CC BY
10
УДК 539.3: 534.1
ГЕНЕРИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ВТОРЫХ ГАРМОНИК НОРМАЛЬНЫХ ВОЛН КРУЧЕНИЯ В ПРОТЯЖЕННОМ ЦИЛИНДРЕ ПРИ РАЗНОТИПНЫХ КРАЕВЫХ УСЛОВИЯХ
© 2013 г. А.В. Елагин, И.А. Моисеенко
Елагин Алексей Владимирович - аспирант, кафедра теории упругости и вычислительной математики, Донецкий национальный университет, ул. Университетская, 24, г. Донецк-1, Украина, 83001, e-mail: delyagin@inbox.ru.
Elagin Aleksey Vladimirovich - Post-Graduate Student, Department of the Theory of Elasticity and Numerical Mathematics, Donetsk National University, Universitetskaja St., 24, Donetsk, Ukraine, 83001, e-mail: delyagin@inbox.ru.
Моисеенко Игорь Алексеевич - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра теории упругости и вычислительной математики, Донецкий национальный университет, ул. Университетская, 24, г. Донецк-1, Украина, 83001, e-mail: mian@i.ua.
Moiseyenko Igor Alekseyevich - Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Department of the Theory of Elasticity and Numerical Mathematics, Donetsk National University, Universitetskaja St., 24, Donetsk, Ukraine, 83001, e-mail: mian@i.ua.
Получено решение задачи о нелинейных вторых гармониках осесимметричных нормальных упругих волн кручения в изотропном цилиндре кругового сечения со свободной, закрепленной или имеющей гибкое нерастяжимое покрытие боковой поверхностью. Найдены аналитические представления для функций волновых перемещений в анализируемых ангармонических возмущениях. Представлены результаты численных исследований, ориентированных на сопоставительный анализ влияния характера граничных условий на кинематические характеристики вторых гармоник в цилиндре из дюралюминия.
Ключевые слова: изотропный цилиндрический волновод, физическая и геометрическая нелинейность, осесим-метричные нормальные волны кручения, варьирование типа граничных условий, нелинейные ангармонические возмущения, кинематические характеристики.
The solution ofproblems of generation the nonlinear second harmonics axisymmetric normal elastic waves of torsion in an isotropic cylinder of circular cross section with stress-free, fixed or having a flexible non-extensible covering lateral surface are constructed. The analytical representations for the functions of wave motion in the anharmonic perturbations are obtained. The results of numerical investigation focused on a comparative analysis of the influence of the type of boundary conditions on the kinematic characteristics of the second harmonics in a cylinder of duralumin are presented.
Keywords: isotropic cylindrical waveguide, physical and geometric nonlinearity, axisymmetric normal waves of torsion, variation in the type of boundary conditions, nonlinear anharmonic perturbation, kinematic characteristics.
Анализ нелинейных эффектов при распространении упругих волн малой интенсивности в цилиндрических телах относится к кругу современных актуальных задач динамики деформируемых сред и представляет интерес как с фундаментальной научной, так и с прикладной точек зрения. Современное состояние исследований по данной проблематике и ряд последних результатов по исследованию свойств нелинейных цилиндрических объемных волн представлены в [1 - 4]. Описание и систематизация этих эффектов составляет теоретическую основу для конструкторских решений в таких научно-технических областях, как ультраакустическая дефектоскопия, сейсмология, акустоэлектроника. Некоторые результаты теоретических исследований по проблеме нелинейных ангармонических возмущений при распространении нормальных упругих волн в цилиндрах представлены в публикациях [5 - 7]. Они охватывают ряд аспектов этой проблемы, в частности анализ амплитудно-частотных эффектов для кинематических и энергетических характеристик вторых гармоник осесиммет-ричных нормальных волн в цилиндрах с закрепленной либо свободной боковой поверхностью. Вопрос сопоставительного анализа амплитудно-частотных характеристик вторых гармониках для монохроматических осесимметричных волн кручения в цилиндрах со свободной, закрепленной или имеющей гибкое нерастяжимое покрытие боковой поверхностью остается открытым и рассматривается в данной статье.
Постановка и основные соотношения задачи
Рассматривается краевая задача об ангармонических эффектах при распространении свободных осесиммет-ричных нормальных волн кручения в протяженном изотропном круговом цилиндре, занимающем в безразмерных нормированных цилиндрических координатах область V = {0 < г < Я,0 <в< 2ж,-да < 2 < да }. В рамках модели геометрически и физически нелинейного деформирования, описываемого потенциалом Мурнага-на, рассматриваемая краевая задача включает систему динамических уравнений
1 д . ~ . 1 дагв да
--(r а ) +--— +
r дг r дв dz
1 д , а ч 1 давв д а
--(r ав ) +--— + ——
r дг r дв дz
1 д а 1 да- д а
--(r а г) +--— + ——
r дr r дв дz
вz
. Ев
r
а
-Р-
-р-
rв
r
д %
дг2
-р-
дч
дг2
д 2и,
дг2
= 0,
= 0,
= 0
и один из трех альтернативных типов краевых условий: свободная от напряжений боковая цилиндриче-
ская поверхность ( ~гг) «=1 = (<~гв) «=1 = (7) «=! = 0;
жестко закрепленная боковая поверхность (и = (и = 0; гибкое нерастяжимое покрытие боковой поверхности ( = (и("у)х=¡= 0.
