АЛГОРИТМЫ ПРИМЕНЕНИЯ АППАРАТА НЕЧЕТКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ ДЛЯ УЧЕТА ФАКТОРОВ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ В ЗАДАЧАХ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ ЭЛЕКТРОУПРУГИХ СРЕД Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

ISSN 0136-4545

^Курнал теоретической и прикладной механики. №2(59) / 2017.

УДК 539.3:534.1

©2017. С.В. Сторожев, С.Б. Номбре, С.А. Прийменко

АЛГОРИТМЫ ПРИМЕНЕНИЯ АППАРАТА НЕЧЕТКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ ДЛЯ УЧЕТА ФАКТОРОВ

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ В ЗАДАЧАХ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ ЭЛЕКТРОУПРУГИХ СРЕД

Представлена методика использования альфа-уровневой формы эвристического принципа обобщения для получения нечетко-множественных оценок фазовых скоростей объемных и поверхностных связанных электроакустических волн в анизотропных электроупругих средах с неконтрастно заданными экспериментальными физическими характеристиками, а также изложены примеры ее применения.

Ключевые слова: пьезоактивные анизотропные деформируемые среды, объемные и поверхностные электроупругие волны, неконтрастные экспериментальные характеристики физико-механических свойств, алгоритмы применения альфа-уровневой формы эвристического принципа обобщения, нечетко-множественные оценки фазовых скоростей.

1. Введение. Совершенствование моделей и алгоритмов расчетного анализа процессов распространения электроупругих волн является сохраняющим актуальность научным заданием, связанным, в частности, с практикой конструирования и диагностики компонентов акустоэлектронных устройств [1-3, 6]. При этом одним из направлений повышения адекватности используемых моделей является эффективный учет факторов неопределенности, неконтрастности в описании их экспериментально определяемых экзогенных параметров, обеспечение в максимальной степени корректного учета эффектов влияния разброса в их значениях на эндогенные параметры моделирования.

В работах [4, 9-18] в качестве подхода к учету факторов неопределенности в ряде моделей волновой механики деформируемых сред, альтернативного применению методов стохастического анализа [7], рассматривается использование аппарата теории нечетких множеств. Специфика такого способа описания эффектов влияния неконтрастности экзогенных параметров рассматриваемых моделей, помимо прочего, выражается в снижении уровня требований к вероятностному статистическому характеру неопределенной экспериментальной исходной информации и в возможностях непосредственного оперирования с нечеткими параметрами моделей без перехода к их усредненными интегральным характеристикам [5].

В представляемой работе подход, связанный с разработкой алгоритмов применения аппарата нечетких вычислений для учета факторов неопределенности в задачах волновой механики, распространяется на некоторые проблемы теории электроупругих волн в пьезоактивных средах.

2. Получение нечетко-множественных оценок для фазовых скоростей сдвиговых поверхностных и объемных волн. Первой анализируемой

проблемой является получение нечетко-множественных оценок для фазовых скоростей объемных вертикально поляризованных электроакустических волн сдвигового типа в плоскости изотропии ОХ1Х2 пьезоэлектрической среды класса бшш гексагональной системы с линейной поляризацией вдоль вертикальной оси изотропии Охз при наличии разброса экспериментальных значений ее физико-механических параметров. В качестве направления распространения рассматриваемой волны без ограничения общности может быть выбрано координатное направление Ох1, а ее фазовая скорость Vf, согласно [1], описывается соотношением

Vf = (С44/р)1/2 (1 + С )1/2, С = 4^15 е-'е-1, (1)

в котором С44 - компонента матрицы упругих постоянных среды; е15 - компонента матрицы пьезоэлектрических модулей; ец - компонента матрицы диэлектрической проницаемости среды; р - плотность пьезоэлектрика.

В рамках реализуемого анализа влияния разброса в значениях физико-механических параметров среды на величину фазовой скорости Vf с применением нечетко-множественного подхода полагается, что неконтрастные характеристики среды С44, е15, ец, р описываются нормальными трапецеидальными нечеткими интервалами ё44, е15, ёц, р с функциями принадлежности Цс44, Рё1Б, Рёп характеризуемыми кортежами реперных точек

Ы = (г(1) г(2) г(3) г(4)) ^ = (е(1) е(2) е(3) е(4))

ё44 = (С44 , с44 , с44 , с44 ) , е15 = (е15 , е15 , е15 , е15 ),

её 1 = (е<$, е^, е<?), р = (р( 1), р(2), р(3), р(4)).

