CC BY
85УДК 532.59
Полежаев Денис Александрович
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры общей и
экспериментальной физики
ФГБОУ ВПО «Пермский государственный гуманитарно-педагогический
университет», Пермь, Россия 614990, Пермь, Сибирская, 24, (342) 212-98-84, e-mail: polezhaev@pspu.ru
СТРУКТУРООБРАЗОВАНИЕ ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ ГОРИЗОНТАЛЬНОМ ЦИЛИНДРЕ С ЖИДКОСТЬЮ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
СИЛЫ ТЯЖЕСТИ* Denis A. Polezhaev
PhD, Associate professor of the Department of General and Experimental Physics
Federal State Budget Educational Institution of Higher Professional Education «Perm State Humanitarian Pedagogical University»
24, Sibirskaja, 614990, Perm, Russia, e-mail:polezhaev@pspu.ru
PATTERN FORMATION IN A ROTATING HORIZONTAL CYLINDER WITH LIQUID UNDER GRAVITY
Аннотация: изучается динамика маловязкой жидкости в быстро
вращающемся горизонтальном цилиндре. Рассматриваются пространственные периодические структуры из тяжелых частиц визуализатора, возникающие вблизи боковых стенок и в центральной части цилиндра. Показано, что пространственное перераспределение частиц обусловлено возникновением в жидкости осредненных течений различного типа. В свою очередь потоки в жидкости возникают под влиянием инерционных волн, возбуждаемых осциллирующей во вращающейся системе отсчета силой тяжести.
Ключевые слова: вращающиеся жидкости, инерционные волны,
осредненные течения, структурообразование.
Abstract. The dynamics of low viscous liquid in a rotating horizontal cylinder is studied. This paper concentrates on the spatially periodic patterns of heavy particles near the end-walls and in the center of the cylinder. It is found, that spatially periodic patterns are formed by different regimes of mean liquid flows. In turn, mean
© Полежаев Д.А., 2014 Работа выполнена в рамках Программы стратегического развития ПГПУ (Проект 048-М) при поддержке Министерства Пермского края (проект С-26/625) и гранта 4022.2014.1 для Ведущих научных Школ.
flows are generated by inertial waves excited under oscillating in the rotating frame gravitational force.
Key words; rotating fluids, inertial waves, mean flows, pattern formation.
Экспериментально изучается динамика жидкости в быстро вращающемся горизонтальном цилиндре. При быстром вращении под действием центробежной силы инерции жидкость полностью покрывает цилиндрическую стенку полости, такое состояние жидкости называется центрифугированным. Вследствие действия силы тяжести кольцевой слой жидкости оказывается неоднородным по толщине: в лабораторной системе отсчета воздушный цилиндр неподвижен и смещен вниз по отношению к оси вращения. Во вращающейся системе отсчета такое распределение жидкости соответствует распространению двумерной волны в направлении, противоположном вращению цилиндра со скоростью, равной скорости его вращения П. Известно [1], что бегущая по свободной поверхности жидкости волна генерирует среднее течение в направлении своего распространения, так что асимметричное распределение жидкости во вращающейся полости приводит к возникновению азимутального движения жидкости. В высокочастотном пределе ю = Пк /v (h -толщина слоя жидкости, v - кинематическая вязкость) скорость среднего движения пропорциональна Г2, здесь параметр Г = g/n2a (g - ускорение силы тяжести, a - радиус воздушного столба), который представляет собой отношение силы тяжести и центробежной силы инерции [2, 3].
