ТРАНСФОРМАЦИЯ НОРМАЛЬНЫХ УПРУГИХ ВОЛН СДВИГА ПРИ ПАДЕНИИ НА ПОВЕРХНОСТЬ КОНТАКТА ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО- ГРАДИЕНТНЫХ ПОЛУСЛОЕВ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.

№2 (75) / 2021.

МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

УДК 539.3:534.1

©2021. М.Н. Пачева

ТРАНСФОРМАЦИЯ НОРМАЛЬНЫХ УПРУГИХ ВОЛН СДВИГА ПРИ ПАДЕНИИ НА ПОВЕРХНОСТЬ КОНТАКТА ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАДИЕНТНЫХ ПОЛУСЛОЕВ

Представлена численно-аналитическая методика решения задачи о трансформации стационарной нормальной сдвиговой волны в составном плоскопараллельном волноводе при падении на поверхность контакта его компонентов в виде полуслоев из трансверсально-изотропных функционально-градиентных материалов. Используется концепция представления волновых полей в компонентах волновода разложениями по базисным множествам бегущих и краевых стоячих базисных нормальных волн. На основе приема алгебраизации функциональных граничных условий задача сведена к системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложений по нормальным волнам. Представлены результаты численного анализа эффектов, связанных с варьированием показателями непрерывной экспоненциальной неоднородности материалов контактирующих слоев.

Ключевые слова: составной плоскопараллельный волновод, закрепленные г'рани, контактирующие анизотропные функционально-градиентные полуслои, экспоненциальная толщинная неоднородность, нормальные волны сдвига, трансформация при падении на контактную поверхность, эффекты влияния показателей неоднородности.

Введение. Исследование закономерностей трансформации нормальных упругих волн, распространяющихся вдоль составного упругого волновода, образуемого контактирующими разнотипными по физико-механическим и геометрическим свойствам деформируемыми плоскопараллельными полуслоями, является одной из важных проблем научного и прикладного содержания в механике деформируемого твердого тела. Анализ моделей данного типа представляет интерес для механики строительных конструкций и сооружений, акусто-электроники, геоакустики, пластовой сейсморазведки и ультраакустической дефектоскопии, механики машин и механизмов. Обобщение и систематизация результатов целого ряда работ по данной тематике, выполненных с применением численно-аналитических подходов, представлены, в частности, в монографиях и статьях [1-4]. Однако, исследование проблемы анализа эффектов трансформация нормальных упругих волн в составных плоскопараллельных волноводах при их падении на поверхность контакта компонентов в виде неоднородных по толщине полуслоев из формируемых с применением аддитивных технологий функционально-градиентных трансверсально-изотропных материалов [5-8] на

данный момент остается неисследованной задачей волновой динамики деформируемых сред. В данном контексте, цель представляемого в настоящей работе исследования, являющегося развитием исследований, отраженных в работах [911], состоит в разработке численно-аналитической методики исследования модели трансформации нормальных упругих волн сдвига в составном закрепленном по граням волноводе при их падении на поверхность контакта одинаковых по толщине трансверсально-изотропных функционально-градиентных полуслоев.

1. Постановка задачи. Рассматривается составной упругий волновод, область которого во вводимой прямоугольной координатной системе Ох 1X2X3 описывается представлением

V = VI и У2 =

= {XI < 0, —те <х2 < те, —Н < х3 < Н}и (1)

и{х1 > 0, —те <х2 < те, —Н < х3 < Н}.

Компонента волновода V] является трансверсально-изотропным функционально градиентным телом с осью изотропии, коллинеарной координатному направлению Охз, а ее физико-механические характеристики имеют вид

си = соп ' ехР(Лзxз), сЦ = с0\2 • ехР(Лзxз),

с13 = с0'1)з ' ехР(Л3xз), с33} = созз ' ехР(Л3xз), (2)

С44) = с0?4)4 • ехр(Л]хз), Рз = рО] • ехр(Л]хз).

Определяющие соотношения для трансверсально-изотропных материалов представляются соотношениями

611 = сц ди + с12 д2П2 + с1здзиз, & 22 = с12 ди + с11 д2П2 + с1здзиз, &зз = с1з ди + с1з д2П2 + сзздзиз,

&23 = с44 (д2из + дзи2) , &13 = с44 (д1из + дзи1),

612 = (с11 — с12) /2 (д2из + дзи2).

