Аксиально распространяющиеся волны во вращающейся жидкости с инерционной поверхностью Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ

УДК 534.1: 532.59

АКСИАЛЬНО РАСПРОСТРАНЯЮЩИЕСЯ ВОЛНЫ ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ С ИНЕРЦИОННОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ

© 2012 г. М.Е. Ткач, Н.В. Клюева, И.Н. Солдатов

Институт проблем машиностроения РАН, Н. Новгород erfV@newmail.ru

Поступила в редакцию 09.02.2012

Исследованы инерционные волновые движения в слое флотирующей вязкой несжимаемой жидкости в полости быстровращающегося кругового цилиндра. Волна представлена как суперпозиция шести разномасштабных винтовых гармоник. Проанализировано влияние плотности флотирующего слоя, вязкости и толщины слоя жидкости, а также отношения частоты волны к угловой скорости вращения цилиндра на действительную и мнимую части волнового числа распространяющихся мод.

Ключевые слова: флотирующая вязкая жидкость, инерционные (гироскопические) волны, винтовые потоки.

Введение

Для описания волновых движений в жидкости, на свободной поверхности которой плавают весомые частицы некоторого вещества, пренебрежимо мало взаимодействующие друг с другом в процессе колебаний, в [1] была предложена модель жидкости с инерционной поверхностью, иначе называемой флотирующей жидкостью. Потенциальные движения идеальной флотирующей жидкости рассматривались в ряде работ. Так, в [2-5] исследовались двумерные волновые процессы, а в [6] - трехмерные.

Широкий класс вихревых движений был обойден вниманием исследователей. Между тем, движение жидкости нельзя считать потенциальным в таких технических устройствах, как сепараторы и центрифуги, где нередко приходится сталкиваться с флотацией легких частиц на поверхности жидкости.

Основные уравнения

Рассмотрим центрифугированный слой несжимаемой вязкой жидкости толщиной а-Ь, находящейся в бесконечном цилиндре кругового сечения радиуса а, быстро вращающемся вокруг оси симметрии с постоянной угловой скоростью О (рис. 1). Считая скорость вращения большой (^2а/g >> 1), влиянием силы тяжести пренебрегаем. На свободной поверхности

слоя легкие флотирующие частицы образуют пленку с постоянной плотностью распределения вещества р^

Движение несжимаемой вязкой жидкости во вращающейся цилиндрической системе координат Огуі (ось 2 совпадает с осью симметрии твердотельной оболочки), связанной с цилиндром, в линейном приближении описывается уравнениями

— = -1 Ур + 2[у, о]+^2г + уУ2у, V-V = 0, (1)

дt р

где V = (и, V, w)T - вектор скорости, г - вектор в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра, р -

Рис. 1

давление, р - плотность жидкости, V - кинематический коэффициент вязкости. Граничные условия на твердой стенке г = а отражают физическое условие прилипания

V = 0. (2)

Кинематическое условие

дh V дh дh _

----и +--------+ w— = 0

д? г дф дх

на свободной поверхности г = Ъ + Ъ(ф, х,?) = 0

после линеаризации имеет привычный вид

дк

----------и = 0,

д?

а динамические условия отличаются от классических. Для элемента поверхности ДО из второго закона Ньютона следует

р,ДО| — + (vV)v + 2[Й, V] - О2г | =

дv

1 ди дv V

дк

V = У(г)е

i(Ш+kz+mq>)

т = 0+1+2,...,

=2 =с2_,-,н;1'(^,г)+/124 (6)

/=1

3 (

=2

/=1

іт (к / - к) ,

ік

\

(7)

3 (т(к/ -к) _ к,.

!=І

/=,

Л

м1 .--------------— м1 ,

"2 т/ * т-1

а г А ,■

V 1 1 У

(3)

3(

Рт =-2

і=1

2

Л

м1 .

т, /

кК і У

(8)

где параметр к/ (/' = 1,2,3) - один из трех корней уравнения

юк - 2Пк - ^к3 = 0 ,

.. д?

