CC BY
171Конвективные течения.... Вып. 2
ПОВЕДЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ЧАСТИЧНО ЗАПОЛНЕННОМ ГОРИЗОНТАЛЬНОМ ВРАЩАЮЩЕМСЯ ЦИЛИНДРЕ
В.Г. Козлов, А.В. Чиграков
Пермский государственный педагогический университет, 614990, Пермь, Сибирская, 24
Экспериментально исследуется динамика жидкости, частично заполняющей горизонтальный вращающийся цилиндр. В зависимости от безразмерной частоты вращения изучается граница центрифугирования жидкости, устойчивость центрифугированного состояния и осредненные течения в системе отсчета полости. С позиции вибрационной механики рассматриваются механизмы генерации осредненных течений в центрифугированном слое в предельных случаях высоких и низких частот. Экспериментальные и теоретические результаты исследования осредненных потоков согласуются.
ВВЕДЕНИЕ
В горизонтальном вращающемся цилиндре в зависимости от скорости вращения жидкость может находиться в двух качественно различных состояниях. В случае медленного вращения сила тяжести доминирует над центробежной силой и значительная часть жидкости находится в нижней части полости (рис. 1, а). С увеличением скорости вращения происходит скачкообразный переход в центрифугированное состояние и жидкость равномерно распределяется вдоль цилиндрической поверхности (рис. 1, б). В литературе такие режимы известны под названием покрывающих (coating) или кольцевых (rimming) течений. При понижении частоты центрифугированное состояние теряет устойчивость и слой обрушается.
© В.Г. Козлов, А.В. Чиграков, 2005
{
N
а
б
Рис. 1. Распределение жидкости в горизонтальном вращающемся цилиндре при медленном (а) и быстром вращении (б)
Процессы перехода из одного состояния в другое определяются соотношением сил тяжести и центробежной, Г = g / О2Я , где О -угловая скорость вращения, Я - радиус полости, g - ускорение свободного падения. Другим определяющим параметром является безразмерная частота О = ОН2 / V (И - толщина слоя жидкости, V -кинематическая вязкость), характеризующая соотношение времени молекулярного (вязкого) переноса импульса Н2 / V и периода вращения. В случае низких безразмерных частот, который рассматривается в настоящей работе, вязкое взаимодействие распространяется на весь объем жидкости. (При высоких частотах вязкость проявляется лишь в тонких по сравнению с Н пограничных слоях
Изучению устойчивости стационарных режимов покрывающих течений (в основном в области низких частот, когда вязкость играет определяющую роль) посвящено много работ, краткий обзор можно найти в [2, 3]. Динамика центрифугированного слоя жидкости рассматривается в [4-8].
Движение жидкости, покрывающей горизонтальный вращающийся цилиндр изнутри и снаружи, в области низких частот изучается экспериментально и в приближении вязких ползущих течений в [1, 2, 9-13]. В этом предельном случае поведение жидкости описывается произведением Го. При 0.667 <Го< 5 (медленное вращение) жидкость распределена неравномерно: существует область,
£ = л/2п70 .)
где толщина слоя изменяется скачкообразно (рис. 1, а). При высокой частоте вращения, Го< 0.667 , толщина слоя плавно меняется с азимутальной координатой в и имеет максимальную толщину на поднимающейся стенке цилиндра (рис. 1, б). В тонких слоях, И / Я << 1, экспериментальные пороги центрифугирования и обратного перехода совпадают с теоретической границей Г ~ (О1. Из экспериментальных результатов, а также численных и аналитических, полученных в приближении ползущего течения, следует, что поверхностное натяжение практически не влияет на структуру течения.
В области высоких частот в переходах в центрифугированное состояние и обратно наблюдается гистерезис, пороги определяются параметром Г и зависят от относительного наполнения q = V / У0 [14] (V0 и V - объем полости и жидкости в ней).
В [3, 14-16] обнаружено, что во вращающемся цилиндре в результате неустойчивости двумерного течения происходит перераспределение жидкости вдоль оси вращения, возникают пространственно-периодические структуры. Характер структур зависит от размеров полости, количества и свойств жидкости. Конвективные структуры в свою очередь оказывают влияние на порог перехода жидкости в центрифугированное состояние.