Плоские граничные поверхности рассматриваемого составного волновода

Г± = {—те < х1 < те, —те < х2 < те, х3 = ±Н}, (3)

по предположению, являются жестко закрепленными. Граница раздела разнородных компонентов в составном волноводе

Г = {х1 = 0, —те <х2 < те, —Н < х3 < Н} (4)

является плоскостью идеального механического контакта его компонентов.

Исследованию подлежит модель распространения в рассматриваемом составном волноводе вдоль координатного направления Ох\ нормальной сдвиговой горизонтально поляризованной упругой волны (нормальной упругой волны БЫ типа) с циклической частотой ш. Для комплексной функции волновых упругих перемещений -2т (х1,х2,Ь) в падающей волне с учетом представленных элементов постановки рассматриваемой задачи вводится исходное представление вида

и2т(хьхз,£) = Рто(хз) • ехр(-г(шЬ - ктХ1)). (5)

В выражении (5) рто(хз) - комплексная амплитудная функция, Ь - параметр времени, к1т0 - параметр волнового числа рассматриваемой исходной распространяющейся волны. Полагается, что рассматриваемая нормальная волна в области VI падает на плоскость контакта компонентов, в результате чего формируются поля отраженных от Г и прошедших Г упругих волн, характеризуемые, соответственно, комплексными функциями волновых упругих перемещений и«(х1,х2,Ь) и -22)(х1 ,х2,Ь). В соответствии с принимаемой концепцией численно-аналитического исследования рассматриваемой проблемы, для искомых полей отраженных и прошедших волн вводятся представления в виде разложений по базисным множествам бегущих и краевых стоячих волн в соответствующих компонентах составного волновода

го

-21)(х1,хз,Ь) = ^Р1Р(хз) • ехр(-1(шЬ + к^х1)), (6)

р=0

го

-22)(х1,хз,Ь) = ^ Р2р(хз) • ехр(-г(шЬ - кр2х1)). (7)

р=0

В целом рассматриваемая краевая задача включает уравнения волновых движений для компонент с исходной формой

дю12 + дз^2 - р3д^ =0; (8)

краевые условия на плоских гранях Г±

[и2'°(х1,хз ,Ь)]г± =0; (9)

а также краевые условия на плоскости Г идеального механического контакта компонентов

[-21) (х1,хз ,Ь) + и2тт (х1 ,хз ,Ь)]г = [-22) (х1,хз,Ь)]г; (10)

[ст(2)(х1 ,хз ,Ь) + а1*2т(х1,хз, Ь)]г = [^(х! ,хз,Ь)]г. (11)

2. Применение метода рядов по базисным множествам бегущих и краевых стоячих нормальных волн. Для определения амплитудных функций в представлениях падающих, отраженных и прошедших (преломленных) волн из соотношений (5)-(8) следуют обыкновенные дифференциальные уравнения вида

Р%(хз) + Лз р]р(хз) + вЗР^Зр(хз) = ° (12)

^0^3) + Л1рт0 (х3) + вт0 РтО (х3) = 0, (13)

с постоянными коэффициентами, которые совместно с краевыми условиям (9) образуют спектральную краевую задачу для определения представлений базисных нормальных волн. Удовлетворяющими краевым условиям (9) базисные частные решения (12), записываются в форме

РЗр(хз) = арз(ехр(71Р]хз) + 5р] ехр^р]хз)), (14)

где

Ьрз = — [ехр(71р] Н)/ехр(72р] Н)], Ър3 = —(Л]/2) — (—1)* ((Л2/4) — Зр)1'2,

в]р = [р 3Ш<2 — с066 /с044,

к3р = [(Рз ш2 — ] (Л2 + р2п2/Н2)/4)(] )-1 ]1/2,

3 = (с(]) _Лз)) /2

с066 = (с011 с012)/ 2,

арз - неопределенные постоянные коэффициенты, которые характеризуют вклад базисных бегущих и краевых стоячих волн в формирующиеся в компонентах V] волновые поля.

