НОРМАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ В ФУНКЦИОНАЛЬНО ГРАДИЕНТНЫХ СПЛОШНЫХ ЦИЛИНДРАХ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545 ^Курнал теоретической и прикладной механики.

№1-2 (62-63) / 2018.

УДК 539.3:534.1

©2018. И.А. Моисеенко, В.А. Моисеенко

НОРМАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ В ФУНКЦИОНАЛЬНО ГРАДИЕНТНЫХ СПЛОШНЫХ ЦИЛИНДРАХ

Волновое движение описывается на основе полной системы уравнений линейной динамической теории упругости. Модуль сдвига и плотность изотропного материала цилиндра задаются экспоненциально-степенной функцией от радиальной координаты. Базисные решения системы дифференциальных уравнений модели строятся в матричной форме в виде разложений радиальных составляющих решения в равномерно и абсолютно сходящиеся обобщенные степенные ряды по радиальной координате. Представлены также дисперсионные соотношения, описывающее спектры гармоник нормальных волн для случаев жестко закрепленной и свободной граничной поверхности. Изучены эффекты влияния параметров радиальной неоднородности на топологию дисперсионных спектров, распределение фазовых и групповых скоростей распространяющихся нормальных волн.

Ключевые слова: функционально-градиентные материалы, изотропный волновод, нормальные волны, базисные решения, дисперсионные соотношения, фазовая скорость, групповая скорость.

Введение. Упругие тела цилиндрической геометрии представляют собой важнейший по фундаментальной и прикладной значимости класс объектов математического моделирования в волновой механике деформируемых сред. В классическом случае однородного изотропного материала уравнения, определяющие модели указанного класса задач, разрешимы через цилиндрические функции, что становится невозможным при переходе к рассмотрению нового поколения функционально-градиентных материалов. Для построения общих аналитических решений системы дифференциальных уравнений указанных моделей в последнем случае оказался плодотворным подход, основанный на задании специального вида функционального закона радиального изменения физико-механических характеристик материала волновода. Таким способом построены в аналитическом виде базисные решения модели и исследованы эффекты влияния фактора радиальной неоднородности материала на топологию дисперсионных спектров, фазовых и групповых скоростей распространяющихся осе-симметричных нормальных волн в трансверсально-изотропных цилиндрах [1,2], а также неосесимметричных нормальных волн в цилиндрически ортотропных цилиндрах [3] с экспоненциальным законом радиальной неоднородности материала волновода. В данном исследовании указанная методика распространена на более общий случай экспоненциально-степенного закона радиальной неоднородности изотропного материала волновода.

1. Постановка задачи. Рассматривается цилиндрический волновод, занимающий в нормированной параметром Я* безразмерной цилиндрической системе координат Отвг область V

V = {r е [0,1], в е [-п,п], z е (-те, те)} с граничной поверхностью Г

Г = {r = 1, в е [-п,п], z е (-те, те)},

имеющий в поперечном сечении форму круга. Полагается, что изотропный материал волновода является функционально-неоднородным в радиальных направлениях по таким своим физико-механическим свойствам (v = const)

р (r) = pexp(h>q (r)), G (r)= Gexpfq (r)), fx>q (r) = \rq. (1)

Здесь р (r) и G (r) - соответственно плотность и нормированный параметром C* модуль сдвига неоднородного материала; р и G соответственно плотность и нормированный параметром C* модуль сдвига однородного материала. Параметры Л (Л £ R) и q (q е {0} UN) в представлениях (1) характеризуют соответственно относительный максимальный уровень и форму локализации в теле волновода радиальной неоднородности материала.

Пространственная линейная математическая модель динамического напряженно-деформированного состояния упругих тел с усложненными физико-механическими свойствами в системе координат Orez включает систему дифференциальных уравнений движения

drGrr + r-ldeorQ + dzOrz + r-1 (a„ - aee) - (pR1/C*) д?щ = 0,

dra^ + r-1deaee + dzaez + 2r-1are - (pR2*/C*) ctfue = 0, (2)

drarz + r-1deaez + dzazz + r-1arz - {pR2*/C*) dfaz = 0;

определяющие соотношения обобщенного линейного закона Гука

arr = (2G/ (1 - 2v)) ((1 - v) err + v (eee + ezz)), aee = (2G/ (1 - 2v)) ((1 - v) eee + v (err + ezz)), azz = (2G/ (1 - 2v)) ((1 - v) ezz + v (err + евв)),

aez = Geez, arz = Gerz, are = Gere;

уравнения связи между компонентами тензора малых деформаций enm (n, m = r, в, z) и отнесенными к нормирующему параметру R* компонентами безразмерного вектора динамических упругих волновых перемещений un (n = r, в, z)

err = dr Ur, eee = r-1Ur + r-1de ue, ezz = dz Uz,

(4)

eez = dz ue + r-1de Uz, erz = dz Ur + dr Uz, ere = r-1de Ur + (dr - r-1) ue.