AD/D
а
б
Рис. 1а. - зависимость относительной скорости осредненного движения жидкости от безразмерной частоты вибрации: частота вибраций £, = ^у/2л = 15 (1) и 30 Гц (2), амплитуда вибраций Ь = 0,35 мм, кинематическая вязкость V = 1 сСт, относительное наполнение полости жидкостью q =0.23; светлые точки соответствуют увеличению частоты п в эксперименте, полутемные - понижению; переходы а и с соответствуют мягкому и жесткому возбуждению инерционной волны, Ь - исчезновению. б. - границы существования инерционных волн на плоскости управляющих параметров п, Гу; V = 1 сСт, q =0,23. Переходы а - с соответствуют обозначениям на рис. а
Помимо того, что сила тяжести является причиной стационарного отклонения свободной поверхности жидкости от невозмущенного положения, она также является источником колебательных возмущений во вращающейся жидкости [4]. В резонансных условиях в жидкости возбуждаются бегущие и стоячие инерционные волны с различными осевыми и азимутальными волновыми числами [3, 4]. Такие волны также становятся источником осредненных потоков жидкости. Интерес представляет случай, когда в жидкости возбуждаются двумерные азимутальные волны. В таком случае осредненные потоки, возникающие в результате асимметричного распределения жидкости, и потоки, генерируемые бегущими азимутальными волнами, оказываются коллинеарными. Наблюдения показывают, что фазовая скорость инерционных волн совпадает с направлением вращения цилиндра, но всегда меньше по величине. Это значит, что во вращающейся системе отсчета волна распространяется против вращения цилиндра, следовательно, два механизма генерируют течения в одном направлении. В экспериментах [3] обнаружено, что в условиях резонансного возбуждения бегущих инерционных волн скорость азимутального движения жидкости увеличивается в несколько раз. Интересно, что даже в условиях существования инерционных волн скорость жидкости относительно полости невелика и не превышает нескольких процентов от скорости вращения цилиндра. Это объясняется тем, что в экспериментах безразмерное ускорение силы тяжести невелико (Г << 1). Увеличению Г препятствует наличие предела устойчивости центрифугированного слоя жидкости, который в отсутствие инерционных волн наступает при Г = 1/3 [4].
Существует, однако, другой метод интенсификации азимутального течения жидкости во вращающемся цилиндре - вибрационный. Если горизонтальный цилиндр с жидкостью вращается и одновременно совершает поперечные оси вращения вибрации, то в жидкости возбуждаются бегущие азимутальные волны [5]. Такие инерционные волны обладают рядом преимуществ по сравнению с гравитационными волнами в части управления
массопереносом в жидкости. Во-первых, амплитуда колебаний для таких волн
2 2
определяется вибрационным параметром Гу = ЬПу / П R, здесь Ь и Пу -амплитуда и частота вибраций, R - радиус цилиндра. Изменяя независимо параметры вибраций, можно варьировать амплитуду колебаний жидкости и, следовательно, скорость осредненного движения. Во-вторых, можно управлять фазовой скоростью волны, которая определяется относительной частотой вибраций п = Пу/П. Измерения показывают, что при п < 1 в жидкости возбуждается волна, распространяющаяся со скоростью, меньшей, чем П, и наоборот. Если п < 1, то в жидкости генерируется азимутальное течение такого же направления, как и под действием гравитационной силы. В лабораторной системе отсчета азимутальная скорость жидкости меньше скорости вращения цилиндра, поэтому его можно назвать отстающим. Когда п > 1 жидкость совершает опережающее движение. Если частота вибраций
и скорость вращения цилиндра одинаковы, то вибрации не оказывают влияния на течение жидкости.
На рис. 1а приведен график зависимости безразмерной скорости осредненного движения жидкости ДП/П (АП = П/ - П - скорость жидкости во вращающейся системе отсчета, П/ - скорость жидкости в лабораторной системе отсчета) от безразмерной частоты вибраций п. В точках максимума скорость осредненного движения велика и составляет почти 40% скорости вращения цилиндра. Для сравнения приведены результаты измерения скорости азимутального движения, вызванного действием силы тяжести (пунктирная линия на рис. 1а). Интересно, что график зависимости ДП/П (п) имеет характерные изломы (точки а) справа и слева от значения п = 1. Эти точки соответствуют мягкому возбуждению в жидкости инерционных волн, которые в надкритической области значительно интенсифицируют осредненное движение. Такие волны существуют только в ограниченной области значений частоты п: в точках Ь волны исчезают, и движение жидкости становится почти твердотельным. Впрочем, инерционную волну можно возбудить, если изменить безразмерную частоту вибраций (точки с). Границы возбуждения инерционных волн и их исчезновения не совпадают, в переходах наблюдается гистерезис. Границы существования инерционных волн и, соответственно, осредненного движения, показаны на рис. 1б. Можно заметить, что с уменьшением вибрационного воздействия, когда Гу ^ 0, область существования инерционных волн сужается. В предельном случае бесконечно малых возмущений можно провести сравнение полученных данных с предсказаниями теории [4], в которой определены собственные частоты колебаний центрифугированного слоя жидкости в цилиндре, частично заполненном жидкостью. Измерения [5] показывают хорошее согласие экспериментальных результатов с теоретическими данными.
