О НОВОМ ТИПЕ ПОВЕРХНОСТНЫХ АКУСТОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВОЛН В КРИСТАЛЛАХ С ГЕКСАГОНАЛЬНОЙ СИММЕТРИЕЙ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

УДК 621.382

О новом типе поверхностных акустоэлектрических волн в кристаллах с гексагональной симметрией

А.К.Мороча

Московский государственный институт электронной техники (технический университет)

Показано, что в базисной плоскости кристаллов с гексагональной симметрией могут распространяться чисто продольные поверхностные акустоэлектрические волны, которые в отличие от известных поперечных волн Гуляева-Блюстейна локализованы в приповерхностном слое толщиной порядка длины волны. Поля механических смещений и потенциала волны сдвинуты по фазе на %И. Вектор электрического поля волны поляризован по кругу в сагиттальной плоскости.

Ключевые слова: поверхностная акустоэлектрическая волна, гексагональная симметрия, коэффициент электромеханической связи, чисто продольные и поперечные акустоэлектрические волны, круговая поляризация, фазовая скорость, параметр распространения, сагиттальная плоскость.

Исследования уникальных свойств гетерослоев ОаК и ЛЮаК, выращенных на пьезоэлектрических подложках, являются актуальными для создания интегральных аку-стоэлектронных устройств гигагерцового диапазона [1]. Измерения акустоэлектрических параметров гетероструктур (модулей упругости, пьезомодулей и коэффициентов электромеханической связи) трудно однозначно связать с определенным типом волновых мод, наблюдаемых в условиях эксперимента, если использовать для этого только численные решения сложной электромеханической задачи [2].

При распространении поверхностной акустоэлектрической волны в параллельных монокристаллических слоях гетероструктур реализуется случай, когда длина волны намного больше толщин слоев. В этом случае акустоэлектрическое поле локализовано в подложке, поэтому можно найти аналитическое решение, существенно упрощающее как проблему измерения акустоэлектрических параметров гетерослоев, так и задачу расчета и проектирования мощных высокотемпературных и радиационно-стойких функциональных приборов гигагерцового диапазона, которые могут быть созданы на основе широкозонных гетероструктур [3].

Цель настоящей работы - показать, что в кристаллах с гексагональной симметрией в базисной плоскости, ортогональной оси шестого порядка, могут распространяться чисто продольные поверхностные акустоэлектрические волны нового типа, которые в отличие от известных волн Гуляева-Блюстейна [4] имеют следующие особенности:

- акустоэлектрическое поле волны локализовано в приповерхностном слое порядка длины волны;

© А.К.Мороча, 2011

- вектор напряженности электрического поля волны поляризован по кругу в сагиттальной плоскости;

- комплексные амплитуды механического смещения и электрического потенциала волны пропорциональны друг другу и различаются по фазе на тс/2 .

В кристаллографической системе координат фундаментальная система уравнений для вектора продольного смещения и [и(х1, х3; ^);0;0] и двухмерного электрического потенциала ф (х1, х3; ^) волны имеет вид:

Р и1 =У ]Т:],

Т1 з = С11 ^1и1 + ек1 к Ф, А =-еовз Vз ф + е^ки1,

V, А = 0.

(1)

Здесь р - плотность слоя пьезоэлектрика; и1 = и( х1, х3; ^) - единственная отличная от нуля компонента вектора смещения вдоль оси х1 (ось х1 направлена вдоль распространения волны в базисной плоскости, ось х3 - вдоль нормали к полупространству);

V, = д / дхг; Тз и С

¿Зк1 - тензоры напряжений и модулей упругости; егзк - тензор пье-

зомодулей. А - г'-я компонента вектора индукции электрического поля с потенциалом Ф . При суммировании индексы г, з, к, I принимают только два значения - 1 и 3.

