НЕЧЕТКО-МНОЖЕСТВЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭФФЕКТОВ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ДЛЯ СКОРОСТЕЙ НОРМАЛЬНЫХ ВОЛН ДЕФОРМАЦИЙ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ МОНОКРИСТАЛЛИЧЕСКОМ ВОЛНОВОДЕ КУБИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С МЕМБРАННЫМИ ПОКРЫТИЯМИ ГРАНЕЙ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545 ^Курнал теоретической и прикладной механики.

№2 (70) / 2020.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ

УДК 519:534.1:539.3

©2020. С.В. Сторожев, С.Б. Номбре

НЕЧЕТКО-МНОЖЕСТВЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭФФЕКТОВ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ДЛЯ СКОРОСТЕЙ НОРМАЛЬНЫХ ВОЛН ДЕФОРМАЦИЙ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ МОНОКРИСТАЛЛИЧЕСКОМ ВОЛНОВОДЕ КУБИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С МЕМБРАННЫМИ ПОКРЫТИЯМИ ГРАНЕЙ

Излагается численно-аналитическая нечетко-множественная методика синтеза оценок влияния факторов неопределенности в виде разбросов исходных физико-механических и геометрических параметров протяженного, имеющего на граничных поверхностях тонкие безинер-ционные абсолютно гибкие нерастяжимые покрытия волновода призматической геометрии из анизотропного монокристаллического материала кубической системы на частотные распределения фазовых скоростей бегущих нормальных волн при варьировании показателей изменяемости форм волновых упругих перемещений. Методика базируется на описании параметров с разбросами в виде нечетко-интервальных величин и переходе к нечетко-множественным аргументам в аналитических представлениях волновых чисел для различных ветвей рассматриваемого дисперсионного спектра, реализуемом с применением альфа-уровневой формы эвристического принципа обобщения. Приведены примеры нечетко-множественного описания ряда характеристик частотных распределений фазовых скоростей бегущих нормальных волн для волновода из монокристалла кремния.

Ключевые слова: нечетко-множественное математическое моделирование, эвристический принцип обобщения, анизотропные призматические волноводы, материалы кубической системы, прямоугольные сечения, гибкие нерастяжимые покрытия граней, нормальные упругие волны, частотные зависимости фазовых скоростей, влияние разбросов исходных параметров.

Введение и постановка задачи. Существование разбросов в экспериментальных и технологических данных о геометрических параметрах и значениях физико-механических постоянных используемых в конструкциях машин, приборов, сооружений и акустоэлектронных устройств материалов, порождает весьма актуальную задачу корректного учета степени влияния факторов неопределенности экзогенных параметров на эндогенные характеристики соответствующих прикладных расчетных математических моделей волновой механики деформируемого твердого тела [1 — 6]. Опыт применения к решению данной проблемы методов теории вероятностей и математической статистики описан, в частности, в работах [7, 8], однако во многих случаях он сталкивается с тем, что природа информации о характере и величинах подлежащих учету разбросов во многих

случаях формируется на основе экспертных заключений и опытных оценок, основывается на маломощных экспериментальных выборках и, как следствие, не является информацией имеет корректного статистического типа. Возможное в подобных случаях применение альтернативного подхода, базирующегося на методах теории нечетких множеств и открывающего возможности непосредственного оперирования с неопределенными параметрами моделей без перехода к их усредненным интегральным характеристикам, излагается в публикациях [9 -19].

Представляемое в настоящей работе исследование, являющееся развитием результатов, представленных в работах [20, 21], имеет своей целью решение открытой для анализа проблемы нечетко-множественного математического моделирования эффектов неопределенности для величин фазовых скоростей бегущих нормальных упругих волн, распространяющихся вдоль имеющего прямоугольное сечение призматического волновода пространственного геометрического строения из анизотропного монокристаллического материала кубической системы, на гранях которого имеются тонкие абсолютно гибкие нерастяжимые безинерционные покрытия [22].