Рис. 2. Структурообразование в центре и вблизи торцовых стенок вращающегося горизонтального цилиндра с жидкостью: R = 2.5 см, L = 31.7 см, V = 1.0 сСт, q = 0.31 и О = 69 с-1; светлые участки соответствуют зонам высокой концентрации алюминиевой пудры.
Расстояние между вертикальными метками равно 25 см
Помимо рассмотренных поверхностных инерционных волн во
вращающейся жидкости могут распространяться внутренние волны, если колебания жидкости происходят с частотой, меньшей удвоенной скорости вращения [6]. В отсутствие внешней вынуждающей силы в вязкой жидкости
инерционные волны быстро затухают. Для генерации незатухающих колебаний используются различные методы, например, вибрирующее в жидкости тело [7], изменение направления оси вращения контейнера (прецессия) [8], изменение скорости вращения (либрации) [9] или осцилляции кюветы вдоль оси вращения [10]. В рассматриваемом нами случае такой вынуждающей силой является сила тяжести, осциллирующая относительно вращающейся системы отсчета. Возникающие инерционные волны распространяется вглубь жидкости в форме конуса, образующего угол в с осью вращения. Достигая границ жидкости, волна отражается. В замкнутой области с непараллельными границами траектория распространения волны после многократных отражений может стать замкнутой, образуя так называемый волновой аттрактор, в котором сосредоточена вся энергия волны [11].
Бегущие и стоячие волны являются источниками осредненных потоков в жидкости, и об их появлении можно судить по изменению массопереноса в жидкости, как это сделано, например, в экспериментах [5] (рис. 1, точки а). В этих экспериментах скорость движения жидкости измерялась с помощью легких маркеров, распределенных на свободной поверхности жидкости. В настоящих экспериментах для визуализации течений использовались также тяжелые маркеры - алюминиевая пудра. В экспериментах, где источником волн является сила тяжести, обнаружено, что изначально равномерный слой визуализатора перераспределяется вдоль цилиндрической стенки полости (рис. 2). В наблюдаемой структуре течений можно выделить коротковолновую и длинноволновую составляющие. Вблизи торцевых стенок наблюдаются узкие области в виде колец с высокой концентрацией пудры, разделенные широкими участками с низким или нулевым содержанием пудры. В центральной части полости они сменяются тонкой структурой, которая представляет собой равноотстоящие кольца с высокой концентрацией визуализатора. Целью работы является выяснение условий существования таких образований и механизмов их возникновения.
В настоящем эксперименте в качестве визуализатора используется алюминиевая пудра, размер частиц d ~ 20 - 50 мкм, суммарный объем частиц не превышает 1 см3. Это соответствует условию, при котором толщина. однородного слоя визуализатора на цилиндрической стенке полости не превышает 1 - 2 размеров частиц.
Известно [12, 13], что колебательное движение жидкости вблизи песчаной подложки приводит к формированию квазистационарного рельефа в форме холмов, перпендикулярных оси колебаний. Появление рельефа обусловлено развитием неустойчивости Кельвина - Гельмгольца, которая развивается на границе раздела двух осциллирующих потоков в жидкости и в ожиженном слое песчаной подложки. Если жидкость приходит в колебательное и осредненное движение под действием бегущих волн, то рельеф на песчаном дне дрейфует в направлении распространения волн [14]. В природе такой дрейф возникает под действием течения воды в реках или ветра в пустынях.