Другое явление - осредненное движение жидкости относительно полости - возникает вследствие асимметричного распределения жидкости в центрифугированном слое [6, 7, 14]. В пределе высоких безразмерных частот, (О>> 1, скорость движения пропорциональна Г2 и не зависит от О; направление движения в системе отсчета полости противоположно ее вращению. Течение генерируется в пограничном слое Стокса, который возникает в результате колебаний жидкости, вызванных волной на поверхности центрифугированного слоя, связанной с действием силы тяжести. В пределе низких безразмерных частот осредненное течение, как следует из теоретической работы [2], имеет направление, противоположное вращению, а его интенсивность пропорциональна (ГО)2 .
При исследовании переходных процессов в перечисленных работах динамика жидкости рассматривается в ограниченной области значений наполнения, q << 1. Случай немалых q , а также область умеренных безразмерных частот остались вне поля зрения исследователей.
1. РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТА
Переход в центрифугированное состояние
Описание экспериментальной установки приведено в [17]. Вязкость жидкости варьируется в диапазоне п = 0.01 -10 Ст (вода и водоглицериновые растворы). Вязкость измеряется при помощи капиллярного вискозиметра или методом Стокса с погрешностью не выше 3 %. Опыты проводятся при комнатной температуре.
В любой области частот в центрифугированное состояние жидкость переходит пороговым образом. Порог центрифугирования монотонно повышается с увеличением объема жидкости и мало меняется с изменением длины полости. В допороговой области может наблюдаться неустойчивость двумерного течения относительно трехмерных пространственно-периодических возмущений, развитие которых влияет на порог центрифугирования.
Рис. 2. Зависимость критического значения Г от наполнения для V = 0.01, 0.04, 0.16, 7.2 Ст (1-4); Я = 3.5 см, Ь = 7.0 см
Рис. 3. Порог перехода жидкости в центрифугированное состояние в зависимости от а>. 1-4 - Я = 3.5 см, I = 2, V = 0.01, 0.04, 0.16, 7.2 Ст; 5, 7 - Я = 4.7, 2.5 см, I = 2, V = 0.01 Ст; 6 - Я = 1.7 см, I = 15.9, V = 0.01 Ст
С увеличением наполнения пороговое значение Г монотонно понижается (рис. 2), характер зависимости изменяется. В области больших Г угол наклона пороговых кривых практически не зависит от вязкости (точки 1, 4), пороговое значение Г понижается обратно пропорционально q. Нарушение этой закономерности при увеличении q (проявляется в изломе кривой) связано с переходом двумерных структур в трехмерные. Так, в опытах с водой (точки 1)
двумерное течение теряет устойчивость, и фронт течения оказывается периодическим вдоль оси вращения при q = 0.06. В условиях развитых трехмерных структур, при q > 0.2 , пороговое значение Г изменяется с наполнением по тому же закону, что и до появления структур. При других значениях вязкости кривые устойчивости имеют похожий вид (точки 2-4).
Критическое значение Г монотонно понижается с увеличением частоты а (рис. 3). Пороговые кривые имеют сложный вид, зависящий от длины полости и вязкости жидкости. Но в широкой области значений о экспериментальная зависимость близка к степенной, Г ~ 0)~1/2, как в области низких, так и в области высоких частот! аким образом, с увеличением q (одновременно повышается и
о) происходит перестройка: на смену двумерному течению приходит трехмерное. Это приводит к перераспределению жидкости вдоль оси вращения, и «локальное» наполнение оказывается различным в разных областях полости. Отклонение пороговых кривых от закона Г ~ аТ112 обусловлено перестройкой течения (рис. 3, точки 1-5, 7). Пространственный период трехмерных вихрей зависит от q. Сравнение результатов, полученных в полостях различной длины Ь , показывает, что возникновение и трансформация трехмерного течения существенно влияет на границу центрифугирования только в коротких цилиндрах, I = Ь / Я ~ 1.