Аналогичный по структуре вид имеет представление рто(хз):

Рто(хз) = ао(ехр(71т0хз) + 5т0 ехр(72тохз)), (15)

где

5т0 = — [ехр(71т0 Н)/ехр(72т0 Н)], 1*т0 = —(Л1/2) — ( —1)* ((Л2/4) — в2то)1/2,

в1т0 = [р1^2 — с0б6 к2т0]/с044,

кто = [(р^2 — с044 (Л? + т2п2/Н2 )/4)(с^ )-1]1/2.

При этом, величина т в представлении (15) является номером моды исходной бегущей нормальной волны в компоненте Vl рассматриваемого составного волновода - одним из значений из диапазона т = 0, штах , при котором для заданной частоты рассматриваемого волнового процесса параметр к1т0 является действительной величиной; а0 - задаваемая величина амплитудного коэффициента исходной падающей волны.

Представления (5)-(7), в которых амплитудные функции имеют вид (14), (15), удовлетворяют волновым уравнениям (8) и однородным краевым условиям

(9).

3. Алгебраизация функциональных краевых условий идеального механического контакта компонентов волновода. Следующая фаза анализа рассматриваемой модели заключается в удовлетворении функциональных краевых условий (10), (11) на основе использования представлений (5)-(7) и применения одного из альтернативных приемов сведения функциональных уравнений (10), (11) к редуцируемой бесконечной системе линейных алгебраических уравнений относительно постоянных коэффициентов ар^.

На данном этапе соотношения (10), (11) первоначально приводятся к виду

^а (x3, а11, а21, ^^.п а12, а22, a32, ..., ap2, ...) =

го

= аР1(ехр(71Р1хз) + 6Р1 ехр(^2Р1хз))-р=0

(16)

го

аР2(ехр(71Р2хз) + дР2 ехр(^2р2хз)) +

р=0

+а0(ехр(71т0хз) + ¿т0 ехр(72т0хз)) = 0,

Fa (жз, ац, й21, a3iapi,..., а\2, а,22, a32, ap2, •••) —

го

— с06б • exp(Ai^3) api(-ikip)(exp(YipiX3) + Spi exp(Y2pX))-

-066

p=0

(17)

-coe6 • exp(A2X3) ^ ap2(ik2p)(exp(^ip2X3) + ¿p2 exp(^2p2X3)) +

p=0

+aoc06)6 • (ikimo)exp(AiX3)(exp(YimoX3) + 6mo exp(Y2moX3)) — 0,

и в рамках концепции метода Бубнова-Галеркина формулируются условия ортогональности функций Fu(x3, all,..., api,..., a12,..., ap2,...) и Fa (x3 , a11,..., apl,..., al2, ...,ap2,...) к элементам полной ортогональной на отрезке х3 £ [-h, h] системы тригонометрических функций {sinх3, cos <пх3}:

п

J Fu(xз, а11,..., ар1,..., ац,...,ар2,...) • вт $п,хзг1хз = 0

п

(п = 1, оо);

п

J Fu(xз, ап,..., ар1,..., ац, ...,ар2,...) • еов <пхзйхз = 0

и

п

(п = 0, оо);

п

I Fa (хз, ап,..., ар1,..., ац, ...,ар2,...) • вт $п,хзг1хз = 0

(18)

п

(п = 1, оо);

п

I Fa (хз, ап,..., ар1,..., ац,...,ар2,...) • еов $п,хзг1хз = 0

а

п

(п = 0, оо).

В результате, относительно коэффициентов ар] получена система линейных алгебраических уравнений вида

те те

£ ар1 АрП^ + ^ ар2дрп>2 = № (П = 1, те); р=0 р=0

те те

£ ар1 Ари^ + ^ ар2Ари)С2 = ^ (п = 0, те);

р=о р=о

(19)

^ар1Ара)1 + ар2Арпв2 = ^и) (п = 1, те);

р=о р=о

тете

^ ар1Аргас1 + ^ ар2 АррПс2 = ^пС (п = 0, те);

