CC BY
109ЦЕНТРОБЕЖНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ВИБРАЦИОННЫХ ПОТОКОВ ЖИДКОСТИ ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ ЦИЛИНДРЕ
Д. А. Полежаев
Пермский государственный педагогический университет, 614990, Пермь, Сибирская, 24
Обобщаются результаты экспериментального исследования вибрационных потоков центрифугированной жидкости во вращающемся цилиндре. Первая часть статьи посвящена описанию различных течений, возбуждаемых в жидкости под действием вибраций. Во второй части обсуждается развитие неустойчивости, приводящей к смене режимов вибрационных течений. Результаты сравниваются с экспериментальными и теоретическими данными других авторов.
Ключевые слова', вибрации, устойчивость, осредненное движение.
1. ОСРЕДНЕННЫЕ ВИБРАЦИОННЫЕ ПОТОКИ ЖИДКОСТИ
В быстро вращающемся вокруг горизонтальной оси цилиндре жидкость находится в центрифугированном состоянии, и ее динамика определяется действием силы тяжести и центробежной силы инерции. Во вращающейся системе отсчета сила тяжести вращается в направлении, противоположном вращению полости, и тем самым оказывает на жидкость переменное воздействие. В результате жидкость совершает колебательное движение относительно полости с частотой, равной угловой скорости вращения цилиндра и фазой колебаний, зависящей от угла поворота цилиндра относительно направления действия силы тяжести. Согласно [1] в случае фазовой неоднородности колебаний вблизи твердой границы возникает среднее “акустическое” течение жидкости. Направление течения совпадает с направлением вращения силы тяжести, так что во вра-
© Полежаев Д.А., 2011
щающеися системе жидкость совершает азимутальное движение в направлении, противоположном вращению цилиндра. Интенсивность азимутального движения определяется безразмерным ускорением Г = а. ив предельном случае высокой скорости вращения и малого относительного наполнения определяется выражением [2]:
АО 5 2
пГ="їг ‘ (1Л)
где АО,- угловая скорость азимутального течения относительно цилиндра, 0.г = 2ппг - угловая скорость вращения цилиндра, а -радиус столба воздуха внутри цилиндра. Знак минус означает, что жидкость совершает осредненное движение в направлении, противоположном вращению полости (отстающее течение).
Уравнение (1.1) показывает, что с увеличением 12 осредненное гравитационное течение быстро ослабевает, но не меняет направление. Управлять направлением осредненного движения можно, если варьировать частоту внешнего осциллирующего воздействия.
В [3] изучено движение центрифугированного слоя жидкости в цилиндре под действием поперечных оси вращения вибраций. В быстро вращающемся цилиндре действие силы тяжести пренебрежимо мало, и жидкость совершает колебания исключительно под действием вибраций. Неоднородные по фазе колебания во вращающейся системе принимают форму бегущей азимутальной волны, направление распространения которой определяется безразмерной частотой вибраций
«V
п = — ,
Пг
где п,: - частота вибраций, п. - скорость вращения полости.
Измерения показывают, что угловая скорость распространения волны в лабораторной системе отсчета равна циклической частоте вибраций Оу = 2/гя, . Если п > 1, то скорость распространения волны в лабораторной системе отсчета больше скорости вращения цилиндра, и генерируется опережающее течение жидкости относительно полости (А0>0). Напротив, когда п< 1, жидкость совершает отстающее движение (рис. 1).
