НОВЫЕ ТИПЫ ПОВЕРХНОСТНЫХ АКУСТОЭЛЕК-ТРИЧЕСКИХ ВОЛН И АКУСТИЧЕСКИЙ ПЕРЕНОС ЗАРЯДА В КРИСТАЛЛАХ GAAS Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

УДК 621.382

Новые типы поверхностных акустоэлектрических волн и акустический перенос заряда в кристаллах СаАэ

А.К. Мороча

Национальный исследовательский университет ««МИЭТ»

Впервые аналитически показано, что в базисной плоскости кристаллов ОаЛ8 могут распространяться продольные и поперечные поверхностные акустоэлектрические волны, которые, в отличие от известных поперечных волн Гуляева-Блюстейна, локализованы в приповерхностном слое толщиной порядка длины волны. Поля механических смещений и электрического потенциала волны сдвинуты по фазе на л/2. Вектор электрического поля волны поляризован по кругу в сагиттальной плоскости. В кристаллах ОаЛ8 рассмотрен эффект акустического переноса заряда волновыми пакетами акустоэлектрических волн нового типа.

Ключевые слова: поверхностная акустоэлектрическая волна, фазовая скорость, сагиттальная плоскость, параметр распространения, акустический перенос заряда, арсенид галлия.

Эффект акустического переноса заряда (АПЗ) с дрейфовой скоростью, равной скорости звука, широко применяется в микроэлектронных устройствах обработки электромагнитных сигналов гигагерцового диапазона. Арсенид галлия (ОаЛв) - наиболее подходящий материал для создания эффективных каналов АПЗ и управляющей ими элементной базы акустоэлектроники.

При оценке параметров переноса возникают трудности, связанные, прежде всего, с невозможностью аналитического решения задачи о распространении в кристаллах поверхностных акустоэлектрических волн релеевского типа. Необходимые для таких оценок акустоэлектрические параметры (модули упругости, пьезомодули и коэффициенты пьезоэлектрической связи) практически невозможно связать с определенным типом сложных релеевских волновых мод, существование которых предсказывается только численными решениями электромеханической задачи.

Известно лишь одно простое аналитическое решение, найденное Гуляевым и Блю-стейном [1]. Волны Гуляева-Блюстейна - это поперечные акустоэлектрические волны, у которых поле механических смещений проникает в кристалл на глубину нескольких сотен и тысяч длин волн.

Цель настоящей работы - показать, что в кристаллах ОаЛБ могут распространяться поперечные и продольные поверхностные акустоэлектрические волны нового типа, которые имеют следующие свойства:

- акустоэлектрическое поле волны локализовано в приповерхностном слое порядка длины волны;

© А.К. Мороча, 2014

- эти волны могут распространяться в базисной плоскости (100) в направлениях {100}и{110};

- вектор напряженности электрического поля волны поляризован по кругу в сагиттальной плоскости;

- комплексные амплитуды механического смещения и электрического потенциала волны пропорциональны друг другу и сдвинуты по фазе на п/2 .

Общие уравнения электромеханической задачи. Воспользуемся фундаментальной системой уравнений электромеханической задачи для пьезоэлектрика:

Р"г ,

Т = С1]Ыиы + еку V к ф,

А = -505у V; ф + екуЫ^, V1А1 = 0 (/, ] = 1, 2, 3).

(1)

Здесь р - плотность пьезоэлектрика; и^ - /-я компонента вектора смещения единицы объема пьезоэлектрика; ык, = (ды, / дхк + дык/ дх,) / 2 — тензор деформаций; V, = д/дх,; Т и СуЫ — тензоры напряжений и модулей упругости; ек — тензор пьезомодулей;

А, — /-я компонента вектора индукции электрического поля волны с потенциалом ф(г) .

Систему уравнений (1) перепишем в виде замкнутой системы четырех уравнений для нахождения трех компонент вектора смещения и(г) и потенциала ф(г):

д V

Р . С,т1т ^ ^ ет1 ^ ^

д Г д xi д хт д xi дхп

= 0.

