CC BY
52О ВЛИЯНИИ ИНЕРЦИОННЫХ ВОЛН НА ОСРЕДНЕННУЮ ДИНАМИКУ ЦЕНТРИФУГИРОВАННОГО СЛОЯ ЖИДКОСТИ
В.Г. КОЗЛОВ 1 А.В. ЧИГРАКОВ 2
1 Институт механики сплошных сред УрО РАН, 614013, Пермь, ак. Королева, 1 2 Пермский государственный педагогический университет, 614990, Пермь, Сибирская, 24
Экспериментально исследуется влияние инерционных волн на устойчивость центрифугированного слоя жидкости в горизонтальном вращающемся цилиндре, и влияние волн на структуру осредненных потоков. Исследуется порог возбуждения волн в зависимости от заполнения полости. Полученные результаты сравниваются с теоретическими и экспериментальными данными других авторов.
ВВЕДЕНИЕ
В быстро вращающемся горизонтальном цилиндре жидкость под действием центробежной силы инерции распределяется вдоль внутренней поверхности полости и движется вместе с ней (рис. 1 а, б). Как показано в [1], в лабораторной системе отсчета свободная поверхность центрифугированной жидкости стационарна и имеет форму цилиндра, ось которого в результате действия силы тяжести смещена вниз относительно оси симметрии полости, т. е. в верхней части полости толщина слоя жидкости больше, чем в нижней. В системе отсчета полости такое состояние соответствует волне, распространяющейся по свободной поверхности в азимутальном направлении, противоположном направлению вращения. Эта волна отражает вынужденные колебания жидкости, вызванные силой тяжести, вектор которой в системе отсчета полости совершает равномерное вращение.
© Козлов В.Г., Чиграков А.В., 2003
Рис. 1. Схема слоя; центрифугированный слой жидкости: вид сбоку (а) и со стороны торца (б), в - жидкость после обрушения
Ь
д
Амплитуда колебаний невязкой жидкости определяется двумя безразмерными параметрами: осцилляционным ускорением
г = я/О2 я и безразмерной координатой свободной поверхности жидкости при твердотельном вращении с = а Я (О - угловая скорость вращения, Я - радиус полости, а - расстояние от оси вращения до свободной поверхности, я - ускорение свободного падения). Параметр Г характеризует относительную величину поля силы тяжести, осциллирующего в системе отсчета полости на фоне статического центробежного поля. При увеличении Г центрифугированный слой жидкости становится неустойчивым и обрушивается, при этом жидкость оказывается в нижней части полости (рис. 1 в). В горизонтальном цилиндре устойчивость центрифугированного слоя определяется критическим значением отношения
(Г / с)* = 1/3 [1].
Во вращающейся полости наряду с вынужденными колебаниями возможны свободные колебания поверхности жидкости - инерционные волны, которые обладают рядом специфических свойств в результате действия силы Кориолиса. Описание инерционных волн и дисперсионное соотношение для них также впервые получено в [1].
Экспериментальные исследования [2, 3] показали, что волна, возбуждаемая силой тяжести, генерирует в центрифугированном слое жидкости двумерное осредненное азимутальное течение, направление которого совпадает с вектором распространения волны; в лабораторной системе отсчета жидкость вращается медленнее полости. Скорость осредненного течения V зависит от относительного заполнения q ° V / У0 и определяется величиной осцилляцион-
ного ускорения: v~(Г/c)2. В [3] отмечается, что возбуждение инерционных волн значительно интенсифицирует осредненное движение жидкости и понижает порог устойчивости.
Целью настоящей работы является исследование порога возбуждения инерционных волн и влияния волн на осредненную динамику центрифугированной жидкости во вращающемся цилиндре в зависимости от скорости вращения, относительного наполнения и размеров полости.
1. ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА
Эксперименты проводятся на установке [2], обеспечивающей плавное изменение частоты вращения полости в интервале / = 7 -35 Гц. Скорость вращения измеряется при помощи электронного тахометра ТЦ-3М с точностью 0.1 Гц. Рабочей жидкостью служит дистиллированная вода, для визуализации течения используются маркеры - легкие частицы из пенопласта. Наблюдения проводится в стробоскопическом освещении с частотой вращения полости. Это позволяет измерять скорость свободной поверхности жидкости относительно стенок цилиндра: измеряется период вращения Т свободной поверхности (как правило, погрешность измерения не превышает 1%).
