АЛГОРИТМ ИССЛЕДОВАНИЯ ВОЛН СДВИГА В ВОЛНОВОДЕ ИЗ СОСТЫКОВАННЫХ ПОД УГЛОМ ОРТОТРОПНЫХ ПОЛУСЛОЕВ С УЧЕТОМ СИНГУЛЯРНОСТИ ПОЛЕЙ НАПРЯЖЕНИЙ В КРАЙНИХ ТОЧКАХ ОБЛАСТИ КОНТАКТА СОСТАВЛЯЮЩИХ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545 ^Курнал теоретической и прикладной механики.

№2 (79) / 2022.

УДК 539.3:534.1

doi:10.24412/0136-4545-2022-2-30-38 EDN:BTQLJB

©2022. М.Н. Пачева

АЛГОРИТМ ИССЛЕДОВАНИЯ ВОЛН СДВИГА В ВОЛНОВОДЕ ИЗ СОСТЫКОВАННЫХ ПОД УГЛОМ ОРТОТРОПНЫХ ПОЛУСЛОЕВ С УЧЕТОМ СИНГУЛЯРНОСТИ ПОЛЕЙ НАПРЯЖЕНИЙ В КРАЙНИХ ТОЧКАХ ОБЛАСТИ КОНТАКТА СОСТАВЛЯЮЩИХ

Представлена разработка теоретического алгоритма численно-аналитического решения задачи о распространении сдвиговых упругих волн в волноводе из состыкованных под углом прямолинейно ортотропных полуслоев на базе метода рядов по базисным множествам нормальных волн в стыкуемых компонентах с учетом возможного возникновения особенностей степенного типа в угловых точках, отвечающих границам области их идеального механического контакта.

Ключевые слова: упругие сдвиговые волны, анализ эффектов распространения, анизотропный составной волновод, стыкуемые под углом полуслои, особенности в полях напряжений, специальные однородные решения, метод рядов по базисным нормальным волнам.

Введение и цели исследования. В исследованиях по актуальной проблеме применения численно-аналитических методов для анализа закономерностей распространения акустических и упругих волн по составным волноводам кусочно-однородной структуры [1—2], описываемых краевыми задачами для уравнений динамического деформирования с однородными и контактными граничными условиями на различных участках границ рассматриваемых тел, важным аспектом является учет возможного появления особенностей в представлениях полей механических напряжений для краевых точек поверхностей сопряжения разнородных компонентов. Различные аспекты проблемы возникновения таких особенностей для ряда вариантов задач механики деформирования неоднородных составных тел и элементов конструкций рассмотрены в работах [3-7]. Роль полученных в этих работах результатов заключается, помимо прочего, в последующем использовании данных о наличии и типе вышеуказанных особенностей для эффективного корректного решения задачи удовлетворения краевым условиям на контактных поверхностях составных тел [1-8].

В контексте представленных соображений, целью настоящей работы является описание теоретического алгоритма решения задачи о распространении сдвиговых нормальных упругих волн в волноводе из состыкованных под углом прямолинейно ортотропных полуслоев с учетом возможного возникновения особенностей степенного типа в угловых точках его продольного сечения, отвечающих границам отрезка контакта сопрягаемых элементов.

1. Описание условий появления и показателей особенностей в полях касательных напряжений. Как указано выше, элементом исследования свойств стационарных волн деформаций в кусочно-однородных волноводах является учет возможностей появления особенностей полей напряжений в угловых точках их сопрягаемых составных элементов, и данные об особенностях поведения волновых полей в окрестности таких точек представляют интерес в дальнейшем процессе анализа соответствующих краевых задач [1—8].

Исследуемый волновод рассматривается как составное ортотропное упругое тело из полуслоя Vi толщины 2hi с ортогональным к граням плоским торцом Г1 и полуслоя V2 толщины 2h2, где h2 = h1 ■ sin a, с плоской торцевой границей Г2. Полуслой V2 наклонен на угол a по отношению к Vi. Торцевые поверхности Г1 и Г2 при стыковочном наложении образуют плоскость Г идеального механического контакта полуслоев Vi и V2.