Исследование базируется на использовании прикладной а - уровневой схемы эвристического принципа обобщения [9-11] для расширения областей определения классических функциональных отображений на нечеткие подмножества универсального множества, также на гипотезе об описании экспериментальных значений модулей упругости для материала волновода разнотипными нечетко-множественными величинами, в том числе нормальными трапецеидальными нечеткими интервалами [16, 18].

Рассматривается протяженный призматический волновод [22] прямоугольного сечения из анизотропного материала кубической системы с упругими постоянными е^р и плотность р, занимающий в координатном пространстве ОХ1Х2Х3 область V — {|Х1| < а, |хз| < Ь, —ж < х2 < то}. Полагается, что координатные направления Ох^ ориентированы вдоль упруго-эквивалентных направлений материала волновода, а на его плоских граничных поверхностях имеются тонкие безинерционные абсолютно гибкие нерастяжимые покрытия. Уравнения мод нормальных упругих волн круговой частоты ш в рассматриваемом волноводе, получаемые в рамках классической четкой постановки проблемы с использованием модели линейного динамического деформирования идеально упругих анизотропных сред, являются результатом анализа краевых задач относительно комплексных амплитудных функций волновых упругих перемещений и^(х1,х2,хз), включающих волновые уравнения

ЬПП1 + Ь12П2 + Ь1зПз = 0,

ЬцП1 + Ь12П2 + Ь1зПз = 0, (1)

ЬцП1 + Ь12П2 + Ь1зПз = 0,

в которых

Lii = cudf + C44d| + C44df + Q2, L22 = C44 df + cn + C44df + Q2,

L33 = C44 d2 + C44d| + Ciidf + Q2, L12 = L21 = (ci2 + C44)di &2, (2)

L13 = L3i = (ci2 + C44)did3, L23 = L32 = (ci2 + С44)д2дз, Q2 = рш2к'2с-i,

R*, c* - соответственно нормирующие параметры для величин с размерностями упругих перемещений и механических напряжений, а также краевые условия вида

(U2)xí=±a = (U3)x1=±a = (CiidiUi + Ci2 d2U2 + C^^) xi=±a = 0, ^

(Ui)x3=±b = (U2)x3=±b = (Ci2diUi + Ci2 d2 U2 + Cii d3U3^=±b = 0.

1. Получение представлений для ветвей дисперсионного спектра и фазовых скоростей нормальных волн. В процессе решения проблемы получения аналитических представлений для ветвей анализируемого дисперсионного спектра [22] вводятся исходные представления комплексные амплитудных функций рассматриваемых нормальных волн со следующей общей структурой

Uj(xi,x2,x3) = д^(х1,хз)ехр(1кх2) (j = M), (4)

и четырьмя вариантами задания подмножеств функций gj(xi,x3), отражающими комбинированную симметрию форм волновых колебаний относительно вертикальной и горизонтальной срединных линий сечения:

giln(xi,X3) = U^ sin Amxi cos ÓnX3,

g2mn(xi,X3) = v2L cos Xmxi cos ônx3, (5)

g33lln(xi,x3) = 4L cos Amxi sin ônx3;

g(mmn(xi,x3) = U(mn sin Amxi sin ônx3,

(xi,x3) = U2rm

g3mn(xi,x3) = U^ cos Amxi cos ônx3;

g2mn(xi,x3) = Um cos Amxi sin ô^3, (6)

,( 2) „Л - J2)

3mn\

gimmn(xi,x3) = u1L cos Amxi cos ônx3,

gm(xi,x3) = 4L sin Amxi cos ô,nx3, (7) g3mmn(xi,x3) = u3mn sin Amxi sin ônx3;

gitn,(xi,x3) = uim cos Amxi sin ô,nx3,

éSnn(xi,x3) = US! sin Amxi sin ô^3, (8) g3íL(xi,x3) = u! sin Amxi cos ô,nx3.

Параметры Лт, 5п в представлениях (5) - (8) имеют вид

Хт = (2т — 1)пЯ*/(2а), 5п = (2п — 1)пЯ*/(2Ь). (9)

Введенные таким образом комплексные амплитудные функции обеспечивают выполнение краевых условий (4) на граничных поверхностях волновода.

