ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНО ОРИЕНТИРОВАННЫХ ТРЕХПАРЦИАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН В ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАДИЕНТНОМ ОРТОТРОПНОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.

№4 (81) / 2022.

МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

УДК 539.3:534.1

doi:10.24412/0136-4545-2022-4-15-22 EDN:JBHEKR

©2022. А.А. Глухов, В.И. Сторожев, В.А. Шалдырван

ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНО ОРИЕНТИРОВАННЫХ ТРЕХПАРЦИАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН В ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАДИЕНТНОМ ОРТОТРОПНОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

Рассматривается новая модификация модели распространения произвольно ориентированных трехпарциальных поверхностных волн в функционально-градиентном ортотропном полупространстве, в которой применяется отличный от ранее использовавшихся вариант экспоненциального закона изменения физико-механических характеристик полубесконечного ортотропно-го функционально-градиентного тела при отходе от границы вглубь полупространства вдоль одного из упруго-эквивалентных направлений. Вводимая функция непрерывной неоднородности характеризует локализацию области интенсивных изменений физико-механических параметров материала в приграничной зоне полупространства и асимптотическое сглаживание закона изменения свойств в глубине массива.

Для рассматриваемой модели предложен и реализован итерационный численно-аналитический алгоритм интегрирования системы дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами, описывающей распространение гармонических произвольно ориентированных в граничной плоскости трехпарциальных поверхностных волн.

Ключевые слова: упругое ортотропное полупространство, поперечная непрерывная неоднородность, распространение локализованных волн, системы волновых уравнений, аналитическое интегрирование, векторные ряды.

Введение. Проблемы волнового деформирования неоднородных функционально-градиентных упругих сред относятся к числу крайне актуальных фундаментальных и прикладных задач математического моделирования для целого ряда научно-технических отраслей. В частности, исследование закономерностей распространения поверхностных волн напряжений вдоль плоских граничных поверхностей при одновременном учете анизотропии и неоднородности физико-механических свойств полубесконечных тел представляет интерес для проектно-конструкторских разработок области акустоэлектронных радиокомпонентов на поверхностных ультраакустических волнах. Эти же проблемы имеют важное значение для горной сейсмоакустики.

Ввиду значимости исследований по данной проблематике, методы исследования моделей локализованных поверхностных волн у границ непрерывно-

неоднородных сред рассматривались в работах [1-6] на основе ряда подходов к описанию свойства локализацию области интенсивных изменений физико-механических параметров материала в приграничной зоне полупространства и асимптотическое сглаживание закона изменения свойств в глубине массива. Так, для описания данных свойств в работах [3-5] применялся прием выделения в полубесконечном теле приграничного слоя с непрерывной экспоненциальной тол-щинной неоднородностью физико-механических параметров и находящейся под ним, сопрягаемой с неоднородным приграничным слоем полубесконечной области, занимаемой однородной средой. Вариант приближенного решения уравнений для поверхностных волн релеевского типа в изотропной среде с указанной неоднородностью физико-механических свойств приведен в [2].

С учетом вышеизложенного, целью данной работы является разработка аналитического алгоритма интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами третьего порядка, описывающей распространение произвольно ориентированных трехпарциальных поверхностных волн в функционально-градиентном ортотропном полупространстве в рамках нового варианта модели локализованной у его поверхности зоны выраженной непрерывной неоднородности физико-механических свойств. Результаты представляемого исследования обобщают подход, рассматриваемый в работе [1].

1. Общая характеристика и основные соотношения модели.

Рассматривается ортотропное функционально-градиентное полубесконечное упругое тело, занимающее в координатном пространстве 0х1х2хз область

V = {(xi,X2) е К2,хз > 0} , (1)

и имеющее ориентированные вдоль координатных осей Oxj упруго-эквивалентные направления. Вдоль координатного направления Охз физико-механические характеристики материала являются переменными непрерывными величинами.

Для описания эффектов существования локализованной у граничной поверхности тела хз = 0 зоны существенной непрерывной неоднородности его свойств со снижающимися при отходе от границы вглубь полупространства (при неограниченном росте |хз|) темпами изменения соответствующих величин, используется функциональный закон изменения плотности и упругих постоянных

Р (хз) = Ро • У (X,в, хз), Cij (хз) = Cij0 • у (X, в, хз) (2)

(ij = 11,12,13,22,23,33,44, 55,66) , у (X, в, хз) = ехр (Хехр (-вхз)), ( )

где X, в - действительнозначные параметры неоднородности; в > 0 при хз > 0 и в < 0 при хз < 0.