В процессе применения для решения рассматриваемой задачи численно-аналитического метода рядов по базисным множествам бегущих и краевых стоячих

нормальных волн для каждой компонент волновода, в телах Vi и V2 вводятся

(i) (i) (i) / _\

локальные координатные системы Ox\ x2 x3 j = 1, 2J, имеющие общий полюс O, расположенный в центре Г. Соответственно, ось Oxi2) наклонена на угол a по отношению к Oxi1). Во введенных координатных системах составные части волновода занимают области

Vi = {-те < x(ii) < 0, x3i) е [—hi,hi], x2i) e (-те, те}} V2 = {x^ /tga < x(2) < те, x32) e [—h2,h2], x22) e (—те, те}},

(1) (2)

причем на контактной поверхности 1 выполняется условие x3 = x3 / sin a. Плоские граничные поверхности x^1) = ±hi, xjj2) = ±h2 составных частей рассматриваемого волновода считаются свободными от напряжений.

Материалы рассматриваемых слоев, по предположению, являются ортотроп-

ными. Упруго-эквивалентные направления для материалов полуслоев Vj колли-

(j) (j) (j)

неарны осям локальных координатных систем Ox( x2 x3 и характеризуются упругими постоянными С44, . При этом, в координатной системе Ox(1)x^1) свойства материала V2 характеризуются совокупностью постоянных

(2a) (2) 2 , (2) . 2 (2a) (2) 2 , (2) . 2 С44 = С44 cos a + С55 sin a, c55 = С55 cos a + С44 sin a,

(2a) , (2) (2) \ . (2)

c45 = (с44 —С55 ) sina cosa.

В рассматриваемом случае распространения волн сдвигового типа заключение о возможности появления особенностей для характеристик поля напряжений в крайних точках Г, данные об их характере и порядке, могут быть получены на основе методик асимптотического анализа задач статического антиплоского деформирования составных клиновидных тел, изложенных в публикациях [8-9].

Для применения в данной работе рассматриваются следующие варианты постановки и анализа задачи об определении характера асимптотического поведения характеристик поля сдвиговых перемещений и касательных напряжений в окрестности угловой точки составного анизотропного упругого клина при антиплоской деформации [9]. Базовой является задача об антиплоской деформации составного клина из двух разнотипных однородных анизотропных клиновидных элементов, внутренние поверхности которых находятся в идеальном механическом контакте друг с другом, а на внешних граничных поверхностях могу быть заданы краевые условия отсутствия напряжений, отсутствия перемещений, либо комбинированные условия одной свободной и закрепленной второй поверхности.

Анализ вопроса о существовании особенности полей напряжений в вершине клина применительно к описанным случаям представлен в работе [9] и сведен к определению показателя ( особенности степенного типа из соответствующего трансцендентного уравнения. В ней исследуется антиплоская задача для составного кусочно-однородного прямолинейно-анизотропного клина с сечением, представленным в координатной плоскости Ох 1X2 двумя контактирующими секторными областями

= {0 < г< ж, 0 < в < вг} (3)

с границами

Го = {0 < г < ж, в = 0}, Гг = {0 < г < ж, в = вг} (4)

и

52 = {0 < г < ж, -в2 < в < 0} (5)

с границами

Го = {0 < г < ж, в = 0}, Г2 = {0 < г < ж, в = -в2}. (6)

Рассматривается случай идеального механического контакта составляющих по границе Го, задания на Г г и Г2 условий отсутствия напряжений либо задания на Г г и Г2 условий отсутствия упругих перемещений, а также случай отсутствия на Г г напряжений, а на Г2 - перемещений.

Устанавливаемые в [9] асимптотические представления для напряжений 0% , а23 (] = 1, 2) в окрестности вершины составного клина в областях с сечениями его компонентов из материалов с упругими постоянными с®, с®,с® имеют вид

а13 = + АЬ-жг)*"-1 + В^^хх +Т17-Ж2)<°~\

а^ = 1 + ЦjX2)C'~l - В^{х 1 + 2)с— 1;

^ = (¿%/¿5?) + «о%/0% - %о%/о%)г/2, (8)

где , - произвольные постоянные коэффициенты.

В перечисленных случаях задания граничных условий на внешних поверхностях составного клина показатели особенности Z соответственно подлежат определению из уравнений

(X + 1) sin Z(^1 + ^2) + (X - 1) sin Z(^1 - ^2) = 0, (9)

(X + 1) sin Z(^1 + ^2) - (X - 1) sin Z(^1 - ^2) = 0, (10)

(X + 1) cos Z(V1 + V2) + (X - 1) cos Z(V1 - V2) = 0. (11)

В приведенных уравнениях в общем случае

X = ((c44 ^55) - (c45)) )/(c44')^55) - (с4б)) )) 1 ; (12)

<pi = arg(cos в\ + ¡jli sin if2 = arg(cos 62 — Щ sin O2).