В приведенных соотношениях ив (в = г, в, 2) -компоненты вектора упругих волновых перемещений;
'aß
(a,ß = r,в,z) - тензора волновых деформаций
+1(( )2+(дав )2+(f- )2), - ,
дr 2 дr дr дr
а =1(1 да. ^ ив^,
гв 2 r дв дr r дr r дв r
+
Sue 1 див
-(-
+ —) +
1 дй, 8и,
);
дг г дв г г дг дв' Эар - тензора динамических напряжений
= 2Г1х^ар + 2еар + [7712 - (2т - г~)12\Зар +
+ (2т - ЙХ еар+ пеа7£ф (а,р,у = г, в, 2); (1)
11,12 - инварианты тензора деформаций, имеющие представления.
Полагаем, что используемые далее безразмерные волновые перемещения и получаются в результате отнесения и7 к нормирующему параметру и с линейной размерностью, характеризующему максимальную амплитуду рассматриваемых волновых движений; для вводимых безразмерных координатных переменных и других величин линейной размерности нормирующим параметром является величина Я, характеризующая линейные размеры волновода либо длину рассматриваемых волн. Безразмерные характеристики модулей Ламе X и ¡л , упругих постоянных
третьего порядка I, т, п и компонент тензоров в механических напряжений считаются отнесенными к нормирующему параметру, в качестве которого выбирается величина л. Параметр г имеет вид Г = г/(1 - 2v), где V - коэффициент Пуассона для материала цилиндра. Соотношения (1) могут быть записаны в виде представления с выделением линей-
■¿а)
'aß
~(n) 'aß
В соответствии с одним из подходов к изучению малых нелинейных эффектов в полях низкоинтенсивных упругих волн [2, 7] такого рода эффекты могут быть описаны на основе введения представлений нормированных волновых перемещений
(« = г,в, 2) (2)
Ua = Ua +SlU
+
с малым параметром 3 = и /Я , характеризующим отношение максимальных амплитуд волновых движений к характерному параметру линейной размерности. После введения представления (2) во все соотношения рассматриваемых краевых задач функции
и(1), ипоследовательно определяются из рекуррентной последовательности краевых задач:
- первого (линейного) приближения для уравнения
(рЯ2//)и® - ¿у) (0 = 0 (а,у = г,в,2) с одним из
иа=иа
вариантов краевых условий (и (/))я=1 = 0, (агв) Я=1 = 0;
- второго приближения для неоднородной системы динамических уравнений (рЯ2//) иа - (¿У, у) _ (я) =
иа=иа
= (¿агг) а) с одним из вариантов краевых условий
' ' ' 11 _. = »А. '
(и(п)) я.! = я.! = 0;
«»J+(*) .0;
и«=и%), Я=1
(¿.)Я=1 = (и2п))Я=1= 0 (а, у = г, в, 2) .
Решения краевой задачи линейного приближения, описывающие осесимметричную нормальную волну кручения, принадлежащую моде с номером р соответствующего дисперсионного спектра и имеющую произвольный безразмерный амплитудный параметр щ, для цилиндров со свободной боковой поверхностью
~(') (1) -Кш-кп2) (') . ч -г , ч
имеют вид и у = ид е р , и () (г) = и0 а Л (ар г), где кр = (О2 -ар;)12- безразмерное нормированное волновое число; О = а>Я*/у! - безразмерный нормированный частотный параметр; V, = (//р)12 - скорость линейных объемных волн сдвига в материале волновода; а - корни трансцендентного уравнения
(а) + а11 (а) = 0. Для цилиндров с закрепленной боковой поверхностью и боковой поверхностью, имеющей гибкое нерастяжимое покрытие,
ив') = ив е~'(ю>~кр*), ивв)(г) = и0 арЛ1 (арг), ар - корни трансцендентного уравнения Л (а) = 0.