Во введенных представлениях anm (n, m = r,e,z) - отнесенные к нормирующему параметру C* безразмерные характеристики напряженно-деформированного

состояния на основных площадках цилиндрической координатной системы; г -время; д3 = д/дз = г, в, г,г).

Представленная модель включает также однородные граничные условия свободной

атз\{г,в,г )еГ = 0 (3 = г,в,г) (5)

либо жестко закрепленной

из\{г, в ,г )ег = 0 (з = г,в,г)

(6)

граничной поверхности.

2. Получение рекуррентных соотношений. В рамках представленной модели для исследуемых нормальных волн вдоль оси Ог в радиально неоднородных протяженных цилиндрах геометрии V с круговой частотой ш, нормированным параметром К* продольным волновым числом к (к € С^ и окружным

волновым числом т (т € С) в матричной форме вводятся следующие комплексные представления

И (г, в, г, г) = ехр ( -5/х, я (г) - гшг + г к г) Тт) (в) "О(т) (г)

(7)

Здесь 5 (5 € М) - произвольный параметр; Д ,р (г) - заданный соотношениями (1) функциональный закон радиальной неоднородности материала; и (г, в, г, г) - вектор-столбец с безразмерными компонентами вектора упругих перемещений

И (г, в, г, г) = [иг (г, в, г, г), ив (г, в, г, г), пг (г, в, г, г)]т ;

к (т)

и (г) - вектор-столбец с элементами

(т)

и(') (г) = иГт) (г) ,ив) (г) ,и(т) (г)

(т)

(т)

т

(8

(9)

Т^т) (в) - диагональная матрица размерности 3 х 3, отличные от нуля элементы которой равны

ТТ) (в^ 1 = С08 (тв + в) , [ТТ) (в)^ 2 = 8Ш (тв + в) , Тт) (в)]зз= г сов (тв + в) (в € {0, п/2}).

(10)

Параметр в в соотношениях (10) задает тип симметрии волновых движений относительно плоскости в = 0 с выделением при в = 0 условно симметричных волн со свойствами

иг (г, -в, г, г) = иг (г, в, г, г), ив (г, -в, г, г) = -ив (г, в, г, г) их (г, -в, г, г) = их (г, в, г, г),

а при в = п/2 - условно антисимметричных волн со свойствами

иг (г, —в, г, г) = —иг (г, в, г, г), щ (г, —в, г, г) = щ (г, в, г, г), пх (г, —в, г, г) = —и,х (г, в, г, г).

На окружное волновое число т в соотношениях (10) из геометрических соображений накладывается ограничение вида т € Ъ.

В рассматриваемом волноводе с учетом представлений (7) подлежат независимому исследованию осесимметричные продольно-сдвиговые (т = 0, в = 0) и крутильные (т = 0, в = п/2) волны, а также неосесимметричные волны (т € М, в = 0). В последнем случае варианты в = 0 и в = п/2 эквивалентны с точностью до поворота цилиндрической системы координат в плоскости (гв) на угол П/ (2т).

В приведенных соотношениях и далее: г - мнимая единица; выделение жирным шрифтом применяется для обозначения матричных и векторных объектов; О и О - нулевые соответственно квадратная матрица и вектор-столбец; I -единичная квадратная матрица; обозначения [Х]^ и [Х]^ при ],р € N используется для индексного доступа к элементам соответственно матричных и векторных объектов, а при ] либо р заданных индексным диапазоном вида п..т или (п1,п2,..., пт) - для определения соответственно подматрицы либо подвектора; операция [ ] - для определения матричных и векторных объектов (формально [X] = X); операция транспонирования ХТ; операция комплексного сопряжения X; операция обращения неособенной квадратной матрицы X"1; ||Х|| - мультипликативная согласованная эвклидова норма [4].

На основании соотношений (3), (4), (7) - (10) в матричной форме получаются комплексные представления

Б (г, в, г, г) = ехр ((1 — 6) Д, д (г) — ъшЬ + гкг) т2[) (в) ~~(т) (г),

(11)

где Б (г, в, г, г) - вектор-столбец с безразмерными компонентами тензора напряжений

Б (г, в, г, г) = [а„ (г, в, г, г), авв (г, в, г, г), а^ (г, в, г, г),

авх (г, в, г, г), агх (г, в, г, г), агв (г, в, г, г)]

т

(12)

т

~ (т)

Э (г) - вектор-столбец с элементами

~(Т) (г) = [&&> (г) , (г), (г), (г), (г), эТ (г)

Т2т) (в) - диагональная матрица размерности 6 х 6, отличные от нуля элементы которой равны

(13)

Т<т)(0) . , = со8 (тв + 13) С/= 1,3)

Тт) (в) = г яп (тв + в), 4,4

Тт) (в) = г еоь(тв + в) , Тт) (в) =вт(тв + в) 1 5,5 I 1 6,6

(14)

Получаются также в матричной форме дифференциальные соотношения связи

~ (т) ~ (т) между векторами и (т) и Э (т)

~(т) (т) = С М1Т) (т) • "О(т) (т).