При этом асимптотическое повеление функций сдвиговых упругих перемещений и касательных напряжений в окрестности вершины составного клина для областей Sj описывается представлениями

и\р(х\,х2) = Ajrrij(x 2 + ¡JLjX i)C + BjTñ~j(X2 +~pjXi)L(13)

где

тз = - 4Í> щ = 4S~pj - 4Í • (l4)

В случае существования действительных корней 0 < Z < 1 уравнений (9) - (11)

(j) (j)

анализируемые поля динамических напряжений &13 , будут иметь особенность в вершине составного клина.

Применение этого результата для анализа возможного появления и учета особенностей полей напряжений в угловых точках сопрягаемых составных элементов описанного выше кусочно-однородного волновода, образованного состыкованными под углом анизотропными полуслоями, реализуется следующим образом.

Для рассматриваемого составного тела крайние угловые точки ж^ = h и ж^ = -h1 контактного отрезка Г границы могут быть в асимптотическом смысле интерпретированы как вершины двух описанных выше тел в виде составного клина со свободными границами Г1 и Г2 из анизотропных материалов с упруги-

(1) (1) (2а) (2а) (2а)

ми постоянными c44 , c55 и c44 , c55 , c45 , имеющих в случае клина с вершиной в точке ж11) = 0, ж^1) = h1 угловые параметры в1 = п/2 + а, в2 = п/2, и в случае клина с вершиной в точке ж^ = 0, ж^1) = -h1 угловые параметры О1 = п/2 - а, в2 = п/2. Параметр Z асимптотического поведения полей напряжений в угловой точке клина в данном случае соответственно подлежат определению из уравнения

(X + 1) sin Z(V1 + V2) + (X - 1) sin Z(V1 - V2) = 0, (15)

в котором

X = ((С44 cos2a + С55 sin2a)(c¿5) cos2a + c44 sin2а) — -((cS-4?) sina cosa)2)/ (cffc5J))1/2,

»1 = i(c4S /c55 )1/2 ,»2 = i(c44)/4?)1/2,

а также ipi = arg(—sino; + /и 1 eos a), Lp2 = arg(—/Z2) Для клина с вершиной в точке х^ = 0, Жд1^ = h\ и ip\ = arg(sina — /¿i eos ск), <£>2 = arg(—/12) Для клина с

вершиной в точке ж)"' = 0, х^ = —Н1.

2. Алгоритм применения метода динамических однородных решений при наличии особенностей в полях контактных напряжений. В случае выявления степенной особенности поля напряжений с показателем £1 — 1 < 0

(1) П (1) 7

в окрестности точки ж) =0, Ж3 = 111, решение краевой задачи о прохождении по волноводу нормальной сдвиговой волны с заданной симметрией по толщине, с заданной частотой и длиной, на основе применения метода рядов по базисному множеству бегущих и краевых стоячих нормальных волн [10] реализуется следующим образом.

В предположении о том, что исходная, приходящая к поверхности Г из глубины VI сдвиговая гармоническая волна является симметричной нормальной волной круговой частоты ш, принадлежит моде с номером р из соответствующего дисперсионного спектра и характеризуется амплитудой ио, первичное представление для волнового поля в VI выбирается в виде суммы падающей и отраженной от Г составляющих

(1) í ( и2 = и0 cos(a^

те

+ cos^))е-г(ш'+к^+ А(1 sin(e(1)ж^е-^+^М1')),

(1) ж(1) )е к

(s)x(1)) 1р x1 ) +

(17)

n=0

а для прошедшей в волны в виде

и23) = У А^ cos(a(3)x33))е-^-к-*13)) + a(32) sin(e(3)ж12))), (18

где

n1

n=0

a,

U) = (2та + ^ Ф)

2W) ' 3n

в'П

nn

k(a) = kjn =

_ M f™)

(j)

pKJ,UJ" ~Km) /Ce6

1/2

1/2

(19)

волновые числа

Л(Щ, ЛЩ, Л^), АЩ - неизвестные коэффициенты, к^П, кП для симметричных (в) и антисимметричных (а) нормальных волн моды п в слое.