Строго говоря, появление пространственно-периодических структур из частиц визуализатора может являться результатом не только существующих в жидкости течений, но и следствием взаимодействия твердых частиц друг с другом и с жидкостью. Например, эксперименты [15] показывают, что даже малое количество тяжелых частиц может существенно изменить динамику жидкости в медленно вращающемся цилиндре. В [16] приводится обзор теоретических и экспериментальных результатов изучения структурообразования в жидкостях и сыпучих средах во вращающемся горизонтальном цилиндре. Наиболее интригующий результат таких исследований заключается в обнаружении осевой сегрегации тяжелых [15], легких [17] и нейтральных [18] частиц в медленно вращающемся цилиндре, когда жидкость не образовала кольцевой слой на цилиндрической стенке полости. Теория [19, 20] объясняет формирование пространственнопериодических структур изменением эффективной вязкости жидкости. Впрочем, сами авторы признают, что теория не объясняет всех особенностей наблюдаемого явления. В обсуждаемых в статье экспериментах концентрация частиц визуализатора мала, и взаимодействием частиц можно пренебречь.
Экспериментальная установка. Схема экспериментальной установки показана на рис. 3. Кювета 1 изготовлена из прозрачного оргстекла и представляет собой цилиндрическую полость внутренним радиусом R = 2,5 см и длиной L = 31,7 см. Кювета закрепляется на массивной плите 2. Шаговый двигатель 3 приводит кювету во вращение, неравномерность вращения не превышает 0,05 с-1. Скорость вращения изменяется в интервале П = 0 - 150 с-1. Изучение структуры и интенсивности течения жидкости проводится в свете стробоскопической лампы 4, частота вспышек которой согласована со скоростью вращения полости или частотой осцилляций жидкости. Фоторегистрация осуществляется с помощью фотокамеры 5, установленной напротив кюветы и ориентированной нормально к оси ее вращения.
В качестве рабочей жидкости используются водоглицериновые растворы различной концентрации (кинематическая вязкость V = 1 - 4 сСт) и керосин (V =
1,1 сСт). Для визуализации течений в жидкость добавляют алюминиевую
Рис. 3. Схема экспериментальной установки
пудру. Количество жидкости в полости характеризуется относительным наполнением q = У/У0, здесь V- объем жидкости, V0 - объем полости. В опытах q изменяется в пределах от 0,10 до 0,40.
Кювета приводится во вращение со скоростью, обеспечивающей центрифугирование жидкости. При фиксированном значении П измеряется скорость движения жидкости АП и пространственный период структур. Затем скорость вращения понижается с шагом ~0,5 с-1, измерения повторяются. Время ожидания формирования структур при каждом значении П составляет несколько минут или десятков минут.
Структурообразование вблизи торцевых стенок цилиндра. В быстро вращающемся горизонтальном цилиндре жидкость образует кольцевой слой и совершает твердотельное движение вместе с полостью, тяжелые частицы визуализатора равномерным слоем покрывают цилиндрическую стенку полости. При уменьшении скорости вращения в жидкости возникают потоки, о направлении которых можно судить по изменению положения визуализирующих частиц (см. рис. 2).
Вблизи торцов кюветы образуются неподвижные во вращающейся системе и нормальные к оси вращения кольца с высокой концентрацией пудры, разделенные областями с чистой жидкостью. Сначала образуются один-два кольца, при уменьшении П их количество может увеличиться, в некоторых экспериментах наблюдались семь-восемь колец. Как правило, глубина проникновения структур в центральную часть полости не превышает двух калибров (диаметров полости).
X, см 1.5 г
1.3 -1.1 -0.9 -
0.7 -
0.5
50 70 90 110 130 150
Рис. 4. Зависимость пространственного периода X торцевых структур от скорости вращения П: V = 1,1 сСт (керосин), q = 0,12; 0,16; 0,20; 0,25 и 0,30 (точки 1 - 5)
Проведенные при неизменной вязкости жидкости эксперименты показывают, что пространственный период X не зависит от скорости вращения П. Одновременно увеличение относительного наполнения приводит к монотонному возрастанию X (рис. 4). Исключение составляют результаты,
полученные при относительном наполнении д = 0,25 (точка 4, рис. 4), когда период увеличивается при П < 100 с-1.