(15)

где мт (т) - матричный дифференциальный оператор размерности 6 х 3, отличные от нуля элементы которого имеют вид

м5Т) (т) 11 = Сф (т) + С2Т-1, м1т) (т) 21 = С2В (т) + Сгт-1,

м1Т) (т) = С2 (О (т) + т-1) ,

3,1

м(1т) (т)

1,2

м(1т) (т)

1,3

м(1т) (т) м(1т) (т)

3,2

= С2тт

-1

м(1т) (т)

= С1тт-1,

2,2

2,3

= -С2

м1т) (т)

м1т) (т)

м1т) (т) = м1т) (т)

4,2 I ^,1

(т) (т)

4,3

3,3 (т)

= -С1

м1(т) (т)

—тт

1

6,1

м1') (т) = О (т), м1) (т) = О (т) - т-1.

5,3 I J 6,2

Здесь С1 = 2(1 - V)/(1 - 2и), С2 = 2р/ (1 - 2р), О (т) = йг - 5Хдт*-1, йг = й/йт.

С учетом представлений (7) - (14) на основании системы дифференциальных уравнений движения (2) получается однородная система обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами относительно амплитудных составляющих компонент безразмерного вектора динамических упругих волновых перемещений

м2т) (т) • и(т) (т) = О,

(16)

где м2т) (т) - матричный дифференциальный оператор размерности 3 х 3 с элементами

м2т) (т) = С\ (т2й2 + (1 + (1 - 25) Хдт*) тйг - 1) - т2С2+

1,1

+к2т2 + Хдт* (-5д (1 + (1 - 5) Хт*) С1 + С2), м2т) (т)] = т (Сзтйг + Хдт* ((1 - 5) С2 - 5) - С4),

1,2

м2т) (т) = -~т (С3тйг + Хдт* ((1 - 5) С2 - 5))

1,3

м2т) (т) _= -т (С3тйг - Хдт* (5С2 - 1 + 5) + С4),

2,1

м2т) (т) 22 = т2й2 + (1 + (1 - 25) Хдт*) тйг - 1 - т2С1+

+к2т2 - Хдтя (1 + 5д + 5 (1 - 5) Хдтя),

М2Т) (г)

2,3

м2т) (г)

3,2

= ктОзт,

м2т) (т) = кт (Сз (тйт + 1) + Хдтд (1 - 5 - 5С2)),

3,1

М2Т) (т) = т2$ + (1 + (1 - 25) Хдтя) тйг - т2+

3,3

+ (О2 - к2С^ т2 - 5Хд2тд (1 + (1 - 5) Хтд).

"2^2

О2 = к ^2д2/ [С*С), Сз = 1/(1 - 2и)

Здесь

С4 = (3 - 4у)/(1- 2у), к2 = О2 - к2.

Ставится задача построения базисного набора частных решений уравнения (16). В качестве метода построения указанных решений используется подход, основанный на представлениях компонент искомых векторных решений обобщенными степенными рядами радиальной координаты. С учетом физической модели рассматриваемой задачи, а также структуры уравнения (16), для искомых решений вводятся матричные представления рядами с неопределенными векторными коэффициентами следующего вида

и(т) (т) = А1 (ттт+п X

(т,п)

т

т=0

и ограничениями на параметр п

П е {-1; 0} или Ее (п) > 0, если П е {0; 1} или Ее (п) > 1, если

X

X,

(т,п) 0

(т,п)

= 0

(17)

X

(т,п)

= 0,

(18)

следующими из критериев ограниченности и непрерывности всех характеристик волновых полей при т ^ 0. Полагается, что ряд (17) сходится равномерно и абсолютно на любом отрезке т е [0, т1] (1 < т1 < те). В представлении (17) А1 (т) - диагональная матрица размерности 3 х 3, отличные от нуля элементы которой равны

[А1 (т)]1Л = [А1 (т)]22 = т, [А1 (т)]зз = 1; (19)

т - зависящие от параметров п и т искомые наборы векторных ко-

т=0

xm,n)lc

эффициентов. Представление (17) с учетом соотношения (15) определяет вид разложения для вектора Б(т) (т)

,(г )

(т) = б А2 (т)^ тт+п н(т,п) (т) x(m,n);

(20)

т=0

3

0

3

где А2 (г) - диагональная матрица размерности 6x6, отличные от нуля элементы которой равны

[А2 (т\3 = 1 (з = 1,2,3,6) , [А2 (г)]з = г-1 (3 = 4, 5); (21)

3,3

Нт'!' (г) (т = 0, оо) - прямоугольные матрицы размерности 6x3, отличные от нуля элементы которых равны

И^ (г)] = (и + 1 - 5Хдгд) С\ + С2, Ы^ (г)! _ = С

1,1

1,2

и(г)1 = (и + 1 - 6Хдгд) С2 + С1, \И^ (г)

2,1

2,2

= тС1,

(г)] =(и + 2 - 5Хдгд) С2, [И^ (г)! = тС2,

3,1

3,2

ит,п) (г)

и(Т,п) (г)

1,3

н(т,п) (г)

2,3

= -С

н(Т,п) (г)

= -кС1,

(22)

4,2

Ит,п) (г)

И(Т,п) (г)

= кг

5,1

5,3

Ит,п) (г)

И(т,п) (г)

6,2

4,3

= и - 5Хдгд.