Устойчивость центрифугированного состояния
В случае низких частот потеря устойчивости центрифугированного слоя жидкости (его обрушение) также происходит критическим образом (в допороговой области поверхность центрифугированного слоя остается гладкой и невозмущенной). Граница устойчивости определяется геометрией полости, величиной наполнения q и вязкостью жидкости. Специфическим в процессе обрушения вязких жидкостей является то, что с понижением скорости вращения толщина слоя на восходящей стенке постепенно увеличивается, и кризис наступает, когда жидкость начинает «скатываться» со стенки. При этом в нижней части полости наблюдается гидравлический скачок.
Критическое значение Г с увеличением вязкости повышается, в области V < 0.16 Ст пороговая кривая имеет немонотонный характер (рис. 4, точки 1-3), связанный с тем, что обрушение сопровождается интенсивными колебаниями поверхности слоя. С повышением вязкости локальный минимум устойчивости смещается в сторо-
ну больших значений q, в целом устойчивость незначительно повышается. В жидкостях большей вязкости колебания возбуждаются при q > 0.40, наличие колебаний делает слой менее устойчивым (точки 4), чем в жидкости меньшей вязкости (3). В сильновязкой жидкости порог устойчивости монотонно понижается с увеличением q (5).
Осредненное течение в центрифугированном слое жидкости
Наблюдения за маркерами, находящимися на поверхности центрифугированного слоя, в стробоскопическом освещении показывают, что вязкая жидкость совершает медленное возвратное движение относительно стенок полости.
Рис. 4. Зависимость порогового значения параметра Г (потеря устойчивости центрифугированного состояния) от относительного наполнения q (Я = 3.5 см, Ь = 7.0 см) для вязкости V = 0.01, 0.04, 0.16, 0.73 и 7.2 Ст (1-5)
Рис. 5. Зависимость безразмерной скорости осредненного течения от Г (Я = 2.5см, q = 0.20) для V = 0.10, 0.23, 1.1, 3.3 и 7.6 Ст (1-5)
Траектория движения частиц лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения; в различных точках вдоль оси цилиндра скорость течения одинакова. При I > 2 интенсивность течения не зависит от длины полости, но определяется ее диаметром, относительным объемом и вязкостью жидкости. С увеличением диаметра при прочих постоянных параметрах скорость течения понижается, с увеличением наполнения - повышается.
При сравнительно небольшой вязкости (высокие частоты) безразмерная скорость осредненного течения и/Оа пропорциональна Г2, зависимость от вязкости отсутствует: при V < 1 Ст результаты,
полученные с различными жидкостями, удовлетворительно согласуются между собой (рис. 5, точки 1-3). С повышением вязкости характер зависимости меняется, в случае низких безразмерных частот скорость пропорциональна Г (точки 5). В промежуточной области значений V с увеличением вязкости показатель степени понижается с 2 до 1.
2. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ
Рассмотрим двумерное течение вязкой жидкости с радиальной и азимутальной компонентами вектора скорости и и и в медленно вращающемся цилиндре. Для тонкого слоя жидкости И /Я << 1 в приближении ползущего течения уравнения Навье - Стокса и непрерывности в лабораторной системе отсчета имеют вид [11]:
д2и
V — + я 0080= 0 (2.1)
дг
д2и
V — - я яив = 0 (2.2)
дг
1 ( д(ги) ^ 1 ди
-\ + -^77 = 0 (2.3)
г ^ дг ) г дв
На твердой стенке при г = Я должны выполняться условия непроницаемости и прилипания:
и = 0, ь = ОЯ (2.4)
На свободной поверхности слоя г = Н исчезают касательные напряжения и выполняется кинематическое условие:
ди дН
*=и =эв а5)
где Н = Н (в) - радиальная координата свободной поверхности.
Вводя новую радиальную координату у = Я - г и решая систему уравнений относительно азимутальной компоненты скорости, получим:
и = ОЯ -Я у(2Н - у) бш в
2у
или в безразмерном виде:
и = 1 —— у (2Н - у )БІпв
(2.6)
В качестве единиц измерения скорости и расстояния выбраны ОЯ и И соответственно. Первое слагаемое в выражении (2.6) описывает твердотельное движение жидкости вместе с полостью, второе представляет собой движение, возникающее под действием силы тяжести. Решение для движения во вращающейся полости аналогично результату, полученному для стекающего тонкого слоя вязкой жидкости со свободной поверхностью по твердой наклонной движущейся стенке.