д ы.

д2 ф

" т

Ч ""п

д2ы

дх, дхп

- 5 0 5 г]

д2ф

(2)

дх дх

, }

Для кристаллов кубической сингонии матрица 6x6 компонент тензора модулей упругости СМт имеет вид

С

,к1т

С С11 С12 С12 0 0 0 1

С12 С11 С12 0 0 0

С12 С12 С11 0 0 0

0 0 0 С44 0 0

0 0 0 0 С44 0

V 0 0 0 0 0 С44 У

а галлия С11 = 1,18-1011 Нм 2

С44 = 0,59 -1011 и/м2 [2].

Матрица 3 х 6 компонент тензора пьезомодулей имеет вид

0 1

'Цк

(0 0 0 е14 0

0000 0000

е14 0

0 е

14 У

(3)

С12 = 0,54 -1011 и/м2

(4)

Матрица тензора диэлектрической проницаемости для кристаллов кубической симметрии имеет диагональный вид

1Ы1 = 6 5*. (5)

Для кристалла арсенида галлия е14 = 0,16 Кл/м, 6 = 9,73.

Поверхностные акустоэлектрические волны в кристалле ояаб. Рассмотрим решение системы (2), соответствующее поверхностной акустоэлектрической волне. Решение в форме поверхностной волны, распространяющейся в произвольном направлении в базисной плоскости (100) , имеет вид

и(г;Г) = и(щ (г;г), ы2(г^), 0),

где

щ (г; г) = и0г-ехр / [(к1 х1 + к2х2) - ш г] • ехр акх (/ = 1, 2);

(6)

ф(г;г) = ф0ехр/[(к1х1 +к2х2) -шг]• ехр акх3; а - параметр распространения; Яе а > 0 и х3 < 0 .

Ось х3 направлена вдоль внешней нормали к плоскости (100), в которой волна (6) распространяется в направлении волнового вектора к( кп1, кп2 ).

Если подставить щ (г; г) и ф(г; г) в систему (2) и использовать свойства симметрии матриц (3-5), то вместо системы (2) получим систему четырех однородных линейных уравнений для нахождения комплексных амплитуд и01, и02, и03 и ф0 . Эта система имеет решение, если ее определитель равен нулю:

( Сп - С 44) п 12+С44(1 - а2) - ру 2 (С12 + С 44) п 1 п 2 - / а п 2 е14

(С12 + С 44) п 2 п 1 (С11 - С44) п 2 + С44 (1 - а2) - ру2 - I а п 1 е14

- / а п 2 е14 - / а п 1 е14 88 0(1 - а2)

= 0. (7)

В направлении [100] п1 = 1, п2 = 0 , равенство (7) существенно упрощается:

( С11 - С 44 ) п 12 + С 44 (1 - а 2) - Ру

0

(С12 + С 44) п 2 п 1 (С11 - С44) п 2+С 44(1 - а2) - ру2

0 -1 а п 1 е14

0

-1 а п 1 е14 880(1 - а2)

= 0. (8)

2

При фиксированном а равенство (8) равносильно двум линейным уравнениям относительно у2 . Первое уравнение соответствует продольной волне и(и (г;г),0,0) , которая не является пьезоэлектрической:

(С11 - С44 ) + С44 (1 - а2) - ру2 = 0.

Второе уравнение имеет вид

[(1 - а2) - у2/у?] + л2а7(1 - а2) = 0, (9)

Л 2 - квадрат коэффициента электромеханической связи.