3,3

И(Т,п) (г)

6,1

-т,

Здесь и = т + ц.

В результате подстановки представления (17) в уравнение (16) получается матричное функциональное уравнение

V гт (п(т,п,1)х(г,п) + д(т,п,2)х(т,п) + д(т,п,3)х(т,п) + / у ' \дт хт + дт хт—2 + дт хт—д +

т=0

(23)

+а(тп,4)х(т%+ д<™5)х(т—%) = о (г € [о, п]),

в котором полагается, что = О (з < 0). Из условия выполнения уравнения

(23) при г = 0 получается уравнение для определения начального векторного коэффициента

дО^Д) х0тп) = О. (24)

Условие нетривиальной разрешимости уравнения (24)

(д0тпД)

0

(25)

определяет с учетом ограничений (18) допустимые значения параметра п. Функциональное уравнение (23) порождает также рекуррентные соотношения для определения последующих векторных коэффициентов Хт4' (т = 1, оо)

д(т,п,1)х(т,п) =

^«ш т

- _ (д(т,П,2) Х(т,П) + д(т,п,3)х(т,П) + д(т,п,4) х(т,П) + д(т,П,5)х(т,П) \ (26) = I дт хт—2 + дт хт—д + дт хт—2—д + дт хт—2д I V й/

(т = 1, 2,...) .

Здесь СЗт'''''^ (п = 1,5)- квадратные матрицы размерности 3x3, отличные от нуля элементы которых равны

^m

1,1

= и (и + 2) C1 - т2

П

(т,П,1)

1,2

= т (и C1 - и - 2),

П

(т,П,1)

m

1,3

= -и кСз,

П

(т,П,1)

m

2,1

= т (и - (и + 2) С1)

П(т,п,1) m

2,2

= и (и + 2) - т2С1, пттп1)

2,3

= т кСз,

П

(т,П,1)

m

22 = и — т ,

3,3

П

(т,П,2)

m

1,1

П

(т,П,2)

m

= П2 - к2,

2,2

П

(т,П,2)

m

3,1

= киСзз,

П

(т,П,2)

m

3,2

= ктСз,

П

(т,П,2)

m

= Q2 - к2С1,

П

3,3 (т,П,3)

П

(т,П,3)

1,2

= Хдт ((1 - 5) С1 - 2 + 5)

1,1

= Xq (((q - 2и - 2) 5 - q + и + 2) С1 - 2)

(27)

П

(т,п,3)

m

1,3

= Xq к (5 - (1 - 5) С2),

П

(т,п,3)

2,1

= Xqт (5С1 - 5 - 1),

П

(т,П,3)

m

2,2

= Xq ((q - 2и - 2) 5 - q + и)

П

(т,П,3)

3,3

= Xq ((q - 2и) 5 - q + и),

П

(т,П,4)

3,1

= Xqк(1 - 5 - 5С2),

П

(т,П,5) m

1,1

= -5 (1 - 5) X2q2Cl, Q

\(т,П,5) m

22

П

(т,П,5) m

2,2 22

= -5 (1 - 5) X q

3,3

= -5 (1 - 5) X q

3. Базисные решения в случае крутильных волн. Как уже отмечалось, осесимметричный случай (т = 0) подлежит отдельному рассмотрению. При т = 0 и в = п/2 представления (7) - (14) преобразуются к такому виду

ue (r, z, t) = exp i^-5fx,q (r) - iwt + ikzj (r),

(r, z, t) = exp ((1 - 5) f\,q (r) - iut + ikz^J t2TW)S(TW) (r),

Si

(28)

где S (r, z, t) - вектор-столбец с ненулевыми компонентами тензора безразмерных напряжений

S (r, z, t) = [aez (r, z, t), are (r, z, t)]T ; (29)

S(TW) (r) - вектор-столбец с элементами

(TW) (TW)

(r)= S(TW) (r) ,s(TW) (r)

T

(30)

±2 - диагональная матрица размерности 2 х 2, отличные от нуля элементы которой равны

T

(TW)

1,1

T

(TW)

= 1.

2,2

(31)

m

m

m

m

m

m

2

2

Из условия разрешимости (25) и уравнения (24), соответственно принявших

вид

дО0^

2,2

= п (п + 2)= 0, п (п + 2) х0ГЮ = 0,

с учетом ограничений (18) определяется единственное допустимое значение пап (ТШ) и и раметра п = 0 и соответствующее ему начальное значение х0 = Ь, где Ь -

произвольная постоянная. Тогда решение целевой задачи с учетом соотношений (28) - (31) может быть представлено через базисные решения (г) и

8(™ (г) так:

й(ТШ) (г) = Ьи(Г,Б) (г), §(ТШ) (г) = Ь8(ТШБ) (г),

(32)

где

Здесь

8(тш,в) (г) = ^ г х(™).,

-.,(ТШ,В)

т=0

оо

(г) = А^^ гтх(^ ЫГ> (г).