= рапДО + сп ДО при г = Ъ + А(ф, х, ?), где ра - давление в воздушной полости (без уменьшения общности его можно считать равным нулю), р, - поверхностная плотность (т.е. плотность, приходящаяся на единицу площади), оп - вектор напряжений на площадке с нормалью п. Учитывая, что при стационарном вращении V0 = 0 , Р0 =р,О2Ъ + рО2(г2 -Ъ2)/2, и представляя скорость частиц жидкости и давление в виде V = V0 + V', р = Р0 + р', после переноса искомых величин с поверхности г = Ъ + А(ф,х,?) на свободную поверхность жидкости при стационарном вращении г = Ъ и преобразований получаем линеаризованные динамические граничные условия

р, (/д"_ 2Оу)=(р, -ръ)о 2 h - р+2^|Г ’

(9)

А,2 = к2 - к2, И^^) и итт>(2) - функции Ган-

келя первого и второго рода соответственно; С2/-1, С2/ (/ = 1,2,3) - константы. Иногда предпочтительнее использовать следующее представление для азимутальной компоненты V вектора скорости у:

3(

‘=Е

/=1

Л

тк ~ к ^ ~

-------м .---------------м .

А/ т А,2 dr т //

(10)

р,I л"+2Ои М ~т+я—|+р,° -^-, (4)

V д? ) V г дф дг г) дф

дw (дw ди Л дh

р, — = Н —+— 1+р, О2Ъ—.

’ д? Я дг дх) * дх

Здесь и ниже штрихи опущены, ц = рv - динамическая вязкость.

В случае невязкой флотирующей жидкости граничные условия на свободной поверхности приобретают особенно простую форму

р,(д_ 2О]+р+(рЪ - р, )о2а=0, д ~и=0. (5) Инерционные моды Ограничимся рассмотрением гармонических

/(ю? + тф + kz) П'

процессов вида ~ е . Система уравне-

ний (1) допускает решения [7]

Удобно перейти к безразмерным переменным г' = г/а, х' = х/а, ? = ?О, т = ю/О, 5 = Ъ/а, № = = ka, к' = ка, X' = Ха, Е = ^(Оа2), V' = ^(Па), А' = = Аа, р' = ра / (рО2а2).

Константы С2;-1, С2]- ( = 1,2,3) определяются из граничных условий. Граничные условия в безразмерных переменных для стационарного волнового процесса принимают вид

.(R -8 Л то Т7?ди_п

— /1----+ Rx 1и + 2Rv — р + 2Е — — 0,

Vх) дг

т! - 2R+^)и-(Е+/хя IV+Е дV=0, (11)

х 8 ) V 8 ) дг

k( Я5 + /Е)и - /Rтw + Е дw = 0, /тА - и = 0

V т ) дг

при г = 5

и V = 0 при г =1, где Я = — . Подставляя реше-

ра

ние (6)-(8) в вышеприведенную систему, из условия существования нетривиального решения получим уравнение для отыскания безразмерного аксиального волнового числа k. Это уравнение мы опускаем из-за его громоздкости. В отличие от вязкой жидкости для гироскопических волн в идеальной флотирующей жидкости нетрудно в компактной форме записать дисперсионное уравнение

Рис. 2

(т(2 - т) Зт (Ау) + куъ1т_1 (Ау) )х х {[т(2 - т)(- 5 + Я(1 + т)2)+ у2т3 ]тт (ку5) +

+ Ау(5 Я _ 5 + Ят2)т7т_1(Ау5)}- (12)

_ {[т(2 _ Т)(_ 5 + Я(1 + Т)2 ) + У2т3 \т (кУ5) +

+ ку(5Я - 5 + Ят2 )тJm_1 (ку5)}х х (т(2 - т)7т(Ау) + Аут7т-1 (Ау)) = 0

(у = V4т 2 -1 , Jm(ky), Ут(ку) - функции Бесселя

порядка т первого и второго рода соответственно), которое может быть относительно просто и полно исследовано. Заметим однако, что в приложениях, чаще всего, необходимо учитывать вязкость жидкости.