Для существования замкнутого стационарного в лабораторной системе отсчета слоя жидкости необходимо, чтобы расход в любом радиальном сечении был одинаков,
Здесь Н0 - толщина слоя жидкости при в = 0 .
В общем случае определить вид функции Н(в) не удается. Согласно (2.6), распределение жидкости симметрично относительно горизонтальной плоскости, проходящей через ось симметрии цилиндра. На восходящей стенке полости в = п / 2 толщина слоя максимальна, так как вследствие действия силы тяжести скорость жидкости (в лабораторной системе отсчета) принимает наименьшее значение.
Центрифугирование тонкого слоя жидкости, И / Я << 1, обусловлено вязким взаимодействием между жидкостью, стекающей с поднимающейся стенки, и самой стенкой. Повышение интенсивности течения приводит к увеличению касательных напряжений внутри жидкости. Порог центрифугирования определяется равновесием сил вязкого трения и тяжести [1, 11].
Результат (2.6) справедлив лишь для тонких слоев И / Я << 1 . В области умеренных и больших q механизм перехода в центрифу-
0
(2.7)
гированное состояние существенно отличается от описанного выше. Течение характеризуется значительной циркуляцией вблизи фронта гидравлического скачка. Предположение, что и >> и , в этой области не выполняется. Производные д / дг вблизи фронта сравнимы с д /дв, откуда следует, что и~ и . Это означает, что при описании перехода жидкости в центрифугированное состояние в системе уравнений необходимо учитывать нелинейные члены.
Влияние трехмерного течения на центрифугирование показано на рис. 6. Область I соответствует нецентрифугированному состоянию, в области II вся жидкость увлечена стенками полости.
Рис. 6. Диаграмма режимов течения (Я = 3.5 см, I = 2, V = 0.01 Ст): 1 - порог центрифугирования, 2 - граница возникновения периодичных структур в виде пелен
При 0)< 100 критическое значение Г убывает пропорционально &Г12. Вплоть до порога центрифугирования течение остается двумерным, за исключением областей, прилегающих к торцам. В случае 0> 100 при понижении Г (при повышении частоты) переходу в центрифугированное состояние предшествует появление на свободной поверхности жидкости, стекающей с поднимающейся стен-
ки, периодического вдоль оси цилиндра рельефа. Амплитуда рельефа нарастает с повышением относительного объема. С развитием рельефа изменяется характер захвата жидкости, что приводит к отклонению кривой Г(о) от вида Г ~ 0~1/2 .
При о» 2000 в предзахватном течении в результате развития трехмерных структур возникают пелёны; пороговая частота их появления понижается (Г возрастает) с увеличением толщины слоя жидкости (с увеличением безразмерной частоты). Захват жидкости происходит на фоне развитого трехмерного течения. Область III характеризуется существованием устойчивых пелён. При наличии трехмерных структур, 0> 2000 , зависимость Г(0 ) не отличается от двумерного движения при 0< 100 , но пороговая кривая смещена в область больших значений Г .
Вид зависимости Г(0 ) в значительной мере определяется длиной полости. Масштаб трехмерных структур зависит от толщины слоя жидкости и длины полости. В коротком цилиндре, I = 2, спектр длин волн возможных возмущений ограничен, поэтому с увеличением q перестройка течения происходит крайне медленно, но приводит к существенному изменению его структуры. Для короткой модели вид Г(о) более сложный (рис. 3, точки 1-5). Кроме того, с появлением осевого движения возрастает влияние торцевых стенок. В длинной полости спектр возмущений шире, а изменение наполнения приводит к плавному изменению периода трехмерных структур. Это не сопровождается качественным изменением характера течения, о чем свидетельствует небольшое отклонение зависимости Г(о) от закона Г ~ о-12 (рис. 3, 6).