Уравнения для мод исследуемых волн в рассматриваемом случае соответственно описываются равенствами нулю функциональных определителей

рМ(к,П)=АеЪ А$тп =0 (з,р,д,т,п=Т^), (10)

в которых

Лйтп = — (еиАт + С44^2 + С44^П), Лйтп = П2 — + Сцк2 + е*^),

^Зтп = — (С44Лт + С44^2 + ецёП) Л(1) = _Л(1) = Л(2) = _Л(2)

12тп 21тп 12тп 21тп

(11)

= _Л(з) = Л(з) _ _Л (4) = Л(4) = _к(е + е )л

= Л12тп = Л21тп = Л12тп = Л21тп = №(е12 + е44)лт, Л(1) =Л(1) = -Л(2) = -Л(2) =

1зтп з1тп 1зтп з1тп

= _Л(з) = _Л(з) = Л(4) = Л(4) = _(е + е )Л Л

= Л1зтп = Лз1тп = Л1зтп = Лз1тп = (е12 + е44)лт^п, Л(1) =_Л(1) = _Л(2) =Л(2) =

2зтп з2тп 2зтп з2тп

= Л(з) = Л(з) = Л (4) = Л(4) = к(е + е )А = Л2зтп = — Лз2тп = — Л2зтп = Лз2тп = гК(е12 + е44 )0п.

Приведенные критические частоты мод бегущих нормальных волн являются элементами трех подмножеств (у,т,п = 1,3), и имеют представления

^тп=[е44 (лт+$п)]1^2,

^п = [((-1 У^тп - 4с™)1/2 - $тп)/2]1/2 и = 273),

(12)

где

"дтп — (^44 Лт + е11 (Лт + ) + е44^п),

Ятп = (е11 Лт + е44^п )(е44Лт + ) — (е12 + с44)2лП ^

(13)

Ветви дисперсионных спектров для нормальных волн с различными формами волновых перемещений в сечении волновода, определяемые из (10), имеют форму _ _

к = Си, С12, с44, а, Ъ, т, п) {в = 1, 3; ] = 1, 4), (14)

и соответствующие параметрические зависимости описываются положительными ветвями решений бикубических уравнений

Т1тпк6 + Т2тп^4 + Т3тпк2 + Т4тп = 0 С? = 1) (15)

где

т(j ) — - 4,,42

Tlmn — a11a44 ,

T2mn — A11A44 (niim,n + n33mn ) + C44 n22mn + A44((ni2)mn )2 + (n23mn )2 ))

T3mn A44nnmn П22 mn mn П3з mn - А11П ji mn n33mn + (16)

,2v(j) X(j) X j) _ (X(j) )2n j) _ (X(j) )2nj) + c (X j) )2 +2Xl2mnA13mnA23mn (X23mn) Vllmn (Xl2mn) 'l33mn + cll(Xl3mn) ,

т j) — nj) n(j ) nj) _Jj) (X(j ) )2.

4mn lllmn '22mn I33mn '22mnvAl3mnz ' njimn — Q - (cllAm + C44^n)î n2Îmn — Q - (C44>L + С44^

n33mn — Q2 - ЫМ + cii^n),

y (l) Al2mn _ (2) — Xl2mn (3) Xl2mn — -x iLn — (cl2 + c44)Xm, (17;

y (l) - Al3mn (2) — Xl3mn (3) Xl3mn — Xllimn — (cl2 + c44)Xm Snn,

y (l) 23mn — (2) — X23mn — (3) _ X23mn — - X243mn — (cl2 + c44) Sn.

Таким образом, представления для Fj(Q, сц, С12, С44, a, b, m, n) (j = 1, 3) могут быть записаны в виде

Ф j(Q, cii, С12, С44, a, b, m, n) —

(18)

— [^ljmn - 2l/3^3jmn/(3^2jmnTimn) + ^2jmn/(3 • 2l/3^J]^.

$2j(Q, cil, C12, C44, a, b, m, n) —

— Vljmn - (1 + 3l/2i)V3jmn/(3 • 22/3^mn^Ь (19)

-(1 + 3l/2i)^2jmn/(6 • 2l/3T1(j)n)]l/2.