Порог устойчивости центрифугированного слоя (обрушение, рис. 1 в) определяется при плавном снижении скорости вращения, при этом регистрируется критическая частота вращения полости.
В экспериментах используются две кюветы - полые плексигласовые цилиндры с радиусом внутренней поверхности Я = 2.5 см (длина рабочей полости Ь = 28.3 см) и Я = 3.5 см (Ь = 8.7 см). Внутри первой кюветы имеется поршень, перемещением которого можно задавать необходимую длину рабочей полости с точностью до 1%. В торце каждой из кювет имеется отверстие, предназначенное для дополнения полости жидкостью в ходе опыта. При этом жидкость вводится порциями заданного объема; погрешность измерения объема жидкости не превышает 1%.
В рассматриваемой работе наполнение полости характеризуется относительным объемом q = V / V), где V - объем жидкости, V,, -объем полости цилиндра. Объем q связан с параметром с, используемым в других работах, соотношением с = д/1—~д .
2. РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ
При высокой скорости вращения свободная поверхность центрифугированной жидкости в лабораторной системе стационарна; при понижении скорости поверхность жидкости теряет устойчивость, на ней пороговым образом возбуждаются колебания (поверхностные волны), которые распространяются как в азимутальном направлении, так и вдоль оси вращения. Сначала колебания наблюдаются лишь при определенных значениях относительного наполнения q , но с понижением частоты вращения колебания становятся более интенсивными, и интервал значений q, в котором они наблюдаются, расширяется. Область колебательной неустойчивости кроме частоты вращения определяется длиной полости.
Появление колебаний приводит к значительному увеличению скорости осредненного течения. Наблюдаются случаи, когда осред-ненное течение меняет направление, при этом некоторые элементы движущейся поверхности опережают вращающуюся полость.
Интересные резонансные явления наблюдаются с изменением длины рабочей полости: при определенных значениях длины (в зависимости от / и q) колебания свободной поверхности в лабораторной системе отсчета исчезают, но на поверхности жидкости возникает стационарный периодичный вдоль оси вращения рельеф. Период структур зависит от относительного наполнения q . Визуализация возникающего при этом осредненного течения обнаруживает существование периодической системы трехмерных тороидальных вихрей. Находящиеся на поверхности жидкости легкие маркеры распределяются периодически вдоль оси полости. Мелкие тяжелые частицы также образуют систему колец на стенке полости в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Пространственный период осредненных вихревых структур совпадает с периодом рельефа на свободной поверхности.
Появление волн на поверхности центрифугированного слоя жидкости оказывает сильное влияние как на характер осредненного течения, так и на устойчивость центрифугированного слоя. Период вращения жидкости относительно полости Т в зависимости от наполнения q изменяется немонотонно, в области значений
0.11 < q < 0.16 и 0.22 < q < 0.27 наблюдаются ярко выраженные минимумы (рис. 2). Визуальные наблюдения показывают, что резонансному повышению скорости осредненного течения соответствует область существования интенсивных колебаний на поверхности центрифугированного слоя жидкости. В отсутствие колебаний Т линейно уменьшается с повышением q .
0 0.5 Ч 1
Рис. 2. Зависимость периода Т вращения жидкости относительно полости от величины относительного наполнения Ч
(Я = 3.5 см, I ° Ь /Я = 2.46,/= 12.0 Гц)
Зависимость пороговой частоты вращения полости, при которой происходит обрушение центрифугированного слоя, от наполнения Ч также имеет немонотонный вид (рис. 3). Практически для всех значений ч пороговая частота оказывается много выше теоретической границы устойчивости (сплошная линия) [1]. В интервале значений ч с аномально низкой устойчивостью (0.08 < ч < 0.48,
0.5 < ч < 0.62 и ч > 0.66) обрушению слоя предшествуют интенсивные колебания жидкости.
Из сравнения рисунков 2 и 3 видно, что значения ч , при которых достигаются локальный максимум скорости осредненного течения и локальный минимум устойчивости, совпадают и равны ч = 0.24.
Конвективные течения. Сборник научных трудов
Это указывает на определяющую роль колебаний поверхности в устойчивости слоя.
10
/ *, Гц
7
4
0 0.5 9 1
Рис. 3. Зависимость пороговой частоты обрушения центрифугированного слоя от наполнения (Я = 3.5 см, I = 2.46); кривая - теоретический порог устойчивости из [1]
В [3] показано, что в отсутствие инерционных волн для осред-ненного течения выполняется соотношение А/ // ~ Т , где
А/ = Т-1 - частота вращения жидкости относительно полости. Поскольку волны приводят к интенсификации осредненного движения, порог возбуждения колебаний может быть найден по критическому отклонению экспериментальных точек от указанной зависимости.
