Постановка смешанных задач для упругой полуплоскости в рамках асимптотической модели для волны Рэлея Текст научной статьи по специальности «Физика»

МОДЕЛИРОВАНИЕ В МЕХАНИКЕ ТВЕРДЫХ СРЕД

УДК 539.3

Ю. Д. Каплунов, Д. А. Приказчиков

ПОСТАНОВКА СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УПРУГОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ В РАМКАХ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДЛЯ ВОЛНЫ РЭЛЕЯ

Обсуждаются смешанные задачи для упругой полуплоскости в рамках асимптотической модели для волны Рэлея. Использование эллиптико-гиперболического дуализма позволяет существенно упростить процедуру определения вклада поверхностных волн в общее динамическое поведение. В частности, для задачи о действии вертикального штампа и задачи о полуплоскости с гибкой нерастяжимой накладкой решения выражаются в терминах одной гармонической функции. В случае более общей смешанной задачи, когда на части поверхности заданы оба перемещения, приближенная формулировка содержит две гармонические функции.

E-mail: prikazchikovda@yandex.ru

Ключевые слова: смешанные задачи, асимптотическая модель, волна Рэлея, гармоническая функция.

Исследование приповерхностной динамики упругих тел является важной задачей механики сплошных сред, имеющей многочисленные инженерные приложения. Хорошо известно, что вблизи поверхности основной вклад в динамическую картину вносится волной Рэлея. Поскольку решение задачи в точной постановке учитывает результат распространения упругих волн всех типов, предпринимаются попытки выделить вклад поверхностной волны (см., например, [1, 2]). Асимптотическая модель волны Рэлея [2] была затем выведена в работе [3] с помощью более общего представления, использующего гармонические функции [4, 5]. Эта модель улучшила понимание свойств волны Рэлея, в частности выявила ее двойственную эллипти-ко-гиперболическую природу. При этом она позволила существенно упростить постановку задач приповерхностной динамики, включая задачи о подвижной нагрузке на упругой полуплоскости [6, 7]. Асимптотическая модель [3] была также распространена на случай трехмерного упругого полупространства [8]. Кроме того, получены соответствующие обобщения для интерфейсных волн Стоунли и Шольте—Гоголадзе [9].

В настоящей работе на основе асимптотической модели для волны Рэлея рассматриваются приближенные постановки смешанных

задач для упругой полуплоскости. Задача о действии вертикального штампа в рамках этой модели ранее рассматривалась в работе [10]. В развитие [10] обсуждается приближенная постановка задачи для упругой полуплоскости, часть поверхности которой покрыта гибкой нерастяжимой мембраной, а также для более общей смешанной задачи, для которой на части поверхности заданы оба перемещения. Показано, что в первой из упомянутых задач, как и в работе [10], поле волны Рэлея может быть выражено в терминах одной гармонической функции. Это является существенным упрощением по сравнению с традиционной формулировкой задачи. Рассмотрен пример, иллюстрирующий эффективность предлагаемого подхода. Во втором случае аналогичная скалярная постановка оказывается невозможной; для него решение выражается через две гармонические функции. Полученные результаты могут найти ряд интересных приложений, в частности при исследовании распространения трещин в упругих телах [11].

Асимптотическая модель для волны Рэлея в случае упругой полуплоскости. Приведем краткое описание асимптотической модели для волны Рэлея [3]. Рассмотрим упругую полуплоскость -да<х< а>, 0 <у <а>. В случае граничных условий, заданных в терминах напряжений,

УУ

y=0 = р(X, 0; &xy y=0 = Q(x, t)

(1)

затухание в глубь среды описывается псевдостатическими эллиптическими уравнениями

k2 = 0;

ду

дх2

(2)

д2ш ,2 дV

ду

2 + к2

дх2

= 0,

(3)

где (р и у/ - упругие потенциалы Ламе; кт =

Г С2 > 1-7,

V Vm у

1/2

постоян-

ные, т = 1,2 (с1, с2, сК — скорость распространения продольной, поперечной и рэлеевской волны соответственно).