2

2

Далее, при наличии особенности полей напряжений в точке x^ = 0, = hi, для полуслоя Vi записывается разложение функции ) = (hi — x^)Zl по

образуемому граничными представлениями на Г для комплексных амплитудных функций базисных нормальных сдвиговых волн в Vi

{u2p (x() , x3 ^)} = (20)

= {cos(q spi x3i} )exp(ffcspi x^ )}[J{sin(q cpix3i))exp(ikCpi x^)} множеству базисных функций

{cos qspix3\ sinqcpix3i) }£=q, qcpi = (2p + 1)^/(2hi), qspi = (p + 1)^/hb (21) Данное разложение имеет вид

те

Ti(x3i)) = (hi — x3i))í1 = ^(Ccpi cos qspix3i} + {spi sin qcpix^), (22)

p=Q

{cpi = (2hi) i( f (hi — x3i))Zl cos qspix3i)dx3i)), ■J-h1

Cspi = (2hi)-i( /hl (hi — x3i))Zl sinqcpix3i)dx^), h1

(23)

и на его основе формируется представление для учитывающего наличие особенности специального частного однородного решения вида

U2Z1 (x((i) ,x^i)) =

те

E(Ccpi cos qspix3i) exp(ikspix(i)) + {spi sin qcpix3i) exp(ikcpix(1))). p=0

(24)

Соответственно, для полуслоя V2, в котором угловой точке ж 11) = 0, ж^1) = h1, отвечает точка ж12) = h2 tga = h1 sin а, ж32) = h2, в этом случае формируется представление для специального частного однородного решения вида

те

U2Z-1 (ж12) ,ж(2)) = ^(Icp1 cos qsp2Ж(p exp(iksp2(ж12) - h1 sin а))+ (25) p=0

(2) (2) +{sp1 sin qCp2Жз exp(ikCp2(ж1 - h1 sin а))),

где

qcp2 = (2p + 1)n/(2h2 ),qsp2 = (p + 1)n/h2, (26)

{cpi = (2h2)-i( / (h2 — x32))Zl cos qsp2x32)dx32)),

{spi = (2h2)-i ( / 2 (h2 — x32) )Zl sin qcp2xf dx32)). J-h 2

Аналогично, если степенная особенность поля напряжений с параметром Z2 — 1 < 0 выявляется в окрестности точки x^ = 0, x3^ = —hi для полуслоя Vi, то формируется представление для специального частного однородного решения вида

U2Z2 (xii),x^i)) =

те

^({cp2 cos qspix3i) exp(ikspix((i)) + {sp2 sin qcpix3i) exp(ikcpix((i))), p=Q

(28)

в котором

{cp2 = (2hi)-i( [hl (x3i) + hi)Zl cos qspix3i)dx3i)), ■J-hl

{sp2 = (2hi)-i( /hl (x3i) + hi)Zl sinqcpix3i)dx3i)).

J-h1

(29)

В этом случае для полуслоя V2 в котором угловой точке ж 11) = 0, ж31) = -h1, отвечает точка ж12) = -h1 sin а, ж32) = -h2, формируется представление для специального частного однородного решения вида

U2C2(xi2),x32)) = £({cp2cosqsp2x32) exp(iksp2(xi2) + hi sina))+

p=Q

(30)

где

(2) (2) +{sp2 sin qcp2x\' exp(ikcp2(x\ + hi sin a))),

qcp2 = (2p + !W(2h2 ),qsp2 = (P + 1)n/h2, (31)

{cp2 = (2h2)-i( /h2 (x32) + h2)Z2 cos qSp2x3)dxf), h2

h2

{sp2 = (2h2)-i ( / 2 (x32) + h2)Z2 sin qcp2xf dxf ). J-h2

(32)

В ситуациях наличия устанавливаемых особенностей, отвечающие им специальные частные однородные решения и2^1 (х(1), хЗ1), и2^2 (х(1), хЗ^), и2^1 (х(2), х32)), и2^2(х(2),х32)) с множителями в виде подлежащих определению коэффициентов ^2С1, , , , добавляются к соответствующим представлениям (17) и (18).

Дальнейший этап реализации алгоритма исследования волн сдвига в волноводе из состыкованных под углом ортотропных полуслоев состоит в нахождении значений коэффициентов редуцируемых разложений (17), (18) из алгебраизиру-емых на базе метода ортогональных рядов функциональных граничных условий на контактной поверхности Г

4«)г„ = (<42')г„, (4>)rii = (^, (зз)

записываемых с учетом соотношений связи координат

(x(2))r = x^ sin a, (x32) )г = x^ cos a. (34)

В соотношениях (34) представление

O^p = al2 COS ("Г12 Л 02Ж(12)) + 0-32 COS («Г12 Л 0242))

описывает касательные динамические напряжения на контактной площадке Г с нормалью ñr12 •

В процессе алгебраизации осуществляется домножение соотношений граничных условий (33) на элементы функциональной системы

{cos qspix^, sinqcpix^ }™=o, qcpi = (2p + 1)n/(2hi), qspi = (p + 1)n/hi, (35)

и интегрирование по ж^ в пределах от -hi до hi . При этом выполняется согласование пределов редукции в разложениях (17), (18) и количество выбираемых элементов функциональной системы (35) для получения относительно искомых коэффициентов систем линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей.