Для гексагональных кристаллов класса 6тт тензоры модулей упругости и пьезо-модулей имеют вид

Г С11 С12 С13 0 0

С12 С11 С13 0 0

С13 С13 С33 0 0

00 00

0 С44 0 0 0 С,

44

0 0 0 0 0

Л

и

Г0 0 0 0 е15 0

0 0 0 е15 0 0

е31 е31 езз 0 00

(2)

0 0 0 0 0 (С:1 - С12 )/ 2

С помощью матриц (2) выпишем отличные от нуля компоненты тензора напряжений, создаваемые рассматриваемой продольной волной:

Т11 = С11^и + Т13 = C44V3 и + е15^^ 1Ф.

Для отличных от нуля компонент вектора электрической индукции В( А:,0, А3) имеем

(3)

А1 = -88 + е3^3 и, А3 = -88 0V3ф + е15^1 и.

(4)

Используя выражения (4) в последнем уравнении системы (1), получим дифференциальное уравнение, связывающее механическое смещение и с пьезопотенциалом ф :

88 0Аф-(% + % и = 0 где А = д2/сХ^ + д2/дх| - двухмерный оператор Лапласа.

(5)

Второе волновое уравнение, связывающее эти величины, получается подстановкой компонент тензора напряжений (3) в первое уравнение фундаментальной системы (1):

р и = СцУ^м + Сф^м + (е15 + е31)У1У3ф. (6)

Покажем, что уравнениям (5) и (6) удовлетворяет частное решение, соответствующее чисто продольной акустоэлектрической волне:

и(х1, ; ,) = и ехр акх 1

~ }• ехр ¡к(х1 - у,), (х3 < 0), (7)

ф(х1з х3; г) = ~ ехр акх )

где и и ф - комплексные амплитуды смещения и электрического потенциала; а - действительный параметр распространения; к - волновое число; у - фазовая скорость волны.

Подстановка выражений (7) в уравнения (5) и (6) приводит к двум однородным уравнениям для комплексных амплитуд и и ф :

[ру2 -С11 +а2С44]и + ¡а(е15 + е31)~ = 0, ¡а(е15 + е13) ~ + 88 0(1 -а2)ф = 0.

(8)

Система (8) имеет решение, если параметр распространения связан c фазовой скоростью волны следующим уравнением:

(1 -а2)[(у/у, )2 -(у1/у1 )2 +а2] +а2Л = 0, (9)

где скорости продольной и поперечной волн в направлении оси х равны соответственно

У1 =л/ С11 / р и у, =4 С44/ р ,

а коэффициент электромеханической связи имеет вид

л =(е15^е1з)2. (10)

88 0С44

Два положительного решения биквадратного уравнения (9) в линейном по ^ приближении имеют вид:

( „ \

а2 = т

1 + л

1 + ^(у)

а2 = 1 + - Л

(11)

1 + ^(у)'

где ^(у) = (у^у,)2(1 - у2/у2) - положительная функция фазовой скорости волны, поскольку фазовая скорость поверхностной волны меньше фазовой скорости соответствующей объемной волны.

Можно не учитывать влияние пьезоэффекта на параметр распространения а2 в (11). Тогда он не будет зависеть от фазовой скорости и его можно считать равным единице. Влияние пьезоэффекта на параметры распространения учтем только через параметр а, который при ^ = 0 явно зависит от фазовой скорости волны.

Первое из выражений (11), если а известно, представляет собой уравнение, из которого может быть найдена фазовая скорость волны. Если пренебречь изменением фазовой скорости вследствие пьезоэффекта, то из уравнения (11) получим

V = VI(1 ^у2/^)12 . (12)

Параметр а1 определяется из граничных условий задачи. Чтобы удовлетворить граничным условиям, запишем общее решение в виде

и( х1, х3; Х) = (ф ехр а1кх3 + и2 ехр кх3) • ехр ¡к (х1 - V), ф(х1, х3;Х) = ехр ак% + Фг ехр к%) • ехр ¡к(х1 - V).