і іі
Рис. 1. Зависимость относительной скорости обгоняющего (г) и отстающего (и) течений от безразмерной частоты вибраций; = 30 (г) и 15 Гц (и), Ь = 0.21 мм
Рассмотрим подробнее осредненное движение жидкости. Когда частота вибраций равна скорости вращения полости (пу = пг) жидкость совершает твердотельное движение вместе с полостью. При уменьшении (увеличении) скорости вращения жидкость приходит во вращательное движение со скоростью А0>0 (А0<0). Скорость такого движения невелика и медленно возрастает при удалении от значения п = 1. При критическом значении пг на поверхности жидкости резонансным образом возбуждается бегущая азимутальная волна, интенсифицирующая осредненное движение жидкости (рис. 1, переходы а). Скорость жидкости в лабораторной системе отсчета О, = Ог + АО в надкритической области практически не изменяется, т.е. движение жидкости продолжает удовлетворять условиям резонансного возбуждения в точке а. Изменение скорости вращения 0; вынуждает жидкость увеличивать скорость относительного движения АО, т.е. происходит автоматическая нелинейная подстройка системы к резонансным условиям. Пока вибрации способны обеспечивать резонансные условия, наблюдается интенсификация осредненного движения жидкости. После наступает коллапс, когда азимутальная волна исчезает, и жидкость скачком переходит в состояние твердотельного движения вместе с полостью (переходы Ь). Для того чтобы вернуть жидкость в состояние быстрого резонансного движения, нужно уменьшить частоту п в случае опережающего движения или увеличить в случае отстающего. Од-
нако возбуяедение движения происходит раньше, чем будет достигнута точка а\ в окрестности точки с пороговым образом возбуждается волна, и жидкость скачком переходит в состояние интенсивного движения.
Таким образом, критические частоты возбуждения и исчезновения азимутальной волны (интенсивного движения) не совпадают. На плоскости параметров п, Гу (Г, = М.1] /10.1] - безразмерное вибрационное ускорение) области существования опережающего и отстающего течений принимают форму резонансных мешков (рис. 2).
0.5 1.5 п 2.5
Рис. 2. Области существования интенсивного опережающего (светлые точки) и отстающего (темные) течений; переходы а и с соответствуют мягкому и жесткому возбуждению азимутального течения, Ь - исчезновению движения; q = 0.23,^, = 30 (светлые точки) и 15 Гц (темные)
При Г —> 0 значения частот критических переходов стремятся к единственному значению п = п0 (рис. 2). Значение частоты и0 зависит от величины относительного наполнения q : при увеличении количества жидкости резонансные частоты возбуждения (и исчезновения) волн возрастают при п > 1 и уменьшаются при п < 1. Экспериментально определенные значения частоты п() хорошо согласуются с теоретическими, полученными в задаче о возбуждении инерционных волн на поверхности центрифугированного слоя невязкой жидкости в бесконечно длинном цилиндре [4].
Для изучения структуры вибрационного течения в жидкость добавляется визуализатор - алюминиевая пудра; для ее смачивания в жидкость добавляется поверхностно-активное вещество (ПАВ). Измерения показывают, что наличие в жидкости ПАВ приводит к изменению профиля скорости течения. Здесь и далее приводятся результаты изучения структуры и интенсивности движения жидкости с применением ПАВ.
Когда жидкость неподвижна во вращающейся системе отсчета или совершает медленное опережающее или отстающее движение, пудра равномерным слоем покрывает цилиндрическую стенку полости, что свидетельствует о двумерном азимутальном течении. Увеличение скорости среднего движения приводит к появлению пространственно-периодической системы колец из пудры [5, 6]. Резонансное возбуждение волн в жидкости приводит к значительной интенсификации осредненного течения и перестройке про-странственно-периодического течения. В случае отстающего движения наблюдается постепенное выравнивание концентрации пудры и переход к ламинарному режиму течения. Если жидкость совершает опережающее движение, то изначально прямые и неподвижные кольца из пудры начинают колебаться около среднего положения, испытывают разрыв и объединяются с соседними ячейками. Повышение скорости движения жидкости сопровождается разрушением каждой отдельной ячейки и периодической системы в целом: течение становится хаотическим [6].
2. ЦЕНТРОБЕЖНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ВИБРАЦИОННЫХ ПОТОКОВ
Измерения показывают, что период пространственной структуры зависит от вязкости жидкости, частоты вибраций и скорости вращения. Данный эффект может быть объяснен, если предположить, что пространственная структура формируется в вязком пограничном слое вблизи твердой границы и представляет собой систему ориентированных перпендикулярно оси вращения валов с противоположной закруткой. Действительно, бегущая по свободной поверхности азимутальная волна генерирует около стенки пограничный слой Стокса толщиной д = (IV !)' 2, здесь V - кинематическая вязкость, Ит - частота колебаний жидкости в слое относительно вращающейся стенки.