Выводы. Результатом представляемых в работе исследований является разработка теоретического алгоритма анализа эффектов распространения сдвиговых нормальных упругих волн в составном анизотропном волноводе из состыкованных под углом прямолинейно ортотропных полуслоев при учете возможного возникновения особенностей степенного типа в крайних точках отрезка контакта сопрягаемых элементов. В случае существования таких особенностей, в базисное множество частных решений волновых уравнений для компонент волновода, отвечающих бегущим и краевым стоячим нормальным волнам, добавляется специальное отражающее наличие особенности однородное решение, что может качественно повышать точность удовлетворения функциональных контактных краевых условий на границе сопряжения полуслоев при использовании для их алгебраизации метода ортогональных рядов.

1. Гетман И.П. Математическая теория нерегулярных твердых волноводов / И.П. Гетман, Ю.А. Устинов. - Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ. - 1993. - 144 с.

2. Вовк Л.П. Динамические задачи для тел сложной структуры. / Л.П. Вовк - Ростов-на-Дону: Ростовский гос. строит. ун-т, 2003. - 169 с.

3. Вовк Л.П. Исследование локальной особенности волновых характеристик около угловой точки линий раздела составного тела / Л.П. Вовк // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. - 2004. - №2. - С. 38-42.

4. Вовк Л.П. Особенности локальной концентрации волнового поля на границе раздела упругих сред / Л.П. Вовк - Донецк: Норд-Пресс, 2004. - 267с.

5. Вовк Л.П. О концентрации волнового поля на границе раздела упругих сред / Л.П. Вовк, Б.В. Соболь // Прикладная математика и механика. - 2005. - Т. 69. - Вып. 2. - С. 269-278.

6. Вовк Л.П. Особенности динамических напряжений в окрестности точки стыка трех упругих сред сред / Л.П. Вовк, Б.В. Соболь // Прикладная математика и механика. - 2005. -Т. 69. - Вып. 2. - С. 279-289.

7. Вовк Л.П. Оценка интенсивности локальной концентрации напряжений в окрестности границ сопряжения двух термоупругих сред / Л.П. Вовк, Е.С. Кисель // Журнал теоретической и прикладной механики. - 2017. - №3-4 (60-61). - С. 69-80.

8. Аванян В.Т. Характер напряженного состояния в малой окрестности вершины клина, изготовленного из различных анизотропных материалов / В.Т. Аванян, Н.В. Аванян, А.А. Баблоян // Известия Национальной академии наук Армении. - 2000. - Т. 53, № 3. - С. 5-11.

9. Саргсян А.М. О влиянии граничных условий на малонапряженность антиплоской задачи кусочно-однородного прямолинейно-анизотропного клина / А.М. Саргсян // Известия Национальной академии наук Армении. - 2002. - Т. 55, № 1. - С. 17-22.

10. Пачева М.Н. Модифицированная методика алгебраизации краевых условий в задаче о распространении упругой волны сдвига по волноводу из состыкованных под углом полуслоев / М.Н. Пачева, В.И. Сторожев, А.С. Телевной // Журнал теорет. и прикладной механики. - 2017. - № 2(59). - С. 65-74.

M.N. Pacheva

Algorithm for investigation of shear waves in a waveguide from angle-jointed orthotropic half-layers, taking into account the singularity of stress fields at the boundary points of the contact region of the components.

The development of a theoretical algorithm for the numerical-analytical solution of the problem of the propagation of shear elastic waves in a waveguide from orthotropic contacted at an angle half-layers based on the method of series on basis sets of normal waves in joined components is presented. The algorithm takes into account the possibility of a power-type singularity at the corner points corresponding to the boundaries of the region of their ideal mechanical contact. Keywords: elastic shear waves, analysis of propagation effects, anisotropic two-components waveguide, joined at an angle half-layers, singularities in stress fields, special homogeneous solutions, method of series on basic normal waves.

ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк Получено 21.04.2022

Donetsk National University, Donetsk

[email protected]