В отсутствие резонансных колебаний зависимость А//Тт2 от частоты вращения / имеет линейный вид, экспериментальные точки, полученные при различных значениях 9 , удовлетворительно согласуются друг с другом (рис. 4). В случае 9 = 0.252 (знаки 2) наблюдается критическое изменение данной зависимости, позволяющее определить порог возбуждения колебаний.
Рис. 4. Зависимость А//Тт2 от / для 9 = 0.135, 0.252, 0.450 (1-3)
Рис. 5. Зависимость безразмерного комплекса А//(/Тт2) от наполнения для постоянной частоты вращения / = 12 Гц (Я = 3.5 см, I = 2.46)
Область колебательной неустойчивости хорошо видна на рис. 5, где относительная скорость осредненного движения А//(/Тт2)
представлена в зависимости от наполнения. В условиях проведенного эксперимента, при заданных значениях скорости вращения и длины полости, наблюдаются две узкие области существования
колебаний (на графике показаны границы одной из них д"* и д*2). Данная методика позволяет построить зависимость порогового ускорения Г* от д (рис. 6).
о о.з д 0.6
Рис. 6. Граница появления инерционных волн в зависимости от наполнения (I = 11.32)
Граница возбуждения колебаний поверхности в зависимости от относительного наполнения имеет вид системы резонансных мешков, расширяющихся с увеличением Г. Ниже пороговой кривой колебания отсутствуют. Для рассматриваемой длины полости существует несколько резонансных областей, минимум устойчивости наблюдается при д » 0.24 . При высоких значениях Г области возбуждения колебаний перекрываются, и становится возможным одновременное возбуждение различных мод колебаний.
Периодическое изменение порога устойчивости (обрушение слоя) наблюдается при изменении относительной длины полости I = Ь /Я при заданном наполнении (рис. 7). Большему наполнению д соответствует больший пространственный период. Интенсивные
колебания поверхности жидкости соответствуют минимальным значениям Г*; в изученном интервале I таких областей несколько.
Рис. 7. Зависимость критического ускорения Г от относительной длины полости I для д = 0.20 (1) и 0.30 (2)
При значениях I, соответствующих максимуму устойчивости, на поверхности жидкости формируется стационарный в лабораторной системе отсчета ("замороженный") периодический вдоль оси полости рельеф. Во вращающейся системе отсчета такое состояние соответствует волне, распространяющейся в азимутальном направлении, обратном направлению вращения, со скоростью, равной скорости вращения полости. Во всех случаях инерционные волны возбуждаются пороговым образом, их амплитуда возрастает с понижением частоты вращения. При наполнении, соответствующем наибольшей устойчивости, перед "обвалом" свободная поверхность становится нестационарной в лабораторной системе отсчета: в слое возбуждаются колебания, распространяющиеся по поверхности жидкости. Из графика видно, что с увеличением длины полости порог устойчивости в среднем понижается.
3. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ
Характер колебаний поверхности центрифугированного слоя жидкости определяется безразмерной частотой 0) = Ок2/у, где V -
кинематическая вязкость жидкости, И ° Я - а - средняя толщина центрифугированного слоя. Безразмерная частота показывает соотношение времени переноса импульса за счет вязкого взаимодействия И2/у и периода осцилляций силового поля 2р/О. В экспериментах частота составляла о > 100 . Это значит, что при колебаниях роль вязкости значительна лишь в тонком слое вблизи твердой границы, в остальном объеме жидкость не проявляет вязких свойств. Это позволяет проводить сравнение полученных результатов с теоретическим исследованием инерционных волн, выполненным в приближении невязкой жидкости [1].
Периодическое изменение Г* с I (рис. 7) указывает на существование дискретного спектра длин волн при заданном наполнении. Условия для резонанса возникают в случае, когда длина полости равна целому числу полуволн. Таким образом, расстояние между двумя максимумами соответствует половине длины волны.
На рис. 8 показана зависимость к , проекции волнового числа на ось вращения, от параметра с = а / Я . Кривая и знаки 1 соответствуют теоретическим расчетам и экспериментальным данным [1], полученным для азимутального волнового числа 1 = 1 и частоты колебаний п = 0 (в лабораторной системе отсчета). Как видно, волновые числа, найденные по рис. 7 (знаки 2), хорошо согласуются с результатами [Там же].