Фзj(Q, cil, C12, C44, a, b, m, n) —

— Vjmn - (1 - 31/2i)^3jmn/(3 • 22/3^mn^nЬ (20)

-(1 - 3l/2i) jn/(6 • 21/3т(тn)]l/2 ; где ) )

Vijmn — Pijmn(Q, cil, C12, C44, a, b, m, n) — -T2mn/(3^^); (21)

V2jmn — ^2jmn(Q, Сц, C12, C44, a, b, m, n) —

— [_2(T j) )3 + 9т j) т(j) T(j) _ 27(T j) )2т j) +

L V 2mnz 1 lmn 2mn 3mn V lmnJ 4mn 1

2 (J) (J) 3 (22) + (4(-(T2mn) + 3TlmnT3mn) +

+ (_2(тj) ) + 9т j) T(j) T(j) _27(Tj) )2(T(j) )2)l/2]l/3. 1 V V 2тш lmn 2mn 3mn V lmn V 4mn) > J '

<P3jmn = с11, с12, С44, Ь, m, п) = )2 + З^п т<(1п • (23)

Соответственно, подлежащие анализу частотные зависимости для фазовых скоростей бегущих нормальных волн с различными определяемыми параметрами (j, m, п) формами волновых упругих перемещений описываются соотношениями

v(j,m,n){u]) = ш/фа.(£1, си, с 121 С44, а, Ъ, m, n)(s=T^). (24)

2. Получение нечетко-множественных оценок для параметрических частотных распределений фазовых скоростей нормальных волн. Получение нечетко-множественных оценок для частотных параметрических распределений фазовых скоростей нормальных волн базируется на использовании представлений (24) и переходе в них к аргументами, представляющим собой нечеткие величины. Согласно предположениям о существовании разбросов в значениях исходных физико-механических и геометрических параметров волновода рассматриваемого типа вносится гипотеза о возможности эффективного описания неопределенных экзогенных параметров рассматриваемой модели сц, С12, С44, р, a, Ь нечеткими нормальными трапецеидальными интервалами сц, С12, с44, р, a, Ь [16, 18, 20, 21], задаваемыми кортежами реперных точек

^11 = (с111, с112, c113, с114), ^12 = (с121, с122, с123, c124),

^44 = (с441, с442, с443, с444), (25)

р = (р1, р2, рз, р4), a = (a1, a2, аз, a4), Ь = (Ь1, Ь2, Ьз, Ь4)

и разложениями по множествам а — уровня

Си = IJ [ülla^lla], с 12= |J \c12a,ci2a], С44 = |J U.C44«], «€[0,1] «€[0,1] «€[0,1]

Р= U IPa'Pa Ь ä= U läa'Üa], Ь = |J [Ьа,Ъа], «€[0,1] «€[0,1] «€[0,1]

в которых

Alla = (! - OL)Au 1 + сь4ц2, Аца = olAu3 + (1 - a)AiU', All а = (! - ol) Au 1 + сь4ц2, Аца = olAu 3 + (1 - a)AiU', Alla = (! - ol)Au 1 + olAu2, Alla = сь4ц3 + (1 - a)AiU', pa = (1 - a)pl + 0(p2, ~Pa = ap3 + (1 - a)p4; aa = (1 — a)a i + aa2,äa = сказ + (1 — 0)04; ¡¿а = (1 — a)bi + ab2,ba = а&з + (1 — 01)64.

(26)

(27)

С использованием представлений (26), (27) получение параметрических нечетких оценок (s = 1, 3) реализуется путем перехода в функциональных зависимостях (24) к нечетко-интервальным аргументам с применением а—уровневой формы эвристического принципа обобщения [9 - 11]. В результате для нечетко-множественных характеристик (s = 1, 3) записываются представления вида

уа,т,п)(ш)= (J (28)

«€[0,1]

где

inf _ Си, Ci2, С44, a, b, т, п)},

Clie\clla, сца]

с12е[с12а, С12а]

C44€[C44q!, С44а]

а€[аа, аа]

ье\ьа, Ъа] pelpa' PJ

(29)

sup Си, Ci2, С44, а, Ь, т, п)}.