Уравнение (9) соответствует чисто поперечной акустоэлектрической волне с вектором смещения и (0, и(х1, х3,1), 0)

и(хь х3; ^ = и0ехр ¡к (х1 — • ехр акх3 (10)

и потенциалом

ф(х1,х3,г) = ф0ехр¡к(х1 — V/) ехр акх3. (11)

Вектор электрического поля Е(Е1,0, Е3) волны расположен в сагиттальной плоскости. Комплексные амплитуды компонент вектора Е равны:

Е01 = ^^ Е03 = —«кФ0 . (12)

Отношение Е03/Е01 =— г а, поэтому электрическое поле волны эллиптически поляризовано в сагиттальной плоскости. Фазовая скорость акустоэлектрической волны связана с параметром распространения следующей зависимостью:

V2 = у2(1 — а 2)[1 + п2а2/(1 — а2)2]. (13)

Волны нового типа и волны Гуляева-Блюстейна. Акустоэлектрическая волна может существовать лишь в том случае, если она удовлетворяет следующим граничным условиям на свободной поверхности:

- акустоэлектрические напряжения должны отсутствовать:

а1э =а2э =азэ = 0; (14)

- нормальная составляющая вектора электрической индукции должна быть непрерывной:

х 0; (15)

А

х3—+0 = А

- электрический потенциал акустоэлектрической волны должен быть непрерывным на поверхности пьезоэлектрика:

ф| = ф| х - —о. (16)

х3—+0 хз— 0

Требование непрерывности электрического потенциала даже на идеальной границе пьезоэлектрик-вакуум (при отсутствии поверхностных состояний) справедливо, если можно пренебречь контактной разностью потенциалов. Барьер на границе контакта всегда индуцирует двойной электрический слой, на котором потенциал терпит разрыв. Отметим, что для акустоэлектрических волн нового типа контактной разностью потенциалов пренебрегать нельзя и условие непрерывности потенциала не имеет места.

Скалярный потенциал электромагнитного поля в вакууме над пьезоэлектриком

фВ(х3 > 0) удовлетворяет волновому уравнению

в

^-ф- = С2 А фв

дг2

с граничным условием

0, (17)

фв

хз -

где с — скорость света.

Граничному условию (16) удовлетворяет частное решение волнового уравнения в виде «медленной» поверхностной электромагнитной волны, распространяющейся в вакууме над пьезоэлектриком ( х3 > 0 ) со скоростью звука V :

Ф(х15х3;= фоехр ¡к (х -V?)• ехр(-а0кх3). (18)

При этом параметр распространения а0 связан с фазовой скоростью v соотношением

л 2/ 2x1/2

а 0= (1 - V /С ) .

Поэтому можно считать а0 = 1.

Частные решения (16), (17) и (18) не удовлетворяют перечисленным граничным условиям. Для того чтобы удовлетворить этим условиям, воспользуемся выражением (15). Из него можно найти два значения а, соответствующих одному и тому же значению фазовой скорости волны V. Если не учитывать влияния пьезоэффекта на величину фазовой скорости волны, то можно пренебречь слагаемым в квадратных скобках, и с точностью до величины порядка уравнение (9) будет иметь два корня:

а2 = 1 - а2 = 1. (19)

Из условия равенства нулю волнового определителя (8) найдем связь между комплексными амплитудами ы0 и ф0 для каждого из корней уравнения (9):

— ¡ае14ы02 + 80е (1 — а2)ф0 = 0. (20)

Используя граничные условия (14) - (16), определим параметр распространения а. Поперечная волна (16) не создает напряжений а13 и а33, поэтому граничное условие (14) сводится к одному уравнению

ды2 дф

а23 = ^44 "7 е14 Т = 0

дх3 дх1

или

а С44ы02 + ¡е14ф0 = 0. (21)

Для того чтобы удовлетворить всем трем граничным условиям и решениям (19), запишем общее решение для смещения ы2 и потенциала ф в виде

ы(х1, х3; /) = (ы01 ехр акх, + ы02 ехр к%) • ехр ¡к(х1 - V/), ф(х1зх3;/) = (ф01 ехр а1кх3 + ф02 ехр кхз) • ехр ¡к(х1 - V/), где в соответствии с (20)

¡ее0(1 - а2) .. 1 Ыс =--^-^ •Фс- (/ = 1,2).