В лабораторной системе отсчета жидкость совершает колебания с частотой вибраций п, , полость вращается со скоростью пг, так что во вращающейся системе 0.0!с = Оу - 0.г, если осредненное движение обгоняющее (при п, >пг) или 0.0!с = Иг -12, . если движение отстающее (при п, <пг).
Период вихревого течения определяется толщиной вязкого слоя и скоростью вращения полости: волновое число кд = 2п8/ А изменяется в зависимости от безразмерной скорости вращения полости (0= 0.гд2 ¡V по закону ка ~ ог ’’ (рис. 3). Уменьшение размера конвективных ячеек во вращающихся полостях является следствием действия на жидкость силы Кор полиса [7-9].
3
¿8
1
0.3
2 10 ю 20
Рис. 3. Зависимость волнового числа от безразмерной скорости вращения; темные точки соответствуют данным, полученным при отстающем течении, светлые - при опережающем; сплошная линия соответствует
, 2/3
— со
Осредненное движение не влияет на структуру вихревого течения вблизи порога его возникновения: вихревое течение возбуждается как в опережающем, так и в отстающем течении, и период Я не зависит от направления осредненного движения (рис. 3). Таким образом, возбуяедение пространственно-периодического вихревого течения является результатом неустойчивости пограничного слоя Стокса вблизи стенки полости.
Во вращающейся полости осциллирующее течение жидкости испытывает неустойчивость из-за действия центробежных сил инерции. Примерами центробежной неустойчивости являются возбуждение ячейкового вихревого течения в жидкости между вращающимися коаксиальными цилиндрами (неустойчивость Тейлора [10]) и в вязком пограничном слое на вогнутой стенке (неустойчивость Гертлера [11]).
В рассматриваемой работе изучается развитие центробежной неустойчивости в вязком слое Стокса вблизи искривленной стенки вращающейся полости. В качестве критерия для определения порога возбуяедения вихрей Тейлора - Гертлера будем использовать число Рейнольдса
V
где \ ош - скорость жидкости на внешней границе вязкого пограничного слоя, S - толщина пограничного слоя.
Для определения порога возникновения вихревого течения необходимо измерить скорость \ои1. В эксперименте прямое измерение данной скорости недоступно, и требуется определить закономерности, связывающие скорость на свободной поверхности жидкости и в ее объеме. Проанализируем известные механизмы генерации ос-редненного течения жидкости.
Бегущая по поверхности жидкости волна генерирует вязкие пограничные слои вблизи твердого дна и свободной поверхности. Согласно [12] скорость среднего движения жидкости на внешней границе вязкого слоя вблизи твердого дна вычисляется по формуле:
3 а1 сок
и =-------- —,
4 sinh2 kh
градиент скорости вблизи свободной границы имеет вид:
= -Хс^сок1 coth kh ,
dz
где а - амплитуда волны, СО - частота колебаний, к - волновое число, h - толщина слоя жидкости, ось z направлена вглубь жидкости. В эксперименте азимутальная волна распространяется по поверхности тонкого центрифугированного слоя жидкости, так что
выполняется условие kh « 1. Считая амплитуду и частоту колебаний порядка а ~ 1 мм и 12 — 50 с4 соответственно, можно убедиться, что вклад пограничного слоя под свободной границей в генерацию осредненного движения жидкости несущественный, и им можно пренебречь.
Однако полностью исключить действие свободной границы на движение жидкости нельзя. Дело в том, что наличие в жидкости поверхностно-активных веществ делает свободную поверхность квазиупругой, и возникающий вблизи нее профиль течения может отличаться от рассмотренного в [12].