т=0

И(ТШ (г) =

кг2 т - 6Хдгд

А

(ТШ)

(г) =

„—1 0 0 1

(33)

(ТШ) „ ,0„ч

а для определения хт из рекуррентных уравнений (26) с учетом соотношений

(27) получаются явные рекуррентные представления

х(тШ) =0 (т< 0), х,

(ТШ) 0

= 1,

(ТШ) = (ТШ,1)х(ТШ) + <ТШ,2) х(ТШ) + (ТШ,3)х(ТШ) (т = )

т шт ^т—2 1 т ^т—д 1 шт ^т—2д V

(34)

В соотношениях (34)

ш.

т™1 = -К2/ (т (т + 2)),

ш

тТШ,2) = Хд (6 (2т + 2 - д) - т + д) / (т (т + 2)),

(35)

ш

(™,3) = 6 (1 - 6) Х2д2/ (т (т + 2)).

Следует отметить, что при т ^ те справедливы следующие асимптотические оценки для коэффициентов (35)

ш

(ТШ,1)

-т—2к2, ш"ГЩ2) - т-1 (26 - 1) Хд, ш

,.(ТШ,3)

т—26 (1 - 6) Х2д

22

следствием которых является абсолютная и равномерная сходимость разложений в (33) на любом конечном отрезке г € [г0,г\] (0 < г0 < г1 < те) [5].

2

т

4. Базисные решения в случае продольно-сдвиговых волн. При т = 0

и в = 0 представления (7) - (14) приобретают такой вид

и (г, г, г) = ехр (-5/Хр (г) - гиг + гкг^ т[ЬЯ№ ^И(ЬЯШ) (г), Б (г, г, г) = ехр ((1 - 5) Д р (г) - гиг + гкг) Т2ЬЯ№ ^^) (г)

(36)

где И (г, г, г) и Б (г, г, г) - вектор-столбцы с ненулевыми компонентами соответственно вектора безразмерных перемещений и тензора безразмерных напряжений

И (г, г, г) = [и (г, г, г), и (г, г, г)]т , Б (г, г, г) = [о„ (г, г, г), авв (г, г, г), ахх (г, г, г), агг (г, г, г)] ~ (ьяш) к(ьяш)

И (г) и Б (г) - вектор-столбцы с элементами

т

(37)

) (г) =

и

(ЬЯШ)

(г) ,й(^Я№) (г)

т

) (г) =

а,

(ЬЗЩ) (г) ) (г) ) (г) ) (г)

т

(38)

т

(ЬЯШ) ^(ЬЯШ)

и ) - диагональные матрицы размерности соответственно 2 х 2 и

4 х 4, отличные от нуля элементы которых равны

т

т

(ьяш)

(ьяш)

= 1,

1,1

т

(ЬЯШ)

2,2

.. = 1 0 = 1,3),

т

(ЬЯШ)

(39)

= г.

4,4

Из условия разрешимости (25), принявшего вид

д(о„Д)

(1,3),(1,3)

= п3 (п + 2) С1 = 0,

с учетом ограничений (18) определяются соответствующие кратному корню п = 0 два допустимых одинаковых значения параметра П1 =0 и П2 = 0, которым соответствуют различные векторные решения уравнения (24), с точностью до произвольного скалярного множителя записанные так

X,

(

X

(

0 1

(40)

С учетом представлений (40) на основе векторных коэффициентов и

(т = 0, оо) определяются матричные коэффициенты

Х(ЬЯШ) = |"х(ЬЯЖ,П1) х(ЬЯ^,П2)

(т = 0, оо) .

(41)

1

1

2

Основываясь на представлениях (40), (41), а также на справедливости соотношений

ёе1

д

(0,щ ,1)

= ш3 (ш + 2) С\ Ф 0 {з = 1, 2; т > 1)

(1,3),(1,3)

рекуррентные уравнения (26) с учетом соотношений (27) преобразуются в последовательность явных рекуррентных представлений следующего вида

) = О (т< 0), хО™) Х(ЬЯШ) = ^(ьзШ,1)х(ЬЗ№) +

хт ' * т хт—2 +

(т = 1,2,...)

I,

+ш(ЬЯПг,2)х(ЬЗШ) + ^.(^щ,3)х(ЬЗШ) + ш(ьзш,4)х(Ь8Ш) + т хт—д + т т—2—д + т т—2д

(42)

Здесь

ф(ЬвШ,р) = _

д

(0,0,1) т

(1,3),(1,3)

1

д

(0,0,р+1) т

(1,3),(1,3)

(р = 1,4). (43)

Таким образом, решение целевой задачи с учетом соотношений (36) - (39) представимо через базисные решения так:

и(ЬЗШ) (г) = и(Ь8№Б) (г) В, 8(Ь8Ш) (г) = 8(Ь8ЩБ) (г) В, (44)

где В - вектор-столбец второго порядка с произвольными постоянными ком-

8 (ЬЯШ,Б) 8(ЬЯШ,Б)

понентами; И (г) и 8 (г) - матричные базисные решения такого

вида

И(ЬЗШВ) (г) = А[ЬЗШ) (г) £ гтхт™),

т=0

х

\(ЬЗШ,Б) (г) = А2ВЗШ) (г) £ гт ИтЗШ) (г) х"ЗШ).