р=о р=о

в которых введены следующие обозначения

п

АрП)1 = J (ехр (71р1хз) + ¿р1 ехр (72р1хз)) вт Япхзг!хз,

п

h

Alns2 = — J (exp (71р2Жз) + Sp2 exp ^2X3)) sin Snx3dx3, -h h

= ~a° J (exp (71тОХз) + Sm0 exp (72m0Хз)) sin SnX3dX3; -h h

Apn)c1 = J (exp (71р1Хз) + SP1 exp (72Р1Хз)) cos SnX3dx3, -h

A(pnc2 = - J (exp (71Р2Хз) + Sp2 exp (Y2p2X3)) cos SnX3dX3,

-h h

$ncc = -ao J (exp (71т0Хз) + Ш exp (j2m0X3)) cos SnX3dX3; -h h

AP<n)s1 = —Ík1pc0¿)6 У exp (Л1Х3) (exp (7^1X3) + 5p1 exp ^1X3)) sin SnX3dX3, -h h

APr!s2 = —ík2pC0Q6 J exp (Л2Х3) (exp (71P2X3) + ¿p2 exp (72р2Хз)) sin SnX3dX3, -h h

= —a0ik1m0c06)6 У exp (Л1Х3) (exp (71Ш0Х3) + Ш exp (72Ш0Х3)) sin SnX3dX3;

-h h

ApmL1 = —ik1pc06)6 У exp (Л1Х3) (exp (7^1X3) + 5p1 exp (j2p1X3)) cos SnX3dX3,

-h h

Apmc2 = —Ík2pC066 exp (Л2Х3) (exp (Y1p2X3) + ¿p2 exp (72p2X3)) cos SnX3dX3,

-h h

№ = —a0ik1m0c06)6 У exp (Л1Х3) (exp (71Ш0Х3) + Ш exp (72Ш0X3)) cos SnX3dX3.

h

При численных исследованиях система уравнений (19) подлежит редукции до порядков, обеспечивающих установленную точность удовлетворения граничным условиям (10), (11).

h

4. Алгоритмическая реализация решения и результаты численных исследований. Разработанная и компьтерно реализованная методика исследования рассматриваемой задачи применена к случаю падения нормальной сдвиговой волны на границу идеального механического контакта полуслоя У1 из функционально-градиентного материала, для которого постоянные с0р*, р01 име-

ют значения с(1) = 16.6 • с*, с\\о = 7.66 • с (1)

(1)

о11

012

С(1) с013

= 7.75 • с*

с(1) с033

= 16.2 • с±

с04)4 = 4.29 • с*,р01 = 5.5 • р*, с* = 1010[Па], р* = 103[кг/м3], характерные для

керамики титаната бария, и полуслоя У2 из функционально-градиентного мате-

(2) (2) (2) риала с постоянными с0р*, р02, значения которых с0п = 12.1 • с* "

012

= 4.81 • с*,

(2) (2) (2)

с01)3 = 4.42 • с*, сОЗз = 5.13 • с*, с02)4 = 1.85 • с*,р01 = 8.64 • р*, свойственны монокристаллическому кадмию [12]. Компоненты V] имеют варьируемые значения параметров неоднородности Л].

В расчетах рассматривался случай падающей нормальной волны из моды т = 1 в слое материала компоненты У1 с частотой ш = 2п/, f = 730 Гц. На контактной поверхности Г : {х1 =0, х3 € [—Н, Н]} для различных сочетаний параметров Л1 и Л2 исследовались распределения показателей относительных амплитуд отраженной от Г в У1 нормальной волны и(ге?^(хз) =

и21) (0,хз, ¿)М*т (0, хз,г)

и22) (0,хз ^Мт (0,хз,£)

На рисунках 1-6 представлены анализируемые распределения для случаев задания значения Л1 = 0.6 для параметра неоднородности материала У1 и варьирования значений Л2. Кривые «1» на рисунках описывают распределения и(ге?1) (х3), а кривые «2» -распределения и(ге?г)(х3). Некоторые распределения аналогичного типа для Л1 = 0.9 приведены на рисунках 8-10.

(2)

(2)

и преломленной в У2 нормальной волны и(те?т)(хз) = по толщинной координате х3 € [—Н, Н].

0.7

0.6-

0.4-

1

2

Рис. 1. Распределения и(ге^1\хз) и п(г^г\хз) при Лх = 0.6, Л2 = -0.6.

0.8-1

07

0.6-

0.4-

Рис. 2. Распределения u(refl) (x3) и u(refr\xs) при Ai = 0.6, А2 = -0.1.