а; е14

Поскольку а2 = 1, комплексная амплитуда ы02 = 0, но ф01 ^ 0, общее решение (22) для механического смещения можно записать в виде

ев (1 -а2)

ы(х1зх3;/) = -I ——-— • ф01 ехр а1кх3 • ехр ¡к(х1 - V/). (23)

а, е

144

В вакууме над полупространством акустоэлектрическая волна описывается уравнением (18). Комплексные амплитуды ф01, ф02 и ф° должны быть найдены из перечисленных выше граничных условий.

Из условия равенства нулю акустоэлектрического напряжения о23 (21) на свободной поверхности для волны (23) следует

(а2 -1 + Л2)фс1 +Л2ФС2 = 0 • (24)

Условие непрерывности нормальной составляющей вектора электрической индукции D (15) равносильно уравнению

s(2a2 — 1)ф01 + sa^02 + = 0. (25)

Из условия непрерывности акустоэлектрического потенциала (16) следует

Ф01 +Ф02 — ФО = 0 > (26)

а из равенства нулю определителя системы уравнений (24) - (26) - уравнение для параметра распространения а1 :

(1 — a2)(sa2 +а1 — sn 2) = 0 . (27)

Положительный корень а = 1 должен быть отброшен, так как при нем амплитуда механического смещения в равенстве (23) обращается в нуль. Другой положительный корень уравнения (27) равен: а1 = вц2. Подставляя а2 в формулу (19), найдем фазовую

V2 4

1 — s ц • Это скорость известной поперечной волны

Гуляева-Блюстейна.

Если подставить а в уравнение (24) и пренебречь малыми по сравнению с единицей величинами ц2 и а2 « ц4, то получим ф01 + ц2ф02 = 0 • Это уравнение вместе с уравнением (26) позволяет выразить комплексные амплитуды ф01 и ф02 через ф° - амплитуду электрического потенциала «медленной» поверхностной электромагнитной

2 в

волны, распространяющейся в вакууме над пьезоэлектриком: ф01 = —ц ф0, Ф02 = (1 + Ц2)Фо • Тогда уравнения акустоэлектрической волны в пьезоэлектрике (23) можно переписать в виде

u(x3; t) = —iss0n -ф° exp a1kx3 • exp ik(x1 — vt),

a1e14 (28)

ф(х1зx3;t) = ф°[—ц2ехрa1kx3 + expkx3)]• expiq(x1 — vt), (x3 <0).

Очевидно, во втором выражении можно пренебречь слагаемыми, линейными по ц2 . Объединяя выражения (28) с выражением (17), можно записать уравнение акустоэлек-трической волны во всем пространстве в виде

ф(х1, х3; ^) = ф ехр (-кх3), (х3 > 0)

ф(х1, х3; ^) = ф • ехр кхъ ), (х3 < 0) > • ехр ¡к (х1 - V ^), (29)

ы(х1, х3; ^) = ы ехр а1кх3, (х3 < 0)

где ы = -¡(е14/ а1С44 )ф.

Акустоэлектрическая волна (29) характеризуется тем, что ее электрическое поле локализовано в приповерхностном слое толщиной порядка длины волны, а акустическое поле волны проникает в глубь полупространства на расстояние нескольких сотен длин волн.

Поперечные акустоэлектрические волны нового типа. Граничное условие непрерывности электрического потенциала (16) имеет место при отсутствии двойного электрического слоя. Однако даже на идеальной поверхности, где нет локализованных поверхностных состояний, вследствие существования потенциального барьера пьезоэлектрическое поле индуцирует осциллирующие электрические заряды противоположных знаков по обе стороны от поверхности раздела. Электрический потенциал перестает быть непрерывным вследствие образования двойного электрического слоя. Непрерывность вектора электрической индукции сохраняется. В этом случае может существовать поперечная акустоэлектрическая волна (10) нового типа. Граничные условия отсутствия механических напряжений и непрерывности нормальной составляющей вектора электрической индукции для этой волны имеют вид

аС44ы02 + ¡е14ф0 = 0,

¡е14Ы02 -ав0£ф 0 -в0фв = 0 .