Ч1£|£ца, Сца] с12е[с12а, С12а]

C44€[c44q!, C44q,]

а€[аа, а„]

befc,, М

PelPa' Ра}

3. Результаты численных исследований. Примеры реализации разрабатываемой методики нечетко-множественного описания частотных распределений фазовых скоростей бегущих нормальных волн в прямоугольном монокристаллическом волноводе кубической системы с мембранными покрытиями граней относятся к случаю волновода из монокристалла кремния с заданием следующих нечетко-интервальных параметров:

Ли = (164с*, 166с*, 167с*, 169с*), Л12 = (63с*, 65с*, 66с*, 67с*), A44 = (77с*, 79с*, 80с*, 82с*), р = (2.30р*, 2.32р*, 2.33р*, 2.34р*), (30) с* = 109 [Па], р* = 103 [кг/м3].

Для каждого сочетания значений параметров (j, m, n) анализу подлежат три зависимости (s = 1, 3). Результаты расчетов представлены ча-

стотными параметрическими распределениями для характеристик нечетко-множественных описаний фазовых скоростей нормальных волн с различными типами симметрии и различными показателями изменяемости форм волновых перемещений в сечении волновода, а также описаниями вида функций принадлежности для нечетко-множественных величин v^'m'n\uj) (s = 1, 3) при некоторых фиксированных значениях параметра круговой частоты ш [рад/с]. Параметры

^Г'га)М =

и/«Г,п)(ш) =

размеров сечения а, Ь в расчетах рассматривались как четкие величины без разбросов значений и принимались равными

а = 21*, Ь = 31*, Ь = I* = 1[м].

Рисунки 1-4 характеризуют результаты расчетов для случая волн из моды (в = 1) с типом симметрии (] = 1) и показателями изменяемости поля перемещений в сечении (т = 1, п = 21). Внешние линии на рисунке 1 соответствуют

!Л " (3,т,П) ( \

уровням ¡1 = 0 принадлежности соответствующей характеристики из (ш) к

(ш) , то есть ограничива-(ш) , а внутренние отвечают уровням ц = 1 и ограничивают диапазоны наиболее достоверных значений и(1,1,1)(ш) при рассматриваемых разбросах исходных параметров. Аналогичную структуру имеют распределения

(],т,п) , \ _ ~(],т,п) / \

из (ш) € из (ш) на других нижеприводимых рисунках.

~(1,т,п)

нечеткому множеству ее ожидаемых значений иЗ

ют носители и

(1,1,1) 1

.(1,1,1)

Рис. 1. Распределения

-.(1,1,1) 1

Рис. 2. Функция принадлежности

(ш) с показателями (1,1,1)

(ш) е

-.(1,1,1)

-'1

(300) .

Рис. 3. Функция принадлежности Рис. 4. Функция принадлежности

ир',т,п)(здо). ^,т,п)(480).

Результаты расчетов для случая волн из мод (в = 2, в = 3) с типом симметрии (] = 1) и показателями изменяемости поля перемещений в сечении (т = 1, п = 21) представлены соответственно на рисунках 5-12. Эти ветви отвечают квазипоперечным нормальным волнам. Уровни скоростей волн этого типа ниже относящихся к моде (в = 1)

Рис. 5. Распределения

(1,1,1)/ N ~(1,1,1)/ N

г2 (ш) е г>2 (ш) с показателями

р~(1,1,1), ,(' (ш)

(1,1,1)

(ш)).

Рис. 6. Функция принадлежности

(1,1,1)

(300) .

Рис. 7. Функция принадлежности

V.

(1,1,1)

(390).

Рис. 8. Функция принадлежности

V.

(1,1,1)

(480).

(1,1,1) и3

Рис. 9. Распределения

(ш) е

( , , )

;3

(ш)

ш) с показателями

(1,1,1), Ли

' (ш) 4 '

( , , )

3

(ш)).

Рис. 10. Функция принадлежности

-.( 1, 1, 1) ^3

(300).