При таком варианте описания закона неоднородности материала полупространства, в его глубине

Cij ^ Cijo, Р ^ Ро,

а при малых значениях толщинной формируется приграничная зона неоднородности, характеризуемая совокупностью параметров X, в.

Для материала рассматриваемого типа система уравнений пространственного динамического деформирования относительно функций волновых упругих перемещений Uj (xi,x2,xs,t) принимает вид

д2 \

сп (ж3) д\ + с66 (ж3) д\ + с55 (ж3) д\ + с'55 (ж3) (h ~ Рт^ J Uw+

+ (С12 (хз) did2 + ceo (хз) diд2) U20+ + (ci3 (хз) diдз + C55 (хз) did3 + C55 (хз) di) U30 = 0, (C12 (хз) did2 + Cee (хз) did/) Uio+

+ ^c66 (ж3) df + C12 (ж3) д\ + C44 (ж3) д\ + c'u (ж3) д3 - P^^j и20+ (3)

+ (с2з (хз) d2дз + C44 (хз) д2дз + c'44 (хз) di) Uзo = 0, (С55 (хз) dd + Clз (хз) дд + ciз (хз) di) Uw+ + (C44 (хз) д2дз + C23 (хз) д2дз + C/23 (хз) д/) U20+

+ ^С55 (ж3) + С44 (ж3) д\ + Сзз (ж3) д\ + с'33 (ж3) д3 - p-j^j изо = 0,

где

dj = rj/r^j.

Для комплексных функций колебательных перемещений в стационарных упругих волнах, распространяющихся вдоль произвольного направления в плоскости Ох^2, характеризуемого компонентами ni,n/ вектора волновой нормали, вводится представление:

Uj (хьх/,хз^) = Uj0 (хз) e-i(ut-k(n1 (4)

В результате подстановки представлений (4) в уравнения (3) относительно амплитудных составляющих U^^) комплексных функций волновых перемещений может быть получена система обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка, имеющая в матрично-векторной форме вид

(Ai9i + A2d3 + A3)F = 0, (5)

где

f = (u10,u2o,u3o)t, (6)

/C55 0 0

Ai = о с44 о

V о О Сзз, C55 0 ikni (ci3 + C55)N

А2 = I 0 44 ikn2 (с23 + С44)

yikni (Ci3 + C55) ikn2 (C23 + C44) c3

зз

Аз =

^О2 - (сцк2п1 + Сббк2п^) - (С12 + свв) к2пп гкп1с'55

- (С12 + Сбб) к2П1П2 О2 - (сбвк2п2 + С12к2п2) гкп2с'44

гкп1с1з гкп2С2з О2 - (с55к2п2 + С44к2п2)

Далее, с учетом выражений

4 Ы= с^е-^3е^3 7 = 0Л; (7)

Л2=4°)+41)7е-/3жз, (8)

систему (5) можно записать в виде

(40)932 + + 40)) Е = -те"^3 (А^д3 + Е, (9)

где А^0 , А0 , А0 - матрицы левой части уравнения (9), имеющие вид

А0) =

4°) =

/С(0)

С55 0

V 0

0

0

С(0) с13

^кп1 (С103) + ^ гкп2 (4а + С44))

С(0) С44

0 0

0

(0) 23

0

0

С(0)

С33

)

гкп1 + С505 ^

гкп( (с2°3) + с404

(10)

А(0) = ^з -

/ П2- (с™ к2п2 -(42 к2п1т

12

- (с12) +сбб ) к2П1П2 П2 - (с1?к2п1 +с(°6)к2П1П2^

V

а а(1),А^1) - матрицы правой части уравнения (9):

I 0

П2^с1°1)к2п2+с6°°)к2щп2) )

А(1) —2

с55 0 0 ^

0 С(°) с44 0

0 0 с(0)/ с33 /

А(1)

0 гкп1с5<5)^ 0 гкп2с44 ^гкщС-0 гkn2c2<3) 0 /

(11)

0

Для интегрирования системы (9) применяется метод последовательных приближений, представляемый алгоритмом

