су
д V д^2
ду
+ k 2 ^ 2 + k2
= 0,
= 0, S[,
бу
у=0
1+k2i 1 - k22
(9)
g (£), ^ S2
2
где % = х - с1 — подвижная координата; и — части поверхности, соответствующие и Б2 в подвижной системе координат.
Использовав первое уравнение системы (9) и выполнив замену переменной ц = к2у, перепишем эту систему в терминах функции
Получим
ff тт
1- k2 ду
(10)
д? ЪГ)2
= 0,
(11)
z{£0) = g(fr ^eS2.
Формулировка (11) соответствует классической смешанной задаче для уравнения Лапласа. Отметим также, что компоненты перемещений и напряжений выражаются через вспомогательную функцию X. Например, горизонтальное перемещение
и J_vJ_vi1 _ кА дх ду ^ '
1
Ку) ~~~2[xi^ к2у)
1+k2
(12)
В целях иллюстрации рассмотрим накладку, для которой g (£) = = ав~Ь (а, Ь > 0). Тогда
X (£ rj)= b Re {exp (-ак) (l - ф( ^TäPj] J,
(13)
где = £ + щ\ Ф(7) — функция ошибок [12].
Задача о действии штампа. Для полноты изложения приведем приближенную постановку задачи о действии вертикального штампа, ранее предложенную в работе [10]. В этом случае граничные условия имеют вид
ctJjh, = 0, х е R; о^
=0 = P(х, t), х е 51; v у=, = V(х, t), х е S2. (14)
Приближенная формулировка задачи для продольного потенциала ср:
^2 ^ = 0,
ду
дх2
ö2® 1 д2т 1+к22 „ —-----2P, хе51, у = 0;
дх2 cR dt2
дф _ 1 + к2 су ~ 1-к2
2<uB
2 V(x,t), х е 52, у = 0.
(15)
Векторная смешанная задача. Рассмотрим теперь более общую задачу, для которой на части поверхности заданы оба перемещения, т. е.
ху
■=о = Q(хtX стуу у=о = р(хtX х е 51;
у=0 = и(хt),
у=0 = V (x, tX х е 52.
(16)
Искомое решение можно представить в виде суммы решений двух подзадач, в первой из которых предполагается отсутствие тангенциальных нагрузок вдоль всей поверхности, в частности Q = 0, х е 51, а во второй — отсутствие нормальных напряжений вдоль всей поверхности, в частности Р = 0, х е 51.
Обозначим через (рР и уР решения для потенциалов, возникающие в первой задаче, а через и ^ — их аналоги в случае второй
задачи. При этом, очевидно, общее решение (16) выражается в виде суммы
В результате придем к приближенной векторной формулировке в терминах двух потенциалов ц>Р и ^ :
% + % = 0, ^= 0, ду дх ду дх
^ 1 =мР _ 1+к е хе^ у=0
дх2 4 д12 2^Б ' йх2 е2к д12 2^Б 1 ' (18)
2 % 2 % 2 ^ 2 _ Л О Л
—2--— =-2V(х,4 —^+-2—2=-2и(х,4 хе52, у = 0,
йх 1+А2 1-к2 дх 1+к 1-к^ 2
07 07
^р (х к2У, *) = ^ (x, к2У, *), % (x, КУ,')= "(х ^') ■
Заключение. Постановка смешанных задач для упругой полуплоскости с использованием асимптотической модели для волны Рэ-лея представляет существенное упрощение известного подхода, исходящего из динамических уравнений плоской задачи теории упругости. В частности, задачи о взаимодействии упругой полуплоскости с вертикальным штампом и гибкой нерастяжимой накладкой формулируются в терминах одной гармонической функции. Для более сложной смешанной задачи, рассмотренной в работе, приближенная постановка также оказывается проще традиционной, но при этом, однако, содержит уже две гармонические функции.
Исследования выполнены при поддержке гранта Президента РФ МК-3150.2012.8.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Achenbach J. D. Explicit solutions for carrier waves supporting surface waves and plate waves // Wave Motion. - 1998. - Vol. 28. - P. 89-97.
2. Каплунов Ю. Д., Коссович Л. Ю. Асимптотическая модель дальнего поля волны Рэлея в случае упругой полуплоскости // ДАН. - 2004. - Т. 395, № 4. - С. 482-485.
3. Kaplunov J., Zakharov A., Prikazchikov D. A. Explicit models for elastic and piezoelastic surface waves // IMA J. of Applied Mathematics. - 2006. -Vol. 71. - P. 768-782.
4. Chadwick P. Surface and interfacial waves of arbitrary form in isotropic elastic media // J. of Elasticity. - 1976. - Vol. 6. - P. 73- 80.
5. Kiselev A. P., Parker D. F. Omni-directional Rayleigh, Stoneley and Scholte waves with general time dependence // Proc. Of the Royal Soc. London, Ser. A. -2010. - Vol. 466. - P. 2241-2258.
6. Демченко А. Т., Каплунов Ю. Д., Приказчиков Д. А., Алейников И. А. Применение асимптотической модели для волны Рэлея к задаче о подвижной нагрузке на упругой полуплоскости // Наука и техника транспорта. -2005. - Вып. 3. - С. 82-85.
7. Kaplunov J., Nolde E., Prikazchikov D. A. A revisit to the moving load problem using an asymptotic model for the Rayleigh wave // Wave Motion. - 2010. -Vol. 47. - P. 440-451.
8. Dai H.-H., Kaplunov J., Prikazchikov D.A. A long wave model for the surface elastic wave in a coated half space // Proc. Of the Royal Soc. London, Ser. A. -2010. - Vol. 466. - P. 3097-3116.
9. Приказчиков Д. А. Развитие асимптотических моделей поверхностных и интерфейсных волн // Вестн. НГУ им. Н.И. Лобачевского. - 2011. - Т. 4. -Вып 4. - С. 1713-1715.
10. Erbas B., Kaplunov J., Prikazchikov D.A. The Rayleigh wave field in mixed problems for a half-plane // IMA J. of Applied Mathematics. - 2012. -To appear.
11. Bratov V., Petrov Yu., Utkin. Transient near tip fields in crack dynamics // Science China. Physics, Mechanics & Astronomy. - 2011. - Vol. 54, N 7 - P. 1309-1318.
12. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функции комплексной переменной. - M.: Физматлит, 2010.
Статья поступила в редакцию 03.07.2012.