(45)

т=0

Здесь ИтЯШ)

(г) =

ер

которых равны

И(т,п)

т

(г)

; А«1"911 ^ (г) (р = 1,2) - диагональные (1,2,3,5),(1,3) 4 '

матрицы размерности соответственно 2 х 2 и 4 х 4, отличные от нуля элементы

А

(ЬЯШ)

(г)

1,1

= г,

А

(ЬЯШ)

(г)

2,2

= 1,

аГ¥\г) =1 (э=Щ

±3,3

А

(ЬЯШ)

(г)

=г

1

4,4

Поскольку при т ^ те справедливы следующие асимптотические оценки для норм матричных коэффициентов (43)

т

1

(1 + С2), и т" V2 |Л (1 - 25) I,

1

1

2

ж(ЬЯШ,3)

2

& т д

\к (5 (1 + С2) - 1)

ж(ЬЯШ,4)

—2\ 2 2 т 2Х2д2-

- 5)1

следовательно, разложения в соотношениях (45) сходятся абсолютно и равномерно на любом конечном отрезке г € [г0, г1] (0 < г0 < г1 < те) [5].

5. Базисные решения в неосесимметричном случае.. При т € N условие разрешимости (25) принимает вид

{(П + 2)2 - т2) (п2 - т2)2 = 0.

(46)

С учетом ограничений (18) определяются три допустимых корня щ = 1,3) уравнения (46) п1 = т - 2, п2 = т, п3 = т. Соответствующие этим корням решения уравнения (24) с точностью до произвольного скалярного множителя записываются в таком виде

X

(т,щ)

1 -1 0

X,

(т,Ч2)

2 + т (1 - С1) (т + 2) С1 - т 0

X,

(т,Чз)

к -к 2С4/С3

(47)

В случае г] = ц^ = 2, 3) рекуррентные уравнения (26) с учетом

ёе! (д^^Д)) = т2 (т + 2) (т + 2т)2 (т + 2(т + 1)) С1 =0 (т > 1)

совместно с (47) и условием

= О (з = М; ш < 0)

(48)

преобразуются в явные рекуррентные представления для определения последующих векторных коэффициентов ХтП:'^

Хт = УУт Хт_ 2 + УУт

(г,п: ,2)х(т,п:) +

Хт-д +

+ ™т Хт-2-д т Хт-2д

(771 = 1,2,...), (3 = Щ •

Здесь

т

(49)

(50)

Поскольку для п = п1 определитель системы линейных уравнений, порождаемой рекуррентными уравнениями (26)

ёе! (дтпь1)) = т (т - 2)2 (т + 2т) (т + 2(т - 1))2 С1

обращается в нуль при т = 2, следовательно, рекуррентные уравнения (26) для П = П1 требуют отдельного рассмотрения в случаях т = 1, т = 2 и т > 3.С учетом соотношений (48) при т = 1 получается

X

(т,П1)

- (д^1

1

д(т,П1,3) Х(т,П1). д1 Х— .

(51)

1

при т = 2 показано, что нетривиальное решение, записанное с точностью до произвольного скалярного сомножителя в виде

X

(т,т)

т

[2Ь

д2т,П1,1)

1,2

д2т,П1

1,1

д2т,П1,1)

1,1

д2т,П1,1)

1,2

,0

где

2 = - д

(т,П1,2)х(т,П1) , д(т,П1,3)Х(т,П1) , д(т,т,5)Х(т,Ч1)

2

о

+ д2',П1,3) х2'_1П) + д

2

)Х

2-2д

существует только при выполнении условия

(т,д) €{(1,1)}и N х (N4(1} и {0});

(52)

(53)

при т > 3 представления (49), (50) остаются справедливыми и для случая п = П1.

Окончательно, решение целевой задачи с учетом соотношений (47) - (53) представляются так

И(т) (г) = И(т,В) (г) в, Б(т) (г) = ё(т,В) (г) в,

(54)

где В - вектор-столбец третьего порядка с произвольными компонентами;

И('В) (г) и Б (г) - матричные базисные решения следующего вида

,(т,Б)

и(т,в) (г)=а1 (г)^2 гт гп1 хттп1),гп2хт-2),гпзхт,пз)

т=0

Б(т,В) (г) = А2 (г)^2 гт гП1 Н(тП1) (г) хт,40

т=0

(55)

гп2 нттп2) (г) хтп2),гпз н(тпз) (г) х(тт)

При этом справедливость следующих асимптотических оценок при т — те для норм матричных коэффициентов (50)

ш(тп: Д)

V» т

т

1

(1 + С2)

ж(т,п:2

»V т

т~1дл/з\\(1 — 2<5)|

т

2

& т д

\к (5 (1 + С2) - 1)

ъг^П ,4) т

т

~2Х2д2у/г\5(1-5)\

0=Щ

обеспечивает абсолютную и равномерную сходимость разложений в (55) на любом конечном отрезке г € [г0, г1 ] (0 < г0 < г1 < те) [5].