Структурообразование может быть объяснено увлечением частиц визуализатора осредненными потоками жидкости, генерируемыми инерционными волнами. Во вращающемся цилиндре жидкость совершает вынужденные колебания под действием силы тяжести. Ее относительное влияние по сравнению с центробежной силой инерции можно оценить с помощью безразмерного параметра Г = g/П a, здесь g - ускорение силы тяжести, а - радиус свободной поверхности жидкости. Свободная поверхность кольцевого слоя жидкости стационарна в лабораторной системе отсчета и имеет форму цилиндра, ось симметрии которого смещена вниз по отношению к оси вращения цилиндра. Величина смещения пропорциональна Г. Во вращающейся системе отсчета параметр Г представляет собой осциллирующую силу, действующую на элемент жидкости вблизи свободной поверхности. Такое распределение жидкости соответствует двумерной волне, распространяющейся в системе отсчета полости в направлении, обратном вращению. В таком случае волновая динамика жидкости аналогична той, что наблюдается при распространении гравитационных волн в неглубоком бассейне. Под действием бегущей азимутальной волны частицы в объеме жидкости описывают замкнутые траектории в плоскости, перпендикулярной оси вращения, и являющиеся суперпозицией азимутальных и радиальных колебаний жидкости. Особенности возникают в вязком пограничном слое (слое Экмана) вблизи торцевой стенки цилиндра. Поскольку частицы жидкости описывают замкнутые траектории в плоскости, параллельной торцевой стенке цилиндра, то одну половину периода обращения цилиндра вокруг своей оси азимутальная скорость жидкости меньше скорости цилиндра П, другую половину - больше П. Пусть стенка начинает опережать жидкость. Благодаря вязкому взаимодействию, частицы жидкости в непосредственной близости от стенки движутся с увеличивающейся скоростью. Возникающая при этом сила Кориолиса преобладает над радиальным градиентом давления: жидкость выталкивается наружу вдоль торцевой стенки (центробежное движение) и вблизи угла радиальное течение становится осевым. В другую половину периода, когда скорость цилиндра меньше скорости жидкости, сила Кориолиса изменяет знак, и направления радиального и осевого потоков изменяются на противоположные. В результате в точке соединения цилиндрической и торцевой стенок цилиндра действует генератор колебаний жидкости. Такие колебания жидкости являются генератором специфических внутренних волн, распространяющихся от источника вглубь жидкости под углом к оси вращения, который определяется из дисперсионного соотношения [21]
эт0 = П05С/2П, (1)
здесь в - угол между групповой скоростью волны и осью вращения, Пас -частота колебаний жидкости.
Инерционная волна генерируется вблизи края торцевой стенки и распространяется вглубь жидкости в форме конуса под углом в к оси вращения. Вдоль характеристической поверхности возбуждаемой волны жидкость совершает сдвиговое осциллирующее движение [6]. За пределами вязкого пограничного слоя формируется средний поток жидкости, который увлекает частицы визуализатора и формирует наблюдаемую в эксперименте пространственно-периодическую структуру (рис. 2).
к--------------*
Я
Рис. 5. Схема распространения инерционных волн в кольцевом слое жидкости толщиной h, R - радиус цилиндра; X - расстояние между двумя последовательными точками отражения
инерционной волны от твердой границы.
Рис. 6. Зависимость безразмерного пространственного периода кольцевых структур от наполнения д. Сплошная линия соответствует (3)
При достижении свободной (и твердой) границы жидкости волна испытывает отражение (рис. 5). В маловязких жидкостях при отражении инерционных волн от стенок, параллельных оси вращения, угол отражения не зависит от интенсивности падающей волны и равен углу падения [22]. В таком случае пространственный период между кольцами с высокой концентрацией частиц визуализатора может быть вычислен по формуле
X = 2h/tgв, (2)
здесь h - средняя толщина, кольцевого слоя жидкости. Решая совместно (1) и (2), получаем
X/h = 2[(2П/По*с)2 - 1]1/2.
Считая, что жидкость совершает вынужденные колебания под действием силы тяжести, получим, что циклическая частота колебаний равна угловой скорости вращения цилиндра, а именно, Пдас = П. В таком случае безразмерный пространственный период равен
УН = 2Vз. (3)
Полученное значение хорошо согласуется с экспериментальными данными (рис. 6).