Представить скорость на поверхности жидкости можно в виде:
v = vou(+v,.„, (2.1)
где voul - скорость течения жидкости, генерируемого вблизи твердой (внешней) границы, \jn - скорость течения, формируемого в пограничном слое около свободной (внутренней) поверхности. В отсутствие вибраций движение жидкости генерируется переменным во вращающейся системе полем силы тяжести. Гравитационное течение является частным случаем вибрационного течения, так как генерируется гравитационной силой, действующей на жидкость с частотой, равной скорости вращения цилиндра, т.е. пу=пг. Если поверхность жидкости чистая и, следовательно, свободная, то вкладом этой границы в движение жидкости можно пренебречь.
Рассмотрим другой случай, когда вместо воздушного столба в жидкости находится легкий свободный цилиндр. В таком случае обе границы жидкости твердые, и возникающие около них пограничные слои генерируют интенсивные осредненные потоки жидкости. В [13] получено выражение для профиля скорости такого движения жидкости и показано, что в толстых слоях, когда y = h!8» 1, youI « \jn. Там же обнаружено, что \tnNout линейно изменяется с толщиной слоя у, и тангенс угла наклона прямой на плоскости /,vl(I/vou( зависит от наполнения цилиндра жидкостью. Тогда уравнение (2.1) можно переписать в виде:
v = v0„,(l+^g«).
Данная формула связывает скорость v на границе раздела жидкость - невесомое твердое тело и скорость за пределами вязкого пограничного слоя вблизи стенки полости \ ош. Следовательно,
ALla
ои> l+ytga (2-2)
Здесь АО - угловая скорость движения жидкости, а - радиус легкого цилиндра.
В случае, когда жидкость содержит в себе достаточное количество поверхностно-активного вещества, граница раздела становится квазитвердой, и уравнение (2.2) можно представить в виде:
Ai 1а
= ~r~^7z—; ’ (2-3)
1+K(jtgá)
где К - эффективная “твердость” границы раздела жидкость -
воздух, К < 1.
Вычислить К можно из сравнения экспериментальных результатов, полученных при измерении скорости чистой жидкости, жидкости с добавлением ПАВ и скорости невесомого тела в жидкости (рис. 4). Независимо от граничных условий на поверхности раздела жидкость - воздух относительная скорость среднего движения жидкости изменяется по закону:
АО р2
О, ~
Здесь T = g¡íl2ra - безразмерное гравитационное ускорение (g - ускорение силы тяжести).
Сравнение точек 1 и 2 на рис. 4 показывает, что наличие на свободной поверхности жидкости ПАВ увеличивает скорость ее движения на величину АО / Ог — 0.5Г2. При тех же условиях вязкий пограничный слой вблизи невесомого твердого тела генерирует движение со скоростью АО/Ог—5Г2. Таким образом, К == 0.1 для умеренных значений q , и уравнение (2.3) принимает вид:
Ai 1а
= i n i „— ' (2-4)
1+0.1 ytga
Воспользуемся полученными данными для изучения вибрационного движения жидкости и представим результаты измерения скорости осредненного вибрационного движения жидкости в пороге
устойчивости вязкого пограничного слоя на плоскости безразмерных параметров \ ош Ш ,Яе = \ 0Ш3 ! V (рис. 5). Здесь II - амплитуда скорости осцилляционного движения жидкости в пограничном слое, которая может быть вычислена из уравнения [1]:
где с - скорость распространения волны относительно вращающейся полости, с = Q R .
7 OSC
Рис. 4. Зависимость относительной скорости движения жидкости от безразмерного гравитационного ускорения; q = 0.14; экспериментальные данные 1 и 2 соответствуют скорости на поверхности чистой воды и воды с добавлением ПАВ, точки 3 - результаты теории [13]
Из сравнения (2.4) и (2.5) получаем выражение для относительной скорости осредненного движения жидкости
Vput I АПа
U ^]]nsR(l + 0.1tga)'
На плоскости выбранных параметров хорошо согласуются результаты, полученные и при опережающем, и при отстающем движении, что свидетельствует об определяющей роли осциллирующе-
го движения жидкости в развитии вихревого течения. В предельном случае Re » 1 результаты подчиняются закону Rc~(v,jW НУ)' .