2

2

2

2

Анализ представленных на рисунках 1-12 результатов моделирования разбросов для значений исследуемых скоростей в волнах с показателем симметрии = 1) позволяет заключить, что границы интервалов носителей для нечетких множеств, описывающих неопределенные фазовые скорости, имеют отклонения, не превышающие 2 - 3 % от значений параметров дефаззификации соответствующих нечетких множеств по методу медиан. Таким образом, разбросы экзогенных и эндогенных параметров в рассматриваемых моделях являются величи-

нами одного порядка. Также можно отметить слабо выраженную тенденцию к уменьшению уровня неопределенности анализируемых фазовых скоростей с ростом частоты рассматриваемых волн.

Выводы. Результатом описанных в работе исследований является разработка нечетко-множественной численно-аналитической методики моделирования эффектов влияния разбросов в значениях исходных физико-механических и геометрических параметров на частотные распределения фазовых скоростей бегущих нормальных волн в протяженном волноводе призматической геометрии из анизотропного монокристаллического материала кубической системы с тонкими безинерционными абсолютно гибкими нерастяжимыми покрытиями на граничных поверхностях. Предлагаемый подход основывается на описании параметров с разбросами в виде нечетко-интервальных величин и применении альфа-уровневой формы эвристического принципа обобщения при переходе к нечетко-множественным аргументам в аналитических представлениях волновых чисел для различных ветвей рассматриваемого дисперсионного спектра. С применением программного приложения, разработанного для численной реализации предложенной методики моделирования, рассмотрены примеры нечетко-множественного описания фазовых скоростей бегущих нормальных волн для волновода из монокристалла кремния с разбросом значений физико-механических параметров. Расчетные результаты получены для различных мод дисперсионного спектра с идентичным показателем изменяемости формы волновых упругих перемещений. Получаемые в результате применения предложенной методики оценки дают возможность установить диапазоны наиболее достоверных отклонений в значениях анализируемых скоростей при заданных разбросах исходных физико-механических и геометрических параметров, а также определить границы возможных разбросов для значений анализируемых характеристик на минимальном уровне уверенности.

1. Дьелесан Э. Упругие волны в твердых телах. Применение для обработки сигналов / Э. Дьелесан, Д. Руайе. - М.: Наука. - 1982. - 424 с.

2. Miklowitz J. The Theory of Elastic Waves and Waveguides / J. Miklowitz. - North-Holland, 1984. - 618 p.

3. Мелешко В.В. Упругие волноводы: история и современность / В.В. Мелешко, А.А. Бон-

даренко, С.А. Довгий, А.Н. Трофимчук, Г.Я. ван Хейст // Математические методы и физико-механические поля. - 2008. - Т. 51, № 2. - С. 86-104.

4. Datta S.K. Elastic Waves in Composite Media and Structures: With Applications to Ultrasonic Nondestructive Evaluation, in Mechanical Engineering Series / S.K. Datta, A.H. Sha. - Boca Raton: CRC Press, 2008. - 336 p.

5. Бобровницкий Ю.И. Акустический метаматериал с необычными волновыми свойствами / Ю.И. Бобровницкий // Акустический журнал. - 2014. - Т. 60, № 4. - С. 347 - 355.

6. Бобровницкий Ю.И. Модели и общие волновые свойства двумерных акустических мета-материалов и сред / Ю.И. Бобровницкий // Акустический журнал. - 2015. - Т. 61, № 3.

- С. 283 - 294.

7. Ломакин В.А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел / В.А. Ломакин. - М.: Наука, 1970. - 139 с.

8. Ларин В.Б. Статистические задачи виброзащиты / В.Б. Ларин. - Киев: Наукова думка, 1974. - 128 с.

9. Дилигенский Н.В. Нечеткое моделирование и многокритериальная оптимизация производственных систем в условиях неопределенности: технология, экономика, экология / Дилигенский Н.В., Дымова Л.Г., Севастьянов П.В. - М.: Издательство Машиностроение -1, 2004. - 397 с.

10. Ротштейн А.П. Моделирование и оптимизация надежности многомерных алгоритмических процессов / А.П. Ротштейн, С.Д. Штовба, А.Н. Козачко. - Винница: УН1ВЕРСУМ, 2007. - 215 с.