К этим двум уравнениям добавим уравнение (20). В результате получим замкнутую систему трех однородных уравнений. Она имеет решение, если

а2 = 1 -л2. (30)

Полученная формула для параметра распространения соответствует поперечной акустоэлектрической волне, которая в отличие от волны Гуляева-Блюстейна локализована в приповерхностном слое с толщиной порядка длины волны.

Если равенство (30) имеет место, то комплексные амплитуды смещения и потенциала волны имеют вид ы02 = ¡(е14/С44)фв, ф0 = в-1фв .

Подставляя а2 = 1 - л2 в выражение (12), получим V = vt. Как и следовало ожидать,

фазовая скорость акустоэлектрической волны совпадает с фазовой скоростью поперечной объемной акустической волны в направлении [100], электрический потенциал акустоэлектрической волны в пьезоэлектрике в в раз меньше, чем в вакууме. Скачком потенциала 5ф = ф0 - фв = ——-)ф° пренебрегать нельзя, как это неявно делалось при

в

использовании условия непрерывности электрического потенциала.

Продольные акустоэлектрические волны нового типа. В направлении [110]

(П = п2 = П = 0) равенство (7) принимает вид

}(Сп + С44) - С44 а2 - р V2 {(С12 + С44) - ¡а еи/42

С12 + С44) С11 + С44) - С44а2 - рv2 -¡ае14/42

- ¡ае14 /42 - ¡ае14 /л/2 ее0(1 - а2)

Введем следующие обозначения для элементов определителя:

А(а2) = 1(С11 + С44) - С44 а2 - ру2,

С — "2(С12 + С44)-

Тогда

(31)

А(а2) С ¡42

С А (а2) ¡42

- /ае14 ¡л/2 - /ае14 ¡>/2 88 0 (1 -а2)

и определитель обращается в нуль, если

А(а2) = С,

(А(а2) + С) + С44а V ¡(1 - а2) = 0.

= 0 (32)

(33)

Система линейных уравнений для комплексных амплитуд, соответствующая определителю (32), имеет вид

^Аи 10 ^^Си20 -/ае14 ¡42 ф0 = 0,

Си10 + Аи20 - /ае14/л/2ф0 = 0, (34)

- 1аеХ4/42щ0 -/ае14/42и20 +ев0(1 -а2)ф0 = 0.

Если система (34) имеет решение, то первые два уравнения линейно независимы. Из них можно выразить комплексные амплитуды и10 и и20 через комплексную амплитуду ф0. Определитель системы

^А ию ^ Си20 =/ае14 ¡42 ф0,

I— (35)

Си10 + Аи 20 = /ае14/л/2 ф0

не равен нулю, если А2 - С2 Ф 0 или А Ф С и А Ф- С . Поэтому первое из уравнений (33) не может быть использовано для нахождения фазовой скорости волны. Второе -это квадратное уравнение, из которого можно найти фазовую скорость акустоэлектри-ческой волны как функцию параметра распространения а, а затем определить этот параметр из граничных условий.

Решение системы (35) имеет вид

/л/2ае14ф0 /808л/2(1 - а2) ф0 _ ,Л

ию = и20 = , 2, 0 =--0---—. (36)

А(а2) + С ае.

14

Условие отсутствия напряжений (14) на поверхности пьезоэлектрика равносильно двум уравнениям

а31 = С44и13 - е14Е2 = 0 , ^^

а32 = С44и23 - е44Е1 = 0 ,

где Е1 = - дф/дх1 , Е2 = - дф/дх2 - компоненты вектора напряженности электрического поля волны.

Используя выражения для компонент вектора смещения и электрического потенциала волны (6), распространяющейся в направлении [110], запишем граничные условия (37) через соответствующие комплексные амплитуды:

а31 = аС44Ы01 + (¡/л/2) ^14ф0 = ^

(38)

а32 = аС44Ы02 + (¡Л/2) е14ф0) = 0 .