Минимум устойчивости наблюдается при наличии колебаний поверхности. Стабилизация слоя происходит при формировании "замороженной" в лабораторной системе отсчета волны. В системе отсчета полости такая волна распространяется в обратном вращению азимутальном направлении со скоростью вращения полости, в то же время вдоль оси полости волна оказывается стоячей. Повышение устойчивости свидетельствует о том, что возмущения, вносимые " замороженной" волной, имеют меньшее значение, чем возмущения в случае колебаний, вызванных прочими модами.
Среднее понижение устойчивости центрифугированного слоя с увеличением длины полости обусловлено расширением спектра нарастающих возмущений и возбуждением одновременно различных мод колебаний, каждая из которых вносит определенный вклад в увеличение пульсационной компоненты скорости.
Период "замороженной" волны на поверхности жидкости совпадает с периодом осредненных вихрей. Таким образом, причиной возбуждения трехмерного осредненного течения в виде системы тороидальных вихрей является стоячая (вдоль оси канала) волна. Из теоретического анализа [4] следует, что генерация азимутального осредненного течения происходит в пограничных слоях Стокса и
связана с вынужденными колебаниями жидкости под действием силы тяжести. Продольное движение (осевая компонента средней скорости) также генерируется вязкими пограничными слоями [5] и связано с тем, что при наличии стоячей волны колебания жидкости неоднородны вдоль оси канала.
Рис. 8. Зависимость к , проекции волнового числа на ось вращения, от параметра с = а/К ; теоретическая граница и экспериментальные точки 1 получены в [1], 2 - результаты настоящей работы
Тот факт, что возбуждение инерционных волн приводит к интенсификации возвратного движения жидкости, свидетельствует о том, что в большинстве случаев инерционные волны имеют азимутальную компоненту скорости (в системе отсчета полости), направленную навстречу вращению. Возникновение "опережающего" осред-ненного течения, направление которого совпадает с вращением полости, в эксперименте наблюдается редко и может быть связано с резонансным откликом системы на неконтролируемые внешние возмущения.
Результаты исследований показывают, что полученная в [3] зависимость азимутальной скорости осредненного движения у — (Г/с)2 справедлива лишь в области малых значений Г. Возбуждение резонансных колебаний сильно влияет как на интенсивность течения, так и на его структуру. Интенсификация осредненного движения является надежным признаком появления инерционных волн.
Заключение. Экспериментально исследовано возбуждение колебаний свободной поверхности центрифугированного слоя жидко -сти; изучено влияние колебаний на осредненную динамику и устойчивость слоя. Показано, что развитие инерционных волн приводит к интенсификации осредненного течения и к формированию
трехмерных периодичных структур. Изучена зависимость порога возбуждения волн от наполнения и длины полости, с увеличением длины порог устойчивости центрифугированного слоя жидкости понижается.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 03-01-00552).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ
1. Phillips OM. Centrifugal waves // J. Fluid Mech. 1960. V. 7. P. 340-352.
2. Волкова О.В., Чиграков А.В. Поведение жидкости в частично заполненном горизонтальном цилиндре, вращающемся вокруг оси // Опыты по вибрационной механике: (Сб. студ. науч. тр.) / Под ред. А А. Ивановой и В.Г. Козлова. Перм. гос. пед. ун-т. Пермь, 2001. С. 35-45.
3. Kozlov V.G., Chigrakov A.V. Mean dynamic of a fluid in rotating horizontal cylinder // Abstr. XXX Summer School "Advanced Problems in Mechanics (APM'2002)". St. Petersburg (Repino), Russia, 2002. St. Petersburg: IPME RAS, 2002. P. 60.
4. Иванова АА., Козлов В.Г., Чиграков А.В. Динамика жидкости, частично заполняющей вращающийся горизонтальный цилиндр // Изв. РАН. МЖГ.
5. Физическая акустика / Под ред. У. Мэзона. М.: Мир, 1969. Т. 2.
Ч. Б. 420 с.
ABOUT THE INFLUENCE OF INERTIAL WAVES ON MEAN DYNAMICS OF CENTRIFUGED LIQUID LAYER
V.G. KOZLOV, A.V. CHIGRAKOV
Abstract. The influence of inertial waves on the stability of a centrifuged liquid layer in the horizontal rotating cylinder and on the structure of mean flows in the layer is investigated experimentally. The threshold of excitation of inertial waves is studied depending on the relative filling of the cavity. The matching with theoretical and experimental results of another authors is conducted.