Оценку устойчивости центрифугированного слоя можно получить для Го << 1. Хотя в экспериментах пороговые значения Г не малы (но остаются конечными), обеспечить требуемое условие можно, понижая безразмерную частоту (увеличивая вязкость жидкости). В этом случае решение уравнения (2.7) принимает вид:
Свободная поверхность жидкости представляет собой цилиндрическую поверхность, ось которой сдвинута относительно оси вращения в горизонтальном направлении на расстояние Го/3
(2.8)
(рис. 1, б). Из условия, что толщина слоя Н(в) должна быть положительной, следует, что стационарный слой не может существовать при Го > 3 . Достаточно грубая оценка границы устойчивости центрифугированного слоя дает:
Г < о- (2.9)
Смысл условия (2.9) заключается в том, что жидкость перестает быть центрифугированной, когда Н в направлении в = 3р/2 обращается в нуль, т.е. вся жидкость, увлекаемая поднимающейся стенкой, успевает стечь, и расход жидкости в лабораторной системе отсчета через любое сечение оказывается равным нулю. В реальности обрушение происходит несколько раньше, а оценочный результат лишь качественно согласуется с [1, 11].
Г 10
1
0.1
0.01
0.1 10 1000 о
Рис. 7. Границы устойчивости центрифугированного слоя (1-5) и перехода в центрифугированное состояние (6-10) в зависимости от а> для различных значений вязкости V = 0.01Ст(1, 6); 0.04(2, 7); 0.16(3, 8); 0.73(4, 9); 7.2(5, 10), (Я = 3.5 см, I = 2)
В случае низких частот о центрифугированное состояние реализуется с гистерезисом (рис. 7). В области I (ниже кривой 1) воз-
можно только центрифугированное состояние, в области II (выше кривой 2) существование центрифугированного слоя невозможно. В области гистерезиса (заштрихована) в зависимости от предыстории изменения параметров возможны оба состояния. При смещении в область гистерезиса из зоны I центрифугированное состояние остается устойчивым, при переходе из зоны II - не реализуется. С повышением безразмерной частоты область гистерезиса увеличивается.
При малых значениях наполнения q в области низких частот гистерезис исчезает [3]. При умеренных и больших q процессы центрифугирования и обрушения имеют различные механизмы: граница центрифугирования определяется соотношением Г ~ о-11, граница устойчивости центрифугированного слоя - соотношением Г ~ о- . Из этого следует, что при о << 1 область гистерезиса сохраняется. В случае низких частот относительный объем q , вместе с параметрами Г и о, определяет состояние жидкости.
Рассмотрим осредненное движение вязкой жидкости в пределе низких безразмерных частот. Из выражения (2.6) с учетом (2.8) получим уравнение для скорости жидкости на свободной поверхности:
Усредняя (2.10) по в, получим выражение для безразмерной скорости У! азимутального движения поверхности жидкости относительно стенок полости [18]:
В случае малых значений q результаты удовлетворительно согласуются с расчетными в области Го< 0.1 (рис. 8); скорость течения возрастает пропорционально (Го)2. Течение формируется вследствие вязкого взаимодействия жидкости с цилиндрической стенкой. Вклад торцов в формирование движения незначителен, течение двумерное. Из (2.11) легко определяется расход жидкости Q = -(Го)2 / 9 , приходящийся на единицу длины (результат в 20 раз превышает теоретическое значение расхода, полученное в [2]).
0.а 6
(2.11)
Рис. 8. Зависимость и/(Г2Оа) от а при q = 0.20 (1, 4), д = 0.40 (2, 5) и 0.80 (3, 6) для различных значений вязкости и радиуса полости; штриховая кривая соответствует ь/(Оа) = -(Гю)2/6
Экспериментальные значения скорости в области частот О < 1 согласуются с низкочастотной асимптотической кривой (рис. 8). С увеличением О характер зависимости меняется, и при о> 100 в тонких слоях экспериментальные результаты согласуются с высокочастотной асимптотикой У! =-5Г2 /4 [14]; переход происходит немонотонно - при О» 10 наблюдается выраженный максимум. В области низких и умеренных частот интенсивность осредненного течения слабо зависит от наполнения полости: в области О < 10 для различных значений д результаты удовлетворительно согласуются
на плоскости О, у/(Г2Оа).
Заключение. Экспериментально в области умеренных и низких значений безразмерной частоты вращения цилиндра исследована динамика жидкости в зависимости от наполнения. Изучено осред-ненное движение жидкости, дано теоретическое описание вибрационного механизма генерации осредненного движения. Проведено
сравнение экспериментальных результатов с теоретическими, показано их согласие.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант РФФИ 03-01-00552а).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Preziosi L., Joseph D.D. The run-off condition for coating and rimming flows // J. Fluid Mech. 1987. V. 187. P. 99-113.