Волна пьезопотенциала в вакууме над пьезоэлектриком, удовлетворяющая волновому уравнению (17), имеет вид

фв(г;/) = фвехр¡[д(х1 + х2)/л/2-ш• ехр(-цх3) (х3 >0). (39)

Нормальная составляющая вектора электрической индукции волны равна:

В3 = -в0в дф/ дх3 + е44 (ды1 / дх2 + ды2 / йх1). Условие ее непрерывности

- Ж 0 дф/дхз\^ + е44(ды^дх2 + ды2/дх1)^ = - в0 дфв/дх3х3

равносильно уравнению

аее 0ф0 + (¡1 е14 (ы01 + Ы02) =е0фв. (40)

— г

Перейдем в систему координат, в которой направление оси х совмещено с направлением [110]. Вектор механического смещения вдоль этого направления имеет только одну продольную компоненту u( х, t) = u(u( х, t),0,0), где

u(х, t) = u0 exp i(qx -wt) exp aqx3 (х3 < 0); u0 = (u01 + U02VV2.

Аналогичный вид имеют уравнения для волн потенциалов (6) и (39):

ф(х, t) = ф0 exp i(qx -wt) exp aqx3 (х3 < 0),

фВ (х, t) = ф^ exp i(qx -wt) exp aqx3 (х3 > 0).

Уравнения (38) и (40) в системе координат, в которой ось х совпадает с направлением распространения волны, имеют вид

aC44u0 + /е14ф0 = 0,

ie14u0 - ass 0ф0 -в0фВ = 0.

Вместо условия непрерывности потенциала нужно добавить уравнение -iae14u0 +s0s(1 -a2^0 = 0, следующее из равенства нулю волнового определителя (31). Полученная система трех уравнений с точностью до замены поперечного смещения на продольное совпадает с той, которая соответствует поперечной волне нового типа в направлении [100]. Условием существования ее решения также является формула (30) для параметра распространения.

Для того чтобы найти фазовую скорость волны, нужно подставить a = 1 во второе из уравнений (33). Тогда, пренебрегая пьезоэффектом, получим

v/ =V(C 11 + C12 + 2C44)/2P , что и следовало ажадатц так как пьезоэффект ничтожно

мало влияет на величину фазовой скорости. Подставляя в эту формулу численные зна-

чения модулей упругости (4) для GaAs и величину его плотности, убеждаемся, что у1 лишь на несколько процентов отличается от экспериментально найденной величины 2864 м/с [3, 4].

Акустоэлектрический перенос зарядов. При распространении поверхностной акустоэлектрической волны в пьезоэлектрике не учитывалось присутствие свободных носителей в приконтактной области. В пьезополупроводнике, каким является GaAs, свободные электроны могут переноситься волновыми пакетами вдоль поверхности с дрейфовой скоростью, равной фазовой скорости волны. Этот эффект получил название акустоэлектрического переноса заряда [4-6].

Учет диффузии и дрейфа свободных носителей существенно усложняет решение электромеханической задачи. Пусть п - средняя концентрация свободных электронов в

приповерхностном слое; уравнение для волны электронной плотности, индуцированной акустоэлектрическим полем, запишем в виде

8п(х1, х3; ?) = Ъф • ехр акх3) • ехр /к(х1 - у ?), (х3 < 0). (41)

Направим постоянное внешнее электрическое поле Е0 вдоль направления распространения волны. Тогда компоненты волны плотности тока (с учетом диффузии) можно записать как

дф „ _ дЪп Л = -а--е уг] Ъп + еип-,

•У 1 и П "

дхх дх

1 1 (42)

дф _ дЪп 7 = -а — + еБп-.

дх3 дх3

Здесь а = епцп - средняя удельная электропроводность; цп - подвижность электронов; у и = -ЦпЕ0 - дрейфовая скорость. В первом равенстве опущен нелинейный член « фЪп .

При учете свободных носителей к уравнению Кристофеля должны быть добавлены уравнение непрерывности тока и уравнение Пуассона. В результате получим замкнутую систему трех уравнений

^ д2ф

С^У и + =Ри,

дх1дх3

о дЪп о

- аУ2ф - е уи — + еБпУ Ъп = еЪп, (43)

дх1

д2и

- 808У ф + е14 —— = -еЪп.