11. Алтунин А.Е. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях / А.Е. Алту-нин, М.В. Семухин. - Тюмень: Издательство Тюменского государственного университета, 2002. - 352 с.

12. Kaufmann A. Introduction to fuzzy arithmetic-theory and applications / A. Kaufmann, M. Gupta. - New York: Van Nostrand Reinhold, 1985. - 349 p.

13. Anastassiou G.A. Fuzzy Mathematics: Approximation Theory / G.A. Anastassiou. - Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2010. - 444 p.

14. Kandasamy W.B. V. Special set linear algebra and special set fuzzy linear algebra / W.B.V. Kan-dasamy, F. Smarandache, K. Ilanthenral. - Slatina, Judetul Olt, Romania: Editura CuArt, 2009.

- 469 p.

15. Sonbol A.H. TSK Fuzzy Function Approximators: Design and Accuracy Analysis / A.H. Sonbol, M.S. Fadali // IEEE Trans. Syst. Man and Cybern. - 2012. - Vol. 42. - P. 702-712.

16. Ban A.I. Trapezoidal approximation and Aggregation / A.I. Ban, L.C. Coroianu, P. Grzegorzew-ski //Fuzzy Sets Syst.- 2011. - Vol. 177. - P. 45-59.

17. Bede B. Mathematics of Fuzzy Sets and Fuzzy Logic / B. Bede. - Berlin, Heidelberg: SpringerVerlag, 2013. - 276 p.

18. Grzegorzewski P. Trapezoidal approximations of fuzzy numbers / P. Grzegorzewski, E. Mrfowka //Fuzzy Sets Syst. - 2005. - Vol. 153. - P. 115-135.

19. Hanss M. Applied Fuzzy Arithmetic. An introduction with Engineering Application / M. Hanss.

- Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2005. - 253 p.

20. Сторожев В.И. Нечетко-множественные оценки в моделях теории объемных волн деформаций / В.И. Сторожев, С.В. Сторожев // Механика твердого тела. - 2015. - Вып. 45. -С. 103 - 111.

21. Сторожев С.В. Нечеткие оценки для характеристик нелинейных вторых гармоник объемных волн сдвига в трансверсально-изотропной упругой среде / С.В. Сторожев, С.Б. Ном-бре // Вестник Донецкого национального университета. Серия А. Естественные науки. -2015. - № 2. - С. 38 - 43.

22. Бутко С.Б. Нормальные волны в ортотропных пластинах и призматических телах с тонкими нерастяжимыми покрытиями граней / С.Б. Бутко, Т.В. Волобуева, В.И. Сторожев // Теоретическая и прикладная механика. - 1995. - Вып. 25. - С. 90 - 97.

Нечетко-множественное моделирование скоростей нормальных волн деформаций S.V. Storozhev, S.B. Nombre

Fuzzy-set modeling of uncertainty effects for velocity of normal deformation waves in a cubic system crystal rectangular waveguide with membrane coatings of faces.

Are presented a numerical-analytical fuzzy-set method for synthesizing estimates of the influence of uncertainty factors in the form of scatter of the initial physical-mechanical and geometric parameters of an long waveguide of prismatic geometry from anisotropic single-crystal material of a cubic system on the phase velocities of traveling normal waves with varying of variability of forms of elastic displacements. Waveguide have absolutely flexible inextensible thin inertialess coatings of a faces. The technique is based on the description of parameters with scatter errors in the form of fuzzy-intervals quantities and on the transition to fuzzy-set arguments in the analytical representations of wave numbers for various branches of the dispersion spectrum. The alpha-level form of the heuristic generalization principle is used. Examples of a fuzzy-set description of a series of frequency distributions characteristics of phase velocities of traveling normal waves for a waveguide from a silicon single crystal are given.

Keywords: fuzzy-set mathematical modeling, heuristic generalization principle, anisotropic prismatic waveguides, materials of a cubic system, rectangular sections, flexible inextensible face coatings, normal elastic waves, frequency dependences of phase velocities, influence of scatter errors of initial parameters.

ГОУ ВПО "Донбасская национальная академия строительства Получено 08.07.2020

и архитектуры", Макеевка

s.storozhev@donnasa.ru