*

и™\хз), г/^Оз)

1

2

Рис. 3. Распределения и(те^1)(х3) и и(ге/г)(хэ) при Лх = 0.6, Л2 = 0.3.

Рис. 4. Распределения и(те^1)(х3) и и(г£/г)(хэ) при Лх = 0.6, Л2 = 1.5.

икяр>(Хз), и^>(хз) 0.8

0.5-

0.3

1

2

Рис. 5. Распределения и(те^1)(х3) и и(г£/г)(хэ) при Лх = 0.6, Л2 = 2.5.

0.8

0.5

Рис. 6. Распределения и(те^1)(х3) и и(г£/г)(хэ) при Лх = 0.6, Л2 = 3.5.

Анализ результатов, представленных на рисунках 1-3, указывает на количественное доминирование эффектов отражения нормальных волн и относительно невысокую степень неравномерности распределения и(ге^г)(хз) и и ( ге/г) (хз) при доминировании абсолютного значения Л1 над абсолютной величиной Л2. Рисунки 4-6 описывают изменение тенденции в распределениях и(те?1\хз) и и(те?т\хз) в случае положительных значений Л2, превышающих Л1, а также сближение показателей и(геМ (хз) и и(ге?г)(хз) у нижней грани слоя. Наконец, на рисунке 7 представлен эффект формирования различных соотношений между величинами и(те?1\хз) и и(ге/г)(хз) у противоположных граней слоя при наращивании

-_

■V _ 2

1 -с .5 0 5 1

Рис. 9. Распределения u(reft) (х3) и u(refr\xs) при Ах = 0.9, А2 = 4.6.

1

V

^_

2

Рис. 10. Распределения u(reft) (х3) и u(refr) (хз) при Ах = 0.9, А2 = 5.3.

положительного значения Х2. Изменение тенденций в распределениях u(refl)(x3) и u(refr)(x33) при изменении знака и абсолютной величины при постоянном показателе Xi иллюстрируют и рисунки 8-10.

Наконец, на рисунках 11-13 представлены результаты расчетов для случая фиксации отрицательного показателя Х2 = —0.6 для компоненты волновода V2 и варьирования величины Х\ от относительно небольших по модулю положительных значений до Х\ = —0.8. Расчеты указывают на сохранение ситуации с доминированием u(refl)(x3) и на сглаживание зависимостей u(refl)(x3) и u (refr) (хз) при наращивании в рассматриваемых пределах модуля Х\.

1

2

Рис. 11. Распределения и(те^1) (х3) и и(ге/г)(хз) при Лх = 0.3, Л2 = -0.6.

1

2

-1 -0.5 0 0.5 1

Рис. 12. Распределения и(те^1) (х3) и и(геГг) (хз) при Лх = -0.1, Л2 = -0.6.

1

2

Рис.13. Распределения и(геП) (хз) и и(ге/г)(хз) при Лх = -0.8, Л2 = -0.6.

Выводы. Результатом представленных в работе исследований является разработка численно-аналитической методики решения задачи о трансформации стационарной нормальной сдвиговой волны в составном плоскопараллельном волноводе при ее падении на торцевую поверхность контакта компонентов волновода в виде закрепленных по плоским граням полуслоев из трансверсально-изотропных функционально-градиентных материалов с экспоненциальным типом непрерывной неоднородности по толщине. Используется концепция представления волновых полей в компонентах волновода разложениями в ряды по базисным множествам бегущих и краевых стоячих базисных нормальных волн

с неопределенными весовыми коэффициентами. На основе приема алгебраиза-ции функциональных граничных условий идеального механического контакта полуслоев задача сведена к системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложений по нормальным волнам. Представлены результаты численного анализа отдельных эффектов в распределениях относительной интенсивности отраженной и преломленной составляющих волнового поля при падении на контактную поверхность нормальной волны из низшей моды нормальных сдвиговых волн в соответствующем полуслое, связанных с варьированием показателями непрерывной экспоненциальной неоднородности материалов контактирующих слоев.

1. Гетман И.П. Отражение и прохождение звуковых волн через границу раздела двух полуполос / И.П. Гетман, О.Н. Лисицкий // Прикл. математика и механика. - 1988. - Т. 52. № 6. - С. 1044-1048

2. Гетман И.П. Математическая теория нерегулярных твердых волноводов / И.П. Гетман, Ю.А. Устинов. - Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ. - 1993. - 144 с.