дх1дх3

Система (43) сводится к трем однородным уравнениям для комплексных амплитуд механического смещения и , электрического потенциала ф и концентрации Ъф :

2 2 ^ [С44(1 -а )-ру ]и + /ае14~ = 0,

^ 2 ^ / 2 /ае14и + 808(1 - а )~ + (е/ к ) Ъп = 0, (44)

ак (1 -а2 )ф + е [/ у у-кБп (1 -а2)] ЪФ = 0.

В последнем уравнении (44) введен параметр дрейфа у = 1 - V V. Из этого уравнения следует связь между комплексными амплитудами волн зарядовой плотности и электрического потенциала волны:

еб~ = ¡к(1 -а2)(а , (45)

у + ¡шт°(1 -а )

где = Вп! V2 - характерное время диффузии.

Подставив выражение (45) во второе уравнение системы (43), найдем связь между комплексными амплитудами механического смещения и электрического потенциала волны:

ф =--7--г, (46)

¡аеи ы в0в(1 -а2) ¥ (ш, у)

где ¥(ш, у) = Яе ¥(ш, у) + i 1т¥(ш, у) - комплексная функция экранирования пьезоэлектрического поля волны;

™ т-/ 4 1 шт°(1 -а2)

Яе¥Ош у) =1 +-г 2° 2 2П

штц[у +ш т°(1 -а ) ]

у

1т¥у) = —Г^ 2 2л

штДу +ш т°(1 -а ) ]

В выражениях (47) тц =80е/а0 - максвелловское время релаксации.

Равенство нулю определителя системы (44) снова приводит к выражению (19) с

2 *2

точностью до замены л на л :

Л *2 (ш, у) = л2 / ¥ (ш, у).

Вид определителя граничных условий (42) не изменяется при учете токов проводимости, если заменить параметр распространения а2 на а*2 = 1 -л*2. Подставляя л*2 в выражение (19), получим закон дисперсии для фазовой скорости волны с учетом влияния акустического переноса заряда:

V2 = ^(1 - а*2)[1 + а*2л*2 /(1 - а*2)2].

С мнимой частью функции ¥ _1(ш, у) связано затухание волны. Если скорость дрейфа электронов равна фазовой скорости акустоэлектрической волны ( у « 0 и а« 1), то затухание отсутствует.

Уравнения для комплексных амплитуд компонент плотности акустоэлектрического тока удобно переписать в виде

ф = -каф + (/Щ - vd )eS~,

ф3 = -а*каф + а*кБпе8п.

Подставляя в них выражение для комплексной амплитуды плотности заряда (45), получим

ф1 = ап(ш, у) Е1,

ф3 = а33(Ш у) Е3>

где компоненты диагонального тензора акустоэлектрической электропроводности имеют вид:

. а(1 - а*2 (1 -у))

а11(ю' У) =-77—

у + /штд (1 -а )

ау

а33(ю' У) = ~-л-

у+/штд(1 -а )

Поскольку 1 - а*2 = , вкладом диффузионного тока в электропроводность можно пренебречь. При этом формулы (49) существенно упрощаются:

а11(У) = а(1 + Л*7УХ а33 =а.

Пусть постоянное поле Е0 ортогонально волновому вектору и направлено вдоль х3, тогда для компонент плотности акустоэлектрического тока вместо (48) получим

дф _ дЪп

7 = -а0--+ еип-,

•у 1 0 п "

дх дх

1 1 (50)

дф дЪп

73 = -а0^" - е уи Ъп + еПп^~. дх3 дх3

Изменится и последнее уравнение системы (44), из которого для комплексной амплитуды плотности заряда вместо выражения (45) получим

е5Ф= /к (а ¡у)(1 -а*2)ф =/к (а ¡у)(1 -а*2)ф (51)

1« * • *2\ 1 • * ^ ' + /ау1 + /штд(1 -а ) 1 + /а у1

Запишем уравнения (50) для комплексных амплитуд:

ф1 = -/ко0ф + /кДеЪф,

ф3 = -а*ка0ф + (а*кБп - уи)еЪф.