Дисперсия и затухание инерционных волн

Распространяющиеся волны существуют только для безразмерных частот т из интервала (-2,2), в вязкой жидкости с классическим граничным условием на свободной поверхности они распространяются с затуханием. Для каждой частоты т из указанного интервала существует бесконечное (счетное) множество корней дисперсионного уравнения, которым соответствуют распространяющиеся инерционные моды [7]. Осесимметричным волнам соответствует нулевое азимутальное волновое число т = 0. Дисперсионные кривые волн с т ф 0 на интервале т е [0,2) симметричны кривым для волн с -т на интервале т е (-2,0]. Наиболее интересно, имея в виду технические приложения, исследовать волновые движения с т = ±1. На рис. 2 показаны зависимости действительных частей безразмерных аксиальных волновых чисел кг = = Re(k) первых семи мод от отношения частот т при т = 1, Я = 0.02, Е = 10'6 , 5 = 0.7.

Поверхностной волне присвоен нулевой номер. При выбранных параметрах Е и Я дисперсионные кривые рис. 2 мало отличаются от подобных кривых при Я = 0, Е = 0. Влияние вязкости жидкости проявляется прежде всего в том, что распространяющиеся нормальные инерционные моды становятся затухающими, а инерционность свободной поверхности сказывается на характере зависимости коэффициента затухания к = 1т(к) от частоты т. Когда инерционные свойства свободной поверхности не учитываются (Я = 0), коэффициенты затухания у всех мод монотонно увеличиваются по абсолютной величине с увеличением отношения частоты волны к частоте вращения т от нуля до 2. Монотонная зависимость к(т) нарушается при величине Я больше некоторого порогового значения Я > Я*(Е) > 0. При Я > Я*(Е) вблизи начала интервала частот (0,2) появляется небольшой участок резкого 2-образного изменения коэффициентов затухания инерционных мод. Важно отметить, что при дальнейшем увеличении Я коэффициенты затухания сначала одной-двух низших мод (исключая поверхностную), а затем и мод с более высокими номерами на этом участке меняют знак (рис. 3).

Заметим, что волны при т < 0 распространяются в прямом (положительном) направлении оси 2, а при т > 0 - ретроградно. Инерционные моды в центрифугированном слое квазитвердо-тельно вращающейся невязкой несжимаемой жидкости с классическим граничным условием на свободной поверхности являются нейтрально устойчивыми (вещественным т отвечают вещественные корни к), как следует из анализа уравнения (12) при Я = 0. При учете вязкости волны становятся устойчивыми - вязкость играет стабилизирующую роль. При Я > 0 волны сохраняют свою устойчивость только при очень малых значениях Я(Е) на всем интервале 0 < т < 2.

Рис. 3

С увеличением R вначале неустойчивость возникает в небольшом частотном диапазоне у низшей (исключая поверхностную) моды, а затем последовательно становятся неустойчивыми моды с более высокими номерами. Поверхностная мода долго остается устойчивой. Увеличение вязкости повышает критическое значение R*. Интересно отметить, что с ростом безразмерной плотности флотирующих частиц R происходит не только увеличение размаха колебания мнимой части волнового числа k на участке немонотонности, но и плавный сдвиг вправо с увеличением всего этого участка (рис. 4). Сплошные кривые соответствуют случаю m = 1, R = 0.02, E = 10-6, 8 = 0.7, а штриховые - увеличенному значению R = 0.025 и неизмененным остальным параметрам.

Азимутальные инерционные волны

Случай, когда волнового движения вдоль оси z нет, т.е. k обращается в ноль, требует отдельного рассмотрения. Применив оператор rot к уравнению (1), исключим давление:

Srotv з

-----= -v rot v . (13)

dt

Уравнение (13), переходя к безразмерным переменным, перепишем в виде

дv + v 1 ди дr r r дф

=E

1 д

1 1 д3

r r д^ф r дф

д3 + 2 _д___________+

дr3 r дr2 r2 дr

1 д2 ч +—т~—“)v +

(14)

+ E

1 д3

- + -

1 д2

(15)

_1

г дг2 дф г2 дгдф г3 дф г3 Эф3

и, используя уравнение несжимаемости

ду ди

— = _ г-------и,

дф дг

перейдем к уравнению для одной переменной и. Для амплитудной функции й(г) (и = й(г) х