В выражениях (13) учтено, что а2 = 1. Кроме этого, в соответствии со вторым из уравнений (8) следует учесть, что комплексные амплитуды смещений ф и потенциалов ~ линейно зависимы:

Ф ¡880(1 -а2) ~ ...

ф =—--^ •Фi (г =1,2).

а (е13+е15)

2 ^

Поскольку а2 = 1, комплексная амплитуда и2 = 0 и общее решение (13) можно записать в виде

и(х1, х3; Х) = г 880(1—а2) • ~ ехр ак% ехр гк(х1 - V),

2^

едб ---- ^ - , (14)

ф(х1, х3; Х) = (ф1 ехр акх + Ф2 ехр к% ) • ехр ¡к(х1 - V),

где параметр 8 = 1 + е13/е15.

На свободной поверхности поверхностная акустоэлектрическая волна должна удовлетворять следующим граничным условиям.

1. Равенство нулю акустоэлектрического напряжения:

Т13(х1,0; Х) = 0.

2. Непрерывность электрического потенциала и индукции:

ф = фв, П3(х1,0; 0 = А3В(х1,0; Х),

где фв - амплитуда «медленной» волны электрического потенциала, распространяющейся со скоростью звука в вакууме над пьезоэлектриком

фв = фв ехр(-кх3) • ехр гк(хх - V), (х3 > 0). (15)

3. Ослабление акустоэлектрического поля в глубь нижнего полупространства:

и(х^ х3; г) 1

ф( xl, х3;Х xI хз ^ .

Условие 3 учтено при записи частного решения (7). (Подложку можно считать полубесконечной.)

Из условия равенства нулю акустоэлектрического напряжения Г13 на свободной поверхности следует

(1 -а2 +8-1л) ~1 +~2Л5-1 = 0. (16)

Условие непрерывности нормальной составляющей вектора электрической индукции Д равносильно уравнению

в[а2(8-1) + 1]~1 +а185 ~2 -~ва18 = 0. (17)

Условие непрерывности акустоэлектрического потенциала дает

ф1 +~2-Фд = 0. (18)

Система уравнений (16)-(18) имеет решение, если ее определитель равен нулю:

1 -а2 +5-1л 5-1л 0 1 1 -1

8 [а^(5-1) +1] в5а1 -а15

= 0. (19)

Раскрывая определитель (19) и удерживая при этом только слагаемые, пропорциональные л, получим уравнение для параметра распространения а1:

(8 +1)(1 - а2) = 8л5 -1[а1 (1 - 5-1) + 5-1а-1 +1]. (20)

Проще всего решить уравнение (20) методом итераций. Решением этого уравнения в нулевом приближении является а2 = 1. Это решение нельзя использовать в выражении (14), но его можно подставить в формулу (12) и найти фазовую скорость волны, пренебрегая ее изменением за счет влияния пьезоэффекта:

а/1 - у,2/у/2 . (21)

у = у/л/1 - у, /у/

Для того чтобы вычислить а в первом приближении и учесть влияние пьезоэффекта на изменение фазовой скорости (21), подставим в уравнение (20) величину а2 = 1 + Да. Тогда, считая Аа^л и пренебрегая величинами (Да)2 и л (Да), получим

л 28л

Да =--—

(8 +1)5

и для относительного изменения фазовой скорости волны, обусловленного пьезоэффек-том, найдем

Ду Да

у 1 - (у/2/у,2)'

Подставляя а2 = 1 + Да в уравнения (14), (16)-(18), получим

Ф . 88 аАа, ~ и = -г ^ • ф1;

а1е158 (22)

ф1 = (л/Аа8) фв, ф2 = (1 -л/Аа8) фв.

Объединяя выражения (14), (15) и (22), можно записать уравнение акустоэлектри-ческой волны во всем пространстве в виде

ехр ¡к (х1 - V), (23)

фв(х1,х3;Х) = фехр(-кх3) (х3 >0) ф(х1,х3;Х) = фехркх (х3 <0) и(х1, х3; Х) = и ехр кх (х3 < 0)

где

ф = -' (е1з/ С44 )ф .