(2)

Нечеткая оценка для значений скоростей рассматриваемых объемных электроакустических волн Vf формируется на основе использования функционального отображения (1) с расширением области его определения на нечеткие подмножества универсального числового множества путем применения эвристического принципа обобщения в а-уровневой форме [8]. При использовании данного подхода в рассматриваемом диапазоне изменения неопределенных, имеющих разбросы экспериментальных значений физико-механических параметров пьезо-активной среды, вводятся разложения нечетко-интервальных величин С44, е15, ёц, р по множествам а-срезов

¿44 = У (с44оо С44а) = У ( 0 - а)С{Ц + СКС^ , СКС^ + (1 - а)^), «€[0,1] «€[0,1]

е-15 = и (е15о,ё15а) = и ((1 - а)е(115) + + (1 - а)е(145}),

«€[0,1] «€[0,1]

ёц = и (ьца,ьп«) = и ((!-а)4!}+ (! - «)441})> «€[0,1] «€[0,1]

р= и и ((1-«)р(1)+«Р(2},«Р(3) + (1-«)Р(4})-

«€[0,1] «€[0,1]

(3)

Искомая нечеткая оценка Vf также формируется в виде суперпозиции множеств а-уровня

Vf = U (Vfa,Vfa)- (4)

«€[0,1]

С учетом вытекающих из оценок

dvf /др = —(1/(2р)) • Vf < 0,

dvf /dei5 = (1/2) • вГ51(С/(1 + С))vf > 0, (5)

dvf/dei5 = —(1/2) • е-1(С/(1 + С))vf < 0,

dvf /dc44 = (1/2) • c-11(1/(1 + С))vf > 0,

свойств знакоопределенности частных производных от представления vf по водящим в него переменным во всей области определения, в рассматриваемом случае может быть использована модифицированная форма а-уровневого принципа обобщения [8], согласно которой

v = (с44а/Р«)1/2(1+47Г • е 15а -ёй1« • ¿Г4а)1/2>

(6)

Vfa = {CAAa/pJl,2{l + 4ТГ • ё!5а • ^1« ' Cua)^'2'

Второй анализируемой характеристикой является фазовая скорость поверхностной сдвиговой электроакустической волны Гуляева-Блюстейна в полупространстве пьезоэлектрика класса 6mm гексагональной системы, поверхность которого Хз = 0 граничит без акустического контакта с не обладающим пьезоэлектрическими свойствами диэлектриком, имеющем показатель проницаемости ео-Описывающее скорость рассматриваемой волны вдоль направления Oxi соотношение, в котором фигурируют ранее введенные характеристики пьезоактивной среды, имеют вид [1]:

vf = (С44/р)1/2(1 + С )1/2(1 — (ео/(ео + еп))2 (С/(1 + С ))2 )1/2- (7)

В процессе применения к данному соотношению а-уровневой формы принципа обобщения при дополнительном предположении об описании неопределенной характеристики ео нечетким трапецеидальным интервалом ео с кортежем

, (1) (2) (3) (4)ч Л

реперных точек ео = (ео е е е ) могут быть использованы оценки вида

dvf /др = —(1/(2р)) • vf < 0, dvf /део = vf (1 — (ео/(ео + еи))2(С/(1 + С ))2)"^

•(С2/(1 + С)2)(—(еоеп + еое?1 )/(ео + еп)4) < 0,

dvf /дС44 = vf (С44(1 + С ))-1 ((1/2) + +(1 — (ео/(ео + ец))2(С/(1 + С))2)-1(ео/(ео + еи))2С(1 + С)2 > 0, dvf /де15 = vf (2e15 )-1(С/(1 + С ))•

•(1 + 2(1 - (е0/(е0 + еп))2(С/(1 + С))2)-1 (1 + С)-1 > 0.

С их учетом для характеристик Vfal Vfa записываются представления

(С44«/Р«)1/2(1+С0)1/2-•(1 - (ёо«/(ёо„ + е11«))2(Са/(1 + С„))2)1/2,

(9)

V/« = 8ир_ (с44«/Р0)1/2(1 + С«)1/2' •(1 - (е0а/(еоа +^-11«))2(С«/(1 + С«))2)1/2,

где

С„ = 4тге15£^11а^41а, С« = 47гё15еп«сГ4«- (10)

Эти представления используется в вычислительном алгоритме с заданием схемы варьирования значений в еца пределах е11а < еца < ёца. При численной реализации описанных алгоритмов количество рассматриваемых а-уровней выбирается из соображений обеспечения необходимой точности вычислений в описании функций принадлежности для нечетко-множественных оценок фазовых скоростей.