Е = Е0+Е1+Е2 + ...+Еп + ...,

(4Ч2++40)) £1 = +Л1^) Ео,...,

(4°ч2+40)9з+40)) еп = (44+41)) рп_ь

(12)

(14)

В качестве исходного этапа реализации этого алгоритма на основе интегрирования методом Эйлера однородной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

(4ч2++40)) е = о, (13)

имеющей в развернутой форме вид

4541 + гкш (4? + 4°5)) и3о + )п2 - (с^к2п1 + С606}к2пщ*)) И01-- (4? + 4°б) кЧпЩо = о, 4°4)и0/2 + гкщ (4? + 4?) и3о - (с!0* + 4б)) к2П1П2и1о+

+ (о2 - (с(101)к2п? + 4°бк2П1П2)) и02 = о,

с33)и0/з + гкп1 ((103) + <§) Ц[0 + гкп2 ()? + 4?) ^0+

+ (о2 - (с101)к2п? + с606)к2пт^) ^03 = 0. В процессе интегрирования система (14) преобразуется к форме

аЩ + ЬЦ 0 + С1^01 + (11 и20 = 0,

02^2 + Ь2И3 0 + С2И01 + ¿2И02 = 0, (15)

аз и/3 + ЬзИ10 + С3И/2 + №0 = 0,

и после подстановки И01 = Q1eгxз,И02 = Q2eëxз,И0з = Q3eëxз трансформируется в однородную систему алгебраических уравнений относительно неизвестных Q1,Q2, Qз:

(01 52 + а) Ql + ¿^2 + Ь^з = 0, (C2Ql + М2 + ¿2) Q2 + Ь2¿Qз = 0, (16)

Ьз5Ql + сз5Q2 + М2 + ¿з) Qз = 0. Из (16) следует полиномиальное характеристическое уравнение для 5 и соотношения связи Q1,Q2 , Q3 при каждом 5^:

(а152 + с^ Ь15

С2 (а252 + с^ Ь25 = (17)

Ьз5 сз 5 (аз52 + ¿з)

= 010203^ + (а1а3С2 + а2а3С1 + (11(12(13 - а2^163 - а162С3) б4+ + (С1С2а3 + а1С2(3 + С102(3 + ¿16263 + Ь1С2С3 - 6163С2 - (1С2а3 - 62С1С3) б2 +

+С1С2(3 - С2^1(3 = 0.

Преобразуя (17) к виду

Аб6 + Бб4 + Сб2 + Б = 0, (18)

можно найти явные аналитические выражения для величин ба с применением формул Кардано.

Отвечающие данному множеству значений ба решения системы дифференциальных уравнений (16) выбираются в виде:

Цл = д(11)еЙ1Ж3 + я1]е&2Х3 + д^е^3 + я14)ег4Х3 + я[5)е65 Х3 + Я^6 Х3, ^02 = д21)еЙ1Х3 + я22)еЙ2Х3 + я23)егзХз + я24)еЙ4Х3 + я25)ейбХ3 + я26)еёбХ3, (19) и03 = д31)еЙ1Х3 + д32)еЙ2Х3 + д33)еЙ3Х3 + д34)еЙ4Х3 + д35)ейб Х3 + я3]её6 Х3,

а) а) а)

а для связывания коэффициентов Я1 , Я2 , Я3 соответственно записываются системы линейных алгебраических уравнений

(к б2 + С1) я(а ) + (1я2а)+61 бя3а) = 0,

1(а) , („„ ^2 , л (а) , и ХГ>а)

(с2Я1а) + М2 + (2) Я27) + МЯ3а) = 0, (20)

Ь3бя[а)+С3бя2а) + (13 б2+(3) я3а)=0,

и их решения находятся в форме

яа = Я(а), я2а) = Д2а )Яа), я3а) = Д3а )Яа); (21)

Д2а) = (6263 - С213) б2 - С2(к)Х-1,

(22)

д3а) = (-а263б2 + С2 С3 - (263) б а х-1.