Механическое смещение отстает по фазе на тс/2 от электрического потенциала волны. Фазовая скорость волны определяется формулой (21), она, как и должно быть, меньше фазовой скорости соответствующей объемной продольной волны.

В отличие от известных поперечных волн Гуляева-Блюстейна, поле продольной акустоэлектрической волны (23) локализовано в приповерхностном слое толщиной « V2тс ( V - длина волны).

Из выражения для электрического потенциала волны найдем компоненты вектора напряженности электрического поля волны:

£в(хъI) = -¡£3(х1,х3;I) (х3 > 0) 1

El(xl,х3;0 = ¡E3(X1,х3; 0 (х3 < 0)/

Отсюда следует, что векторы электрического поля волны в каждом из полупространств (пьезоэлектрик - вакуум) поляризованы по кругу в противоположных направлениях.

В выражениях (24) комплексные амплитуды компонент вектора электрического поля волны связаны с комплексной амплитудой ф потенциала волны (23):

Ев = Е3в = Е1 = Е3 = (2 V V) ф.

Простые решения (23), (24) для полупространств, одно из которых заполнено пье-зоэлектриком, могут быть использованы для аналитических расчетов параметров аку-стоэлектронных устройств, содержащих гетерослои ЛШ или GaN, выращенные на подложках сапфира в направлении оси шестого порядка, по следующим причинам:

- толщины слоев гетероструктуры намного меньше длины акустоэлектрической волны, при этом в пьезоструктуре упругие модули и пьезомодули слоев не могут заметно различаться;

- один из гетерослоев выполняет функцию акустоэлектрического канала устройства. Для широкозонных ЛШ и GaN канал обеднен свободными носителями заряда и все уравнения системы (1) и граничные условия к ним в первом приближении остаются выполненными.

В следующем приближении следует учесть, что диодные контакты, сформированные на внешней поверхности гетероструктуры, инжектируют информационные волновые пакеты носителей заряда внутрь канала, вдоль которого они переносятся практиче-

ски без потерь со скоростью звука, т.е. замедляются в «105 раз. Это дает возможность обрабатывать их в процессе распространения в реальном масштабе времени. Указанные устройства известны как приборы с акустическим переносом заряда (АПЗ). Для решения задачи АПЗ к уравнениям системы (1) должно быть добавлено уравнение непрерывности акустоэлектрического тока в канале переноса.

Литература

1. Guided propagation of surface acoustic waves in AlN and GaN films grown on 4-H-SiC(0001) substrates / Y. Takaki, R. V.Santos E. Wiebicke et al. // Phys. Phys. Rev. - 2002. - B66. - P. 155439-7.

2. Surface Acoustic Wave Velocity and Electromechanical Coupling Coefficient of GaN on (0001) Sapphire by Metal-Organic-Vapour Phase Epitaxy / Chen Zhen, Lu Da-Chen, Wang Xiao-Hui et al. // Phys. Lett. -2001. - Vol. 18, N 10. - P. 1418 - 1419.

3. Данилин В.Н., Докучаев Ю.П., Жукова Е.А., Комаров М.А. Мощные высокотемпературные и ра-диационно-стойкие СВЧ-приборы нового поколения на широкозонных гетеропереходных структурах AlGaN/GaN // Электронная техника. Сер. 1. СВЧ-техника. - 2001.

4. Гуляев Ю.В. Поверхностные электрозвуковые волны в твердых телах // Письма в ЖЭТФ. -1969. - Т. 9, № 1. - С. 63-65.

Статья поступила 14 октября 2011 г.

Мороча Арнольд Климентьевич - кандидат физико-математических наук, профессор кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ. Область научных интересов: магнитная радиоспектроскопия, квантовая электроника, поверхностные акустоэлектрические волны, акустоэлектрический перенос зарядов, акустоэлектро-ника. E-mail: Arnold.36@mail.ru