10
Re5
1
0.1
0.01 0.1 0.3
Рис. 5. Зависимость критического числа Рейнольдса от относительной скорости осредненного движения жидкости за пределами пограничного слоя вблизи твердой стенки в пороге устойчивости двумерного азимутального течения; штриховая линия - Ке ~ (\ои, / Ц)3/2, /? = 1
В области существования интенсивного опережающего движения, когда скорость жидкости сравнима по величине со скоростью вращения полости, периодическое течение становится нерегулярным, хаотическим. Экспериментальные результаты по измерению порога неустойчивости вихревого течения представлены на плоскости параметров со. Ке (рис. 6), где со = 0.гИ2 ¡V - безразмерная скорость вращения и Р1с = АНак /V - число Рейнольдса. Интересно, что и число Рейнольдса, и скорость вращения вычисляются по толщине центрифугированного слоя жидкости /г, так что развитие неустойчивости происходит во всем объеме жидкости, и его испытывает осредненное течение. Вычисления показывают, что число Рейнольдса изменяется по линейному закону:
Яе = 2 со (2.6)
R, см ±ЛП д 2.5 + □ 3.1 + о 4.5 + ❖ 2.5 - ; + 3.1 - (4=0) /jj /£л /А /А 5>
,6* /8° / / + / ' + ё
или
ДОЛ
071=2' (2-7)
Переход к хаотическому режиму наблюдается только в опережающем течении, когда внутренние слои центрифугированной жидкости вращаются быстрее внешних. Такое распределение скорости имеет место в задаче Тейлора [10], когда жидкость находится между быстро вращающимся внутренним цилиндром и медленно вращающимся внешним. Известно, что в таком случае движение жидкости испытывает центробежную неустойчивость, результатом развития которой является появление вихрей Тейлора.
Рис. 6. Зависимость числа Рейнольдса от безразмерной скорости вращения в пороге устойчивости пространственно-периодического вихревого течения
Проанализируем условие (2.7) с точки зрения возможности возникновения и развития центробежной неустойчивости. Критерием устойчивости азимутального движения невязкой жидкости между двумя вращающимися цилиндрами является условие [14]:
О^^О^Л-Й)2, (2.8)
где Ооц( и 0(и - скорости вращения внешнего и внутреннего цилиндров. Применим условие (2.8) к вибрационному движению центрифугированного слоя жидкости.
Скорость внешнего цилиндра соответствует скорости вращения полости: И0111 = Иш ; скорость внутреннего цилиндра равна скорости свободной границы жидкости, Иш = Ог + АО . После подстановки Ооц( и 01и в (2.8) и, считая слой жидкости тонким, получаем критерий устойчивости в виде:
АО „ И
---<2—,
О Л
(2.9)
Таким образом, порог разрушения вихревого вибрационного течения (2.6) совпадает с порогом устойчивости двумерного азимутального движения жидкости к возбуждению вихрей Тейлора (2.9).
Представим результаты измерения порога устойчивости вихревого течения на плоскости параметров І1еіи , ІІеоіЛ (рис. 7), использующихся для построения диаграммы течений Тейлора:
_ а(Ог + ДО)/г
1хС. =-------------------.
ЛО./г
Рис. 7. Граница устойчивости на плоскости Ке ои, ,Ке ¡п; ц = а !К изменяется в диапазоне 0.84-0.89
Данные, полученные в диапазоне значений Т] = а/К = 0.84-0.89, хорошо согласуются на плоскости выбранных параметров и описываются уравнением:
Re,„=1.10Reo,„. (2.10)
Диаграмма различных течений Тейлора [15] показывает, что при Reoi(, < 1000 плоское азимутальное течение между вращающимися цилиндрами испытывает неустойчивость по отношению к монотонным вихрям Тейлора. При Reoi(, > 1000 азимутальное течение становится неустойчивым не только к появлению ячейкового вихревого течения, но и к возбуждению кручёных вихрей (twisted vortices) и различного типа колебательных вихрей (wavy vortices). При этом пороги возбуждения различных вихревых течений асимптотически приближаются к границе (2.10). Следовательно, наблюдаемое в эксперименте разрушение пространственно-периодического течения обусловлено развитием неустойчивости Тейлора.