Возможность представления поля волны Рэлея в терминах одной гармонической функции, установленная в работе [4], позволяет связать потенциалы соотношениями

2k 2k ^(х к2У, t ) = -—12 V (X k2У, t); k2У, t ) = -T~72l,'(X, klУ, t ^ (4)

1 + k2

1+kk

где знак * обозначает гармоническое сопряжение. Очевидно, что в силу линейности задачи можно отдельно рассматривать случаи нормальной {<2 = 0) и тангенциальной (Р = 0) нагрузки. Для нормальной

нагрузки распространение волны Рэлея вдоль границы полуплоскости описывается гиперболическим уравнением

öV 1 öV

dx1

cR dt2

.hü P 2juB '

(5)

где В = -к22) + ^(1 -к2)-(1 -к24)

численная в работе [3].

В случае тангенциальной нагрузки

упругая постоянная, вы-

сХ2

cR dt2 '

М О

2pB

(6)

Задача об упругой полуплоскости с накладкой в виде гибкой нерастяжимой мембраны. Рассмотрим смешанную задачу для упругой полуплоскости, часть которой покрыта гибкой нерастяжимой мембраной (рисунок). При этом будем считать, что часть поверхности под накладкой сдвигается в горизонтальном направлении, а нормальные напряжения отсутствуют вдоль всей поверхности. Обозначим часть поверхности под накладкой через £2, а остальную ее

часть — через ^ и = Щ. Тогда граничные условия примут вид

yy

= 0, x е R; <г

= Q(x, t), x е S1; u у=о = U(x, t), x е S2, (7)

У=0 - л ^ ху\у=0

где и — заданное перемещение поверхности под накладкой; < — тангенциальное напряжение на остальной части поверхности.

Упругая полуплоскость с накладкой

Используя приближенную формулировку для поля волны Рэлея, приведенную выше, получим в случае граничных условий (7)

öV 1 д2¥

dx2 cR dt2

1 + k2 Q 2ßB

■ Si;

1 -k22 1+k22 dy

y=0

= U(x, t), x 1

: S2.

(8)

Предлагаемая постановка смешанной задачи (3), (8) является существенным упрощением традиционной формулировки, поскольку исходная векторная задача плоской теории упругости сведена к скалярной задаче для гармонической функции.

В качестве примера изучим стационарное движение накладки и(х, I) = g (х - с1), предполагая для простоты < = 0. В результате придем к эллиптической задаче для сдвигового потенциала ^:

а V

су

д V д^2

ду

+ k 2 ^ 2 + k2

= 0,

= 0, S[,

бу

у=0

1+k2i 1 - k22

(9)

g (£), ^ S2

2

где % = х - с1 — подвижная координата; и — части поверхности, соответствующие и Б2 в подвижной системе координат.

Использовав первое уравнение системы (9) и выполнив замену переменной ц = к2у, перепишем эту систему в терминах функции

Получим

ff тт

1- k2 ду

(10)

д? ЪГ)2

= 0,

(11)

z{£0) = g(fr ^eS2.

Формулировка (11) соответствует классической смешанной задаче для уравнения Лапласа. Отметим также, что компоненты перемещений и напряжений выражаются через вспомогательную функцию X. Например, горизонтальное перемещение

и J_vJ_vi1 _ кА дх ду ^ '

1

Ку) ~~~2[xi^ к2у)

1+k2

(12)

В целях иллюстрации рассмотрим накладку, для которой g (£) = = ав~Ь (а, Ь > 0). Тогда

X (£ rj)= b Re {exp (-ак) (l - ф( ^TäPj] J,

(13)

где = £ + щ\ Ф(7) — функция ошибок [12].

Задача о действии штампа. Для полноты изложения приведем приближенную постановку задачи о действии вертикального штампа, ранее предложенную в работе [10]. В этом случае граничные условия имеют вид

ctJjh, = 0, х е R; о^

=0 = P(х, t), х е 51; v у=, = V(х, t), х е S2. (14)

Приближенная формулировка задачи для продольного потенциала ср:

^2 ^ = 0,

ду

дх2

ö2® 1 д2т 1+к22 „ —-----2P, хе51, у = 0;

дх2 cR dt2

дф _ 1 + к2 су ~ 1-к2

2<uB

2 V(x,t), х е 52, у = 0.

(15)

Векторная смешанная задача. Рассмотрим теперь более общую задачу, для которой на части поверхности заданы оба перемещения, т. е.

ху

■=о = Q(хtX стуу у=о = р(хtX х е 51;

у=0 = и(хt),

у=0 = V (x, tX х е 52.