2. Ashmore J., Hosoi A.E., Stone HA. The effect of surface tension on rimming flows in a partially filled rotating cylinder // J. Fluid Mech.
2003. V. 479. P. 65-98.
3. Thoroddsen S.T., Mahadevan L. Experimental study of coating flows in a partially-filled horizontally rotating cylinder // J. Exp. in Fluids. 1997. V. 23. P. 1-13.
4. Phillips OM. Centrifugal waves // J. Fluid Mech. 1960. V. 7. P. 340352.
5. Ruschak K.J., Scriven L.E. Rimming flow of liquid in a rotating horizontal cylinder // J. Fluid Mech. 1976. V. 76. Pt 1. P. 113-125.
6. Gans R.F. On a steady flow in a partially filled rotating cylinder // J. Fluid Mech. 1977. V. 82. Pt 3. P. 415-427.
7. Greenspan H.P. On a rotating flow disturbed by gravity // J. Fluid Mech. 1976. V. 74. Pt 2. P. 335-351.
8. Joseph D.D., Wang J., Bai R., et al. Particle motion in a liquid film rimming the inside of a partially filled rotating cylinder // J. Fluid Mech. 2003. V. 496. P. 139-163.
9. Пухначев В.В. Движение жидкой пленки на поверхности вращающегося цилиндра в гравитационном поле // ПМТФ. 1977. № 3. С. 78-88.
10.Hansen E.B., KelmansonMA. Steady, viscous, free-surface flow on a rotating cylinder // J. Fluid Mech. 1994. V. 272. P. 91-107.
11.Johnson R.E. Steady-state coating flows inside a rotating horizontal cylinder // J. Fluid Mech. 1988. V. 190. P. 321-342.
12.Tirumkudulu M., Acrivos A. Coating flows within a rotating horizontal cylinder: lubrication analysis, numerical computations, and experimental measurements // J. Phys. of Fluids. 2001. V. 13. № 1. P. 14-19.
13.Duffy B.R., Wilson S.K. Thin-film and curtain flows on the outside of a rotating horizontal cylinder // J. Fluid Mech. 1999. V. 394. P. 2949.
14.Иванова А А., Козлов В.Г., Чиграков А.В. Динамика жидкости во вращающемся горизонтальном цилиндре // Изв. РАН. МЖГ.
2004. № 4. С. 98-111.
15.Karweit M.J. Corrsin S. Observation of cellular patterns in a partly filled, horizontal, rotating cylinder // J. Phys. of Fluids. 1975. V. 18. № 1. P. 111-112.
16.Hosoi A.E., Mahadevan L. Axial instability of a free-surface front in a partially filled horizontal rotating cylinder // J. Phys. of Fluids. 1999. V. 11. № 1. P. 97-106.
17.Волкова О.В., Чиграков А.В. Поведение жидкости в частично заполненном горизонтальном цилиндре, вращающемся вокруг оси // Опыты по вибрационной механике: Сб. Студенческих научных трудов / Перм. гос. пед. ун-т. Пермь, 2001. С. 22-35.
18.Kozlov V.G., Chigrakov A.V. Mean motion of viscous fluid in partially filled horizontal rotating cylinder // Proc. 32 Summer School “Advanced Problem in Mechanics” (APM 2004). St. Petersburg (Re-pino), Russia. St. Petersburg: IPME RAS, 2004. P. 101-105.
BEHAVIOUR OF VISCOUS FLUID INSIDE PARTIALLY FILLED HORIZONTAL ROTATING CYLINDER
V.G. Kozlov, A.V. Chigrakov
Abstract. Dynamics of fluid in a partially filled horizontal rotating cylinder dependent on dimensionless frequency of rotation is investigated experimentally: the threshold of transition to the centrifuged state, the stability of centrifuged layer and mean flows of liquid in the cavity frame are studied. The mechanisms of generation of mean flows in centrifuged layer in the limiting cases of high and low frequencies are analyzed from the position of vibrational mechanics.