Уравнения неоднородной краевой задачи второго приближения относительно комплексных амплитудных составляющих вторых гармоник в развернутой форме имеют вид
,0)
AWMW + д« + ДММ^ + Д^)' +
r
r
и (' )2 и (' )2
+д« (иГл))" = Д(1) ^v+Д(2) —+Д('з) (и^)' +
r r
и (' )(и (')) (и (' ))'2 и (' )(и (')) + д(') ив (ив ) ^ д(') (ив ) | д(') ив (ив ) +
14 2
r
+ Д((7)(и«)'(и«)1
15 1 "16
rr
(3)
(п)
(uZn))
Д^и(n) + Д^ + Д^1 (и И + Д(27
r r
\2
+ Д«(и(п))'' = Д^и)2 + Д' ^V + Д(23 ^ ^ ' +
r r
+ Д2^(и«)'2 + Д2Х)(и^))'' + Д(>ю )'(и«)";
(' )2
I ие^(ие^
для трех рассматриваемых случаев они дополняются краевыми условиями:
(¿^(и^и^) + а<:)(ив))) г=я = 0,
(¿' )(игп), и«) + СТ(")(ив'))) г=я = 0,
(иО0) Я=1 = (и2п))я=1 = 0 ; (¿. ) Я=1 = (и2п))я=1 = 0
(а, у = г, в, 2) .
Поиск решений краевых задач второго приближения реализуется с использованием аппарата компьютерной алгебры. Роль разработанного для этого специального алгоритма заключается, прежде всего, в получении частных решений системы неоднородных дифференциальных уравнений (3) в форме степенных
рядов и«'(г) = Е аргр , и2п)*(г) = ЕЪгр .
р=1 р=0
При этом правые части первого и второго уравнений системы (3) также соответственно преобразуются
да да
в ряды вида Еаргр , ЕР„гр на основе использова-
р=1 р=0
ния представлений цилиндрических функций Бесселя первого рода разложениями в степенные ряды. В результате коэффициенты представлений частных решений определяются из рекуррентных соотношений:
а =а^Д((п), Ъ1 = д/ д2"з);
й2 = («2 - ¿1Д(4)У(Д(П) + 2Д(П) + 2Д(П)), ъ2 = ß - «1(Д2П2) - Д П ))/(2Д 2n3) + 2Д2П5)); («,+2 - Д(1)ap - Д((П)(p + 1)bp+1)
ap+2 =
(Д(п) + Д(3) (p + 2) + Д(П) (p + 2)( p +1))
bp+2 =
(ßp+2 - Д%ЬР - ДПap+1 - Д(p + 1)ap+l) , —
r
= (и(0) )2 [AjkpJo (23p r) - 2AßJo (2ßp r) + и^], (4)
^2ßpJ 0 (2ßp
(р = 1, да).
(Д2зЧ р + 2) + Д2?( р + 2)( р +1)) ^ ;
Итоговые представления решений краевых задач второго приближения получены в виде ^ = (и(0))2 [-2Л1арЛ1(2арг) + Л1'крЛ1(2Ррг) + и«*],
а2р = О7С2 -к2р , .вр2 = О2 -к2р , С2 = 2(1 -у)/(1 -2V)
в предположении о том, что упругие волны с частотой 2О и волновым числом 2к , соответствующие представлениям (4), не принадлежат какой-либо из мод дисперсионного спектра осесимметричных нормальных волн Р-8У-типа в цилиндрах с соответствующими типами граничных условий на цилиндрической поверхности. Уместно подчеркнуть, для всех рассматриваемых случаев вторые гармоники для линейных осесимметричных нормальных волн кручения представляют собой осесимметричные упругие волны продольно-сдвигового типа.
Результаты численных исследований
Численные исследования, посвященные анализу влияния типа формулируемых краевых условий на амплитудные уровни волновых перемещений в нелинейных вторых гармониках, проведены применительно к волноводу из дюралюминия со следующими исходными ненормированными физико-механическими
постоянными [5, 6]: р = 2,79-103 кг/м3; у = 0,31 ;
+
X = 4,2-1010 Па; л = 2,6-1010 Па; ~ = -26,46-1010 Па;
т = 38,22 -1010 Па; ~ = 36,26 -1010 Па.
В расчетах рассматривались нормальные волны кручения с относительными длинами X = ЫЯ, N е {1; 2; 3; 5; 7; 10}. В таблице представлены данные о рассчитанных максимумах амплитуд нормированных волновых перемещений (и1^/и02) -10-3, (иmax/u02) -10-3 в области сечения волновода для вторых гармониках осесимметричных волн кручения из первой и второй мод соответствующих дисперсионных спектров.