В качестве примеров численной реализации описанной методики анализируются процессы распространения рассматриваемых объемных и поверхностных волн в пьезокерамических телах из титаната бария в рамках гипотезы о разбросе ±2% для в максимальной степени достоверных значений физико-механических характеристик и о разбросе ±5% для предельно допускаемых отклонений в указанных значениях. Соответственно данному предположению для реперных точек нечетких трапецеидальных интервалов С44, 615, ё 11, ё0, р задаются значения

с44) = 4.180 • с„ с424) = 4.312 • с„ с^ = 4.448 • с*, с444) = 4.620 • с*;

е15 = 10.830 • е*, еЩ = 11.172 • е*, е{3 = 11.628 • е*, е(4 = 11.970 • е*;

е Ц = 798.0 • е*, еЦ = 823.2 • е*, е(131) = 856.8 • е*, е (141) = 882.0 • е*;

е01) = 1.0 • е*, е02) = 1.0 • е*, е03) = 1.02 • е*, е04) = 1.05 • е*; р(1) =5.719 • р*, р(2) = 5.899 • р*, р(3) =6.140 • р*, р(4) =6.321 • р*; с* = 1010 Па, е* = 1.0 кл/м2, е* = 8.85 • 10-12ф/м, р* = 103кг/м3.

Функции принадлежности Цс44, Ре1Б, Ц-ё11, Цр для нечетко-множественных физико-механических характеристик соответственно представлены на рис. 1- 4.

Полученные на основе реализации описанного алгоритма нечетко-множественные оценки для значений скоростей объемных сдвиговых акустоэлектриче-ских волн и поверхностных акустоэлектрических волн Гуляева-Блюстейна в рассматриваемом случае соответственно отражены на рис. 5 и рис. б. Они представ-

Рис. 1. Функция принадлежности 44

Рис. 2. Функция принадлежности

Рис. 3. Функция принадлежности

Рис. 4. Функция принадлежности ^р

Рис. 5. Функция принадлежности для нечетко-множественной оценки скорости объемных акустоэлектрических волн 44

Рис. 6. Функция принадлежности для нечетко-множественной оценки скорости поверхностных акустоэлектрических волн Гуляева-Блюстейна

лены функциями принадлежности, описывающими степень возможности принятия различных значений величиной Vf при задаваемом характере разброса в экспериментальных значениях физико-механических параметров среды.

3. Заключение. Таким образом, на базе применения аппарата теории нечетких множеств с использованием эвристического принципа обобщения предложена методика получения нечетких оценок для скоростей объемных и поверхностных акустоэлектрических волн в пьезоактивных средах, применимая в практике конструирования и диагностики компонентов акустоэлектронных устройств.

1

2

3

4.

5.

6.

7

8.

9.

10.

11

12

13

14

15

16

Балакирев М.К. Волны в пьезокристаллах / М.К. Балакирев, И.А. Гилинский. - М.: Наука, 1982. - 239 с.

Бардзокас Д.И. Распространение волн в электромагнитоупругих средах / Д.И. Бардзокас, Б.А. Кудрявцев, Н.А. Сенник. - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 336 с.

Бугаев А. С. Устройства на поверхностных акустических волнах / А.С. Бугаев, В.Ф. Дмитриев, С.В. Кулаков. - Санкт-Петербург: ГУАП, 2009. - 187 с.

Волчков В.В. Нечеткие оценки для скоростей поверхностных волн релеевского типа в упругом полупространстве / В.В. Волчков, С.В. Сторожев // Механика твердого тела. -2016. - Вып. 46. - С. 83-90.

Дилигенский Н.В. Нечеткое моделирование и многокритериальная оптимизация производственных систем в условиях неопределенности: технология, экономика, экология / Н.В. Дилигенский, Л.Г. Дымова, П.В. Севастьянов. - М.: Издательство Машиностроение - 1, 2004. - 397 с.

Дьелесан Э. Упругие волны в твердых телах. Применение для обработки сигналов / Э. Дьелесан, Д. Руайе. - М.: Наука, 1982. - 424 с.

Ломакин В.А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел / В.А. Ломакин. - М.: Наука, 1970. - 139 с.

Ротштейн А.П. Моделирования и оптимизация надежности многомерных алгоритмических процессов / А.П. Ротштейн, С.Д. Штовба, А.Н. Козачко. - Винница: УН1ВЕРСУМ, 2007. - 215 с.