х е1 (т+тф+к)) получим обыкновенное дифференциальное уравнение четвертого порядка

\Ег4 -+ 6Ег3-Л-Т + (/тг4 _ 2Ет2г2 +

1 Лг4 Лг3

+ 5Е)-Л- + г(з/тг2 _ Е(2т2 +1))Л _ (т2 _ 1) х

Лг Лг

х(/тг2 _ Е(т2 _ 1))]й = 0, которое имеет решение

=с,- + c,r-m- + tc, H-(lcr) + tc, H-(lcr),

r r

где к2 = —т / E. Амплитуду v(r) находим из уравнения несжимаемости (15)

+C

+C

v = iC1rm-1 - iC2 r -m-1 +

И(2)(к г)' m- к. И®(к. r)--------------

r

m- к. Hi(1+)1 (к. r) - )

Из уравнения движения (1) после некоторых преобразований получим выражение для давления р = т-1гт (2 - т)С1 + /т_1г~т (2 + х)С2 -

- 2т -1 (Сз ят1)(к,г) + С4 нт2)(к,4 После подстановки найденного решения в граничные условия получим линейную алгебраическую систему относительно С1,_,С4. Из равенства нулю определителя этой системы следует уравнение для определения частот возбуждения азимутальных волн. Это уравнение в случае идеальной жидкости с классическим граничным условием на свободной поверхности имеет вид

х j =

-1 + 82m + (-1)1 + m - 2S2m - (m -1)84

1 + S2m

Заключение

Бесконечно малые гармонические возмущения твердотельного вращения вязкой жидкости являются устойчивыми при R = 0. При R > 0 они сохраняют пространственную устойчивость только при малых значениях R(E). С ростом R вначале неустойчивость возникает у низшей

(исключая поверхностную) моды, а затем последовательно становятся неустойчивыми моды с более высокими номерами. Вероятно, значения R(E), с которыми связано возникновение неустойчивости инерционных волн, определяют верхнюю границу применимости рассмотренной модели вихревого движения жидкости, в которой плавающие частицы «вморожены» в свободную инерционную поверхность.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 11-08-97066-P_поволжье_а).

Список литературы

1. Petters A.S. The effect of a floating mat on water waves // Comm. Pure and Appl. Math. 1950. V. 3. № 4. P. 319-354.

2. Mandal B.N. Water waves generated by disturbance at an inertial surface // Appl. Sci. Res. 1988. V. 5. № 1. P. 67-73.

3. Габов С.А. О существовании установившихся волн конечной амплитуды на поверхности флотирующей жидкости // ЖВМ и МФ. 1988. Т. 28. № 10. С. 1507-1519.

4. Габов С.А., Тверской М.Б. О вычислении параметров установившихся волн конечной амплитуды на поверхности флотирующей жидкости // Математическое моделирование. 1989. Т. 1. № 2. С.109-118.

5. Габов С.А., Свешников А.Г. Математические задачи динамики флотирующей жидкости //Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал. Т. 28. М.: ВИНИТИ, 1990. С. 3-86.

6. Логинов Б.В., Карпова С.А. Вычисление периодических решений задачи о капиллярногравитационных волнах в пространственном слое флотирующей жидкости // Вестник СамГУ. 1997. № 3(6). С. 69-80.

7. Солдатов И.Н. Гироскопические волны во вращающемся слое жидкости //Прикладная механика и техническая физика. 2008. Т. 49. № 2. С. 15-20.

+

r

AXIALLY PROPAGATING WAVES IN A ROTATING FLUID WITH AN INERTIAL SURFACE

M.E. Tkach, N. V. Klyueva, I.N. Soldatov

Inertial wave motions in the layer of a floating viscous incompressible fluid filling the cavity of a rapidly rotating circular cylinder have been studied. The wave is represented as a superposition of six non-uniformly scaled helical harmonics. The influence has been analyzed of the floating layer density, the liquid layer viscosity and thickness, as well as the ratio of the wave frequency to the angular velocity of the cylinder's rotation on the real and imaginary parts of the wave number of propagating modes.

Keywords: floating viscous fluid, inertial (gyroscopic) waves, helical flows.