Используя выражение (51), получим в этом случае выражение для комплексной амплитуды тока:

ф1 =а11(У1) Е1, (52)

где акустоэлектрическая электропроводность

* / * «ч

ч_а оу 1(а У1+ /) , а11(у1)= *2 2 ; 1 + а 2у2

у1 = у и/ у - параметр дрейфа в поперечном поле.

Аналогичным образом найдем комплексную амплитуду тока:

ф3 =°33(у1 )Е3 , (53)

где

азз(У± ) = а

1 „ 2ir

*2. .2

V

1^2 + a у

Простые решения (49), (52) и (53) могут быть использованы для аналитических расчетов акустоэлектронных устройств на основе гетероструктур AlGaAs/GaAs/AlGaAs, поскольку толщины слоев гетероструктуры намного меньше длины акустоэлектрической волны. При этом упругие модули и пьезомодули слоев не могут заметно различаться. Обедненным акустоэлектрическим каналом переноса зарядовых пакетов является слой GaAs.

Аналитическим решениям, полученным в настоящей работе, соответствуют новые типы поперечных и продольных акустоэлектрических волн, локализованных вблизи поверхности. В работах [7, 8] об этих решениях не сообщалось. Акустическое и электрическое поля этих волн проникают в глубь кристалла на расстояние порядка длины волны. Электрическое поле волны имеет круговую поляризацию в сагиттальной плоскости.

Для поперечной волны нового типа удалось аналитически решить задачу акустического переноса заряда - вычислить компоненты тензора акустоэлектрической электропроводности как функции параметра дрейфа во внешнем электрическом поле, приложенном в сагиттальной плоскости в направлениях, параллельном и перпендикулярном волновому вектору.

Литература

1. Гуляев Ю.В. Поверхностные электрозвуковые волны в твердых телах // Письма в ЖЭТФ. -1969. - Т.9. № 1. - С. 63-65.

2. Дьелесан Э., Руайе Д. Упругие волны в твердых телах. Применение для обработки сигналов. -М.: Наука, 1982. - С. 424.

3. Егоркин В.И., Мороча А.К., Казаков И.П. Исследование акустического переноса заряда в гетеро-структурах на основе арсенида галлия // Изв. вузов. Электроника. - 2003. - № 3. - С. 11-14.

4. Hoskins M.J., Morcos H., Hunsiger B.J. Charge transport by surface acoustic wares in GaAs // Appl.Phys.Lett. - 1982. - Vol. 41. - P. 332-336.

5. Бугаев А.С., Гуляев Ю.В., Сухацкий И.И., Яценко В.А. Приборы с акустическим переносом зарядов // Зарубежная радиоэлектроника. - 1991. - № 3. - С. 23-35.

6. Heterostructure acoustic charge transport devices on molecular beam epitaxial grown GaAs/AlGa)As epitaxial layers / W.J. Tanski, R.N. Sacks, S.W. Merritt et al. // J. of Vacuum Science & Tecnology B: Microelectronics and Nanometer Structures, March 1990. - Vol. 8, № 1, 2. - P. 352-354.

7. Urba E., Miskins R. Physics and application of surface acoustic waves on various structures of gallium arsenide//ISSN ULTRAGARSAS. - 2002. - N 4(45). - P. 1392 - 2014.

8. William D., Hant., Kim F., Fliegel M. A synopsis of surface acoustic wave propagation on (100) -cut [110] - propagating gallium arsenide//J. Appl. Phys. -1991. - Vol. 69, №15. - P. 1936-1941.

Статья поступила 28 сентября 2013 г.

Мороча Арнольд Климентьевич - кандидат физико-математических наук, профессор кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ. Область научных интересов: магнитная радиоспектроскопия, квантовая электроника, поверхностные аку-стоэлектрические волны, акустоэлектрический перенос зарядов, акустонано-электроника. E-mail: Arnold.36@mail.ru