Рассмотрим возможные причины увеличения пространственного периода при д - 0.25. Наблюдения показывают, что в таком случае на поверхности жидкости резонансным образом возбуждаются трехмерные волны, приводящие в осредненное движение легкие и тяжелые маркеры в жидкости. Экспериментальное [3] и теоретическое [4] исследования волн на свободной поверхности центрифугированного слоя жидкости показывают, что во вращающемся цилиндре возможно возбуждение стоячих вдоль оси вращения спиральных волн. В стоячей волне жидкость совершает трехмерные колебания, наибольшая интенсивность колебаний наблюдается при д - 0.25, что согласуется с результатами [3]. В быстро вращающемся цилиндре интенсивность колебаний жидкости невелика, и пространственный период структур не зависит от скорости вращения при П > 90 с-1 и хорошо согласуется с предсказаниями теории (3) (точки 4 на рис. 4). Вероятно, возбуждение интенсивных колебаний жидкости влияет на распространение инерционных волн вблизи торцов полости, что приводит к увеличению пространственного периода X.
Структурообразование в центральной части полости
По мере удаления от боковой стенки полости инерционные волны затухают, и кольцевые структуры из частиц визуализатора становятся менее отчетливыми. Одновременно с ослаблением потоков жидкости, генерируемых инерционными волнами, наблюдается интенсификация течений, формирующих тонкую структуру из частиц визуализатора в центральной части полости.
Рис. 7. Схема ячейкового течения жидкости, X - пространственный период течения
Под действием гравитационной силы кольцевой слой жидкости совершает вынужденные колебания. При быстром вращении полости амплитуда колебаний жидкости невелика, однако, вблизи торцевых стенок такие колебания генерируют в жидкости внутренние волны, распространяющиеся от торцов в центр кюветы. При понижении скорости
вращения смещение воздушного столба от относительно оси вращения увеличивается, что соответствует увеличению амплитуды колебаний жидкости под действием бегущей азимутальной волны. Скорость распространения волны равна скорости вращения цилиндра и имеет противоположное направление.
Рис. 8. Зависимость волнового числа к = 2лЛ/Х от наполнения q: V = 3.6 (7) и 1.0 сСт (2)
Как было отмечено в [1], траектории движения частиц жидкости, в которой распространяется бегущая волна, незамкнутые; помимо кольцевого движения они совершают медленное среднее движение в направлении распространения волны. Структура и интенсивность осредненного течения жидкости во вращающемся горизонтальном цилиндре под действием силы тяжести изучались в [3]. Показано, что жидкость совершает азимутальное движение относительно вращающейся цилиндрической стенки в направлении, противоположном вращению полости. Другими словами, в лабораторной системе отсчета внутренние слои жидкости вращаются медленнее, чем внешние.
В таком случае рассматриваемый кольцевой слой подобен жидкости между двумя коаксиальными цилиндрами, вращающимися с различными угловыми скоростями. Известно, что ламинарное течение в коаксиальном зазоре между цилиндрами неустойчиво к появлению центробежной неустойчивости, вследствие которой в жидкости возникают пространственнопериодические течения [23]. Классическим примером таких течений является вихревое течение Тейлора, возникающее, когда внутренний цилиндр вращается быстрее внешнего [24]. В таком случае между цилиндрами возникают правильно чередующиеся вихри с правым и левым вращением и с осями,
параллельными направлению вращения цилиндров. Волновое число k = 2п^Х ^
- толщина кольцевого слоя жидкости, X - пространственный период ячейкового течения) приблизительно равно п, что означает, что вихри заполняют весь объем жидкости.
Рис. 9. Зависимость безразмерного волнового числа ^, рассчитанного по толщине пограничного слоя Стокса, от безразмерной скорости вращения ю: V = 3.6 (1) и 1.0 сСт (2)
Можно предположить, что в условиях настоящего эксперимента также возникает ячейковое течение, в котором соседние вихри с противоположной закруткой перемещают тяжелые частицы визуализатора вдоль стенки навстречу друг другу (рис. 7). При сравнении пространственно-периодического течения на рис. 2 и вихревого течения Тейлора можно заметить существенные отличия между ними. Во-первых, классические вихри Тейлора возникают, когда внутренние слои жидкости вращаются быстрее внешних. В нашем эксперименте внутренние слои вращаются медленнее внешних. Впрочем, в экспериментах [23] наблюдались различные вихревые течения и при опережающем вращении внешнего цилиндра. Во-вторых, общей чертой таких течений является то, что размер вихревых ячеек привязан к толщине слоя жидкости и не зависит от вязкости жидкости, и волновое число k - п. Иначе обстоит дело в настоящем эксперименте (рис. 9). Волновое число k существенным образом зависит как от толщины слоя ^ так и от вязкости жидкости. Интересно, что размер ячейковых вихрей значительно меньше, чем толщина слоя жидкости: например, в экспериментах с водой (точки 2 на рис. 9) волновое число k изменяется в пределах от 5 до 20.