2

6. Получение дисперсионных соотношений. Рассмотренные математические модели волновых процессов в протяженных цилиндрах кругового поперечного сечения включают условия свободной (5) либо жестко закрепленной (6) граничной поверхности, которые с учетом представления решений целевой задачи через базисные решения порождают дисперсионное уравнение, определяющее спектр целевой задачи, а также уравнение для определения неизвестного векторного коэффициента В (продольно-сдвиговые и неосесимметричные волны).

Для крутильных волн дисперсионные соотношения с учетом представлений (28) - (33) соответственно получают вид

8(ТШБ) (1)

= 0, Ь = 1,

либо

и8

(ТШ,Б) в

(1) = 0, Ь = 1.

В случае продольно-сдвиговых волн дисперсионные соотношения с учетом представлений (36) - (39), (44), (45) соответственно записываются так:

ёе!

8(ьзщв) (1)

либо

ёе! И

(1,4),(1..2) (ЬЯШ,Б)

0,

8(Ь8ЩБ) Ц)

(1,4),(1..2)

В = о,

(1))=0, и(Ь8ЩБ) {1) В = о.

В случае неосесимметричных волн дисперсионные соотношения с учетом представлений (7) - (14), (54), (55) соответственно получают следующий вид

ёе!

8(тБ) (1)

(1,5,6),(1..3)

= 0,

8(тБ) (1)

(1,5,6),(1..3)

В = о,

ёеЛ (18(т,Б) (1))=0, И(т,Б) (1) В = О.

либо

7. Анализ результатов численного эксперимента. В качестве однородного материала для представлений (1) был выбран алюминий с характеристиками

(8 = 2.61, V = 0.35, р = 2700 кг/м3, С* = 1010 н/м2. (56)

При численном эксперименте значение параметра 6 бралось фиксированным 6 = 1/2. Этот выбор обуславливался результатами проведенного с высокой точностью вычислений анализа скорости сходимости разложений базисных реше-

, полу-

ний (33), (45) и (55). В Таблице 1 приведены порядки значений ченные при следующих значениях параметров: Х = 1п (3/2); д = 6; к = 2; 0 = 1.

х(ТШ) хт

2

Таблица 1

т = 0 т = 20 т = 40 т = 60 т = 80 т = 100

5 = -1 1 10~3 10"6 Ю"11 10-м 10-18

5 = 0 1 10"4 10"у 10-14 10-18 10"24

5 = 1/2 1 10"4 10"у 10-14 10"2и 10"2'

5 = 1 1 10"3 10"' Ю"11 10-1б 10"22

6 = 2 1 10"2 10"5 10"8 10"12 10"1'

Расчет фрагментов спектров бегущих нормальных изгибных волн (т = 1) проводился в диапазонах изменения безразмерных волновых параметров О £ [0; 60] и к £ [0; 65]. Выполнен анализ ряда эффектов влияния параметров неоднородности на топологическую структуру и свойства действительных ветвей дисперсионных спектров указанных волн в радиально неоднородном (X, д) £ (1п (1/2), 6) (Рис. 1) и однородном (Х,д) = (0, 0) цилиндрах со свободной граничной поверхностью.

о ^------

0 10 20 30 40 50 к а

Рис. 1. Спектр бегущих изгибных волн в радиально неоднородном (Х,д) € (1п (1/2) , 6) свободном цилиндре.

В представлении нормализованной частоты О = ша/сг и нормализованного волнового числа к = ка используются обозначения для нормирующего параметра размерности длины а = Д* и скорости эквиволюминальной волны

сг = УС*СIр. На основе анализа количественных различий в поведении мод сопоставляемых спектров (Рис. 2-11) с использованием функции сравнения

АО (ка) = (ш\,я (ка) — ш0,0 (ка)) а/сг

для мод с одинаковыми номерами (на рисунках представлены номера сопостав-

ляемых мод спектров), при общем качественном подобии спектров, сделан ряд заключений. Во-первых, установлено, что эффект влияния фактора неоднородности наиболее проявляется для всех исследованных мод сопоставляемых спектров в длинноволновом диапазоне ка € [0,15] (Рис. 2, 4), а также для низшей моды практически во всем исследованном диапазоне ка € [4, 60] (Рис. 2). При этом для мод начиная со второй в длинноволновом диапазоне ка € [0, 20] отмечается системное локальное повышение фазовых скоростей для неоднородного цилиндра по сравнению с однородным цилиндром (Рис. 2, 4), а в коротковолновом диапазоне ка € [40, 60] наблюдается стабилизация относительного поведения мод сопоставляемых спектров (Рис. 2-5).

0.1

Рис. 2.

о.о-

% ■ Е/Л \ \

■зк А

Рис. 3.