Заключение. Обобщены результаты изучения устойчивости ос-редненных потоков жидкости во вращающемся горизонтальном цилиндре, совершающем поперечные оси вращения вибрации. Показано, что двумерное азимутальное течение сменяется пространст-венно-периодическим вихревым течением в результате развития центробежной неустойчивости осциллирующего течения жидкости в пограничном слое Стокса вблизи твердой границы. В надкритической области вихри Тейлора - Гертлера разрушаются в результате развития центробежной неустойчивости осредненного азимутального течения во всем объеме жидкости.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант 09-01-00665а).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ
1. Физическая акустика. Т. 2. Свойства полимеров и нелинейная акустика // Под ред. У. Мэзона. М.: Мир, 1969. 420 с.
2. Иванова A.A., Козлов В.Г., Чиграков A.B. Динамика жидкости во вращающемся горизонтальном цилиндре // Изв. РАН. МЖГ.
2004. №4. С. 98-111.
3. Иванова A.A., Козлов В.Г., Полежаев Д.А. Вибрационная динамика центрифугированного слоя жидкости // Изв. РАН. МЖГ.
2005. №2. С. 147-156.
4. Phillips О.М. Centrifugal waves // J. Fluid Mech. 1960. Vol. 7. P. 340-352.
5. KG. Kozlov, D.A. Polezhaev. Stability of rimming flows under vibration//Microgravity Sei. Teclmol. 2009. Vol. 21. P. 79-82.
6. Полежаев ДА. Устойчивость вихревого течения жидкости во вращающемся горизонтальном цилиндре // Конвективные течения... Вып. 4. Пермь: ПГПУ, 2009. С. 130-143.
7. Chandrasekhar S. The instability of a layer of fluid heated below and subject to Coriolis forces // Proc. Roy. Soc. 1953. A. 217. No 1130. P. 306-327.
8. Chandrasekhar S., Elbert D., The instability of a layer of fluid heated below and subject to Coriolis forces, II // Proc. Roy. Soc. 1955. A 231. No 1185. P. 198-210.
9. Козлов В.Г. О влиянии вращения на вибрационную конвекцию в плоском слое // Изв. РАН. МЖГ. 2004. № 1. С. 5-15.
10. Taylor G.I. Stability of a viscous liquid contained between two rotating cylinders // Phil. Trans. A 223. 1923. P. 289-293.
11. Gortler H. Uber eine dreiimensionale instability laminare // Grenzschubten on Konkaven Wanden. 1940. NACA. TM. 1357.
Yl.Longuet-Higgins M.S. Mass transport in water waves // Phil. Trans.
A. 245. 1953. P. 535-581.
13.Козлов В.Г., Козлов Н.В. Вибрационный гидродинамический волчок. Докл. АН. 2007. Т. 415. № 6. С. 759-762.
Ы. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. М.: ГИТТЛ, 1953. 788 с.
15.Andereck C.D., Liu S.S., Swinney H.L. Flow regimes in a circular Couette system with independently rotating cylinders // J. Fluid Mech. 1986. Vol. 164. P. 155-183.
THE CENTRIFUGAL INSTABILITY OF VIBRATIONAL FLUID FLOWS IN A RORATING CYLINDER
D.A. POLEZHAEV
Abstract. The experimental data about rimming liquid flow inside a rotating cylinder are summarized. Section 1 focuses on the review of various regimes of rimming flow inside a rotating cylinder under vibrations. In Section 2 the instabilities of the examined regimes of liquid flow are discussed. The data are compared with theoretical and experimental results of other authors.
Key words', vibration, instability, averaged liquid flow.