Зависимость пространственного периода X от вязкости жидкости указывает на другой возможный вид неустойчивости, ответственный за
1.2
■е
гг
[]
□
0.3
0
ш
о
500
1000
1500
2000
появление вихревого течения, - центробежную неустойчивость Гертлера [25]. Данный вид центробежной неустойчивости развивается в вязком пограничном слое жидкости, набегающей на вогнутую стенку. В условиях настоящего эксперимента вязкий пограничный слой формируется вблизи цилиндрической стенки под действием бегущей по свободной поверхности жидкости азимутальной волны. Инерционная волна вынуждает жидкость совершать
колебания с частотой Оос тогда вблизи вогнутой стенки возникает вязкий слой
1/2
Стокса толщиной 8 = ^/О^с) . Поскольку жидкость совершает вынужденные колебания под действием силы тяжести, то частота ее колебаний равна скорости вращения цилиндра О.
Рис. 10. Зависимость безразмерного волнового числа к8 от параметра О/^е (логарифмический масштаб): точки 1 получены в экспериментах [26], точка 2 соответствует значению к8 = 0.67, полученному в пределе ю > 500 (рис. 9). Сплошная линия соответствует
к8 ~ (П/По*с)’/2
На рис. 9 представлены результаты измерения пространственного периода вихревого течения в зависимости от безразмерной скорости вращения ю = Ок /V. Результаты экспериментов, проведенных с жидкостями различной вязкости, хорошо согласуются между собой. Интересно, что в предельном случае тонкого пограничного слоя ю > 500 к8 не зависит от ю.
Проведем сравнение результатов измерения пространственного периода X с данными других экспериментов, в которых также наблюдались вихри Гертлера в жидкости во вращающемся горизонтальном цилиндре [26].
В отличие от обсуждаемых экспериментов, где азимутальная волна возбуждается осциллирующей во вращающейся системе гравитационной силой, в экспериментах [26] волна возбуждается поперечными оси вращения вибрациями цилиндра. В [26] обнаружено, что в предельном случае тонкого пограничного слоя (5 << h) результаты измерения пространственного периода вихревого течения Гертлера хорошо согласуются на плоскости безразмерных параметров Q/Qosc, k5 (точки 1 на рис. 10).
Для сравнения с данными вибрационных экспериментов можно использовать только такие результаты гравитационных экспериментов, которые получены при условии 5 << h. На рис. 10 точки 2 соответствуют предельному значению k5 = 0.67, полученному при ю > 500 на рис. 9. Можно заключить, что
гравитационные и вибрационные результаты хорошо согласуются между собой
1/2
и подчиняются общему закону k5 ~ (Q/Qosc) . Полученный результат указывает на общую природу наблюдаемых в экспериментах с внешним осциллирующим силовым полем (гравитационным или вибрационным) вихревых течений, их возникновение обусловлено неустойчивостью вязкого пограничного слоя Стокса.
Заключение
Проведено экспериментальное исследование двух типов структурообразования в быстро вращающемся горизонтальном цилиндре, частично заполненном жидкостью. Показано, что появление вблизи боковых стенок цилиндра структур из частиц визуализатора в виде равноотстоящих друг от друга колец является следствием генерации инерционных волн на границе цилиндрической и боковой стенок полости. Структурообразование в центральной части полости связано с развитием центробежной неустойчивости в пограничном слое Стокса вблизи цилиндрической стенки полости.
Проведено сравнение с теоретическими и экспериментальными данными, получено хорошее согласие результатов.
Список литературы
1. Andereck C.D., Liu S.S., Swinney H.L. Flow regimes in a circular Couette system with independently rotating cylinders //Journal of Fluid Mechanics. -1986. - Т. 164. - С. 155-183.
2. Betat A. et al. Long-time behavior of sand ripples induced by water shear flow //The European Physical Journal E. - 2002. - Т. 8. - №1. - С. 465-476.