В итоге, записывается представление в виде линейной комбинации базисных частных решений с произвольными коэффициентами с^

Ео = аЕо1 + С2Е02 + СзЕоз + С4Е04 + С5Е05 + с-бЕоб, (23)

где

= /о/'*8» ¿У = (1'

Далее, в рамках алгоритма (12) соответственно строятся шесть векторных базисных частных решений системы (9), отвечающих последовательному выбору

Ео=Ео,, Е., Е13=11/6>-13)хз,-, Еа3=1п/^)хз, (25)

где

£пз = -Ш1ijMznjL-l,,'

Minj = Vi - nßf + (öj - nß) + M2raj = ({53 -ß)Al+ Ai) и, следовательно,

1_пз = {~1)П М~1п,]М.2п,]М-1п-1 ,]М-2п-1■ - ■ МГбМ21;,/01. (27)

В итоге, с введением обозначения

Япз=М~13М2щр (28)

представление для соответствующего базисного частного решения (9) может быть записано в следующем явном виде

(хз) = /0,е<^3 - +

+ (-7ТМ1^),Ж2п)ЖГп1-1),М2п-1)г--ЖГбЖ21;,/01е(^-га/3)жз + ... = (29)

= f0jes'X3 -lQ,JfUe^-ß)x3 +42Q„Q„fn/S>-2ß)x3 - •••+

+ (-7)n£Â_ ir-QiMiS3~nß)X3 + ■■■

Заключение. Найденные с применением изложенной методологии векторно-матричные аналитические представления (29) для амплитудных векторных функций колебательных упругих смещений в трехпарциальных локализованных гармонических волнах, распространяющихся вдоль граничной поверхности полубесконечного ортотропного тела с локализованной у граничной поверхности непрерывной экспоненциальной толщинной неоднородностью физико-механических параметров, являются базовыми элементами для получения решений задач о гармонических произвольно ориентированных в граничной плоскости трехпарциальных поверхностных волнах. Построенные решения применимы также для исследования волновых деформационных процессов в геомассивах с пластами полезных ископаемых, заключенными между упругими неоднородными полупространствами горных пород, в том числе для теоретического анализа строения и свойств массивов геоакустическими методами.

1. Болнокин В.Е. Анализ модели распространения сдвиговых упругих волн в полубесконечном трансверсально-изотропном функционально-градиентном геомассиве / В.Е. Болнокин, А.А. Глухов, В.И. Сторожев. // Журн. теорет. и прикладной механики. - 2022. -№ 3(80). - С. 14-19.

2. Викторов И.А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах / И.А. Викторов. — М.: Наука, 1981. — 142 с.

3. Birman V. Modeling and Analysis of Functionally Graded Materials and Structures / V. Birman, L.W. Byrd // Appl. Mech. Rev. - 2007. - Vol. 60, N 5. - P. 195-216.

4. FGM: Design, processing and applications / Y. Miyamoto, W.A. Kaysser, B.H. Rabin et al. -Dordrecht: Kluwer Academic, 1999. - 434 p.

5. Yang Y.-H. Non-destructive detection of a circular cavity in a finite functionally graded material layer using anti-plane shear waves / Y.-H. Yang, L.-Z. Wu, X.-Q. Fang //J. Nondestructive Eval. - 2010. - Vol. 29. - P. 233-240.

6. Бирюков С.В. Поверхностные акустические волны в неоднородных средах / С.В. Бирюков, Ю.В. Гуляев, В.В. Крылов, В.П. Плесский. - М.: Наука, 1991. - 414 с.

A.A. Glukhov, V.I. Storozhev, V.A. Shaldyrvan

Integration of a system of equations arbitrary oriented three-partial surface waves propagation in a functional-gradient orthotropic half-space.

A new modification of the model of arbitrarily oriented three-partial surface waves propagation in a functionally gradient orthotropic half-space is considered. The introduced function of continuous inhomogeneity characterizes the localization of the area of intense changes in the physical and mechanical parameters of the material in the boundary zone of the half-space and the asymptotic smoothing of the law of change in properties in the depth of the massive. For the model under consideration, an iterative numerical-analytical algorithm for integrating a system of differential equations in partial derivatives with variable coefficients is proposed and implemented, which describes the propagation of harmonic three-partial surface waves arbitrarily oriented in the boundary plane.

Keywords: elastic orthotropic half-space, transverse continuous inhomogeneity, propagation of localized waves, systems of wave equations, analytic integration, vector series.

ГОУ ВПО «Донецкий национальный университет», Донецк Получено 17.11.2022

Donetsk National University

[email protected]