(16)

Искомое решение можно представить в виде суммы решений двух подзадач, в первой из которых предполагается отсутствие тангенциальных нагрузок вдоль всей поверхности, в частности Q = 0, х е 51, а во второй — отсутствие нормальных напряжений вдоль всей поверхности, в частности Р = 0, х е 51.

Обозначим через (рР и уР решения для потенциалов, возникающие в первой задаче, а через и ^ — их аналоги в случае второй

задачи. При этом, очевидно, общее решение (16) выражается в виде суммы

В результате придем к приближенной векторной формулировке в терминах двух потенциалов ц>Р и ^ :

% + % = 0, ^= 0, ду дх ду дх

^ 1 =мР _ 1+к е хе^ у=0

дх2 4 д12 2^Б ' йх2 е2к д12 2^Б 1 ' (18)

2 % 2 % 2 ^ 2 _ Л О Л

—2--— =-2V(х,4 —^+-2—2=-2и(х,4 хе52, у = 0,

йх 1+А2 1-к2 дх 1+к 1-к^ 2

07 07

^р (х к2У, *) = ^ (x, к2У, *), % (x, КУ,')= "(х ^') ■

Заключение. Постановка смешанных задач для упругой полуплоскости с использованием асимптотической модели для волны Рэ-лея представляет существенное упрощение известного подхода, исходящего из динамических уравнений плоской задачи теории упругости. В частности, задачи о взаимодействии упругой полуплоскости с вертикальным штампом и гибкой нерастяжимой накладкой формулируются в терминах одной гармонической функции. Для более сложной смешанной задачи, рассмотренной в работе, приближенная постановка также оказывается проще традиционной, но при этом, однако, содержит уже две гармонические функции.

Исследования выполнены при поддержке гранта Президента РФ МК-3150.2012.8.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Achenbach J. D. Explicit solutions for carrier waves supporting surface waves and plate waves // Wave Motion. - 1998. - Vol. 28. - P. 89-97.

2. Каплунов Ю. Д., Коссович Л. Ю. Асимптотическая модель дальнего поля волны Рэлея в случае упругой полуплоскости // ДАН. - 2004. - Т. 395, № 4. - С. 482-485.

3. Kaplunov J., Zakharov A., Prikazchikov D. A. Explicit models for elastic and piezoelastic surface waves // IMA J. of Applied Mathematics. - 2006. -Vol. 71. - P. 768-782.

4. Chadwick P. Surface and interfacial waves of arbitrary form in isotropic elastic media // J. of Elasticity. - 1976. - Vol. 6. - P. 73- 80.

5. Kiselev A. P., Parker D. F. Omni-directional Rayleigh, Stoneley and Scholte waves with general time dependence // Proc. Of the Royal Soc. London, Ser. A. -2010. - Vol. 466. - P. 2241-2258.

6. Демченко А. Т., Каплунов Ю. Д., Приказчиков Д. А., Алейников И. А. Применение асимптотической модели для волны Рэлея к задаче о подвижной нагрузке на упругой полуплоскости // Наука и техника транспорта. -2005. - Вып. 3. - С. 82-85.

7. Kaplunov J., Nolde E., Prikazchikov D. A. A revisit to the moving load problem using an asymptotic model for the Rayleigh wave // Wave Motion. - 2010. -Vol. 47. - P. 440-451.

8. Dai H.-H., Kaplunov J., Prikazchikov D.A. A long wave model for the surface elastic wave in a coated half space // Proc. Of the Royal Soc. London, Ser. A. -2010. - Vol. 466. - P. 3097-3116.

9. Приказчиков Д. А. Развитие асимптотических моделей поверхностных и интерфейсных волн // Вестн. НГУ им. Н.И. Лобачевского. - 2011. - Т. 4. -Вып 4. - С. 1713-1715.

10. Erbas B., Kaplunov J., Prikazchikov D.A. The Rayleigh wave field in mixed problems for a half-plane // IMA J. of Applied Mathematics. - 2012. -To appear.

11. Bratov V., Petrov Yu., Utkin. Transient near tip fields in crack dynamics // Science China. Physics, Mechanics & Astronomy. - 2011. - Vol. 54, N 7 - P. 1309-1318.

12. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функции комплексной переменной. - M.: Физматлит, 2010.

Статья поступила в редакцию 03.07.2012.