3. Boote O.A.M., Thomas P.J. Effects of granular additives on transition boundaries between flow states of rimming flows //Physics of Fluids - 1999. - Т. 11. - №8. -С. 2020-2029.
4. Gans R.F. On steady flow in a partially filled rotating cylinder //Journal of Fluid
Mechanics. - 1977. - Т. 82. - №03. - С. 415-427.
5. Gortler H. Uber eine dreidimensionale instability laminare Grenzschubten an
Konkaven Wanden //NACA TM. - 1940. - Т. 1357.
6. Greenspan H.P. 1968 The Theory of Rotating Fluids. - 1988.
7. Ivanova A.A., Kozlov V.G. Sand-fluid interface under vibration //Fluid dynamics. - 2002. - T. 37. - №2. - C. 277-293.
8. Ivanova A.A., Kozlov V.G., Chigrakov A.V. Dynamics of a fluid in a rotating horizontal cylinder //Fluid Dynamics. - 2004. - T. 39. - №4. - C. 594-604.
9. Ivanova A.A., Kozlov V.G., Polezhaev D.A. Vibrational dynamics of a centrifuged fluid layer //Fluid Dynamics. - 2005. - T. 40. - №2. - C. 297-304.
10. Jin B., Acrivos A. Rimming flows with an axially varying viscosity //Physics of Fluids (1994-present). - 2004. - T. 16. - №3. - C. 633-640.
11. Jin B., Acrivos A. Theory of particle segregation in rimming flows of suspensions containing neutrally buoyant particles //Physics of Fluids - 2004. -T. 16. - №3. - C. 641-651.
12. Koch S. et al. Inertial waves in a spherical shell induced by librations of the inner sphere: experimental and numerical results //Fluid Dynamics Research. -2013. - T. 45. - №3. - p. 035504.
13. Kozlov V.G., Polezhaev D.A. Stability of Rimming Flow under Vibration //Microgravity Science and Technology. - 2009. - T. 21. - №1-2. - C. 79-82.
14. Lagrange R. et al. Precessional instability of a fluid cylinder //Journal of Fluid Mechanics. - 2011. - T. 666. - p. 104-145.
15. Landau L.D., Lifshitz E.M. Fluid mechanics. - Elsevier, 1959. - T. 6.
16. Lopez J.M., Marques F. Rapidly rotating cylinder flow with an oscillating sidewall //Physical Review E. - 2014. - T. 89. - №1. - C. 013013.
17. Maas L.R.M., Lam F.P.A. Geometric focusing of internal waves //Journal of Fluid Mechanics. - 1995. - T. 300. - C. 1-41.
18. Messio L. et al. Experimental observation using particle image velocimetry of inertial waves in a rotating fluid //Experiments in Fluids. - 2008. - T. 44. - №4. -C. 519-528.
19. Phillips O.M. Centrifugal waves //Journal of Fluid Mechanics. - 1960. - T. 7. -№3. - C. 340-352.
20. Phillips O.M. Energy Transfer in Rotating Fluids by Reflection of Inertial Waves //Physics of Fluids. - 1963. - T. 6. - C. 513-520.
21. Seiden G., Thomas P.J. Complexity, segregation, and pattern formation in rotating-drum flows //Reviews of Modern Physics. - 2011. - T. 83. - №4. - C. 1323.
22. Stegner A., Wesfreid J.E. Dynamical evolution of sand ripples under water //Physical Review E. - 1999. - T. 60. - №4. - C. R3487.
23. Stokes G.G. On the theory of oscillatory waves //Trans Cambridge Philos Soc.
- 1847. - T. 8. - C. 441-473.
24. Taylor G.I. Stability of a viscous liquid contained between two rotating cylinders //Proceedings of the Royal Society of London. Series A. - 1923. - T. 102. - №718. - C. 541-542.
25. Thomas P.J. et al. Fine structure of granular banding in two-phase rimming flow //Physics of Fluids - 2001. - T. 13. - №9. - C. 2720-2723.
26. Tirumkudulu M., Tripathi A., Acrivos A. Particle segregation in monodisperse sheared suspensions //Physics of Fluids - 1999. - T. 11. - №3. - C. 507-509.