Их анализ, в частности, свидетельствует о том, что для относительно длинных нормальных волн кручения X = 10Я из первой моды спектра закрепленного цилиндра максимальные уровни амплитуд волновых перемещений во вторых гармониках почти на два порядка превышают соответствующие уровни во вторых гармониках волн кручения из первой моды для свободного цилиндра и цилиндра с гибким нерастяжимым покрытием границы. Доминирующими волновыми перемещениями в первых двух случаях являются осевые, а для цилиндра с покрытием уровни осевых и радиальных перемещений близки. Однако по мере уменьшения относительной длины линейных волн кручения из первых мод соотношение амплитудных максимумов изменяется. К примеру,
при X = Я амплитудные уровни волновых перемещений во вторых гармониках для цилиндра со свободной поверхностью более чем на два порядка выше аналогичных волновых перемещений для закрепленного и имеющего покрытие цилиндра. При этом во вторых гармониках для свободного цилиндра сохраняется доминирование осевой компоненты волнового перемещения, а для закрепленного цилиндра и цилиндра с покрытием максимумы амплитуд радиальных и осевых перемещений практически идентичны.
Для осесимметричных крутильных нормальных волн 2-й моды (таблица) амплитудные максимумы вторых гармоник относительно длинных волн с X = 10Я в свободном и закрепленном цилиндрах имеют один порядок и более чем в 10 раз превышают уровни вторых гармоник для цилиндра с покрытием. При этом для свободного цилиндра и цилиндра с покрытием в этом случае доминируют осевые перемещения, а для закрепленного цилиндра - радиальные. С уменьшением относительной длины исходных крутильных волн амплитудные максимумы вторых гармоник для свободного цилиндра в 20-30 раз превышает соответствующие значения для закрепленного и цилиндра с покрытием. Во всех случаях для коротких волн во вторых гармониках доминируют осевые компоненты волновых перемещений.
Максимумы амплитуд нормированных волновых перемещений иг, их по сечению цилиндра во вторых гармониках монохроматических волн кручения из первой (числитель) и второй (знаменатель) мод дисперсионных спектров
Тип граничных условий Максимум амплитуд N
1 2 3 5 7 10
Закрепленная граница (4rmax/Ч02) -10 -3 0,127 0,34 0,044 0,145 0,31 0,31 0,064 1,616 1,751 1,751 2,77 4,306
(Uzmax/Ч02) -10 -3 0,188 0,768 0,114 0,194 0,235 0,235 0,166 0,862 0,75 0,75 3,966 2,0
Свободная боковая поверхность (Umax/ч2) -10 -3 20,293 6,917 0,053 3,955 0,04 1,514 0,096 1,154 0,023 1,116 0,023 1,138
(Umax/ч2) -10 -3 39,636 26,026 0,198 18,453 0,369 17,454 0,59 9,757 0,261 6,929 0,189 4,829
Гибкое нерастяжимое покрытие (Umax/ч2) -10 -3 0,073 0,082 0,024 0,142 0,036 0,231 0,028 0,292 0,023 0,317 0,02 0,333
(Umax/ч2) -10 -3 0,058 0,239 0,053 0,164 0,098 0,163 0,056 0,11 0,038 0,083 0,027 0,06
Таким образом, в итоге проведенных исследований можно сделать вывод о существенной мере влияния типа краевых условий на боковой поверхности цилиндрического волновода на амплитудные уровни нелинейных ангармонических возмущений для осе-симметричных нормальных волн кручения.
Литература
1. Рущицкий Я.Я. Анализ распространения квадратично нелинейной гиперупругой цилиндрической волны // Прикладна механжа. 2011. Т. 47, № 6. С. 103 - 109.
2. Рущицький Я.Я. Особливосп розвитку теорп пруж-них нелшшних хвиль // Математичт методи та ф1зико-мехашчш поля. 2003. Т. 46, № 1. С. 90 - 105.
3. Рущицкий Я.Я., Каттани К. Сравнительный анализ нелинейных гиперупругих волн с плоским или цилиндриче-
Поступила в редакцию
ским фронтом в материалах с внутренней структурой // Прикладна механка. 2006. Т. 42, № 10. С. 21 - 46.
4. Rushchitsky J.J., Symchuk J.V. Higher-order approximations in the analysis of nonlinear cylindrical waves in hy-perelastic medium // Int. Appl. Mech. 2007. Vol. 43, № 4. P. 388 - 394.
5. Yelagin A.V., Storozhev V.I. Nonlinear second harmonics axisymmetric waves of torsion in a cylindrical waveguide with a clamped surface // Проблеми обчислювально! механь ки i мщност конструкцш. 2010. Вип. 14. С. 347 - 353.
6. Слагш О.В., Сторожев В.1. Нелшшт ангармотчт збудження при розповсюджент осесиметричних поздовж-ньо-зсувних нормальних хвиль в пружному цилiндрi // Вю-ник Донецького национального ушверситету. Сер. А: При-родничi науки. 2010. Вип. 2. С. 77 - 83.
7. Sugimoto N., Hirao M. Nonlinear mode coupling of elastic waves // J. Acoust. Sos. Am. 1977. Vol. 62, № 1. P. 23 - 32.
12 декабря 2012 г.