3. Городецкая Н. С. Дифракция волн Рэлея-Лемба на вертикальной границе в составном упругом волноводе / Н.С. Городецкая // Акуст. вкт.- 2000.- 3, №1.- С.23-35.

4. Гринченко В. Т. Отражение волн Лемба от границы раздела в составном волноводе / В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая // Прикл. механика.- 1985.- Т. 21. №5.- С.121-125.

5. Cavalcante M. Parametric formulation of the finite-volume theory for functionally graded materials-part i: Analysis / M. Cavalcante, S. Marques, M.-J. Pindera // Journal of Applied Mechanics

- Transactions of the ASME. - 2007. - V. 74 (5). - P. 935-945.

6. Functionally graded materials: design, processing and applications / Y. Miyamoto, W.A. Kaysser, B.H. Rabin, A. Kawasaki, R.G. Ford (Eds.). - Dordrecht: Kluwer Academic, 1999.

- 434 p.

7. Gasik M. FGM components: PM meets the challenge / M. Gasik, N. Cherradi, A. Kawasaki // Metal Powder Report. - 1996. - V. 51. - P. 28-32.

8. Weng G.J. Effective bulk moduli of two functionally graded composites / G.J. Weng // Acta Mechanica. - 2003. -V. 166. - P. 57-67.

9. Пачева М.Н. Сдвиговые волны в составном поперечно-анизотропном волноводе из полуслоев с контактирующими полуцилиндрическими боковыми поверхностями / М.Н. Пачева, В.И. Сторожев // Современные тенденции развития математики и ее прикладные аспек-ты-2018: матер. VII Междунар. научн.-практ. интернет-конф. (25 мая 2018 г.). - Донецк: ГО ВПО «ДонНУЭТ», 2018. - С. 46-49.

10. Пачева М.Н. Эффекты прохождения сдвиговых нормальных волн по составному волноводу из контактирующих трансверсально-изотропных функционально-градиентных полуслоев./ М.Н. Пачева, В.И. Сторожев // Донецкие чтения 2019: образование, наука, инновации, культура и вызовы современности: Материалы IV Международной научной конференции (Донецк, 31 октября 2019 г.). - Том 1: Физико-математические и технические науки. Часть 1. - Донецк: Изд-во ДонНУ, 2019. - С. 68-71.

11. Пачева М.Н. Энергетические характеристики нормальных волн сдвига в составном волноводе из изотропного и ортотропного полуслоев / М.Н. Пачева // Донецкие чтения 2020. Образование, наука и вызовы современности: материалы V Международной научной конференции (Донецк, 17 - 18 ноября 2020 г.) - Т. 1: Физико-математические и технические науки. - Донецк: Изд-во ДонНУ, 2020. - С. 90-93.

12. Космодамианский А.С. Динамические задачи теории упругости для анизотропных сред / А.С. Космодамианский, В.И. Сторожев. - К.: Наук. думка. - 1985. - 176 с.

Трансформация нормальных волн сдвига при падении на поверхность контакта полуслоев M.N. Pacheva

Normal elastic shear waves transformation upon incidence on the contact surface of transversely isotropic functionally graded half-layers .

A numerical-analytical technique for solving the problem of normal shear horizontally polarized elastic wave transformation upon incidence on the contact surface of transversely isotropic functional-gradient half-layers is presented. The wave fields of the reflected and transmitted waves are represented as expansions in the basis sets of traveling and edge standing waves in the corresponding components of the composite waveguide. Based on the algebraization technique of functional boundary conditions, the problem is reduced to a system of linear algebraic equations for the coefficients of expansions in normal waves. The results of a numerical analysis of the effects associated with varying the continuous exponential inhomogeneity indices of the materials of the contacting layers are presented.

Keywords: composite plane-parallel waveguide, fixed edges, contacting anisotropic functionally graded half-layers, exponential thickness inhomogeneity, normal shear waves, transformation upon falling on the contact surface, effects of the inhomogeneity indices influence. .

ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк Получено 10.06.2021

Donetsk National University, Donetsk

[email protected]