Сторожев С.В. Нечеткие оценки некоторых характеристик процессов распространения, отражения и преломления волн деформаций / С.В. Сторожев // Современные тенденции развития математики и ее прикладные аспекты - 2015: Материалы IV Международной научно-практической интернет-конференции (25 мая 2015г.). - Донецк: ДонНУЭТ, 2015. - С. 60-62.

Storozhev S. V. Uncertainty in the models of the theory of volume elastic waves through the use of the theory of fuzzy sets // Modeling and information technologies: selected papers of the international scientific school "Paradigma"(Summer-2015, Varna, Bulgaria) / Compiling editor dr. sc., prof. O. Ja. Kravets. - Yelm, WA, USA: Science Book Publ. House, 2015. - P. 45-52. Сторожев В.И. Нечетко-множественные оценки в моделях теории объемных волн деформаций / В.И. Сторожев, С.В. Сторожев // Механика твердого тела. - 2015. - Вып. 45. -С. 103-111.

Сторожев С.В. Нечеткие оценки для характеристик нелинейных вторых гармоник объемных волн сдвига в трансверсально-изотропной упругой среде / С.В. Сторожев, С.Б. Ном-бре // Вестник Донецкого национального университета. Серия А. Естественные науки. -2015. - № 2. - С. 38-43.

Сторожев С.В. Нечеткие оценки для фазовых скоростей нормальных упругих волн в ор-тотропном слое с проскальзывающими закреплениями граней / С.В. Сторожев, С.Б. Ном-бре // Донецкие чтения 2016. Образование, наука и вызовы современности: Материалы I Международной научной конференции (Донецк, 16-18 мая 2016 г.). - Т 1. Физико-математические, технические науки, экология. - Ростов-на-Дону: Изд.-во ЮФУ, 2016. -С. 43-46.

Сторожев С.В. Модель нечеткого оценивания значений фазовых скоростей нормальных упругих волн в мембранированных ортотропных пластинах / С.В. Сторожев, С.Б. Номбре // История и методология науки: Международная научно-методическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А.И. Бородина (Донецк, 31 марта 2016 г.). -Донецк: Изд-во ДонНУ, 2016. - С. 81-83.

Сторожев С.В. Нечеткие оценки скоростей локализованных упругих волн в полубесконечных средах / С.В. Сторожев // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов XI Всероссийской школы-семинара (пос. Див-номорское, 23-27 мая 2016 г.). - Ростов-на-Дону: Издательство Южного федерального университета, 2016. - С. 125.

Сторожев С.В. Нечеткие оценки для характеристик нормальных волн деформаций в

поперечно-анизотропном упругом слое / С.В. Сторожев // Современные проблемы механики сплошной среды: тезисы докладов XVIII Международной конференции (Ростов-на-Дону, 7-10 ноября 2016 г.) - Ростов-на-Дону: Издательство Южного федерального ун-та, 2016. - С. 148.

17. Сторожев С.В. Нечеткие оценки для характеристик нормальных волн деформаций в поперечно-анизотропном упругом слое / С.В. Сторожев // Современные проблемы механики сплошной среды: труды XVIII Международной конференции (Ростов-на-Дону, 710 ноября 2016 г.): в 2 т. - Ростов-на-Дону: Издательство Южного федерального ун-та, 2016. - Т. 2. - С. 200-204.

18. Storozhev S. V. Fuzzy evaluations for kinematic characteristics of nonlinear second harmonics of shear waves in transversely isotropic medium / Storozhev S.V. // Nonlinear dynamics - 2016. Proceedings of 5-th International conference (September 27-30, 2016) / National technical university «Kharkov polytechnic institute» at al. - Kharkov, 2016. - P. 509-514.

S.V. Storozhev, S.B. Nombre, S.A. Priymenko

Algorithms of fuzzy calculations for description of uncertainty factors in the problems of wave mechanics of electroelastic media.

А technique for using the alpha-level form of the heuristic generalization principle to obtain fuzzy-multiple estimates of the phase velocities of volume and surface coupled electroacoustical waves in several types of anisotropic electroelastic media with non-contrasted experimental physical characteristics is presented and a number of examples of its application are descript.

Keywords: anisotropic deformable media with complicated physical and mechanical properties, bulk and surface electroelastic waves, non-contrast experimental characteristics of properties, fuzzy-set estimates of phase velocities, algorithms for using the alpha-level form of the heuristic generalization principle..

ГОУ ВПО "Донбасская национальная академия строительства Получено 30.10.17

и архитектуры", Макеевка

ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк CergeyS@i.ua