10

20

30

40

50

ка

Ш

Рис. 4.

Рис. 5.

Во-вторых, выявлено существенное влияние зон локального сближения и расталкивания мод на их траектории в соответствующих спектрах для неоднородного и однородного цилиндров. Этот эффект отчетливо наблюдается на рис. 6 -11.

Ниже представлены графики нормализованных фазовых сР/сг (рис. 12) и групповых сд(рис. 13-19) скоростей бегущих нормальных изгибных волн в

Рис. 6.

Рис. 7.

Рис. 8.

Рис. 9.

Рис. 10.

Рис. 11.

радиально неоднородном (Х,д) € (1п(1/2), 6) свободном цилиндре.

аа; г Ш /1 >1 1 ; /

;!;! ;1 1 | /

:! п и !!

¡¡;1 : 1 ! :Л I II ,]

10 20 30 40

I— 2--3— ■)--;]

Рис. 12.

Рис. 13.

Анализ приведенных графиков позволяет сделать следующие выводы. Установлено, что характер предельного асимптотического стремления фазовых и групповых скоростей мод бегущих волн с одинаковыми номерами в высокоча-

стотном коротковолновом диапазоне из спектров для однородного и неоднородного цилиндров совпадает. При этом отчетливо иллюстрируется известный факт [6] о том, что фазовая и групповая скорости низшей моды спектра асимптотически стремятся к скорости рэлеевских волн, в то время как фазовая и групповая скорости мод начиная со второй стремятся к скорости эквиволюминальной волны (Рис. 12, 13). Также отмечаются ярко выраженные характерные участки «обмена» групповыми скоростями смежных мод в зонах их локального сближения и отталкивания (Рис. 14-19).

Рис. 14.

Рис. 15.

Рис. 16.

Рис. 17. Рис. 18. Рис. 19.

Выводы. Разработана методика построения базисных множеств частных решений уравнений волнового деформирования изотропных цилиндров кругового поперечного сечения с экспоненциально-степенной радиальной неоднородностью материала для краевых задач о спектрах осесимметричных и неосесим-метричных нормальных упругих волн. Разработаны программные приложения для реализации алгоритмов решения рассматриваемого класса задач, с применением которых проведен сравнительный анализ топологического строения дисперсионных спектров, распределений фазовых и групповых скоростей бегущих нормальных изгибных волн в однородных и радиально неоднородных изотропных протяженных цилиндрах кругового поперечного сечения для случая свобод-

ной граничной поверхности, проанализированы и описаны эффекты влияния на указанные характеристики экспоненциально-степенной радиальной неоднородности материала волновода. Полученные результаты перспективны для использования в прикладных исследованиях, связанных с расчетами характеристик волноводных компонентов акустоэлектронных устройств, анализа моделей ультраакустической диагностики.

1. Моисеенко И.А. Спектры нормальных упругих волн кручения в экспоненциально-неоднородных трансверсально-изотропных цилиндрах / И.А. Моисеенко. // Теоретическая и прикладная механика. - 2014. - Вып. 9 (55). - С. 139-145.

2. Моисеенко И.А. Продольные волны в экспоненциально-неоднородных трансверсально-изо-тропных цилиндрах / И.А. Моисеенко. // Вестник Запорожского национального университета: Сборник научных статей. Физико-математические науки. - Запорожье: Запорожский национальный университет. - 2015. - № 3. - С. 179-189.

3. Моисеенко И.А. Спектры неосесимметричных нормальных упругих волн в ортотропных цилиндрах с функционально-градиентной радиальной неоднородностью / И.А. Моисеенко, В.И. Сторожев. // Механика твердого тела. - 2015. - Вып. 45. - С. 112-124.

4. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. - М.: Наука, 1966. - 576 с.

5. Туляков Д.Н. Асимптотики решений рекуррентных соотношений / Д.Н. Туляков. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша Российской академии наук. - Москва. - 2011. - 236 с.

6. Гринченко В. Т. Гармонические колебания и волны в упругих телах / В.Т. Гринченко, В.В. Мелешко. - К.: Наук. думка. - 1981. - 284 с.

I.A. Moiseyenko, V.A. Moiseyenko

Normal waves in functionally graded solid cylinders.

The wave motion is described on the basis of a complete system of linear dynamical equations of elasticity theory. The shear modulus and density of the isotropic material of cylinder are specified by an exponential-power function of the radial coordinate. The basic solutions of the system of differential equations of the model are constructed in matrix form in the form of decompositions of the radial components of the solution into uniformly and absolutely converging generalized power series in radial coordinate. The dispersion relations describing the harmonic spectra of normal waves in the case of free and rigidly fixed of boundary surface, is presented. The effects of the parameters of radial inhomogeneity on the topology of dispersion spectra, the distribution of phase and group velocities of propagating normal waves are studied.

Keywords: FGMs, isotropic waveguide, normal waves, basic solutions, dispersion relations, phase velocity, group velocity.

ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк Получено 28.04.18

ГОУ ВПО "Донбасская национальная академия строительства и архитектуры", Макеевка [email protected]